2007年高考.重庆卷.文科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（文史类）
数学试题卷（文史类）共5页，满分150分，考试时间120分钟 注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)(·)()·(B P A P B A P =
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
)2,1,0()1()(1n k p p C k P k n k
n ，⋯=-=-
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8
（2）设全集U ＝|a 、b 、c 、d |，A ＝|a 、c |，B =|b |，则A ∩（CuB ）＝
（A ）∅ （B ）{a } （C ）{c } （D ）{a ,c }
（3）垂直于同一平面的两条直线
（A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交 （D ）异面
（4）（2x -1）2展开式中x 2的系数为 （A ）15 （B ）60 （C ）120 （D ）240
（5）“-1＜x ＜1”是“x 2＜1”的
（A ）充分必要条件 （B ）充分但不必要条件 （C ）必要但不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）下列各式中，值为2
3
的是
（A ）︒-︒15cos 15sin 2 （B ）︒-︒15sin 15cos 22 （C ）115sin 22-︒
（D ）︒+︒15cos 15sin 22
（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为
（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）2423
（8）若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为
（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72
9．已知向量(46)(35)OA OB ==，，，，且OC OA AC OB ⊥，∥，则向量OC =（ ） A ．3277⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
B ．24721⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
C ．3
277⎛⎫-
⎪⎝⎭
， D ．2
4721⎛⎫-
⎪⎝⎭
，
（10）设P （3，1）为二次函数)1(2)(2≥+--x b ax ax x f 的图象与其反函数)(1x f f -=的图象的一个交点，则
（A ）25,21==b a （B ）25
,21-==b a
（C ）25,21=-=b a （D ）2
5
,21-=-=b a
（11）设a a b +-113和是的等比中项，则a +3b 的最大值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（12）已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。

（13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝ 。

（14）已知y x z y y x y x +=⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≤+300-632则，的最大值为 。

（15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。

（以数字作答）
（16）函数4522
22)(+++-=x x x x x f 的最小值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为5
4
43和，且各次射击相互独立。

（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； （Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
已知函数)
2
sin(42cos 2π+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-x x 。

（Ⅰ）求f (x )的定义域；
（Ⅱ）若角a 在第一象限且）。

（求a f a ,5
3
cos =
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分。

） 如题（19）图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，
AB =1,BC =23,AA 2=2;点D 在棱BB 1上，BD ＝31
BB 1；B 1E ⊥A 1D ，垂足为E ，求：
（Ⅰ）异面直线A 1D 与B 1C 1的距离； （Ⅱ）四棱锥C-ABDE 的体积。

20.（本小题满分12分）用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（21）图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；
（Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。

（22）（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＞1，且 .N ,1)2)(1(6∈=++=n a a S n n n （Ⅰ）求｛a n ｝的通项公式；
（Ⅱ）设数列｛b n ｝满足()
,112=-n n a 并记T n 为｛b n ｝的前n 项和，求证： .N ),3(log 1132∈++n a T n ＞
2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（文史类）答案
一、选择题：每小题5分，满分60分。

（1）A （2）D （3）A （4）B （5）A （6）B （7）C （8）A （9）D （10）C （11）B （12）C
二、填空题：每小题4分，满分16分。

（13）3（14）9（15）288（16）1+22 三、解答题：满分74分
解：（Ⅰ）设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A 、B 相互独立，且P （A ）＝5
4
)(,43=B P ，
从而甲命中但乙未命中目标的概率为
.20
3
54143)()()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==B P A P AB P
（Ⅱ）设A 1表示甲在两次射击中恰好命中k 次，B 1表示乙有两次射击中恰好命中l 次。

依题意有
.2,1,0,5154)(.
2,1,0,4143)(221221=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=
--l C B P k C A P l
l
l k
k k
由独立性知两人命中次数相等的概率为 .4825.040019325161692544325116154·43·51·54··41·43·51·41)
()()()()()()
()()(2
222
2223122
2
221100221100＝＝＝⨯+⨯+⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++C C C C B P A P B P A P B P A P B A P B A P B A P
(18)（本小题13分）
解：（Ⅰ）由Z),(2,202sin ∈-≠≠-≠⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+k k x k x x πππππ即得
故f (x )的定义域为.Z ,2|R ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ
（Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 2
2
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=a a
从而)
2
sin()
42cos(21)(π
+
-
+=
a a a f
＝a
a a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪
⎭⎫ ⎝⎛
++ππ ＝a
a
a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++
＝.5
14
)sin (cos 2=+a a
（19）（本小题12分） 解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B 1C 1⊥B 1D ，又因为∠ABC ＝90°，因此B 1C 1⊥A 1B 1，从而B 1C 1
⊥平面A 1B 1D ，得B 1C 1⊥B 1E 。

又B 1E ⊥A 1D ，
故B 1E 是异面直线B 1C 1与A 1D 的公垂线
由131BB BD =知,3
4
1=D B
在Rt △A 1B 1D 中，A 2D ＝.353412
2
12
11=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+D B B A
又因.·2
1
·211111111E B D A D B B A S D B A ==
△ 故B 1E=.54
3
534·
1·1111==D A D B B A
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B 1C 1⊥平面A 1B 1D ，又BC ∥B 1C 1，故BC ⊥平面ABDE ，即BC 为四棱锥C -ABDE 的高。

从而所求四棱锥的体积V 为
V ＝V C -ABDE ＝，BC 3
1
⨯
其中S 为四边形ABDE 的面积。

如答（19）图1，过E 作EF ⊥BD ，垂足为F 。

答（19）图1
在Rt △B 1ED 中，ED =,151654342
2
2
12
1=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-E B D B
又因S △B 1ED =,·21
·2111EF D B DE E B =
故EF =.25
16
E ·11
=D B D E B 因△A 1AE 的边A 1A 上的高,25
9
2516111=-=-=EF B A h 故
25
25221又因为S △A 1BD ＝,3
2
34·2·21·21111==D B B A 从而
S ＝S △A 1AE -S △A 1AE -S △A 1B1D ＝2-.75
73
32259=- 所以.150
73
23·7573·31··31===BC S V
解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系O -xyz ，则
答（19）图2
A (0,1,0),A 1(0,1,2),
B (0,0,0).
B 1(0,0,2),
C 1(23,0,2),
D (0,0, 3
2
)
因此
).
34,1,0(),0,0,32(),
0,1,0(),2,0,0(1121--==-==D A C B AA
设E （23
，y 0，z 0），则)2,,(001-=z y B ，
因此.,0·111111E B C B C B E B ⊥=从而
又由题设B 1E ⊥A 1D ，故B 1E 是异面直线B 1C 1与A 1D 的公垂线。

下面求点E 的坐标。

因B 1E ⊥A 1D ，即从而,0·11=A B
)1(,0)2(3
4
00 =-+z y
又得∥且,D ),2,1,0(11001A E A z y E A --= )2(,3
42
1
100 -=-z y
联立（1）、（2）,解得25160=y ,25380=z ,即⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538,2516,0E ，⎪⎭
⎫
⎝⎛-=2512,2516,01B 。

所以5425122516||2
21=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=E B .
（Ⅱ）由BC ⊥AB ，BC ⊥DB ，故BC ⊥面ABDE .即BC 为四棱锥C -ABDE 的高. 下面求四边形ABDE 的面积。

因为S ABCD ＝S ABE + S ADE ，3
2
||,1||==BD AB
2525220S BDE ＝.75
16
2516·32·21||210＝=y
故S ABCD ＝.7573
75162519=+
所以.150
73
23·7573·31||··31===S V ABDE CABCD
（20）（本小题12分）
解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-=230(m )35.441218＜＜x x x h .
故长方体的体积为
).2
3
0()(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1.
当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜3
2
时，V ′（x ）＜0，
故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。

从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。

（21）（本小题12分）
（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p
因此焦点)0,2
(p
F 的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为2
p
x -=。

从而所求准线l 的方程为2-=x 。

答（21）图
（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足为C 、D ，则由抛物线的定义知 |F A |=|FC |,|FB |=|BD |.
记A 、B 的横坐标分别为x x x z ，则
|F A |＝|AC |＝4cos ||22cos ||2+=++=+a FA p p a FA p x x 解得a
FA cos 14
||-=，
类似地有a FB FB cos ||4||-=，解得a
FB cos 14
||+=。

记直线m 与AB 的交点为E ，则
a
a
a a FB FA FB FA FA AE FA FE 2sin cos 4cos 14cos 1421|)||(|212||||||||||||=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=+-=-= 所以
a
a FE FP 2
sin 4
cos ||||==。

故8sin sin 2·4)2cos 1(sin 4
2cos ||||222==-=
-a
a
a a a FP FP 。

解法二：设),(A A y x A ，),(B B y x B ，直线AB 的斜率为a k tan =，则直线方程为)2(-=x k y 。

将此式代入x y 82=,得04)2(42
222=++=k x k x k ，故2
2)2(k k k x x B A +=+。

记直线m 与AB 的交点为),(E E y x E ，则 2
2)2(22k
k x x x B A E +=+=， k
x k y E E 4
)2(=-=，
故直线m 的方程为⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+--=-224214k k x k k y . 令y =0,得P 的横坐标44222++-k k x P 故
a k
k x FP P 2
2
2sin 4
)1(42||=+=
-=。

从而8sin sin 2·4)2cos 1(sin 42cos ||||222==-=
-a
a
a a a FP FP 为定值。

（22）（本小题12分）
（Ⅰ）解：由)2)(1(61
1111++==a a S a ，解得a 1＝1或a 1＝2，由假设a 1＝S 1＞1，因此a 1＝2。

又由a n +1＝S n +1- S n ＝)2)(1(6
1
)2)(1(6111++=++++n n n n a a a a ，
得a n +1- a n -3＝0或a n +1＝-a n
因a n ＞0，故a n +1＝-a n 不成立，舍去。

因此a n +1- a n -3＝0。

从而｛a n ｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛a n ｝的通项为a n ＝3n -2。

（Ⅱ）证法一：由1)12(=-b n a 可解得
133log 11log -=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=n n
a b z n z z ； 从而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=133··5
6
·23log 21n n b b b T z n n 。

因此23n 2·
133··56
·23log )3(log 133
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+n n a T z n z n 。

令23n 2·
133··5
6
·23)(3
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n x f ,则 2
3
3
)
23)(53()33(23n 33n ·5323)()1(+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+n n n n n n f n f 。

因079)23)(53()33(22＞+=++-+n n n n ，故 )()1(n f n f ＞+.
特别的120
27
)1()(＞=≥f n f 。

从而0)(log )3log(13＞n f a T n n =+-+，
即)3(log 1
32++n n a T ＞。

证法二：同证法一求得b n 及T n 。

由二项式定理知当c ＞0时，不等式
c c 31)1(3++＞成立。

由此不等式有
3
3
3
213115112112log 13⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n T n
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+13315312312log 2n ＞
＝)3(log )23(log 1
32
3··48·25·2log 222+=+=-+n a n n n 。

证法三：同证法一求得b n 及T n 。

令A n ＝n n 33··56·23 ，B n ＝n n 313··67·43+ ，C n ＝132
3·
·78·45++n n 。

因1323313133+++-n n n n n n ＞＞，因此2233+=n C B A A n n n n ＞。

从而
3
23
22log 133··5
6·322log 13x n A n n T =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+
＞)3(log )23(log 2log 222+=+=n n n n a n C B A 。