同步高中数学人教版必修二课时作业25 点到直线的距离、两平行线间的距离

课时作业25 点到直线的距离、两平行线间的距
离
基础巩固
1．已知两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )
A ．4
B.21313
C.51326
D.71020
解析：∵直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，
∴63＝m 1≠1－3
，解得m ＝2. ∴两条直线方程分别为3x ＋y －3＝0与6x ＋2y ＋1＝0，
即6x ＋2y －6＝0与6x ＋2y ＋1＝0.
∴两条直线之间的距离为d ＝|－6－1|62＋2
2＝71020. 答案：D
2．已知点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( )
A ．(8，0)
B ．(－12，0)
C ．(8，0)或(－12，0)
D ．(0，0) 解析：设P (a ，0)，则|3a ＋6|32＋4
2＝6， 解得a ＝8或a ＝－12，
故点P 的坐标为(8，0)或(－12，0)．
答案：C
3．已知P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )
A.95
B.185 C ．3
D ．6 解析：|PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．
由平行线间的距离公式得d ＝|6＋24|62＋8
2＝3. 答案：C
4．过点(1，2)，且与原点距离最大的直线方程为( )
A ．x ＋2y －5＝0
B ．2x ＋y －4＝0
C ．x ＋3y －7＝0
D ．3x ＋y －5＝0
解析：由已知得，所求直线过(1，2)，
且垂直于(0，0)与(1，2)两点的连线，
∴所求直线的斜率k ＝－12，
∴y －2＝－12(x －1)，
即x ＋2y －5＝0.
答案：A
5．若倾斜角为45°的直线m 被直线l 1：x ＋y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0所截得的线段为AB ，则AB 的长为( )
A ．1
B. 2
C. 3 D ．2
解析：由题意，可得直线m 与直线l 1，l 2垂直，则由两平行线间
的距离公式，得|AB |＝|－1＋3|12＋1
2＝ 2.
答案：B
能力提升
1．经过直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点间的距离为1的直线的条数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －10＝0，3x －y ＝0，可解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，故直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点坐标为(1，3)，且过该点的直线与原点的距离为
1.分类讨论：
若直线的斜率不存在，则直线方程为x ＝1，满足题意；
若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y －3＝k (x －1)，整
理得kx －y ＋3－k ＝0，因其到原点的距离为1，则有|3－k |1＋k 2
＝1，即9－6k ＝1，解得k ＝43，
所以所求直线方程为y －3＝43(x －1)．
综上，满足条件的直线有2条．
答案：C
2．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为
( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：设所求点为(x ，y )，则根据题意有
⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋3y －21＝0，|x |＝|y |，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2110，y ＝2110，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝214，
y ＝－214，
所以所求点的个数为2.
答案：B
3．若实数x ，y 满足关系式x ＋y ＋1＝0，则式子S ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2的最小值为( )
A ．2 2 B. 2 C.322 D.22
解析：解法1：因为x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2，所以上式可看成是一个动点M (x ，y )到一个定点N (1，1)的距离．即为点N 与直线l ：x ＋y ＋1＝0上任意一点M (x ，y )的距离．所以S ＝|MN |的最
小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝d ＝|1＋1＋1|2
＝322. 解法2：因为x ＋y ＋1＝0，所以y ＝－x －1，
所以S ＝x 2＋（－x －1）2－2x －2（－x －1）＋2
＝2x 2＋2x ＋5＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122＋92， 所以x ＝－12时，S min ＝
92＝32
2.故选C. 答案：C
4．到直线3x －4y －11＝0的距离为2的直线方程为( )
A ．3x －4y －1＝0
B ．3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0
C ．3x －4y ＋1＝0
D ．3x －4y －21＝0
解析：由点到直线的距离公式得：|3x －4y －11|32＋（－4）2
＝2，化简得3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0.
答案：B
5．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )
A ．3x －y －13＝0
B ．3x －y ＋13＝0
C ．3x ＋y －13＝0
D ．3x ＋y ＋13＝0
解析：由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，
∵k AB ＝2－4－3－3＝13
，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.
答案：C
6．两平行线分别过点A (3，0)和B (0，4)，则它们之间的距离d 满足的条件是( )
A ．0<d <3
B ．0<d <4
C ．3≤d ≤5
D ．0<d ≤5 解析：如图1，0<d ≤5.
图1
答案：D
7．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且P 到原点的距离与P 到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，则点P 坐标是________．
解析：∵点P 在直线x ＋3y ＝0上，
∴设点P (－3t ，t )，由已知得：
（－3t ）2＋t 2＝|－3t ＋3t －2|12＋32 即10|t |＝210
， 解得t ＝15或t ＝－15.
∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15或⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，－15. 答案：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15或⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，－15 8．已知直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4，
5)到l 的距离相等，求l 的方程．
解：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1；
当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，
则l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.
∵点A ，B 到l 的距离相等，
∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1
， ∴|1－3k |＝|3k －5|，
解得k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0.
综上，l 的方程为x ＝1或x －y －1＝0.
9．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.
(1)求直线l 的方程；
(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，
整理，得所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.
(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式，得|3×（－2）＋4×5＋C |32＋4
2＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.
10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1，5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．
解：(1)点P (1，5)到l CD 的距离为d ，
则d ＝310
. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0.
点P (1，5)到l AB 的距离也等于d ，
则|m ＋16|10＝310
， 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，
即l AB ：x ＋3y －19＝0.
∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，
则P (1，5)到l AD 的距离等于P (1，5)到l BC 的距离，
且都等于d ＝310
， |n －2|10＝310
，解得n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.
所以， 正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0，
3x －y ＋5＝0，3x －y －1＝0.
拓展要求
已知A (－2，0)，B (2，－2)，C (0，5)，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．
解：由两点式得直线AB 的方程为y ＋22＝x －2－4
，即x ＋2y ＋2＝0.设过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＋m ＝0，
将点M (－4，2)的坐标代入得m ＝0，
所以过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0，此直线将三角形的面积分成两部分，通过点到直线的距离
其中△CPQ 的边PQ 上的高d 1＝105
＝25， △ABC 的边AB 上的高d 2＝125＝1255， △CPQ 的面积与△ABC 的面积之比为 S △CPQ S △ABC
＝|PQ |·d 1|AB |·d 2＝d 12d 22＝2536
， 所以两部分的面积之比为25361－2536
＝2511.
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