山西省高三数学第四次诊断考试试题 理 新人教A版

山西省2014～2015学年度高三第四次诊断考试
数 学 试 卷（理 科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设集合{}
215x x A =-≥，集合7x y x ⎧B ==
⎨⎬-⎩⎭
，则A B I 等于（ ） A ．()3,7 B ．[]3,7 C ．(]3,7 D ．[)3,7
2、已知向量()2,1a m =r
，向量()1,8b =-r ，若a b ⊥r r ，则实数m 的值是（ ）
A ．4-
B ．4
C ．
43 D ．14
3、设sin 20156a ππ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，函数()()
,0,0x
a x f x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则
21log 6f ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭的值等于（ ）
A ．
14 B ．4 C ．1
6
D ．6 4、若R m ∈，则“6log 1m =-”是“直线1:l 210x my +-=与2:l ()3110m x my ---=平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5
10119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+等于
（ ）
A ．50
B ．25
C ．75
D ．100 6、函数()2
cos x
f x x π=的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7、为得到函数sin 3y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或
向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则m n -的最小值是（ ） A ．
3
π
B ．23π
C ．43π D
．53π
8、设636e a =，749e b =，8
64
e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >> 9、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2
2
2
3b c a bc +-=，且3b a =，则下列关系一定不成立的是（ ）
A ．a c =
B ．b c =
C ．2a c =
D ．222
a b c +=
10、已知点E 、F 、G 分别是正方体1111CD C D AB -A B 的棱1AA 、1CC 、1DD 的中点，点M 、
N 、Q 、P 分别在线段DF 、G A 、BE 、11C B 上，则以M 、N 、Q 、P 为顶点的三棱锥Q
P -MN 的俯视图不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11、已知O 为原点，双曲线22
21x y a
-=（0a >）上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，
且与两渐近线的交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．
5 D ．23
12、已知函数()(](]
21,1,112,1,3m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，且函数()f x 满足
()()4f x f x +=．若方程()30f x x -=恰有5个根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．15,7⎛⎫
⎪ ⎪⎝ B ．158,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．47,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．48,33⎛⎫
⎪⎝⎭ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ．
14、设0
α=⎰，tan 3β=，则()tan αβ+= ．
15、点A ，B ，C ，D 在同一球面上，C AB =B =C 2A =，若球的表面积为
254
π
，则四面体CD AB 体积的最大值为 ．
16、设C n n n ∆A B 的三边长分别为n a ，n b ，n c ，1n =，2，3，⋅⋅⋅，若11b c >，1112b c a +=，
1n n a a +=，12n n n a c b ++=
，12
n n
n a b c ++=，则n ∠A 的最大值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分10分）在C ∆AB 中，已知
()sin sin sin C
sin sin sin A +B A -=
A +
B A -B
． ()1求角B ； ()2若4
tan 3
A =
，求sinC 的值．
18、（本小题满分12分）已知命题:p 方程22
121
x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 双曲线22
15y x m
-=的离心率()1,2e ∈，若p 、q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．
19、（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n -=---，2n ≥且n *
∈N ．
()1证明：数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列； ()
2设13n n b -={}n b 的前n 项和n S ．
20、（本小题满分12分）已知四棱柱1111CD C D AB -A B ，侧棱1AA ⊥底面CD AB ，底面
CD AB 中，D AB ⊥A ，C//D B A ，2AB =，D 4A =，C 1B =，侧棱14AA =．
()1若E 是1AA 上一点，试确定E 点位置使//EB 平面1CD A ； ()2在()1的条件下，求平面D BE 与平面D AB 所成角的余弦值．
21、（本小题满分12分）如图，分别过椭圆:E 22
221x y a b
+=（0a b >>）左、右焦点1F 、2F 的
动直线1l ，2l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、C O 、
D O 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，23AB =，
43
CD 3
=
． ()1求椭圆E 的方程；
()2是否存在定点M 、N ，使得PM +PN 为定值？若存在，求出M 、N 点坐标并求出此定
值；若不存在，请说明理由．
22、（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．
()1求实数a 的值；
()2若()2f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；
()3当1n m >>（m ，n *
∈N
）时，证明：
n
m
m m n
n >．。