惯性定理与正定性
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 惯性定理与规范形
定理 3.10（惯性定理）用不同的可逆线性变换包括正交变换 化实二次型为标准形时，各标准形中正项个数相同（称为正惯 性指数,记为 p）; 负项个数也相同（称为负惯性指数，记为 q;q = r - p ）.
即，设有实二次型f xT Ax ,它的秩为r, 有两个可逆变换
x Cy 及 x Pz
I
(r )
nn
合同.
例2 二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 x22 2x32 4x1x3 是否正定?.
定理 3.12（Sylvester,顺序主子式判别法）
设A为n1 a11 a11 0,
2
a11 a21
a12 0, , a22
f
y12
y
2 p
y
2 p 1
y
2 r
1
p
1
1 r-p
yT
y.
1
0
n-r
0
I p 其中
Irp
也称为对称矩阵A在相合变换下的规范形.
Onr
例3.3 1和例3.3
2中实二次型 p
2, q
1，规范形为 12
2 2
2 3
.
例3.3 3中,
p 1, q 2. 规范形f
12
a11 a12 a1n
n
a21
a22
a2n
0.
an1 an2 ann
例3
t为何值时， f ( x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3
正定？
解
1 t 1
A t 1
2
1 2 5
1 1 0, 2 1t2 0 t 1
(1)定义法； (2)正惯性指数（特征值）判别法. (3)顺序主子式判别法；
本节要求：
1.了解惯性定理和规范形 2.掌握正定负定的定义与判别
书面作业: 153页 24(2)(3), 26(1）, 28, 30
Have a Merry Christmas and a Prosperous New year.
2 2
2 3
.
2. 定性分类
称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A正定，是指： x Rn , x 0, xT Ax 0.
称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A负定，是指：x Rn , x 0, xT Ax 0.
称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A半正定，是指： x Rn , xT Ax 0. 称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A半负定，是指： x Rn , xT Ax 0. 称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A不定，是指： x, y Rn , (xT Ax)( yT Ay) 0.
3
A
5 4t 4 5t 2
1 5t(t 4) 0 0 t 5
4. 5
0 t 4 时，f 正定.
5
四、小结 正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是正定 矩阵.
正定二次型（正定矩阵）的判别方法：
例1 设n阶实对称矩阵 A, B 都正定，证明：3A 5B 也正定 .
定理 3.11 xT Ax正定 p n 特征值全正 A与 I 合同
xT Ax负定 q n 特征值全负 A 与 I 合同.
xT Ax半正定
p
r
特征值全
0
A与
I (r) nn
合同
xT
Ax半负定
q
r
特征值全
0
A 与
使
f
k1
y12
k2
y
2 2
kr
y
2 r
ki 0 ,
及
f
1 z12
2
z
2 2
r
z
2 r
i 0,
则 k1 ,, k r 中正数的个数与 1 ,, r 中正数的个数相等.
定义 正的系数全为+1（先排），负的系数全为－1 （后排）
的标准形称为规范形.
根据惯性定理，实二次型的规范形是唯一的。
推 论：若xT Ax秩为r，正惯性指数为p，则其规范形为
定理 3.10（惯性定理）用不同的可逆线性变换包括正交变换 化实二次型为标准形时，各标准形中正项个数相同（称为正惯 性指数,记为 p）; 负项个数也相同（称为负惯性指数，记为 q;q = r - p ）.
即，设有实二次型f xT Ax ,它的秩为r, 有两个可逆变换
x Cy 及 x Pz
I
(r )
nn
合同.
例2 二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 x22 2x32 4x1x3 是否正定?.
定理 3.12（Sylvester,顺序主子式判别法）
设A为n1 a11 a11 0,
2
a11 a21
a12 0, , a22
f
y12
y
2 p
y
2 p 1
y
2 r
1
p
1
1 r-p
yT
y.
1
0
n-r
0
I p 其中
Irp
也称为对称矩阵A在相合变换下的规范形.
Onr
例3.3 1和例3.3
2中实二次型 p
2, q
1，规范形为 12
2 2
2 3
.
例3.3 3中,
p 1, q 2. 规范形f
12
a11 a12 a1n
n
a21
a22
a2n
0.
an1 an2 ann
例3
t为何值时， f ( x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3
正定？
解
1 t 1
A t 1
2
1 2 5
1 1 0, 2 1t2 0 t 1
(1)定义法； (2)正惯性指数（特征值）判别法. (3)顺序主子式判别法；
本节要求：
1.了解惯性定理和规范形 2.掌握正定负定的定义与判别
书面作业: 153页 24(2)(3), 26(1）, 28, 30
Have a Merry Christmas and a Prosperous New year.
2 2
2 3
.
2. 定性分类
称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A正定，是指： x Rn , x 0, xT Ax 0.
称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A负定，是指：x Rn , x 0, xT Ax 0.
称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A半正定，是指： x Rn , xT Ax 0. 称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A半负定，是指： x Rn , xT Ax 0. 称实二次型 xT Ax或实对称矩阵 A不定，是指： x, y Rn , (xT Ax)( yT Ay) 0.
3
A
5 4t 4 5t 2
1 5t(t 4) 0 0 t 5
4. 5
0 t 4 时，f 正定.
5
四、小结 正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是正定 矩阵.
正定二次型（正定矩阵）的判别方法：
例1 设n阶实对称矩阵 A, B 都正定，证明：3A 5B 也正定 .
定理 3.11 xT Ax正定 p n 特征值全正 A与 I 合同
xT Ax负定 q n 特征值全负 A 与 I 合同.
xT Ax半正定
p
r
特征值全
0
A与
I (r) nn
合同
xT
Ax半负定
q
r
特征值全
0
A 与
使
f
k1
y12
k2
y
2 2
kr
y
2 r
ki 0 ,
及
f
1 z12
2
z
2 2
r
z
2 r
i 0,
则 k1 ,, k r 中正数的个数与 1 ,, r 中正数的个数相等.
定义 正的系数全为+1（先排），负的系数全为－1 （后排）
的标准形称为规范形.
根据惯性定理，实二次型的规范形是唯一的。
推 论：若xT Ax秩为r，正惯性指数为p，则其规范形为