天津市2019年中考数学试题研究二次函数综合题题库

二次函数综合题
1.已知抛物线 C：y＝ ax2＋ bx＋c 与 x 轴交于 A、B( A 在 B 的左边)两点，与 y 轴交于点 D(0，3)，且极点为 E(1，4).
( Ⅰ) 求抛物线C的分析式；
( Ⅱ) 将抛物线
C 经过某种平移后获得抛物线′，极点变成′(1 ，
k
)(
k
＜4) ，设平移后
D
C E
的对应点为D′，且 OD′＝2.
①求抛物线C′的分析式；
②点 Q在抛物线 C′的对称轴上，若AD′＝ AQ，求点 Q的坐标.解： ( Ⅰ) 设抛物线C的分析式为y＝ a( x－1)2＋4，
代入 D(0，3)，得 a＋4＝3，解得 a＝－1，
∴抛物线 C的分析式为y＝－( x－1)2＋4，即 y＝－ x2＋2x＋3；( Ⅱ) ①∵E(1 ， 4) ，E′(1 ，k)( k＜ 4) ，
∴抛物线向下平移了(4 －k) 个单位长度，
∴D′(0，3－4＋ k)，即 D′(0,k－1)，
∵OD′＝2，
∴| k－1| ＝2，解得k＝3或k=－1，
∴抛物线 C′的分析式为y＝－( x－1)2＋3或 y＝－( x－1)2－1，
即 y＝－ x2＋2x＋2或 y＝－ x2＋2x－2；
②∵ OD′＝2，
∴D′(0，2)或 D′(0，－2)．
令 y＝0，则有－ x2＋2x＋3＝0，
解得 x＝－1或 x＝3，
∴点 A的坐标为(－1，0)．
设点 Q坐标为(1， m)．
∵AD′2＝(0+1)2＋(±2－0)2＝5，
2222
AQ＝(－1－1)＋(0－ m)＝ m＋4，
2
∴m＋4＝5，解得 m＝±1.
∴Q点坐标为(1，1)或(1，－1)．
2.已知二次函数y＝ x2＋ bx＋ c 与 x 轴交于 A、 B两点．
( Ⅰ) 若 A ( － 2， 0) ，B (3 ， 0) ，求二次函数的分析式；
2
( Ⅱ) 若 b ＝－ (3 m － 1) ， c ＝ 2m －2m ( 此中 m ＞－ 1) ．
1
1
①二次函数与 x 轴交于 A ( x 1，0) ，B ( x 2，0)( x 1＜x 2) 两点，且－ 1≤ 2x 1－ 3x 2≤1，试求 m 的取值范围；
②当 1≤ x ≤3时，二次函数的最小值是－ 1，求 m 的值． 解：( Ⅰ) 把 ( － 2，0) ， (3 ，0) 代入
y ＝
x 2
＋
bx ＋
c ，
A
B
4－ 2b ＋ c ＝ 0
b ＝－ 1
得
，解得
c ，
9＋3 ＋
＝ 0
＝－ 6
b c
∴二次函数的分析式为 y ＝ x 2－ x － 6；
2
2
( Ⅱ) ①令 y ＝ 0，则 x －(3 m － 1) x ＋ 2m － 2m ＝ 0，
2
2
2
2
，
b －4a
c ＝ (3 m － 1) －4×(2 m － 2m ) ＝ ( m +1) 3
－1－ （ ＋1）2
1
m
m
＝ m － 1，
∴x ＝
2
3m － 1＋ （ m ＋ 1） 2 x 2＝ 2 ＝ 2m ，
1
1
∵－ 1≤ 2x 1 －3x 2≤1，
m －1 2m
∴－1≤
2
－ 3 ≤1，
整理得－ 9≤ m ≤3，
∵m ＞－ 1，
∴－ 1＜ ≤3；
m
3 － 1
②若对称轴 x ＝
m
≤1，当 x ＝ 1 时，二次函数有最小值－
1，此时－ 1＜ m ≤1，
2
代入 (1 ，－ 1) 得： 1－ (3 －1) ＋2 2－ 2 ＝－ 1，
m m
m
化简得 2 2－5 ＋3＝0，
m
m
3
解得 m ＝ 1 或 m ＝ 2( 舍去 ) ；
3 － 1
7
m
1，此时 m ≥3，
若对称轴 x ＝
2
≥3，当 x ＝3 时，二次函数有最小值－
代入 (3 ，－ 1) 得： 9－ 3(3 m －1) ＋ 2
2m － 2m ＝－ 1， 化简得 2 2－ 11 ＋ 13＝0，
m
m
11＋ 17
11－ 17
解得 m ＝
4
或 m ＝
(舍去)；
4
若对称轴 1＜3m－1
＜ 3，当
x
＝
3m－1
时，二次函数有最小值－1，此时 1＜＜
7
，22m 3
3m－ 1
代入 (，－1)，
2
（ 3m－ 1） 2 （ 3m－1） 22
得－＋ 2m－ 2m＝－ 1，42
2
化简得 m＋2m－3＝0，
解得 m＝1或 m＝－3，(均舍去)
综上所述，
11＋17
的值为或 1.
m
4
3. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，该抛物线与x 轴的两个交点分别为点A和 B，与 y 轴的交点为 C(0，－3)，此中 A(－1，0)．
( Ⅰ) 求点B的坐标；
( Ⅱ) 若抛物线上存在一点P，使得△ POC的面积是△ BOC的面积的2倍，求点 P 的坐标；
( Ⅲ) 点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值．解： ( Ⅰ) ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝ 1，A( － 1， 0) ，
∴点 B 的坐标为(3，0)；
( Ⅱ) 将点 A（-1， 0）、 B（ 3，0）、 C（ 0， -3 ）代入抛物线
y ＝
ax
2＋＋
c
中，
bx
a －＋＝0
a
＝1 b c
得 9a＋ 3b＋c＝ 0，解得b＝－2，
c＝－3c＝－3
∴抛物线的分析式为y＝ x2－2x－3，
19
∴△ BOC＝×3×3＝
S
2
2
∴S△POC＝2S△BOC＝9.
1
设点 P 的横坐标为xP，则×3×|x p|＝9，解得x P＝± 6.
2
∴点 P 的坐标为(6，21)或(－6，45)；
( Ⅲ) ∵点B(3 ， 0) ，C(0 ，－ 3) ，
∴直线 BC的分析式为 y＝ x－3.
设点 M( a，a－3)，则点 D( a，a2－2a－3)．
22329∴MD＝ a－3－( a－ 2a－3) ＝－a＋ 3a＝－ ( a－2)＋4，39
∴当＝时，线段长的最大值为 .
MD
24
4. 抛物线 y ＝ 1
x 2＋ bx ＋c ( b ，c 为常数 ) 与 y 轴订交于点 C ，经过点 C 作直线 CD ∥ x 轴，交抛
2
物线于点 D ，将直线 CD 向上平移 t 个单位长度，交抛物线于点
A 、
B ( A 在 B 的左边 ) ，直线
AB 与抛物线的对称轴交于点
E .
( Ⅰ) 当 b ＝－ 2， c ＝1 时，求抛物线极点 P 的坐标；
(Ⅱ)若∠
＝90°，求
t 的值；
ACB
( Ⅲ) 在( Ⅱ) 的条件下，当以点
， ， ，
E 为极点的四边形为平行四边形时，求
b 的值．
A C D
1
2
1
2
解： ( Ⅰ) 当 b ＝－ 2， c ＝ 1 时， y ＝ 2x － 2x ＋ 1＝ 2( x － 2) － 1，
∴抛物线的极点 P 的坐标为 (2 ，－ 1) ；
( Ⅱ) 如解图，连结 AC ， BC ， CE ，
∵∠ ACB ＝90°， AE ＝ EB ，
1
∴CE ＝ 2AB ，
由1
x 2＋ bx ＋ c ＝ c ＋ t ，解得 x ＝－ b ± b 2＋ 2t ，
2
2
2
∴A ( － b － b ＋ 2t ，c ＋ t ) ， B ( － b ＋ b ＋ 2t ， c ＋ t ) ，
∵E ( － b ， c ＋ t ) ， C (0 ， c ) ，
∴CE ＝ b 2＋ t 2.
∴ b 2＋ t 2＝ b 2＋ 2t .
解得 t ＝ 2 或 t ＝ 0( 舍去 ) ，
∴t ＝ 2；
第 4题解图
( Ⅲ) 由题意得 CD ＝ AE ，
∵A ( － b － b 2＋ 2t ，c ＋ t ) ， E ( － b ， c ＋t ) ，且点 A 在点 E 的左边，
∴AE ＝ b 2 ＋2t .
∵C (0 ， c ) ， D ( － 2b ， c ) ，
∴CD ＝ | － 2b | ，
∴ b 2＋ 2t ＝| － 2b | ，∴3b 2＝ 2t ，
∵t ＝ 2，
∴ 2 3
b ＝±.
3
5. 已知抛物线
y ＝ 2
＋ bx ＋(≠0) 经过点 (1 ，－ 4 ) ，(4，5 ) ．
ax c a
a a
( Ⅰ) 证明：抛物线与 x 轴有两个不一样的交点；
( Ⅱ) 设抛物线与 x 轴交于点 A ，B ，与 y 轴交于点 C ，若∠ ACB ＝90°，求 a 的值； ( Ⅲ) 若点 D 和点 E 的坐标分别为 (0 ，4) ， (4 ，4) ．抛物线与线段 DE 恰有一个公共点，求 a
的取值范围．
( Ⅰ) 证明：把点 (1 ，－ 4a ) ，(4 ， 5a ) 代入 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，
得
a ＋
b ＋
c ＝－ 4a
b ＝－ 2a ，
16a ＋ 4b ＋ c ＝ 5a ，解得
c ＝－ 3a
∴抛物线的分析式为
y ＝ ax 2－ 2ax － 3a ，
∵ b 2- 4ac ＝ ( －2a )2 － 4a ·( － 3a ) ＝ 4a 2＋ 12a 2＝ 16a 2>0， ∴抛物线与 x 轴有两个不一样的交点；
( Ⅱ) 解：令 ax 2－ 2ax －3a ＝ 0，解得 x 1＝－ 1， x 2＝ 3，
∴设 A ， B 两点的坐标分别为
( －1，0)，B (3 ，0)，
令 x ＝ 0，则 y ＝－ 3a ，∴点 C 的坐标为 (0 ，－ 3a ) ，
2 2 2
∵∠ ACB ＝90°，∴ AC ＋ BC ＝ AB ，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
－ ( －1)] 2
∵AC ＝ ( － 1) ＋( － 3a ) ＝1＋ 9 a ， BC ＝3 ＋ ( － 3a ) ＝9＋ 9a ， AB ＝[3 ＝ 16，
2
2
3
∴1＋ 9a ＋ 9＋9a ＝ 16，解得 a ＝± 3 .
∴a 的值为± 3 3 ；
( Ⅲ) 解：∵由 ( Ⅱ) 知，抛物线与 x 轴的交点为 ( － 1， 0) ， (3 ， 0) ， ∴抛物线对于直线 x ＝ 1 对称，
∵ a 的正负不确立，需分类议论；当 a ＞ 0 时，如解图①，
∵抛物线与线段DE恰有一个公共点，
4
∴－ 3a＜ 4，解得a＞－3，
将 x＝4代入抛物线分析式得y＝5a，
4
∴5a≥4，解得 a≥，
5
∴a≥4，5
当 a＜0时，如解图②，
将 x＝0代入抛物线分析式得y＝－3a，
∵抛物线与线段DE恰有一个公共点，
4
∴－ 3a＞ 4，解得a＜－，
将 x＝4代入抛物线分析式得y＝5a，
4
∴5a≤4，解得 a≤，
4
∴a<－3；
当抛物线的极点在线段DE上时，则极点为(1 ，4) ，如解图③，
将点 (1 ， 4) 代入抛物线得4＝a－ 2a－ 3a，
解得 a＝－1.
44
综上所述， a≥或 a＜－或a＝－ 1.
53
第 5题解图
6.已知抛物线 y＝ ax2＋bx＋ c 经过 A(0，2)， B(2，－2)两点．
( Ⅰ) 求a，b知足的关系式；
1
( Ⅱ) 当a＝－2时，y值为正整数，求知足条件的x 值；
( Ⅲ) 若a＞0，线段AB下方的抛物线上有一点D，求△ DAB的面积最大时，D点的横坐标．解： ( Ⅰ) 将A(0 ， 2) ，B(2 ，－ 2) 代入抛物线y ax2 bx c
c＝2
得，
4a＋ 2b＋c＝－ 2
∴4a＋2b＋2＝－2，
整理得 2a＋b＝－ 2，
即 a， b 知足的关系式为2a＋b＝－ 2；
( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知，c＝ 2，b＝－ 2a－ 2，
1
∵a＝－2，∴ b＝－1，
12125
，
∴抛物线分析式为 y＝－2x － x＋2＝－2( x＋1)＋2
∵y 值为正数，
125
∴－2( x＋ 1) ＋2＞ 0，
∴(x＋1)2－5＜0，
∴－ 5 －1＜x＜5－ 1，
∵y 值为整数，
15
即－2( x＋ 1)2 ＋2为整数，
∴(x＋1)2是奇数，
综上所述，知足条件的x 值为－2或0；
( Ⅲ) 由( Ⅰ) 知，c＝ 2，b＝－ 2a－ 2，
∴抛物线的分析式为y＝ ax2－(2 a＋2) x＋2，
∵A(0，2)， B(2，－2)，
∴直线 AB的分析式为y＝－2x＋2，
∵点 D在线段 AB下方的抛物线上，
2
设点 D（ m， am－(2 a＋2) m＋2），
如解图，过点D作 y 轴的平行线DE交 AB于点 E，
∴E( m，－2m＋2)，
∴DE＝－2m＋2－[ am2－(2 a＋2) m＋2]＝－ a( m－1)2＋ a，1
∴S△ DAB＝2DE·(xB－ xA)＝－ a( m－1)2＋ a，
∵a＞0，∴－
a＜0，
∴当 m＝1时，△ DAB的面积最大，此时D点的横坐标为 1.
第6题解图
7. 一次函数＝3的图象与二次函数
y ＝
ax
2－ 4＋
c
的图象交于、
B
两点 ( 此中点
A
在
y4x
ax A
点 B 的左边)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.
( Ⅰ) 求点C的坐标；
(II)设二次函数图象的极点为D.
①若点 D与点 C对于 x 轴对称，且△ ACD的面积等于3，求此二次函数的分析式；
②若 CD＝ AC，且△ ACD的面积等于10，求此二次函数的分析式．
解： ( Ⅰ) ∵y＝ax2－ 4ax＋c＝a( x－ 2) 2－ 4a＋c，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2.
3 3
当 x＝2时， y＝4x＝2，
3
∴C(2，2)；
( Ⅱ) ①∵点D与点C对于x轴对称，
3
∴D(2，－2)，∴ CD＝3.
31
设 A( m，4m) ( m<2)，由 S△ACD＝3，得2×3×(2－ m)＝3，
解得 m＝0，∴ A(0，0).
将 (0，0)、(2 ，－3) 代入
y ＝
ax
2－4 ＋
c
中，
A D2ax
c＝0
3 ，解得a3
得8 .
－ 4a＋c＝－2c0
323∴此二次函数的分析式为y＝8x －2x；
3
②设 A( m，4m)( m<2)，如解图，过点A作 AE⊥ CD于E，
第 7题解图
则 AE ＝ 2－m ， CE ＝3－ 3
m ，
2 4
∴＝
2
2
2
3 3
2
5
＋ ＝
(2－ ) ＋(
－
)＝(2－)，
AC AE
CE
m 2 4
m
4
m
5
∵CD ＝ AC ，∴ CD ＝ 4(2 － m ).
△ ACD
1 5
2
＝ 10，解得 m ＝－ 2 或 m ＝6( 舍去 ) ，∴ m ＝－ 2.
由S ＝10 得 2× 4(2 － m ) 3
∴A ( － 2，－ ) ， CD ＝5.
2
7 若 a ＞ 0，则点 D 在点 C 下方，∴ D (2 ，－ ) ，
2
3
3
7
) 得 12a ＋ c ＝－ 2 由 A ( －2，－ ) 、D (2，－ 2，
2 7
－ 4a ＋ c ＝－ 2
1 解得
a ＝
8 ，
c ＝－ 3
2
1
∴ y ＝ 8x － 2x － 3.1
13
若 a ＜ 0，则点 D 在点 C 上方，∴ D (2 ，
2 ) ，
12a ＋c ＝－ 3
3
13
2
由 A ( －2，－2) 、D (2， 2 ) 得
13 ，
－ 4a ＋ c ＝
2
1
a ＝－ 2
解得
，
9
c ＝ 2
∴ y ＝－ 1
x 2
＋2x ＋ 9
.
9
综上，二次函数的分析式为
y ＝
1
2－1－ 3 或
y
＝－
1
2＋2 ＋
9
.
8
x
2
x
2
x
x2
8. 已知二次函数
22
y＝ x＋ (2 m－ 2) x＋m－ 2m－ 3( m是常数 ) 的图象与x轴交于A，B两点 ( 点A
在点 B的左边)．
( Ⅰ) 假如二次函数的图象经过原点．
①求 m的值；
②若 m＜0，点 C是一次函数y＝－ x＋ b( b＞0)图象上的一点，且∠ACB＝90°，求 b 的取值范围；
( Ⅱ) 当－ 3≤x≤2时，函数的最大值为5，求m的值．
解： ( Ⅰ) ①∵二次函数的图象经过原点，
2
∴m－2m－3＝0，
解得 m1＝－1， m2＝3.
②∵ m＜0，
∴m＝－1.
把 m＝－1代入 y＝ x2＋(2 m－2) x＋m2－2m－3中，得： y＝ x2－
4x，当 y＝ x2－4x＝0时，解得 x1＝0， x2＝4，
∴AB＝4.
以 AB为直径作⊙ P，依据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数y＝－ x＋ b( b＞0)的图象与圆订交时，可得∠ACB＝90°.
如解图，一次函数 y＝－ x＋b( b＞0)的图象与⊙ P 相切于点 C，与 y 轴交于点 E，与 x 轴交于点 F，连结 PC，易得∠ PCF＝90°.
第 8题解图
当 x＝0时， y＝－ x＋ b＝ b，
∴点 E(0，b).
∴当 y＝－ x＋ b＝0时， x＝ b，
∴点 F( b，0)，
∴AE＝ AF＝b，
又∵∠ PCF＝90°，
∴△ PCF为等腰直角三角形，
∴PF＝2PC＝ 2 2，
∴b＝ AF＝2＋22，
∴b 的取值范围为0＜b≤2＋ 2 2；
22
( Ⅱ) ∵y＝x＋(2 m－ 2) x＋m－ 2m－ 3＝(x＋m－ 1) 2－ 4，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1－ m，
①当 1－≤-3+2
，即≥1.5 时，依据二次函数的对称性及增减性，当x＝ 2 时，函数最大
m m
2
值为 5，
∴(2 ＋m－ 1) 2－ 4＝ 5，
解得： m＝2或 m＝－4(舍去)；
②当1－＞-3+2，即＜ 1.5时，依据二次函数的对称性及增减性，当
x ＝－ 3 时，函数最
m2m
大值为 5，
∴(－ 3＋m－ 1) 2－ 4＝ 5，
解得： m＝1或 m＝7(舍
去)．综上所述， m＝2或 m
＝1.
9.已知抛物线 y＝ a( x－ h)2－2( a，h 是常数， a≠0)，与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，点 M为抛物线的极点．
( Ⅰ) 若点A( － 1， 0) ，B(5 ， 0) ，求抛物线的分析式；
( Ⅱ) 若点A( － 1， 0) ，且△ABM是直角三角形，求抛物线的分析式；
( Ⅲ) 若抛物线与直线y＝ x－6订交于 M、 D两点，当 CD∥x 轴时，求抛物线的分析式．
解： ( Ⅰ) ∵抛物线与x 轴交于点 A(－1，0)， B(5，0)，
∴5－h＝h－ ( － 1) ，
∴h＝2.
把 A(－1，0)代入 y＝ a( x－2)2－2，有 a(－1－2)2－2＝0，
2
解得 a＝9，
11
2 2
∴抛物线的分析式为
y ＝ ( x －2) － 2；
9
( Ⅱ) ∵抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点，极点 M 在直线 y ＝－ 2 上，如解图①.
∴a ＞ 0.
2
2
由 a ( x － h ) －2＝ 0，得 x ＝ h ± a .
2
2
2
∴|AB | ＝ ( h ＋
a ) － ( h － a ) ＝ 2
a .
设对称轴 x ＝ h 交 x 轴于点 H ，则 MH ＝ 2.
∵△ ABM 是等腰直角三角形，
∴AB ＝ 2MH ，
2
1
∴2
a ＝4，解得 a ＝ 2，
把 A ( － 1，0) 代入 y ＝ 1
( x － h ) 2 －2，
2 得1
( － 1－ h ) 2－ 2＝ 0，
2
解得1
＝1， 2＝－ 3，
h
h
1
2
1
2
∴抛物线的分析式为 y ＝ 2( x －1) － 2 或 y ＝ 2( x ＋ 3) － 2；
第 9 题解图①
( Ⅲ) 如解图②，∵点 M ( h ，－ 2) 在直线 y ＝ x － 6 上，
∴－ 2＝ h －6，解得 h ＝ 4.
∴ y ＝ a ( x －4) 2－ 2＝ ax 2 －8ax ＋ 16a － 2， ∴C (0 ， 16a － 2) ，
由 x － 6＝ ax 2－ 8ax ＋ 16a － 2，即 ax 2－ (8 a ＋ 1) x ＋ 16a ＋ 4＝ 0.
解得 x ＝ 8a ＋1＋ 1 1 8a
2a
＝ 4＋a ， x ＝
2a ＝ 4，
1 2
1
1
把 x ＝ 4＋a 代入 y ＝ x － 6，得 y ＝a － 2，
1 1
∴D (4
a a
2)
∵CD ∥ x 轴
∴点 C 与点 D 对于直线 x
h 4 对称
1
∴ 16a 2 a 2
∴ a ± 1
4 ∵当 a
1 点 C 与点 D 重合
4时
不合题意 故 去
1
∴a
4
1
2
∴抛物线的分析式为 y
4( x 4)
2.
第 9题解图
10. 已知抛物线 y x 2 bx c 与直线 y kx m 交于 A (1 3) B (4 0) 两点 点 P 是抛物
线上 A
B 之间 ( 不与点 A
B 重合 ) 的一个动点 过点 P 分别作 x 轴 y 轴的平行线与直线 AB
交于点 C
D .
( ) 求抛物线与直线
AB 的分析式
( ) 当点 C 为线段 AB 的中点时 求 PC 的长
(
) 设点 E 的坐标为 ( s
t ) 以点 P C D E 为极点的四边形为矩形时
用含有
t 的式子
表示 s 并求出 s 的取值范围
解
( ) ∵点
(1
3)
(4 0) 在抛物线上
A
B
∴
1 b c 3
b 4
16 4
b c 0 解得
c ∴抛物线的分析式为 y
x 2 4x .
∵点 A (1 3)
B (4 0) 在直线 y kx m 上
k＋ m＝3k＝－1∴，解得，4k＋m＝ 0m＝4
∴直线的分析式为
y ＝－
x
＋ 4；
AB
5323 ( Ⅱ) 依据题意，点C的坐标为(2，2)，且 PC∥ x 轴，∴－ x ＋4x＝2，1010
解得 x＝2－2(舍去)或 x＝2＋2，
10
即点 P 的横坐标为 x＝2＋2，
第 10 题解图
10510－1
∴PC＝2＋2－2＝2；
2
( Ⅲ) 设点P的坐标为 ( x0，y0) ，则y0＝－x0＋ 4x0.
依据题意，以点P，C， D， E 为极点的四边形为矩形．
如解图，又∵ E( s， t )，∴ C( s， y0)， D( x0， t )，
∵点 C、 D在直线 y＝－ x＋4上，
∴y0＝－ s＋4， t ＝－ x0＋4，即 x0＝4－ t ，
∵点 P( x0， y0)在抛物线 y＝－ x2＋4x 上，
∴－ s＋4＝－(4－ t )2＋4(4－ t )，
∴s＝ t 2－4t ＋4.
又∵ P是抛物线上A、 B 之间的一个动点，
∴1<x0<4，即 1<4－t <4，
∴0<t <3，
∵s＝ t 2－4t ＋4的对称轴为直线t ＝2.
当 0<t <2 时，s随t的增大而减小，当2<t <3 时，s随t的增大而增大．又∵当 t ＝2时， s＝0；当 t ＝0时， s＝4，
∴s 的取值范围是0≤s<4.。