高三数学上学期第二次月考试题 理人教、新目标版

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2019高三年级上学期第2次月考数学（理）试题
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1、 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M
N =（ ）
A ．∅
B ．{}1,4--
C ．{}0
D ．{}1,4 2、 若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则
z =（ ）
A ．32i -
B ．32i +
C ．23i +
D ．23i -
3、已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且(a ＋b)2
－c 2
＝4，C ＝120°，则△
ABC 的面积为( ) A ．
33 B ．233
C ． 3
D ．2 3 4、给出下列结论：①命题“1sin ,≠∈∀x R x ”的否定是“1sin ,=∈∃x R x ”； ②命题“6
π
α=
”是“2
1
sin =
α”的充分不必要条件； ③数列{}n a 满足“n n a a 31=+”是“数列{}n a 为等比数列”的充分必要条件.
其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
5、已知数列{a n }，{b n }满足b n =log 2a n ，n ∈N *
，其中{b n }是等差数列，且a 5•a 16=，则b 1+b 2+b 3+…+b 20=（ ）
A ． ﹣10
B ． log 210
C ． ﹣5
D ． log 25
6、已知数列{a n }中满足a 1=15，a n+1=a n +2n ，则的最小值为（ ）
A ． 9
B ． 7
C ．
D ． 2
﹣1
7、已知函数f(x+1)是偶函数，当),1(+∞∈x 时，函数f(x)=sinx-x ，设)2
1
(-=f a ，
)3(f b =，)0(f c =，则a 、b 、c 的大小关系为( )
A.b<a<c
B.c<a<b
C. b<c<a
D.a<b<c 8、已知函数22
cos sin sin 21cos 21)(22+
--=
x x x x x f ，则（ ） （A ）)(x f 在83π=x 时取得最小值2，其图像关于点)0,8
3(π
对称
（B ）)(x f 在83π=
x 时取得最小值0，其图像关于点)0,8
5(π对称 （C ）)(x f 在)8
7,83(π
π单调递减，其图像关于直线8π-=x 对称
（D ）)(x f 在)87,83(π
π单调递增，其图像关于直线8
π-=x 对称
9、已知向量)1,4(x a -=，)5,(+=x y b ，),0(,+∞∈y x ，且b a ⊥，则xy 取得最小值时，y =
（ ）
A.3
B. 1
C.2
D. 2
5
10、已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝
1
3
⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA
→＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )． A ．AB 边中线的中点
B ．AB 边中线的三等分点(非重心)
C ．重心
D ．AB 边的中点
11、平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →
＝b ，则△OAB 的面积等于
( ) A.|a|2
|b|2
a ·
b 2
B.|a|2|b |
2
a ·
b 2
C.
1
2
|a|2|b|2a ·b
2
D.12
|a|2|b |
2
a ·b
2
12、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，21()
1()(1)
10
x x f x e
f x x +⎧≤-⎪=⎨⎪--<≤⎩，
若f (x )≥x +a “对于任意x ∈R 恒成立，则常数a 的取值范围是（ ）
A.1
(,2)e -∞- B.(,2]-∞- C.1(,1]e
-∞- D.(,1]-∞- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________.
14、a ，b ，c 分别是△ABC 内角A 、B 、C 的对边，若c ＝23b ，sin 2A －sin 2B ＝3sin B sin C ，
则A ＝________.
15、已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将数列中两个数的位置对换，得到一个等比数列，
则a 2＋b 2
c 2的值为_______．
16、已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *
)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②
S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.
其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上)
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

四、17、已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
R ，（其中0ω>） （1）求函数()f x 的值域；
（2）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为
π
2
，求函数()y f x =的单调增区间．
18、 已知命题q ：集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，{}|0B x x =>，则A B =∅． （1）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p :1()2
x
f x -=
，()2f a <，试求实数a 的取值范围，使得命题p ，q 有且只有一个为真命题．
19、已知
．
（1）若0＜A ＜
，方程（t ∈R ）有且仅有一解，求t 的取值范围；
（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别是a ，b ，c ，且a=，若，求b+c 的
取值范围．
20、2a ，5a 是方程2x 02712=+-x 的两根，数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 2
1
1-
=n b ()
*∈N n ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）记n c =n a n b ，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
21、已知二次函数2
()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 满足：对任意实数x ，都有()f x x ≥，且当(1,3)x ∈时，有21
()(2)8
f x x ≤+成立． (1)证明：(2)2f =；
(2)若(2)0f -=，求()f x 的表达式； (3)设()(),[0,)2m g x f x x x =-∈+∞,若()g x 图象上的点都位于直线1
4
y =的上方，求实数m 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22、选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=-=t y t x 225223（t 为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为θρsin 52=. （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）若点P 坐标为)5,3(，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求PB PA +的值. 23、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数212)(+-=x x f ，32)(++-=x x g . （1） 解不等式：2)(-≥x g ；
（2）当R x ∈时，2)()(+≥-m x g x f 恒成立，求实数m 的取值范围.
2019届高三月考2（理科）参考答案
一、ADCAA CADDB CD
二、填空题13、___3_____.14、A ＝30° 15、516或17
4 16、 1/2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、
（II ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，()y f x =的周期为π，又由0ω>，
得
2π
πω=，即得2ω=． 9分于是有π()2sin 216f x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，再由
πππ2π22π()262k x k k --+∈Z ≤≤，解得 ππ
ππ()63
k x k k -+∈Z ≤≤．
所以()y f x =的单调增区间为ππππ63k k ⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
，()k ∈Z
18、（Ⅰ）即方程210x ax ++=无根或无正根2400a a -<-<或()2,a ⇒∈-+∞； （Ⅱ）1()22352
a
f a a -<⇒
<⇒-<<，结合（Ⅰ）可得a 的取值范围是(][)3,25,--+∞．
19、解答： 解：（1）依题意可得t=+=sinAcosA ﹣cos 2
A=
sin2A ﹣cos2A=sin
（﹣），
∵
，∴
．
再根据t=+ 有唯一解，可得
．
（2
）由
得=﹣1，即tanA=﹣
，∴
．
再根据正弦定理可得2R==1，∴
，
由
＜B+
＜
，可得
．
20、解：（1）由27,125252==+a a a a ．且0>d 得9,352==a a
23
2
5=-=
∴a a d ，11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 ……………………3分 在n n b T 211-=中，令,1=n 得.3
21=b 当2≥n 时，T n =,211n b -112
1
1---=n n b T ，
两式相减得n n n b b b 2
1
211-=
-，()2311≥=∴-n b b n n
()
*
-∈=
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=∴N n b n
n n 3
231321
． …………………………6分 （2）()n
n n n n c 32
43212-=
⋅
-=， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 3123533
31232 ，
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+++=+1323123323331
23n n n n n S ， ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+13231231313
1231232n n
n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---
⎪⎭⎫
⎝⎛-⨯++-11
31231131191231n n n
=1134
43
43123131312+++-=⎪⎭⎫
⎝⎛---+n n n n n ，…………………………10分
n n n S 32
22+-
=∴ ………………………………12分
21．(理)解：(1)证明：由条件知：224)2(≥++=c b a f 恒成立． 又因取2x =时，21
(2)42(22)28
f a b c =++≤
+=恒成立，. (2)因为422420
a b c a b c ++=⎧⎨
-+=⎩ 所以421a c b +==. 所以1
2b =，14c a =-.
又()f x x ≥恒成立，即2
(1)0ax b x c +-+≥恒成立． ∴0a >， 2
1
(1)4(14)02
a a ∆=---≤， 解出：18a =
，12b =，12
c =. ∴212181)(2++=x x x f .
(3)由分析条件知道，只要()x f 图象(在y 轴右侧)总在直线4
1
2+=x m y 上方即可，也就是直线的斜率
2
m
小于直线与抛物线相切时的斜率位置， 于是：2111822
124
y x x m y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩利用相切时0∆=
，解出12m =+
，∴(,12m ∈-∞+
．
22、解：（1）由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=-=t y t x 22522
3得直线l 的普通方程为053=--+y x ，又由θρsin 52=得圆C 的直角坐标方程为05222=-+y y x ，即5)5(22=-+y x .
（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得5)2
2()223(22=+-
t t ， 即04232
=+-t t ，由于0244)23(2>=⨯-=∆，
故可设1t ，2t 是上述方程的两实数根，所以⎩
⎨⎧==+4
232121
t t t t ，
又直线l 过点)5,3(P ，A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 所以232121=+=+=+t t t t PB PA .
23.解：（1）由2)(-≥x g 得52≤+x ，解得37≤≤-x ， 所以不等式的解集是}{
37≤≤-x x .
（2）设1212)()()(-++-=-=x x x g x f x h ，
则⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥<<-+--≤--=21,3212,22,23)(x x x x x x x h ，所以23)(≥x h .
所以对应任意R x ∈，不等式2)()(+≥-m x g x f 恒成立，得232≤+m ，得2
1-≤m ， 所以最后m 的取值范围是2
1
-≤m .。