指数函数及其性质二
指数函数的性质2普通班用
指数函数及其性质
第二课时
指数函数的性质
1.指数函数概念 一般地，函数y=ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是 自变量，函数的定义域是R 2.指数函数的图象和性质(见下表)
a>1 图 象
0<a<1
性 质
(1)定义域：R (2)值域(0，＋∞) (3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1 (4)在R上是增函数 在R上是减函数
2 m 2 n 例1、(1)若 ( ) ( ) , 则m与n的大小如何? 3 3
(2)求不等式a a
x 1 x
(a 0, 且a 1)中
x的取值范围
例2．求下列函数的定义域与值域
⑴y ⑵
2 1
x
3 x
y2
⑶
y 3
5 x1
1 x 思考1:函数y 2 与 y ( ) 2 x 的图象 2 y 2x 有什么关系？
x x
x
知识探究一：函数 y a (a 1) 的性质
x
思考3:若a>b>1，则函数 y a 与 y 相对位置关系如何？ x ya y bx
x
b 的图象的
x
y
1
0 x
知识探究二：函数 y a (0;a<1，则函数 y a 与 y 的图象的相对位置关系如何？ y bx y
x
b
x
ya
x
1
0
x
作业：
系统集成 P39-40自学检测1-5
课后巩固演练 1-6,8
P41-42
x
1 y 2
x
8 7
fx =
x 2
6
5
第2课时 指数函数及其图象、性质(二) 高一数学
答案:(-∞,0] (0,+∞)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(2)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
-
=
+3x=f(x),所以 f(x)是偶函数.
(2)由 4x-1≠0 得 x≠0,即函数的定义域为{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},
- +
都有-x∈{x|x≠0},且 f(-x)=
所以函数 f(x)是奇函数.
- -
=
+
-
+
=- - =-f(x),
√
;
(2)f(x)=9x+3x+1.
解:(1)要使函数有意义,应满足 x≥0,故函数的定义域为[0,+∞).
当 x≥0 时,√≥0,所以 0<
√
≤1,故函数的值域为(0,1].
(2)由题意可知函数的定义域为 R.
令 3 =t(t>0),则
x
y=t2+3t=
+
因为 t>0,所以 y= +
(1)当a>1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相同;
(2)当0<a<1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相
反.
指数函数的图像及性质2
2.1.2指数函数及其性质的应用(2)班级： 姓名： 编者：阮娟萍 高一数学备课组 问题引航1.能熟练说出指数函数的性质。
2.会求简单复合函数的性质。
3.会利用指数函数的性质比较幂值的大小。
自主探究1．函数)1,0(≠>=a a y a x 的定义域是 ，值域 ． 2．函数)1,0(≠>=a a y a x ．当ａ＞１时，若ｘ＞０时，ｙ １，若ｘ＜０时，ｙ １；若ｘ＝１时，ｙ １；当０＜ａ＜１时，若ｘ＞０时，ｙ １，若ｘ＜０时，ｙ １；若ｘ＝１时，ｙ １．3．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． 互动探究1．函数y=a x+2－3(a ＞0且a ≠1)必过定点________．2．函数y ＝a |x|(0＜a ＜1)的图像是（ ）3．比较下列各题中两个值的大小:(1) 35.27.1 ,7.1 (2) 2.01.08.0 ,8.0--(3) 1.33.09.0 ,7.1 (4) 比较2131a a 与的大小，)1,0(≠>a a 且当堂检测 １．函数2121x x y -=+是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数 ２．函数21x y =的单调递减区间是（ ）Ａ．（－∞，＋∞） Ｂ．（－∞，０）Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（－∞，０）和（０，＋∞）3．若函数x a y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________.4．函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称．*5.已知的大小关系是则c b a c b a ,,,2.1,8.0,8.08.09.07.0===？自我评价你对本节课知识掌握的如何（ ）A.非常好B.较好C.一般D.较差E.很差。
学案8：2.1.2 指数函数及其性质(二)
2.1.2 指数函数及其性质(二)自主学习学习目标1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．基础自测1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1题型探究类型一 比较大小问题【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法 比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．类型二 解简单的指数不等式【例2】 如果a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是____________．类型三 指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．规律方法 指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移3 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．课堂小结1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．当堂检测一、选择题1．下图分别是函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，a ，b ，c ，d 分别是四数2，43，310，15中的一个，则相应的a ，b ，c ，d 应是下列哪一组( )A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2 2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a3．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)4．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >14－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是____________．7．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是__________．三、解答题9．解不等式a x ＋5<a 4x －1 (a >0，且a ≠1)．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.【参考答案】基础自测1．C 2.C 3.A 4.C题型探究【例1】 解 (1)构造函数y ＝3x .∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵π>3.14，∴3π>33.14.(2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数．∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.(3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x .∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.变式迁移1 解 将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：(1)负数⎝⎛⎭⎫－233； (2)大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；(3)大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223.∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 【例2】 解 (1)当0<a <1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，x 的取值范围是：当0<a <1时，x ≥－6；当a >1时，x ≤－6.变式迁移2 (12，＋∞) 解析 a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1. ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x >1－x ，解得x >12. ∴x 的取值范围是(12，＋∞)． 【例3】 解 (1)①若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去). ②若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，最大值为a ，最小值为a 2.∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)， 综上所述，所求a 的值为12或32. (2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1.①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，∴0<1a≤t ≤a ； ∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈[1a，a ]时递增． 故当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1.由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)．②若0<a <1，t ＝a x 在[－1,1]上递减，t ∈[a ，1a]， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)． 综上，可得a ＝13或3. 变式迁移3 解 (1)∵f (x )＝a x 在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值．∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.(2)y ＝12·22x －3·2x ＋5＝12(22x －6·2x )＋5 ＝12(2x －3)2＋12. ∵x ∈[0,2]，1≤2x ≤4，∴当2x ＝3时，y 最小值＝12， 当2x ＝1时，y 最大值＝52. 当堂检侧1．C2．B 【解析】c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .3．B 【解析】函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 4．C 【解析】由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．D 【解析】因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.6.⎣⎡⎦⎤－53，1 7．c >a >b 【解析】y ＝0.8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.8．(－∞，－1)【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；因此当x <0时，由2x －1<－12得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．10．(1)解 由2x －1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解 由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3 ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明 当x >0时，12x －1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。
2.1.2指数函数及其性质2
③ 1.7 ，0.9
0 .3
3.1
解③ ：根据指数函数的性质，得 3.1 0.3 1.7 1 且 0.9 1
3.2
3.2
3
3
2.8
2.8
2.6
2.6
2.4
2.4
2.2
2.2
2
2
1.8
1.8
fx = 0.9x
fx = 1.7x
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
2a 1 1 1 a a , 且a 1 2
1 2 a 1
作出函数图像： 1。列表 2。描点
3。连线
y
y= 2- x
4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3
y=2x
x
指数函数: y=ax (a >0且a=1) a>1 0<a<1 y y y=ax y=ax 图 (0<a<1) (a>1)
(0,1)
y=1
y=1
(0,1)
象
0
当 x < 0 时，0＜y < 1； 定
x
0
x
当 义 域 : R x < 0 时，y > 1； 性 当 x > 0 时，y域 : ( 0 , + ∞ 当)x > 0 时，0＜y < 1 。 值 > 1. 必过 点： 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . ( 质 在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数
a 和a
1 2
1 3
的大小，其中a>0
2.1.2指数函数及其性质(2)课件人教新课标
课堂小结
1. 指数复合函数的单调性； 2. 指数函数图象的变换．
a＞1
0＜a＜1
图
y
y＝ax y＝ax
y
(a＞1) (0＜a＜1)
象
(0,1)
y＝1
(0,1) y＝1
O
x
O
x
定义域 R；值域(0，＋∞)
性 过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
质 在R上是增函数
在R上是减函数
x＞0时，ax＞1; x＞0时，0＜ax＜1;
x＜0时，0＜ax＜1 x＜0时，ax＞1
复习引入
练习
1.解不等式：
复习引入
练习
2.
复习引入
练习
3. 函数y＝a x－1＋4恒过定点
.
A．(1，5) C．(0，4)
B．(1，4) D．(4，0)
复习引入
练习
4. 下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数
是
()
讲授新课
一、指数函数图象的变换 1.说明下列函数图象与指数函数y＝2x的 图象关系，并画出它们的图象:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-4 -2 O
2 4x
作出图象，显示出函数数据表
x
-3
-2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
2.1.2指数函数 及其性质
复习引入
指数函数的图象和性质：
a＞1
0＜a＜1
图 象
定义域 R；值域(0，＋∞)
指数函数及其性质 (2)
教学设计《指数函数及其性质》湖南省保靖县雅丽中学数学组徐立新一、教材分析（一）教材背景本节课选自人教版必修一第二章第一节第二课时.指数函数是在学习了函数的定义及其图像、性质，掌握了研究函数的一般思路之后，学习的第一个重要的基本初等函数.（二）本课的地位和作用在讲授本节课前，学生已经研究了基本的函数概念及性质及二次函数、反比例函数及特殊的幂函数等，从方法上讲学生已经清楚了如何借助于图象研究性质，基本能够按类比迁移的方式来研究指数函数的性质，这也为本节课学生的自主探究提供了可能；与此同时，指数函数也是后面学习对数函数、三角函数的基础，因此这段内容在教材中起着重要的承上启下作用。
（三）重难点分析重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。
因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。
难点： 1、对于底数用 a >1 和0< a <1 时函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。
因此，弄清楚底数a对函数图象的影响是本节的难点之一。
2、底数互为倒数的两个函数图象间的关系。
二、教学目标知识与技能：1、理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；2、掌握函数的基本性质，能利用函数的单调性解决问题。
过程与方法：1、学会采用类比研究的方法探讨指数函数问题的数学思维方法，提高合情猜想能力；2、在数学实验平台上，经历列表描点、绘制具体函数图象、图象的动态变换三个步骤体验指数函数的图象特征，并归纳函数性质。
情感价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，在学生的亲身操作中，感受数学的力量，坚定数学学习信念。
三、学情分析认知分析: 指数函数及其性质能力分析: 在学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。
学习过程中难免会出现困难.本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。
指数函数图象及性质(二)
谢谢观看
详细描述
当函数值大于0时，指数函数图像向上平移；当函数值小于0时，指数函数图像向下平移。平移的单位长度与平移 的常数有关。
横向伸缩
总结词
指数函数图像在x轴方向上的伸缩
详细描述
当底数大于1时，指数函数图像在x轴方向上被压缩；当底数小于1时，指数函数图像在x轴方向上被拉 伸。伸缩的程度与底数的大小有关。
象中的规律。
指数函数在解决实际问题中具有 独特的优势，能够为决策提供科
学依据。
未来研究的方向和展望
01 02 03 04
深入研究指数函数的性质和特征，探索其在不同领域的应用前景。
结合现代数学和计算机技术，发展指数函数的计算方法和数值模拟技 术。
加强指数函数与其他数学分支的交叉研究，推动数学理论的发展和应 用。
在物理领域的应用
01
02
03
放射性衰变
放射性衰变是一个指数函 数，描述了放射性物质随 时间衰减的规律。
电路中的RC电路
在RC电路中，指数函数描 述了电流随时间的变化规 律。
人口增长模型
一些人口增长模型使用指 数函数来描述人口随时间 的变化。
在数学领域的应用
求解微分方程
在求解一些初值问题和边 值问题时，我们可能需要 用到指数函数。
纵向伸缩
总结词
指数函数图像在y轴方向上的伸缩
详细描述
当底数大于1时，指数函数图像在y轴方向上被拉伸；当底数小于1时，指数函数图像在 y轴方向上被压缩。伸缩的程度与底数的大小有关。
03
指数函数的性质研究
单调性
单调增函数
2.1.2 指数函数及其性质 第二课时 课件(人教A版必修一)
个函数值. ∵底数1.7>1， x ∴y=1.7 在R上是增函数, ∵2.5<3， 2.5 3 ∴1.7 <1.7 , 即： 1.72.5<1.73 .
-0.1 -0.2 x 解：（2）0.8 、0.8 可以看作函数y=0.8 的两
个函数值.
∵底数0<0.8<1， x ∴y=0.8 在R上是减函数, ∵-0.1>-0.2， -0.1 -0.2 ∴0.8 <0.8 , -0.1 -0.2 即： 0.8 <0.8 .
人教新课标版(A) 必修1
2.1
指数函数
2.1.2
指数函数及其性质(2)
复习导入
1．指数函数的定义 x 一般地，函数y=a (a>0,且a≠1)叫做指数函数 （exponential function），其中x是自变量，函数 的定义域是R．
复习导入
a>1
图 象 定义 域 值域 性 质 R
0<a<1
探究：（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？
探究：（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？
课堂练习
1．比较下列各题中两个数的大小： 3.5 4 （1）1.9 ，1.9 ；
1．比较下列各题中两个数的大小： -0.2 -0.1 （2）0.6 ，0.6 ；
1．比较下列各题中两个数的大小： （3）1.80.3，0.73.1.
所以，经过x年，人口数为 x x y=13×(1+1%) =13×1.01 （亿）. 当x=20时， 20 y=13×1.01 ≈16（亿）. 所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿.
探究：（1）如果人口年均增长率提高1个百分点， 利用计算器分别计算20年，33年后我国的人口数.
指数函数及其性质(二)黄冈
1.7
借助 中介值 来判断;
0.3
0.9
3.1
【小结】对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则
比较指数幂大小的一般方法
1.利用指数函数单调性: 步骤： (1)构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性. (2)自变量的大小比较. (3)函数值的大小比较. 2.利用指数函数图象变化规律 (1)构造函数画出函数图象 (2)标出图象与直线x=1的交点,判断交点高低,交点越 高对应指数幂越大 3. 借助中介值比较: 用特殊的数1或0.
-2 4
9
-0.5 1.4
1.7 2
0 1
1 1
0.5 0.71
0.6 0.5
1 0.5
0.3
2
…
2 x 3 x
0.25 …
0.1
4 x
…
16
0.25 0.06 …
根据图象对称性作图
x 1
y( )
y
8 7 6 5 4
1 x 4 1 x 3 1 x 2
y( )
y( )
3 2 1
-4 -3 -2 -1 0
1
y2 x y 1.8
x
2 >1.8
0.4
0.4
0
x 0.4
x
1 （2） 6
0.5
1 , 2
0.5
1 【解析】 6
1 y 6
x
0.5
1 可以看成函数 2
1 y 2
x
0.5
y 可以看成函数 6 x 1 当x=0.5时的函数值y 2
利用指数函数的 单调性 来判断
例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）2
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质指数函数是数学中常见的一种函数类型，它的图像和性质在数学学习中具有重要的意义。
本文将从图像和性质两个方面，对指数函数进行详细的分析和说明。
一、指数函数的图像指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
在探究指数函数的图像时，我们可以固定底数a的值，观察指数x的变化对应的函数值y的变化。
1. 当底数a>1时，指数函数呈现增长趋势。
例如，当a=2时，指数函数y=2^x的图像是逐渐上升的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出迅速增长的特点。
这说明指数函数在底数大于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级增长。
2. 当底数0<a<1时，指数函数呈现衰减趋势。
例如，当a=0.5时，指数函数y=0.5^x的图像是逐渐下降的曲线。
随着指数x的增大，函数值y呈现出逐渐趋近于0的特点。
这说明指数函数在底数小于1的情况下，随着指数的增加，函数值呈现指数级衰减。
3. 当底数a=1时，指数函数呈现恒定趋势。
无论指数x取任何值，函数值y始终等于1。
这说明指数函数在底数为1时，函数值不随指数的变化而变化。
通过观察指数函数的图像，我们可以发现指数函数具有明显的特点：底数大于1时，函数呈现增长趋势；底数小于1时，函数呈现衰减趋势；底数为1时，函数呈现恒定趋势。
二、指数函数的性质除了图像特点外，指数函数还具有一些重要的性质，这些性质在数学学习中有着广泛的应用。
1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
这意味着指数函数在实数范围内都有定义，并且函数值始终为正数。
2. 指数函数的性质与底数a的大小有关。
当底数a>1时，函数呈现增长趋势；当底数0<a<1时，函数呈现衰减趋势；当底数a=1时，函数值始终为1。
3. 指数函数具有幂运算的性质。
即指数函数的乘法可以转化为指数的加法，指数函数的除法可以转化为指数的减法。
例如，对于指数函数y=a^x和y=b^x，它们的乘积可以表示为y=(ab)^x，它们的商可以表示为y=(a/b)^x。
2.1.2指数函数图象及性质(二)
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2－3 则得到函数 _________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
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§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x＜0时, f ( x ) 2
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.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经 过哪个定点？ (3, 3)
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
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§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5
高中数学第二章2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质(二)学案(含解析)新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.2.能借助指数函数的性质比较大小.3.会解简单的指数方程、不等式．知识点一 不同底指数函数图象的相对位置思考 y ＝2x与y ＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案 经描点观察，在y 轴右侧，2x＜3x，即y ＝3x图象在y ＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y 轴左侧反转，y ＝2x在y ＝3x图象上方．梳理 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．(2)指数函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x (a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称．知识点二 比较幂的大小思考 若x 1＜x 2，则1x a 与2xa (a ＞0且a ≠1)的大小关系如何？ 答案 当a ＞1时，y ＝a x在R 上为增函数，所以12,x xa a < 当0＜a ＜1时，y ＝a x在R 上为减函数，所以12.x xa a > 梳理 一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点三 解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法(1)形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解；(2)形如a f (x )＞b 的不等式，可将b 化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解；(3)形如a x ＞b x 的不等式，可借助两函数y ＝a x ，y ＝b x的图象求解． 知识点四 与指数函数复合的函数单调性 思考 112xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域是什么关系？112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性与y ＝1x 的单调性有什么关系？答案 由于y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，故112xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的定义域与y ＝1x 的定义域相同，故研究112xy ⎛⎫=⎪⎝⎭的单调性，只需在y ＝1x 的定义域内研究．若设0＜x 1＜x 2，则1x 1＞1x 2，121111,22x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不等号方向的改变与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝1x 的单调性均有关．梳理 一般地，有形如y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域．(2)当a >1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反．1．y ＝21－x是R 上的增函数．( × )2．若0.1a>0.1b，则a >b .( × )3．a ，b 均大于0且不等于1，若a x＝b x，则x ＝0.( × )4．由于y ＝a x(a >0且a ≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．( × )类型一 解指数方程 例1 解下列方程．(1)81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2；(2)22x ＋2＋3×2x－1＝0.考点 指数方程的解法题点 指数方程的解法解 (1)∵81×32x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＋2，∴32x ＋4＝3－2(x ＋2)，∴2x ＋4＝－2(x ＋2)， ∴x ＝－2. (2)∵22x ＋2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x )2＋3×2x－1＝0.令t ＝2x(t ＞0)，则方程可化为4t 2＋3t －1＝0， 解得t ＝14或t ＝－1(舍去)．∴2x＝14，解得x ＝－2.反思与感悟 (1)af (x )＝b 型通常化为同底来解．(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围．转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍． 跟踪训练1 解下列方程． (1)33x －2＝81；(2)5x＝325； (3)52x－6×5x＋5＝0. 考点 指数方程的解法 题点 指数方程的解法 解 (1)∵81＝34，∴33x －2＝34，∴3x －2＝4，解得x ＝2.(2)∵5x＝325，23255,x ∴=∴x 2＝23，解得x ＝43. (3)令t ＝5x，则t >0，原方程可化为t 2－6t ＋5＝0， 解得t ＝5或t ＝1，即5x＝5或5x＝1， ∴x ＝1或x ＝0.类型二 指数函数单调性的应用 命题角度1 比较大小例2 比较下列各题中两个值的大小．(1)1.7－2.5,1.7－3；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1. 考点 指数幂的大小比较 题点 比较指数幂大小解 (1)∵1.7＞1，∴y ＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.(2)方法一 ∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y ＝1.7x的图象位于y ＝1.5x的图象的上方． 而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.方法二 ∵1.50.3＞0，且1.70.31.50.3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3，又1.71.5＞1,0.3＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1.71.50.3＞1，∴1.70.3＞1.50.3. (3)∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1， ∴1.70.3＞0.83.1.反思与感悟 当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练2 比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π，1； (3)0.2－3，(－3)0.2. 考点 指数幂的大小比较 题点 比较指数幂大小解 (1)∵0＜0.8＜1，∴y ＝0.8x在R 上是减函数． ∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，即0.8－0.1＜1.250.2.(2)∵0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 在R 上是减函数．又∵－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞1.(3)0.2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫210－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－3＝53，210.2105(3)(3)3,-=-=1135333,5125 3.∴<==>1330.2535,(3).-∴<>-即0.2命题角度2 解指数不等式 例3 解关于x 的不等式：a 2x ＋1≤ax －5(a >0，且a ≠1)．考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法 解 ①当0<a <1时，∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6. ②当a >1时，∵a2x ＋1≤ax －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，当0<a <1时，不等式的解集为{x |x ≥－6}；当a >1时，不等式的解集为{x |x ≤－6}．反思与感悟 解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响． 跟踪训练3 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，则x 的取值范围是________．考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 ∵a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1，∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 类型三 求与指数函数复合的函数的单调区间 例4 (1)求函数261712x x y ⎛⎫⎪⎝⎭－＋＝的单调区间；(2)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的单调区间．考点 指数函数的单调性 题点 指数型复合函数的单调区间解 (1)函数261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数， ∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝在(－∞，3]上是增函数．在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数， ∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝在[3，＋∞)上是减函数．∴261712x x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＝的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞)．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的定义域为R .设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤4，得x ≥－2， ∴当－2≤x 1<x 2时，12114,22x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋17的单调增区间是[－2，＋∞)．同理可得减区间是(－∞，－2]．反思与感悟 复合函数单调性问题归根结底是由x 1<x 2到f (x 1)与f (x 2)的大小，再到g (f (x 1))与g (f (x 2))的大小关系问题． 跟踪训练4 求下列函数的单调区间．223(1);x x y a +-=(2)y ＝10.2x －1.考点 指数函数的单调性 题点 指数型复合函数的单调区间 解 (1)设y ＝a u ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得u 在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 当a >1时，y 关于u 为增函数； 当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a <1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)． (2)已知函数的定义域为{x |x ≠0}． 设y ＝1u －1，u ＝0.2x ，易知u ＝0.2x为减函数． 而根据y ＝1u －1的图象可知在区间(－∞，1)和(1，＋∞)上，y 是关于u 的减函数， ∴原函数的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞).1．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<π0B ．0.43<π0<30.4C ．30.4<0.43<π0D ．π0<30.4<0.43考点 指数幂的大小比较 题点 比较指数幂大小 答案 B解析 0.43<0.40＝π0＝30<30.4. 2．方程42x －1＝16的解是( )A ．x ＝－32B ．x ＝32C ．x ＝1D ．x ＝2考点 指数方程的解法 题点 指数方程的解法 答案 B 解析 ∵42x －1＝42，∴2x －1＝2，x ＝32.3．函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)考点 指数函数的单调性 题点 指数型复合函数的单调区间 答案 A解析 ∵211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0<12<1，∴f (x )的单调递增区间为u (x )＝x 2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．4．设0＜a ＜1，则关于x 的不等式22232223x x x x a a －＋＋－＞的解集为________．考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法 答案 (1，＋∞)解析 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在R 上是减函数， 又∵22232223x x x x aa －＋＋－＞，∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. 5．f (x )＝2x＋2－x的奇偶性是________． 考点 与指数函数相关的函数的奇偶性 题点 与指数函数相关的函数的奇偶性 答案 偶函数解析 f (x )的定义域为R .f (－x )＝2－x ＋2－(－x )＝2x ＋2－x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y ＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m<c 且c <b n，则a m<b n；若a m>c 且c >b n ，则a m >b n .2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解． (3)形如a x>b x 的不等式，可借助图象求解． 3．(1)研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1.当a >1时，y ＝af (x )与f (x )单调性相同． 当0<a <1时，y ＝af (x )与f (x )单调性相反．(2)研究y ＝f (a x)型单调区间时，要注意a x属于f (u )的增区间还是减区间．一、选择题1．设x <0，且1<b x <a x，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <aD ．1<a <b考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法 答案 B解析 ∵1<b x<a x，x <0，∴0<a <1,0<b <1. 当x ＝－1时，1b <1a，即b >a ，∴0<a <b <1.2．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( ) A ．6B ．1C ．3D.32考点 指数函数的最值题点 根据指数函数的最值求底数 答案 C解析 函数y ＝a x在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的关系为( ) A ．m ＋n <0 B ．m ＋n >0 C ．m >nD ．m <n考点 指数不等式的解法 题点 指数不等式的解法 答案 D 解析 ∵0<5－12<1，∴f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x 在R 上单调递减， 又∵f (m )>f (n )，∴m <n ，故选D. 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]考点 指数函数的单调性 题点 指数型复合函数的单调区间 答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 故选B.5．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2考点 指数幂的大小比较 题点 比较指数幂大小 答案 D 解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＝21.5， 根据y ＝2x 在R 上是增函数， 得21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2，故选D.6．设f (x )＝|3x－1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，则下列关系式中一定成立的是( ) A ．3c≤3bB ．3c >3bC ．3c＋3a>2D ．3c＋3a<2考点 指数函数性质的综合应用 题点 指数函数的综合问题 答案 D解析 f (x )＝|3x－1|的图象如下．由c ＜b ＜a 且f (c )>f (a )>f (b )可知c ，b ，a 不在同一个单调区间上． 故有c <0，a >0.∴f (c )＝1－3c，f (a )＝3a－1.∴f (c )>f (a )，即1－3c >3a －1,3c ＋3a <2.7．已知函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )，若f (x )是偶函数，记a ＝m ，若f (x )是奇函数，记a ＝n ，则m ＋2n 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．－1考点 与指数函数相关的函数的奇偶性题点 与指数函数相关的函数的奇偶性答案 B解析 当f (x )是偶函数时，f (x )＝f (－x )，即x (e x ＋a e －x )＝－x (e －x ＋a e x )，即(1＋a )(e x ＋e －x )x ＝0，因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1，即m ＝－1.当f (x )是奇函数时，f (x )＝－f (－x )，即x (e x ＋a e －x )＝x (e －x ＋a e x )，即(1－a )(e x －e －x)x ＝0，因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝1，即n ＝1，所以m ＋2n ＝1.8．若存在正实数x 使2x (x －a )<1，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞) 考点 指数函数的单调性题点 根据指数函数的单调性求参数的取值范围答案 D解析 由2x (x －a )<1，得a >x －12x (x >0)， 令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )min ，又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )>f (0)＝－1，∴a >－1.故选D.二、填空题 9．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13245x x －－的单调递减区间是________． 考点 指数函数的单调性题点 指数型复合函数的单调区间答案 (2，＋∞)解析 函数由f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ，t (x )＝x 2－4x －5复合而成，其中f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 是减函数，t (x )＝x 2－4x －5在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为(2，＋∞)．10．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f (x )(mg/mL)随时间x (h)变化的规律近似满足解析式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1.规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过______h 后才能开车．(精确到1h)考点 指数函数的实际应用题点 指数函数的实际应用答案 4解析 当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，可得x ≥3.10.故至少要过4h 后才能开车．11．若4x ＋2x ＋1＋m >1对一切实数x 成立，则实数m 的取值范围是__________．考点 指数函数性质的综合应用题点 与指数函数有关的恒成立问题答案 [1，＋∞)解析 4x ＋2x ＋1＋m >1等价于(2x )2＋2·2x ＋1>2－m ，即(2x ＋1)2>2－m .∵2x ∈(0，＋∞)， ∴2x ＋1∈(1，＋∞)，∴2－m ≤1，解得m ≥1.三、解答题12．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x－1.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>0；(2)当a ＝12，x ∈[0,2]时，求f (x )的值域． 考点 指数函数性质的综合应用题点 与指数函数有关的恒成立问题解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1. f (x )>0，即2·(2x )2－2x －1>0，解得2x >1或2x <－12(舍去)， ∴x >0，∴不等式f (x )>0的解集为{x |x >0}．(2)当a ＝12时，f (x )＝4x －2x －1，x ∈[0,2]．设t ＝2x，∵x ∈[0,2]，∴t ∈[1,4]．令y ＝g (t )＝t 2－t －1(1≤t ≤4)，画出g (t )＝t 2－t －1(1≤t ≤4)的图象(如图)，可知g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g (4)＝11，∴f (x )的值域为[－1,11]．13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，(1)写出f (x )的单调区间；(2)求不等式f (x )<－12的解集． 考点 指数函数性质的综合应用题点 与指数函数有关的恒成立问题解 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．(2)f (x )<－12＝－f (1)＝f (－1)， 由(1)知f (x )在R 上是增函数，∴x <－1.即f (x )<－12的解集为(－∞，－1)． 四、探究与拓展14．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b ＝f (0.91.1)，c ＝f (2)的大小关系是________．(按由大到小排列)考点 指数幂的大小比较题点 比较指数幂大小答案 b >a >c解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x )关于x ＝2对称．又∵f (x )在(2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，2)上是减函数．又∵1.10.9>1,0<0.91.1<1，∴0.91.1<1.10.9<2，∴f (0.91.1)>f (1.10.9)>f (2)，即b >a >c .15．已知函数f (x )＝3x ＋k ·3－x 为奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若关于x 的不等式f (9221ax x －－)＋f (1－3ax －2)<0只有一个整数解，求实数a 的取值范围． 考点 指数函数性质的综合应用题点 指数函数的综合问题解 (1)显然f (x )的定义域为R .∵f (x )是奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝3x ＋k ·3－x ＋3－x ＋k ·3x＝(k ＋1)(3x ＋3－x )＝0对一切实数x 都成立，∴k ＝－1.(2)由(1)可知f (x )为R 上的增函数，又f (x )是奇函数，∴f (9221ax x －－)＋f (1－3ax －2)<0⇒9221ax x －－<3ax －2－1⇒3224ax x －<3ax －2⇒2ax 2－4x <ax －2 ⇒(ax －2)(2x －1)<0.当a ≤0时，显然不符合题意；当a >0时，由不等式只有一个整数解，可知不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2a ，且1<2a ≤2⇒1≤a <2， ∴实数a 的取值范围是[1,2)．。
2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)
(1) y 2 (3) y 2
x 1
(2) y 2 1
x
|x|
( 4 ) y | 2 1 |
x x
(5) y 2
(6 ) y 2
x
二、比较大小
例2 比较大小
(1) 1 .8 1
2 .2 1
(3) ( ) 3 2
_ 1 __
_ _ _ 1 .8
3
( 2 ) 0 .7 ( 4 ) 1 .9
指数函数及其性质（第二课时）
学习目标
1、掌握函数图象变换的相关问题；
2、会利用指数函数的单调性和图象比较大小；
3、会解决与指数函数相关的定义域、值域问题；
4、会判断简单复合函数的单调性
知识回顾， 课前练习
1、指数函数的定义:
y a ( a 0 , 且 a 1)
x
练习：若函数f(x)=(a2-3a+3)ax是指数函数，则 a= . 2、指数函数的图象和性质
例3 求下列函数的定义域和值域
1
(1)
y 2 x4
(2 ) y ( ) 3
2
|x|
(3 ) y 2
2xx
2
练习：
(1) y 12x (2 ) 1 y ( ) 3
3 x
三、与指数函数有关的定义域、值域问题
例4 求函数y=-9x+2×3x+3，x∈[-1,2]的值域
练习： 求函数y=4x-2x+1，x∈[-2,1]的值域
四、简单的复合函数单调性
例5 判断 f
( x) ( ) 3 1
x 2x
2
的单调性
练习： 已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1)满足f(-2)>f(3),则函 数g(x)=a1-x的单调递增区间为 .
指数函数的图象及性质
指数函数一、根式与分数指数幂1. 根式定义根式：一般地，若x n=a（a为非负实数，n为正整数），则x叫做a的n次方根，记作或。
其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
2. 根式性质当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数；负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0。
3. 根式运算化简：通过因式分解、合并同类项等方法将复杂的根式化简为最简形式。
求值：将根号下的数按照因数分解的形式写出，然后求出完全平方数的平方根，最后相乘得到最终结果。
和（差）：将根式化为最简形式后，合并同类项。
积（商）：合并同类项，分解各个项，然后化简得到最终结果。
4. 分数指数幂定义分数指数幂：一个数的指数为分数，如（a>0，m,n∈N∗且n>1），其中a的次幂等于n次根号下a的m次方，即。
二、分数指数幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数相同，指数相加2、同底数幂相除：底数相同，指数相减3、幂的乘方：指数相乘4、任何非零数的0次幂都等于15、负指数幂表示倒数三、实数指数幂的运算及其性质1、实数指数幂的基本概念实数指数幂指的是形如 a n 的数，其中 a 为实数（且 a≠0），n 为实数。
实数指数幂包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂以及无理数指数幂。
2、运算性质同底数幂相乘：a m•a n=a m+n同底数幂相除：a m/a n=a m−n（a≠0）幂的乘方：(a m)n=a mn分数指数幂：（a>0，m,n 为正整数，n>1）负整数指数幂：（a≠0）零指数幂：a0=1（a≠0）四、无理数指数幂有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，基于数学中的极限思想和连续性概念。
由于无理数无法直接表示为两个整数的比，我们需要通过一系列越来越接近该无理数的有理数来逼近它，从而计算出对应的指数幂值。
这一过程体现了数学中的逼近和极限思想，是微积分等更高层次数学的基础。
课件6：4.1.2 指数函数的性质与图像
∴
1
0< ≤≤.
由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3
1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3
1
2
2 −2−3
1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1
指数函数及其性质(二)
指数函数的基本性质
底数不变，指数相乘
$a^m times a^n = a^{m+n}$
底数相乘，指数相加
$(a times b)^n = a^n times b^n$
指数函数的运算性质
$a^{m+n} = a^m times a^n$ 和 $(a^m)^n = a^{mn}$
指数函数的周期性
周期性是指函数在一定间隔内 重复出现的性质。
指数函数没有固定的周期， 因为它们的图像不会在固定
的x值上重复出现。
但是，对于某些特定的指数函 数，如正弦函数和余弦函数的
变形，可能会有周期性。
03
指数函数的应用
在金融领域的应用
1 2
复利计算
指数函数在金融领域中常用于计算复利，即本金 及其利息之和按照一定的利率进行再投资，再次 产生的利息也计入本金。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，指数函数图像位于第一象限和第四象限；当 $0 < a < 1$ 时， 图像位于第二象限和第三象限。
指数函数的图像是经过原点的直线，随着 $x$ 的增大或减小，$y$ 值无限趋近于 $0$ 或无穷大。
02
指数函数的性质
指数函数的单调性
01
指数函数在其定义域内是单调的 ，单调性取决于底数a的取值范围 。
02
当a>1时，函数是增函数，随着x 的增加，y的值也增加。
当0<a<1时，函数是减函数，随 着x的增加，y的值减小。
03
当a=1时，函数是常数函数，y的 值始终为1。
04
二次函数与指数函数的性质与计算方法总结
二次函数与指数函数的性质与计算方法总结二次函数是高中数学中的一个重要概念，它的图像呈现出一种弯曲的形状。
指数函数也是数学中的重要内容之一，其特点是底数大于1时递增或递减的图像。
本文将总结二次函数与指数函数的性质以及计算方法。
一、二次函数的性质1. 函数表达式：二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b 和c是实数，且a不等于零。
2. 零点：二次函数的零点即方程f(x)=0的解，可以通过求根公式或配方法求得。
其中求根公式为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，配方法通过将二次函数转化为完全平方形式来求解零点。
3. 对称轴与顶点：二次函数的对称轴为x=-b/(2a)，顶点的横坐标即对称轴的横坐标，纵坐标可以通过代入求得。
4. 开口方向：二次函数的开口方向取决于二次系数a的正负性。
当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
5. 最值：对于开口朝上的二次函数，最小值发生在顶点处；对于开口朝下的二次函数，最大值也发生在顶点处。
二、指数函数的性质1. 函数表达式：指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a是底数，x 为指数，a大于0且不等于1。
2. 特殊指数函数：当底数a为e时，指数函数称为自然指数函数，常用符号为f(x)=e^x。
自然指数函数具有特殊的性质和应用，如复利计算等。
3. 递增与递减：指数函数的递增或递减取决于底数a的大小。
当0<a<1时，指数函数递减；当a>1时，指数函数递增。
4. 渐近线：指数函数的图像在x轴左侧没有与x轴平行的渐近线，但在x轴右侧有与x轴平行的渐近线。
渐近线方程为y=0。
5. 对称性：指数函数关于y轴对称，即满足f(-x)=1/f(x)。
三、计算方法1. 二次函数的计算方法：包括求零点、顶点、对称轴、最值等的计算方法，可以通过代入法、求根公式、配方法等进行计算。
2. 指数函数的计算方法：主要涉及底数的变化、指数的整合与分解等运算方法，例如指数函数求和、差、积、商等。
指数函数的定义和性质
指数函数的定义和性质在数学中，指数函数是一种基本的函数之一。
它的应用非常广泛，包括在金融、科学、工程和计算机科学等领域。
指数函数的定义和性质是数学学科中非常重要的一部分，本文将着重介绍指数函数的定义和性质，以帮助读者更好地理解这一重要概念。
一、指数函数的定义指数函数的定义非常简单，它是以自然常数e为底数的幂函数。
即：f(x) = e^x其中，e是自然常数，它的值约为2.71828。
根据这个定义，我们可以得到一些指数函数的基本性质。
二、指数函数的性质1. 增长速度指数函数是一个无限增长的函数。
随着x的增大，e的x次方也会越来越大。
这意味着，指数函数的增长速度非常快，远远快于其他函数，比如多项式函数和三角函数。
2. 渐近线指数函数的图像会与y = 0轴有一个渐近线。
这条线是指数函数的图像在x轴右侧逼近y = 0而趋近于它时所形成的。
3. 对称轴指数函数的对称轴为y = 0轴。
这是因为当x为正数时，e的x 次方和e的-x次方是关于y = 0轴对称的，即f(x) = f(-x)。
4. 交点指数函数和y = 1直线有一个交点，这个交点的坐标为(0,1)。
这个交点是由于e的0次方为1引起的。
5. 常函数关系指数函数和指数函数之间还存在常函数的关系。
换句话说，如果f(x) = e^x，那么g(x) = ln(x)就是f(x)的反函数。
这意味着，指数函数和对数函数是相互关联的。
6. 求导指数函数的求导结果还是自身。
换句话说，如果f(x) = e^x，那么f'(x) = e^x。
这个性质在微积分中是非常有用的。
三、应用指数函数有很多应用，包括用于描述人口增长率、财务计算、化学反应速率等方面。
这些应用需要对指数函数的性质有深入的理解，并能够使用指数函数进行数学建模。
例如，在人口学中，指数函数可以描述人口的增长率。
假设某个国家的人口现在为P0，每年的增长率为r，那么在t年后，该国的人口大小为：P(t) = P0 * e^(rt)这个方程式体现了指数函数的性质，即随着时间的增加，该国的人口会迅速增加。