利用平行线分线段成比例作辅助线教学例说

利用平行线分线段成比例作辅助线教学例说
在相似三角形一章的学习中，许多需要作辅助线解决的问题，要注意到平行线分段成比例定理及其推论的应用，作出相应的辅助线，问题就能迎刃而解。

以下是我的一点教学心得，在此提出，以供参考：
一、平行线分线段成比例定理及其推论的作用
定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。

如图(1）∥∥,、与、、分别相交于A、B、C、D、E、F，则，，、等。

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两面三边的延长线），所截得的对应线段成比例。

此推论的逆命题也成立，即如果一条直线截三角形的两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

推论及逆定理见图（2）、（3）。

考虑三角形相似问题得到定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。

如图（2）、（3）有△ADE∽△ABC。

可别小看以上定理，它可是本章内容的重点之一，是解决本章许多问题的钥匙，也是本章作辅助线经常考虑的重要方法，以下举例说明：
例1：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

已知：如图（4），DE∥BC交AB、AC于点D、E，求证：。

此问题的解决，利用平行线分线段成比例定理，过D作DF∥AC交BC于F，从而得出，利用DECF是平行四边形得DE=CF，因此有，问题得证。

例2：相似三角形判定定理的证明（证明过程见课本）
三个判定定理的证明都作了相同的辅助线，即作三角形一边的平行线得相似三角形，再证所截得的三角形与所要证的另一三角形全等得出问题的解决。

例3：如图（5）BD=CE。

求证：AC·EF=AB·DF
利用平行线分线段定理作DG∥AC交BC于G，则有，，又∵BD=CE，
∴=∴AC·EF=AB·DF
例4：如图（6）、△ABC中，∠B=45°，AD⊥BC，∠BDE=∠DAC，求证：AE︰BE=AD︰DC。

分析：过B作BF∥AD交DE延长线于F，则有AE︰BE=AD︰BF，下面只需证BF=DC即可。

也过B作BH∥DE交AD于H，则有AE︰BE=AD︰DH，再证DH=DC。

通过以上例子可知，利用平行线分线段成比例定理及其推论作辅助线可达到以下目的：
1、得到相应的比例线段；
2、得到相应的相似三角形。

当需要解决相似三角形或比例线段以及与之相关的问题时，如需作辅助线，这是首选方法。