部编《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计

《5.4.1正弦函数、余弦函数的图象》教学设计
一、内容和内容解析
1、内容
正弦函数、余弦函数图象的画法。

2、内容解析
正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的研究思路，可以类比、对比指数函数、对数函数等展开研究：
绘制函数图象——观察图象、发现性质——证明性质.
首先是关于正弦函数的图象.绘制一个新函数图象的基本方法是描点法，如果能多描出一些点，那么就可以使绘制的图象更精确.但是正弦函数在[]π2,0内，如何实现绘制的精确度呢?这是先要解决的问题.
为此，先解决精准绘制某一个点T ()00sin ,x x ，[]π2,00∈x 的问题.此处关键是要理解横坐标的意义，其本质在于对三角函数定义的理解：根据正弦函数的定义可知，在单位圆中，点T 的横坐标0x 的本质是以OA 为始边，以OB 为终边的角，因此，弧长ACB =0x ，如图1所示、过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，则线段DB 的长即为0sin x ，于是对于任意一个横坐标0x ，其纵坐标可以用几何方法精准描出。

精准绘制一个点的问题解决之后，即可用相同的方法描出其他的点，进而描出正弦函数在一个周期内的图象，并通过平移描出正弦函数的图象。

这个过程充分体现了从特殊到一般的研究方法。

在此基础上，通过平移变换，画出余弦函数图象.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：正弦函数、余弦函数的图象的画法。

二、单元目标和目标解析
1.目标
（1)经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的“五点法”。

（2）经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想。

2.目标解析
达成上述目标的标志分别是：
（1）学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期[]π20，内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；能说出正弦函数图象的特点，并能用五点法绘制正弦
（2）学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的函数的图象.点清晰地解释图象的变换方式及原因；能用“五点法”绘制余弦函数的图象.
三、单元教学问题诊断分析
学生之前拥有丰富的绘制函数图象的经验，但是利用定义的几何意义绘制函数图象是第一次，因此在思维习惯上存在障碍。

教学时要给予充分的引导，特别强调要准确地绘制出函数的图象这一要求，让学生感受到这种做法的困难，然后从三角函数的定义上分析点的坐标的几何意义，让学生真正理解.
绘制函数任意一点的操作存在困难，为此，循序渐进地引导学生在区间[]π20，内取等分点，然后得到这些特殊点的坐标。

本节课的教学难点是：掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象。

四、教学支持条件分析
绘制正弦函数图象的关键是准确地绘制图象上的一个点，可以利用信息技术辅助完成.
后续让学生描出其他的点，并连线描出正弦函数在一个周期内的图象时，同样可以利用信息技术.
五、教学过程设计
(一）规划研究方案，形成研究思路
问题：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题?怎样研究?
追问：(1)研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的?
（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么?
（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗?选择哪一个区间即可?
师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案.
预设的答案如下.
研究的线路图：函数的定义一函数的图象一函数的性质.绘制一个新函数图象的基本方法是描点法，对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象，再画正弦函数R x x y ∈=,sin 的图象。

设计意图：规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习进程，形成整体观念.
（二）正弦函数的图象
问题：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[]π20，上任取一个值0x ，如何借助单位圆确定正弦函数值0sin x ，并画出点T
)sin ,(00x x ？ 追问（1）：根据正弦函数的定义思考，一个点的横坐标0x 在单位圆上表示哪个几何量?0sin x 的几何意义又是什么？
师生活动：教师引导学生，根据定义分析确定0x ，0sin x 对应的几何量。

追问(2)：根据上述分析，如何具体地作出点T )sin ,(00x x ?
师生活动：教师和学生讨论后，共同通过提前准备的工具尝试绘制这个点。

具体的操作：利用信息技术。

设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解，通过分析点的坐标的几何意义，准确描点。

问题：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，类比指数函数、对数函数图象的画法，接下来，如何画出函数 []π2,0,sin ∈=x x y 的图象？你能想到什么办法？
师生活动：学生给出设想，师生讨论后选择一种或者多种适合的方法实施。

生答：在区间[]π20，
内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接.
追问：取哪些点好操作些呢？
生答：为方便操作，可以在区间[]π20，内取等分点，
按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接。

师生活动：学生绘制函数图象。

教师借助信息技术，绘制函数图象。

设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷。

问题：根据函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象，你能想象正弦函数R x x y ∈=,sin 的图象吗?依据是什么?画出该函数的图象。

生答：根据公式一，可知函数[]0,)1(2,2,sin ≠∈+∈=k Z k k k x x y 且ππ的图象与[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象形状完全一致.因此将函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象不断向左、向右平移（每次移动π2个单位长度)，就可以得到正弦函数R x x y ∈=,sin 的图象。

师生活动：学生画图，教师给予指导。

教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。

设计意图：绘制函数R x x y ∈=,sin 的图象，并培养说理的习惯。

问题：如何画出函数图象的简图?
追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点?
师生活动：教师提出问题，引导学生观察正弦曲线，并说出他们的想法. 生答：观察正弦曲线，在函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象上，五个点()()()021-230120,0，，，，，，，，ππππ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛在确定图象形状时起关键作用.因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点法”.
设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法.
（三）余弦函数的图象
问题：如何画出余弦函数y=cos x 的图象?
师生活动：学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象.对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题.
追问(1)：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数.诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化.相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象?
师生活动：学生先用排除法观察诱导公式公式五：ααπ
απ
αsin )2cos(),2sin(cos =--=，公式六：
ααπ
ααπsin )2
cos(,cos )2sin(-=+=+选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，可以选择关系⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=2sin cos πx x .记f(x)=sin x ，则)2(cos π+=x f x . 追问：然后再怎样画图呢？
师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范.教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到图象之后还可以再利用图象进行验证.
教师示范：只要将函数y=sin x 图象上的点向左平移
2
π个单位即可得到函数y=cos x 的图象。

教师指出，余弦函数R x x y ∈=,cos 的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”的曲线。

设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象得到余弦函数的图象，增强对两函数图象之间的联系性的认识。

问题：类似于用“五点法”作正弦函数的图象，如何余弦函数的简图呢？ 追问：余弦函数在[]ππ，-上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出[]ππ，-,cos ∈=x x y 的简图。

（四）例题
先用“五点法”画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下
列函数的图象：（1）
[]π2,0
,
sin
1∈
+
=x
x
y（2）[]π2,0
,
cos∈
-
=x
x
y
师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答。

设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能。

通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫。

（五）课堂小结
1.我们如何作出正弦函数和余弦函数的图象的？
2.作正弦函数和余弦函数的简图用的什么方法？
3.作函数的图象有些什么方法？
（六）课后作业
教科书第200页第1题、第2题
六、板书设计。