教学设计：二元一次不等式

《二元一次不等式（组）与平面区域》教学设计 教学目标：1. 理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判断方法
2. 能作出二元一次不等式（组）表示的平面区域
教学重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域
教学难点：一次不等式（组）表示的平面区域
教学方法：引导、探究、归纳
教学过程：
一、 预备知识
回顾：一次函数的图象是什么？画出函数的x y -=8图象。

学生：利用特殊点（0,8），（8,0）两点确定一条直线画出图象。

引导：为了更快找到特殊点，函数x y -=8可变形为方程08=-+y x 疑问：直线上的点都满足方程08=-+y x ？
满足方程的点),(y x 都在这条直线上？
归纳：方程08=-+y x 表示一条直线，直线把平面分为了三个部分。

满足方程的点都在直线上，满足不等于0的点在直线以外，即是在直线两边的区域。

追问：方程0123=+-y x 在直角坐标系中表示什么？
方程020=-+y x 在直角坐标系中表示什么？
方程02=-x 在直角坐标系中表示什么？
这四个例子有什么共同特点？
[归纳结论]：二元一次方程)0,(0不同时等于B A C By Ax =++在直角坐标系中表示一条直线。

二、建立模型
问题：为了按期完成“鸟巢”工程的建设，根据发改委要求，工程每天至少需要浇铸60根钢柱。

已知负责生产的首钢、鞍钢分别只有4个和6个车间有能力浇铸此型钢柱，但其中至多只有8个车间可同时投入生产。

首钢和鞍钢每个车间每天分别能完成10根和8根钢柱的浇铸。

问两厂每天最多能浇铸多少钢柱？最少需要多少个车间？
学生：按照缺少了“至多、至少”四个字的题意列出关系式（找一个学生在黑板上写出来）
解：设首钢有x 个车间投入生产，鞍钢有y 个车间投入生产，根据题意， ⎩⎨⎧=+=+60
8108y x y x
[师生共同分析] 代数意义：满足等式的x 和y 构成有序实数对),(y x 就是方
程组的解。

有序实数对),(y x 的几何意义：两条直线的交点。

学生：再按照原题意列出关系式。

),(6
04
0608108N y x y x y x y x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+≤+ [得出课题]: 二元一次不等式（组）
[疑问]：二元一次不等式（组）的解集是什么？
引导：刚才我们知道08=-+y x 表示直线，直线上的点也都满足08=-+y x ，满足08≠-+y x 呢？仍然是一些点，这些点在哪里呢？
[演示]: 几何画板展示直线08=-+y x 把直角坐标平面系分为三部分。

三、探究二元一次不等式表示的平面区域
问题：满足二元一次不等式08>-+y x 的点在右上区域？左下区域？还是两侧都有？
围绕这个问题，师生开展如下活动
学生活动1： 由数到形
[尝试一] 设点),(1y x A 是直线08=-+y x 上的点，选取点),(2y x P 使它的坐标满足08>-+y x ，填写下表：
[尝试二] 学生再给出几个满足不等式08>-+y x 点，几何画板展示
还是在直线08=-+y x 的右侧。

[猜想] 满足不等式08>-+y x 的点都在直线08=-+y x 的右侧。

追问：满足不等式08<-+y x 的点呢？ 08≤-+y x 呢？
[疑问]: 这是我们猜想出来的，一定正确吗？反过来，右侧的点都满足08>-+y x ？会不会在右侧存在一些点使得08≤-+y x 吗？
活动二：由形到数
[演示] 借几何画板在直线08=-+y x 的一侧任意取一点),(y x P 的坐标进行跟踪显示，并将点),(y x A 的坐标代入8-+y x 中计算，观察所得值的符号，并归纳发现在直线08=-+y x 的同一侧的点都满足不等式)0(08<>-+或y x 。

使二元一次不等式的解与平面区域的对应关系的理论体系更加完备。

[共同证明] 如何完成从特殊到一般的证明？分析：在直线08=-+y x 的右上方任取一点),(P P y x P ,为了与直线08=-+y x 上的点),(A A y x A 发生联系，不妨过P 点作与x 轴垂直的直线交直线08=-+y x 于点。

则有A P A P y y x x >=,，所以088=-+>-+A A P P y x y x 。

所以对于在直线08=-+y x 右侧的任一点),(y x P 都有 08>-+y x 。

同理可证，在直线08=-+y x 的左下方任一点都能使08<-+y x 成立。

[师生归纳]直线0=++c By Ax 同一侧的所有点),(y x ，把它的坐标),(y x 代入C By Ax ++，所得到实数的符号都相同（要么都大于0要么都小于0），即是“同侧同号”。

那么，在平面直角坐标系中，不等式)0(0<>++或c By Ax 表示直线0=++c By Ax 某一侧所有点组成的平面区域，0=++c By Ax 表示直线上的点，)0(0≤≥++或c By Ax 表示某一侧及其边界。

提醒注意：我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．
追问：如何判断是哪一侧呢？
四、例题和练习
例 例1．画出不等式 062>+-y x 表示的平面区域。

（将具体的知识形成方法和技能，讨论定域方法和画图的注意事项。

） 总结：① 先画出直线；② 取特殊点判断符号，确定区域。

练习（一）画出以下不等式表示的平面区域
① 012810<-+y x ② y x 2<
总结：直线过不过原点，取原点判断区域；直线过原点，取其他点判断区域。

练习（二）画出以下不等式组表示得平面区域
⎩⎨⎧<<-+y
x y x 2060810 例2. 绘制由“鸟巢”问题得出的不等式组表示的区域并解答。

问题解答如图：有六种投入的生产方案，它们分别是（2，5），（2，6），（3，4），（3，5）（4，3），（4，4）计算可得，最多可浇铸72根钢柱，最少要用7个车间。

五、小结
（1）如何作出一元二次不等式（组）表示平面区域？
（2）本节课渗透了什么样的数学思想方法？
小结内容：认识了二元一次不等式（组）与其平面区域的对应关系，体会到了数形结合思想的应用。

六、布置作业：
1.课本P106习题3.3A 组1、2，B 组1。

2.拓展与提高：B 组2
教学反思：在先讲《必修5》后讲《必修2》的情况下，学生要理解二元一次不等式（组）表示平面区域，应先补充: 二元一次方程)0,(0不同时等于B A C By Ax =++表示直线，于是本节课要保证教学的完整性时间非常紧张。