教学课件：2.1.2.2 第2课时 指数函数及其性质的应用

必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
3．设23－2x>0.53x－4，则x的取值范围是 ________． 解析： 23－2x>0.53x－4 ⇒23－2x>24－3x ⇒3－2x>4－3x ⇒x>1. 答案： {x|x>1}
4．函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)在区间[1,2]上的 a 最大值比最小值大 ，求 a 的值． 2 解析： 当 a>1 时，f(x)＝ax 为增函数，在 x∈ [1,2]上， f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a， a 2 ∴a －a＝ ，即 a(2a－3)＝0， 2 3 3 ∴a＝0(舍)或 a＝ >1，∴a＝ . 2 2
∵u＝1－x 在 R 上为减函数， 1 u 又∵y＝2 在(－∞，＋∞)上为减函数， 1 1－ x ∴ y＝ 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是增函数，故选 2 A. 答案： A
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当 0<a<1 时，f(x)＝ax 为减函数， 在 x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a，f(x)最小＝f(2)＝ 2 a. a 2 ∴a－a ＝ ，∴a(2a－1)＝0，∴a＝0(舍)或 a＝ 2 1 ， 2 1 1 3 ∴a＝ .综上可知，a＝ 或 a＝ . 2 2 2
与指数函数有关的定义域、值域问题 求下列函数的定义域与值域： 1 1 2 (1)y＝3 ；(2)y＝ x －4x. x－1 2
由题目可获取以下主要信息：①所给函数与指 数函数有关；②定义域是使函数式有意义的自 变量的取值集合，③值域是函数值的集合，依 据定义域和函数的单调性求解.
[解题过程]
(1)∵x－1≠0，∴x≠1， 1 ∴函数 y＝3 的定义域为{x|x≠1}， x－1 1 又∵ ≠0，∴y≠30＝1. x－1 ∴函数的值域为{y|y>0 且 y≠1}， (2)函数的定义域为 R 2 2 ∵x －4x＝(x－2) －4≥－4， 1 x y＝2 在 R 上是减函数 1 1 2 －4 ∴0<2x －4x≤ ＝16. 2 ∴函数的值域为(0,16]．
y＝3x(x<0)的图象关于 y 轴对
称， 所以原函数图象关于 y 轴对称． 由图象可知值域是(0,1]， 递增区间是(－∞， 0]， 递减区间是[0，＋∞)．
与指数函数有关的单调性问题 求下列函数的单调区间： (1)y＝ax2＋2x－3； 1 (2)y＝ x . 0.2 －1
利用复合函数的单调规律求之.
与指数函数有关的图象问题 1 x 利用函数 f(x)＝ 的图象，作出下列各 2 函数的图象： (1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．
作出
1 x f(x)＝ 的图象―→明确 2
f(x)与 f(－x)图象间的关系 ―――→ 分 变换规律 别得出图象．
解析： 要使函数有意义， 则1－2x≥0，即2x≤1， ∴x≤0.故选A. 答案： A
2．函数
1 1－x y＝2 的单调递增区间为(
)
A．(－∞，＋∞) C．(1，＋∞)
解析：
B．(0，＋∞) D．(0,1)
定义域为 R.设
1 u u＝1－x，y＝ ， 2
3．若a>b>1，当x>0时，函数y＝ax图象在y＝ bx图象的上方；当x<0时，函数y＝ax图象在y ＝bx图象的下方； 若1>a>b>0，当x>0时，函数y＝ax图象在y＝bx 图象的上方；当x<0时，函数y＝ax图象在y＝ bx图象的下方． 函数y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝a－x(a>0，且a≠1) y轴 对称． 的图象关于____
解析： (1)∵x－1≠0，∴x≠1 ∴函数定义域为{x|x≠1}． 1 ∵ ≠0， x－1 1 1 1 0 ∴ ≠ ＝1 3 x－1 3 ∴函数值域为{y|y>0 且 y≠1}．
(2)函数定义域为 R， ∵x2－4x＝(x－2)2－4≥－4， 又∵y＝2x 在 R 上是增函数， 1 －4 2 ∴2x －4x≥2 ＝ . 16 1 ∴函数值域为[ ，＋∞)． 16
求函数 y＝4 ＋2
x
x＋1
＋1 的值域．
解答本题可以看成关于2x的一个二次函数， 故可令t＝2x，利用换元法求值域.
[解题过程] 函数定义域为R. 令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝ (t＋1)2. ∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1， ∴值域为{y|y>1，y∈R}．
(2)函数的定义域为{x|x≠0}． 1 设 y＝ ，u＝0.2x.易知 u＝0.2x 为减函数． u－ 1 1 而根据 y＝ 的图象可以得到， u－ 1 在区间(－∞，1)与(1，＋∞)上，y 关于 u 均为 减函数． ∴在(－∞，0)上，原函数为增函数；在(0，＋ ∞)上，原函数也为增函数．
[题后感悟] 如何判断形如y＝af(x)(a>0且a≠1) 的函数的单调性？ 方法一：利用单调性定义比较y1＝af(x1)与y2＝ af(x2)时，多用作商后与1比较． 方法二：利用复合函数单调性：当a>1时，函 数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当 0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 相反．
[解题过程]
作出
1 x f(x)＝ 的图象， 2
如图所示： (1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1 个单位得f(x－1)的图象，如下图
(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的 图象得－f(x)的图象，如图(1)
(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图 象得f(－x)的图象，如图(2)
复合函数y＝af(x)单调性的确定： 相同 ； 当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间_____ 减区 当0<a<1时，f(x)的单调增区间是y的单调_____ 间 ．f(x)的单调减区间是y的单调_______ ___ 增区间 ．
1．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
[题后感悟] 对于y＝af(x)这类函数， (1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围 (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值 域．
1.求下列函数的值域．
1 1 (1)y＝3 ；(2)y＝2x2－4x. x－1
[题后感悟] 利用熟悉的函数图象作图，主要 运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚 向何方向移，要移多少个单位，如(1)(2)；对 称需分清对称轴是什么，如(3)(4)．
3.函数
1 |x| y＝ 的图象有什么特征？ 3
你能根据图象指出其值域和单调区间吗？
解析： 因为|x|＝ x x≥0 . x<0 －x
[题后感悟] 如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的 值域？ ①换元，令t＝ax； ②求t的范围，t∈D； ③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．
2.已知－1≤x≤2， 求函数 f(x)＝3 ＋2· 3x＋1－9x 的值域．
解析： f(x)＝3＋2· 3x＋1－9x＝－(3x)2＋6· 3x＋3. 令 3x＝t， 则 y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12. 1 ∵－1≤x≤2，∴ ≤t≤9. 3 ∴当 t＝3，即 x＝1 时，y 取得最大值 12； 当 t＝9，即 x＝2 时，y 取得最小值－24， 即 f(x)的最大值为 12，最小值为－24. ∴函数 f(x)的值域为[－24,12]．
第2课时 指数函数及其性质的应用
1.理解指数函数的单调性 与底数a的关系，能运用 指数函数的单调性解决一 些问题.
1.指数函数单调性在 比较大小，解不等式 及求最值中的应 用．(重点)
1．函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域 (0，＋∞)． 是________ 若a>1，则当x＝0时，y__1 ＝ ；当x>0时，y>1；当 < x<0时，y__1. ＝ ；当x>0时，y<1， 若0<a<1，则当x＝0时，y__1 > 当x<0时，y__1. 增函数 ． 2．a>1时，函数y＝ax在R上是_______ 减函数 ． 0<a<1时，函数y＝ax在R上是_______
答案： A
与指数函数有关的综合问题 －x x 10 －10 已知 f(x)＝ x －x， 10 ＋10 (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)证明 f(x)是定义域内的增函数； (3)求 f(x)的值域．
[策略点睛 ] (1)直接利用奇偶性定义进行判断． (2)欲直接利用单调性定义进行证明，则变形时 较为复杂， 故可先将 f(x)化简， 然后用定义判断． 2 (3) 将 f(x) 化简可变为 f(x) ＝ 1－ 2x ，故把 10 ＋1 102x 看成一个整体，进行换元再求值域．
1 4.已知函数 f(x)＝ x ，则 y＝f(x) 2 ＋1 在(－∞，＋∞)上是( ) A．单调递减函数且无最小值 B．单调递减函数且有最小值 C．单调递增函数且无最大值 D．单调递增函数且有最大值