统计量的分布

F1a
1 (n, m)
1 P
1 F
F1a
1 (n,
m)
1a
故
P
1 F
F1a
1 (n,
m)
a
因而
F1a
1 (n, m)
Fa
(m, n)
由于 1 ~ F (m, n) F
例6
设
X1, X 2,,
X n 是来自正态总体X
~
N
(
1,
2 1
)
的一个简单随机样本
Y1,Y2 ,,Ym
是来自正态总体 Y
~
N
(
2
n1 1
u 2 (x
n2 1 x
u) 2 e 2 du
则令u = xv
f (x)
22
x n1 n2 1
e 2x 2
1 n1 1
n2 1
v 2 (1 v) 2 dv
n1 n2
22
( n1
)( n2
)
0
22
利用 1 v p1 (1 v)q1 dv ( p)(q)
0
( p q)
可得
f (x)
(n))
P{T
t a
(n)}
f (t)dt a
t 的点ta (n), 称为
a
分布的(下侧) 分位点.
(2) 若数 t1a / 2 (n), 满足
P{| T | t (n)} a 1a 2
a 称
t (n) 1a / 2
为双侧
分位点.
定理 设
相互独立, 且都服从N (, 2 ),
则
X S
(X
)
定义 设 X ~ N(0,1) , Y ~ 2 (n), X , Y 相互独立,
T X Y n
则T 所服从的分布称为自由度为 n 的t 分布 其密度函数为
f (t)
Γ
n
n 1 2
Γ n
1
t2 n
n1
2
2
<t<
0.4
0.3
0.2
n=1
0.1
n=20
-3 -2 -1
123
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
2
1
(n 1) S2
~
2 (n 1)
2
2
且它们相互独立，
V
(m 1) S2
(n 1) S2
~
2 (m
n 2)
2
1
2
2
U,V 独立，由t分布的定义得
U V /(m n 2)
(X Y) ( )
1
2
(m 1)S 2 (n 1)S 2
1
2
~ t(m n 2)
mn(m n 2) mn
的点a2 (n),
称为
2 分布的（下侧）a
分位点。
当 n 45 时， 可用式
2 (n) a
1 (z 2n 1)2
2a
求出
2 a
(
n)
的近似值。
定理 设
相互独立,
N (, 2 ), 则
(1) X 与 S 2 相互独立；
且都服从
(2) 其中
(n 1) S2
~
2 (n 1)
2
X 1 n X
S
n ~ t(n 1)
n
证
X ~ N(, 2 )
n
X
~
N (0,1)
(n 1)S 2
2
n i 1
Xi
X
2
~
n
2 (n 1)
(n 1)S 2 与 2
X
相互独立
X
S
X S
~ T (n 1)
n
n
定理 设
和 Y1,Y2 ,,Ym是来自正态总体
N(1, 2 ) 和 N(2, 2) 中所抽取的独立样本， 则
n = 15
5 10 15 20 25
2 (n) 分布的性质
1 E 2 (n) n, D 2 (n) 2n
2 若X1 2 (n1 ), X 2 2 (n2 ), X1, X 2相互独立， 则 X1＋X 2～ 2 (n1＋n2 )
3 n 时， 2 (n) 正态分布
n
T ( X Y ) (1 2 ) mn(m n 2)
(m
1)S12
(n
1)S
2 2
mn
~ t(m n 2)
证 因为
X
~
N(
,
2
),
1m
Y
~
N(
,
2
)
2n
所以
X
Y
~ N(
2
,
2
)
1
2m n
则
(X Y) ( )
U
1 2 ~ N (0,1)
1 1
mn
又由于
(m 1) S 2 ~ 2 (m 1),
f
(
x)
1
n
e x ,
x 2
n 2
1
2
2
(
n 2
)
x0
其中，
0,
x0
(x) t e x1 tdt 0
在x > 0时收敛，称为函数，具有性质
(x 1) x(x),
(1) 1, (1/ 2)
(n 1) n! (n N )
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2
n=5 n = 10
0.1
fi
(u)
ni
22
1 (
ni
)
u
ni 2
1 u
e2
2
0
u0 u0
i 1,2
当x 0时，f (x) 0
当x＞0时，有
x
f (x)
1
n1 1 u
u2 e 2
1
n2 1 xu
(x u) 2 e 2 du
0
n1
22
( n1
)
n2
22
( n2
)
2
2
n1 n2
22
1 ( n1
)( n2
)
x 0
U V 16
16
(Xi )
i 1
~ t(16)
32
(X j )2
j 17
Y 服从自由度16的t分布。
(4) F 分布
定义 设 X ~ 2(n), Y ~ 2(m), X,Y 相互独立，
令
F X /n
Y /m
则F 所服从的分布称为第一自由度为n ,
第二自由度为 m 的F 分布
其密度函数为
f
(t,
§ 7.3 统计量的分布
确定统计量的分布往往很复杂, 有时还 需要特殊技巧或特殊工具.但对于一些特 殊的分 布，如正态分布，就有简单的方法。
统计中常用分布
(1) 正态总体样本的线性函数的分布
若 X ~ N (, 2 ),
是总体 X
的一个样本;
则
其中 a1, a2 ,, an 是不全为零的常数
b 为常数。 特别地,
(2)
分布 ( n为自由度 )
定义 设
相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n = 1 时,其密度函数为
n = 2 时,其密度函数为
f
(x)
1
e
x 2
,
2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
0.4 0.3 0.2 0.1
2
4
6
8
10
一般地, 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
解 ES2 DX 2 (对任意总体可证);
(n 1)
2
S2
~
2 (n 1)
DS 2
2
D[
(n 1) S 2 ]
(n 1) 2
2
(
)2
(n 1)
D[ (n 1) S 2 ]
2
( 2 )2
(n 1)
D[ 2 (n
1)]
( 2 )2
(n 1)
2(n
1)
2 4
(n 1)
(3) t 分布
例4 设
为来自于正态总体 N (,42 )
的样本，令
Y
求 Y 的分布。
16
(Xi ) i 1
32
(X j )2
j 17
解
U
1 16
16
( i 1
X i
4
)
1 16
16
(Xi i 1
)
~
N (0,1)
V
1 16
32
(X
j 17
j
)2
32 X (
j 17
j )2
4
~
2 (16)
且 U 与 V 相互独立，由t分布的定义知，
)
E
2
(X
2 i
)
2
D 2 (n)
D
n
X
2 i
2n
i1
证 2 设 X1 ~ 2 (n1), X 2 ~ 2 (n2 ),
设 X1 X 2 的分布密度为f（x），则
f (x) f1(u) f2 (x u)du
其中
f1 (u),
f 2 (u)
分别为 X 与 1
X 2
的概率密度，且
n,
m)
Γ
Γ
n
m 2
n Γ m 2 2
n m
n
2
t
n 2
1
1
n m
t
nm 2
t0
0,
t0
0.8
0.6
m = 10, n = 4
0.4
m = 10, n = 10
0.2
m = 10, n = 15
1
2
3
4
5
6
0.8 0.6 0.4 0.2
1
2
3
4
5
6
m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10
2
n
是来自于 X 的一个样本，其中 2 已知，
求 E[( X )2 ], D[(X )2 ]
解 EX
2
DX n
E[(X )2 ] E[(X E X )2 ] D X 2
n
D[( X )2 ] D[ 2 ( X )2 ] n / n
由于
4 D[ X ]2 n2 / n
X ~ N(0,1) 所以 [ X ]2 ~ 2 (1)
/ n
/ n
故 D[ X ]2 D 2 (1) 21 2 / n
D[(X )2 ] 2 4
n2
例3 设总体 X ~ N(, 2), X , X ,, X
1
2
n
是来自于 X 的一个样本，
其中 2 已知, 求 ES 2, DS 2
即 n 41.6025
所以取 n 42
S12
S
2 2
~
F(n
1, m 1)
例7 设总体 X ~ N (72,100),为使样本均值大于70
的概率不小于90% , 则样本容量至少应为多少?
解 设样本容量为 n , 则 X ~ N (72,100)
故 P(X 70) 1 P(X 70)
n
70 72
1
10 n
0.2 n
令 0.2 n 0.9 得 0.2 n 1.29
证 1 设 2 (n)
X
2 i
X i ~ N (0,1) i 1,2,, n
i 1
X1, X 2 ,, X n 相互独立,
则
E(Xi ) 0,
D(Xi ) 1,
E(
X
2 i
)
1
E 2 (n)
E
n
X
2 i
n
i1
E(
X
4 i
)
1
x e4
x2 2
dx
3
2
D( X
2 i
)
E(
X
4 i
t 分布的性质
1°f n(t)是偶函数,
n , fn (t) (t)
1
t2
e2
2
2°t分布的a 分位数 ta 与双侧a 分位数 ta/2
有表可查
t (n) t (n)
1a
a
当n>45时, 有
t (n) z
a
a
定义 (1)对于给定的α: 0<α<1, ta (n),
满足
ta ( n )
F (ta
,
2 2
)
的一个简单随机样本
它们相互独立.
令
X
1 n
n i1
Xi
Y
1 m
m
Yj
j 1
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
S22
1 m 1
m
(Y j
j 1
Y )2
则
(n
1) S12
2 1
~
Байду номын сангаас
2 (n
1)
(m 1)S22
2 2
~
2(m
1)
S12
2 1
S22
~
F (n 1, m 1)
2 2
若 1 2 则
1
n1 n2 1 x
x 2 e2
n1 n2
22
( n1
n2
)
2
X1 X 2 服从自由度为n1 n2 的 2 分布。
关于性质3, n 时， 2(n) 正态分布
定义 对于给定的正数 a : 0 < a < 1
满足
2 a
(
n
)
F
2
(a2 (n))
P{ 2
a2 (n)}
f ( y)dy a
F 分布的性质
1 若F ~ F(n, m) , 则 1 ~ F(m, n) F
2 F(n, m) 的a 分位数Fa (n , m) 有表可查 :
P(F Fa (n, m)) a
F1a
(n, m)
Fa
1 (m, n)
例5
证明
F1a
(n,
m)
Fa
1 (m,
n)
证
P(F
F1a
(n, m))
P
1 F
n i1
i
1n
S 2
(X X )2
n 1 i1
i
(n 1)
2
S
2
1
2
n
(Xi
i 1
X )2
例1
设
X , X ,, X
1
2
n
相互独立，且
Xi
~
N
(i
,
2 i
),
i 1,2,, n
则
n
[(X i
) / ]2
i
i
~
2 (n)
i 1
例2
设总体
X
~ N (, 2 ),
X , X ,, X
1