(完整版)高中数学向量专题-中档难度题目最全汇总(2),推荐文档

，两边平方整理．由判别式小
于等于 0，可得（ ﹣ ）⊥ ，运用数量积的定义可得即有| |=1，画出 = ，
= ，建立平面直角坐标系，设出 A，B 的坐标，求得|t ﹣ |+|t ﹣ |的坐标表
示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所求最小值．
【解答】解：向量 ， 夹角为 ，
，对任意 x∈R，有
向量 满足 ﹣4 • +3=0，则| ﹣ |的最小值是（ ）
A． ﹣1 B． +1 C．2 D．2﹣
【分析】把等式 ﹣4 • +3=0 变形，可得得
，即（ ）
⊥（ ），设
，则 的终点在以（2，0）为圆心，以 1 为半径的圆
周上，再由已知得到 的终点在不含端点 O 的两条射线 y= 画出图形，数形结合得答案．
，
两边平方整理可得 x2 2+2x • ﹣（ 2﹣2 • ）≥0， 则△=4（ • ）2+4 2（ 2﹣2 • ）≤0， 即有（ 2﹣ • ）2≤0，即为 2= • ， 则（ ﹣ ）⊥ ， 由向量 ， 夹角为 ，| |=2， 由 2= • =| |•| |•cos ， 即有| |=1，
第 34 页（共 53 页）
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3．已知点 G 是△ABC 内一点，满足 + + = ，若∠BAC= ， • =1，则 | |的最小值是（ ） A． B． C． D．
第 3 页（共 53 页）
4．已知△ABC 中，
，AB=AC=1，点 P 是 AB 边上的动点，点 Q 是 AC 边
上的动点，则
的最小值为（ ）
∴ = （ + ）， ∴ = （ 2+ 2+2 • ）= （|AB|2+|AC|2）+ ，
第 32 页（共 53 页）
∵ • = |AB|•|AC|=1，∴|AB|•|AC|=2，
∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|=4， ∴ 2≥ = ．
∴| |≥ ．
故选：C． 4．已知△ABC 中，
，AB=AC=1，点 P 是 AB 边上的动点，点 Q 是 AC 边
二．填空题（共 3 小题） 28．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=90°，∠ADC=45°， AD=2，BC=1，P 是腰 CD 上的动点，则|3 + |的最小值为 ．
第 27 页（共 53 页）
29．已知向量 =（2，3）， =（m，﹣6），若 ⊥ ，则|2 + |= ．
心，则用向量
表示 为（ ）
A．
B．
C．
D．
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24．设 O 是平面 ABC 内一定点，P 为平面 ABC 内一动点，若
=
，则 O 为△ABC
的（ ） A．内心 B．外心
C．重心
D．垂心
第 23 页（共 53 页）
25．已知平面向量 ， ， 满足| |=| |=| |=1，若 • = ，则（2 + ） （ ﹣ ）的最小值为（ ） A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．0
A． B． C． D．﹣1
第 20 页（共 53 页）
22．已知向量
，满足| |=2，| |=
则| |的最小值是（ ）
A．2﹣
B．2+
C．1 D．2
=3，若（ ﹣2 ）•（ ﹣ ）=0，
第 21 页（共 53 页）
23．如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 G 在 AD 上，且是△ABC 的重
第 14 页（共 53 页）
16．在△ABC 中，若 BC=8，BC 边上中线长为 3，则 • =（ ） A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28
第 15 页（共 53 页）
17．已知 O 是正△ABC 的中心．若 = （ ） A． B． C． D．2
，其中 λ，μ∈R，则 的值为
第 16 页（共 53 页）
第 30 页（共 53 页）
∴DC=DM+MC= ，
∴A（1，0），B（ ， ），C（0， ），
设 E（0，m）， ∴ =（﹣1，m）， =（﹣ ，m﹣ ），0≤m≤ ，
∴
= +m2﹣ m=（m﹣ ）2+ ﹣ =（m﹣ ）2+ ，
当 m= 时，取得最小值为 ．
故选：A．
2．已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
第 4 页（共 53 页）
5．已知向量 ， 夹角为 ，| |=2，对任意 x∈R，有| +x |≥| ﹣ |，则
|t ﹣ |+|t ﹣ |（t∈R）的最小值是（ ）
A．
B． C．
D．
第 5 页（共 53 页）
6．如图，在△ABC 中，点 D，E 是线段 BC 上两个动点，且
A．[1，1+ ] B．[2﹣ ，2+ ] C．[
] D．[3﹣2 ，3+2 ]
第 10 页（共 53 页）
11．已知平面内任意不共线三点 A，B，C，则 ） A．正数 B．负数 C．0 D．以上说法都有可能
的值为（
第 11 页（共 53 页）
13．在△ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM=4，则 小值是（ ） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
（x＞0）上，
【解答】解：由 ﹣4 • +3=0，得
，
∴（ ）⊥（ ），
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如图，不妨设
，
则 的终点在以（2，0）为圆心，以 1 为半径的圆周上， 又非零向量 与 的夹角为 ，则 的终点在不含端点 O 的两条射线
y=
（x＞0）上．
不妨以 y= 为例，则| ﹣ |的最小值是（2，0）到直线
C．
D．
第 8 页（共 53 页）
9．已知：| |=1，| |= ， ⋅ =0，点 C 在∠AOB 内，且 与 的夹角为 30°，设 =m +n （m，n∈R），则 的值为（ ） A．2 B． C．3 D．4
第 9 页（共 53 页）
10．已知 ， 为单位向量，且 ）
，向量 满足| ﹣ ﹣ |=2，则| |的范围为（
∴
=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当 m=n=1 时取等号，
故
的最小值为﹣2，
故选：B．
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5．已知向量 ， 夹角为 ，| |=2，对任意 x∈R，有| +x |≥| ﹣ |，则
|t ﹣ |+|t ﹣ |（t∈R）的最小值是（ ）
A．
B． C．
D．
【分析】由题意对任意 x∈R，有
1．如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，
AB=AD=1．若点 E 为边 CD 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．3 【分析】如图所示，以 D 为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴，以 DC 所在的直线 为 y 轴，求出 A，B，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求 出． 【解答】解：如图所示，以 D 为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴， 以 DC 所在的直线为 y 轴， 过点 B 做 BN⊥x 轴，过点 B 做 BM⊥y 轴， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1， ∴AN=ABcos60°= ，BN=ABsin60°= ， ∴DN=1+ = ， ∴BM= ， ∴CM=MBtan30°= ，
18．设△ABC 的面积为 S，若 A．1 B．2 C． D．
，tanA=2，则 S=（ ）
第 17 页（共 53 页）
19．已知向量 ， ， 为平面向量，| |=| |=2 成夹角为 ，则| |的最大值为（ ）
=1，且 使得 ﹣2 与 ﹣ 所
A．
B． C．1 D． +1
第 18 页（共 53 页）
第 28 页（共 53 页）
30．已知在△ABC 所在平面内有两点 P、Q，满足 + =0， + + = ，若| |=4，| |=2，S△APQ= ，则 • 的值为 ．
第 29 页（共 53 页）
2018 年 09 月 30 日 186****1015 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 27 小题）
的最
第 12 页（共 53 页）
14．已知 O 是正方形 ABCD 的中心．若 = =（ ）
A． B．﹣2 C． D．
，其中 λ，μ∈R，则
第 13 页（共 53 页）
15．△ABC 所在平面上一点 P 满足 + + = ，则△PAB 的面积与△ABC 的 面积比为（ ） A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6
=x
，
则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
第 6 页（共 53 页）
7．已知△ABC 中，∠A=120°，且 AB=3，AC=4，若 则实数 λ 的值为（ ） A． B． C．6 D．
，且
，
第 7 页（共 53 页）
8．已知 、 是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（ ）
A． B．
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】根据题意，以 A 为原点，以 AB 所在对的直线为 x 轴，以 AC 所在的直 线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数 量积即可求出
【解答】解：∵△ABC 中，
，AB=AC=1，
以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AC 所在的直线为 y 轴，建立如图所 示的平面直角坐标系， 则 B（1，0），C（0，1） 设 P 的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q 的坐标为（0，n），0≤n≤1， ∴ =（﹣1，n）， =（m，﹣1），
=．
故选：D．
6．如图，在△ABC 中，点 D，E 是线段 BC 上两个动点，且
=x
，
则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】设 可得 = （
，
，由 B，D，E，C 共线可得 x+y=2，
）（x+y）= （5+ + ）
【解答】解：设
，
，
第 35 页（共 53 页）
∵B，D，E，C 共线，∴m+n=1，λ+μ=1．
即
．
的距离减 1．
故选：A．
3．已知点 G 是△ABC 内一点，满足 + + = ，若∠BAC= ， • =1，则 | |的最小值是（ ） A． B． C． D． 【分析】用 ， 表示出 ，利用基本不等式得出|AB|2+|AC|2 的最小值即 可． 【解答】解：∵点 G 是△ABC 内一点，满足 + + = ，∴G 是△ABC 的重心，
则| ﹣ |=
=，
画出 = ， = ，建立平面直角坐标系，如图所示； 则 A（1，0），B（0， ），
∴ =（﹣1，0）， =（﹣1， ）；
∴
=（
+
表示 P（t，0）与 M（ ， ），N（ ，﹣ ）的距离之和的 2 倍，
当 M，P，N 共线时，取得最小值 2|MN|．
即有 2|MN|=2
﹣9λ+16=0，解可得 λ 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，△ABC 中，∠A=120°，且 AB=3，AC=4，
高中数学向量专题
一．选择题（共 27 小题）
1．如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，
AB=AD=1．若点 E 为边 CD 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
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2．已知 ， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ， 向量 满足 ﹣4 • +3=0，则| ﹣ |的最小值是（ ） A． ﹣1 B． +1 C．2 D．2﹣
第 24 页（共 53 页）
26．已知 O 是△ABC 内部一点，且 3 的面积之比为（ ） A． B．1 C． D．2
= ，则△OBC 的面积与△ABC
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27．已知向量
满足：
，若
， 的最大值和最小值分别为 m，n，则 m+n 等于（ ）
A． B． C． D．
第 26 页（共 53 页）
∵
=x
，则 x+y=2，
∴ = （ ）（x+y）= （5+ + ）
则 的最小值为 ．
故选：D． 7．已知△ABC 中，∠A=120°，且 AB=3，AC=4，若 则实数 λ 的值为（ ） A． B． C．6 D．
，且
，
【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得
• =（λ + ）•（ ﹣ ）=0，整理变形可得（λ﹣1）3×4×cos120°
20．已知 O 为△ABC 内一点，且有
，记△ABC，△BCO，△ACO
的面积分别为 S1，S2，S3，则 S1：S2：S3 等于（ ）
A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1
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21．已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是（ ）