第三讲 参变量函数

n
u
(nk )
v
(k )
uv


Cnu
k
(nk )
v
(k )
k0
公式（3）称为 莱布尼兹公式
几个初等函数的高阶导数
(1 ) ( a )
x (n)
a
(n)
x
ln
n
n
a
(a 0)
(e )
x
(n)
e
x
( 2 ) (sin kx ) ( 3 ) (cos kx )
(4) ( x )
2
设函数
y f ( x ) 有导数
,
f ( x ),
( 1 ) 若 x 是自变量时
dy f ( x ) dx ;
( 2 ) 若 x 是中间变量时 微函数
, 即另一变量
t 的可
x ( t ), 则 dy f ( x ) ( t ) dt
dy f ( x ) dx .
x e 2 t 3t 1 3 2 y 4t 2t 6
t x 1 t y 1 t 1 t
第四讲 微分
1、定义：
设函数 y
y f
f
x 定义在 x 0 的改变量是 y 与自变数 x 的改变量 x ，有下列关系
f
x 的 n 1 阶微分在 x 的微分，称为函数 f x 在 x 的 n 阶微
分，表为 d n y 或 d n f x
dy f ' x dx
d y d dy
2
f ' x dx ' dx
2
f '' x d x
dy dx dy dt dt dx dy dt dx dt
*
/
( t ) ( t )
例：设 x e 1 3 y t 1
2t
求 dy
dx ,
dy
解： dy
3 2 2t dt t e 2t dx dx 2 2e dt
3t
2
作业：求
dy dx
u
v u v 3u v 3u v u v
3 3 0 2 2 0
3
v
0
u
0
1
只要将 u
v
3
的展开式中方指数换成导数的阶数便是 u v ''' 的展开式，
因此，两个函数乘积的 n 阶导数很类似二数和的 n 次幂的展开式。
莱布尼茨公式：
uv

dx微分的运算法则和公式dx基本初等函数的微分公式xdxcotcsccsctansecseccsccotsectansincoscoslnlnudvvduudvvduuvcducudvdu即另一变量是中间变量时有导数设函数dtdxdt结论
第三讲 参变量函数的导数
参数方程的一般形式是： 若函数 x
1 x
dx 1 1 x 1 1 x
2 2
d (arcsin
x)
dx
d (arctan
1 x
2
dx
d ( arc cot x )
dx
2 函数和、差、积、商的微分法则
d ( u v ) du dv d ( uv ) vdu udv d ( Cu ) Cdu d( ) v u vdu udv v
n
cn u
0
n
v cn u
1
n 1
v ' c n u
2
n2
v '' … c n u ' v
n 1
n 1
cn uv
n
n

k 0
n
cn u
k
nk k
v
其中 c n
k

n n 1 … n k 1 k!
高阶导数的运算法则
A * x
也称为⑴式的线性主要部分， y
或
y dy
，其误差是 0 x
定理1：
函数 y
f
x 在 x 0 可微 函数 y
f
x 在 x 0 可导。
dy f ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0 ) * x dy f ( x ) dx
• 微分的运算法则和公式
解： p n ' x
na0 x
n 1
a1 x
n 1
… a n 1 x a n 的各阶导数。
… 2 a n 2 x a n 1
n3
n 1 a1 x
n2
n2
p n '' x n n 1 a 0 x
n 1 n 2 a1 x
y x e
5
2x
, 求y
(4)
.
y
(4)
c4 x
0
5(4)
e
2x
c4 x
1
5(3)
(e
2x
) c 4 x
2
5(2)
(e
2x
) c 4 ( x ) ( e
3 5
2x
)
120 xe
2x
4 * 60 x * 2 e
2
2x
6 * 20 x * 4 e
3
2x
4 * 5 x * 8e
dy f ( x )dx
先计算函数的导数, 再 乘以自变量的微分. 1 基本初等函数的微分公式
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec
2
d ( x ) x

1
dx
d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc
uv ' u v '' u v '''
u 'v uv ' u '' v 2 u ' v ' u v '' u ''' v 3 u '' v ' 3 u ' v '' u v '''
不难发现，三阶导数 u v ''' 很类似两数和的立方公式
1 1 x
y
(n)
.
解
y
1 (1 x ) 3! (1 x )
4 2
y
2! (1 x )
3
y
(4)


y
(n)
( 1)
n1
( n 1 )! (1 x )
n
( n 1, 0! 1 )
• 莱布尼茨公式
u x 与 v x 乘积的高阶导数
2
xdx
xdx
d (sec x ) sec x tan xdx
d (csc x ) csc x cot xdx
d ( a ) a ln adx
x x
d ( e ) e dx
x x
d (log
a
x) x) x)
1 x ln a
dx 1 1 x 1
2
d (ln x ) dx d (arccos
f
n 1
f
x 或
n 1
d y dx
n
n
，即：
f
n
x
lim
x
x f x
x
x 0
二阶和二阶以上的导数，统称为高阶导数。
高阶导数的具体求法： 计算函数的n阶导数就是按求导法则和导数公式，逐渐进行下去。
例 1：计算 n 次多项式 p n x a 0 x n
… 2an2
每求一次导数，多项式的次数降低一次， n 次多项式的 n 阶导数是零次多 项式一常数，即： Pn x
n
n n 1 … … 2 * 1a 0 n ! a 0 … 0
显然
Pn
n 1
x
Pn
n 2
x
设 y ln( 1 x ), 求 y
4
2x
x * 16 e
5
2x
120 xe
2x
480 x e
2
2x
480 x e
3
2x
160 x e
4
2x
16 x e
5
2x
求下列函数的高阶导数
f (x) 3x 4 x
3
2
5 x 9 , 求 f ( x )
f ( x ) x ln x , 求 f (x) f(x) x e , 求 f
函数 y
f
x 的二阶导函数
f '' x
在 x 的导数（如果存在） ，称为函数
3
f
x 在 x 的三阶导数，表为
f
f ''' x
或
d y dx
3
一般情况，函数 y
，称为函 x 的 n 1 阶导函数在 x 的导数（如果存在）
n
数 f x 在 x 的 n 阶导数，表为
x t
y (t )
x (t ) y (t )
t
t
，y

(t )
1
在 , 可导，且 ( t )
0
，又
存在反函数 t ，t

1
x ，从而 y 是 x 的复合函数，即：
x。
根据复合函数和反函数的求导法则，有
设函数 u 和 v 具有 n 阶导数 , 则
(1 ) ( u v ) ( 2 ) ( Cu )
(n)
u
(n)
v
(n)
(n)
Cu
(n)
(3) (u v )
(n)
u
(n)
v nu
( n1)
v
n(n 1) 2!
u
(n2)
v
(n)
n(n 1) (n k 1) k!
2
第五讲 高阶导数
定义：
函数 y
f
x 的（一阶）导函数
f '' x
f ' x 在 x
的导数（如果存在） ，称为函
数 f x 在 x 的二阶导数，表为
f ' x x f ' x x
或
d y dx
2
2
，即：
f '' x lim
x 0
3 x (5)
(x)
• 高阶微分
定义： 函数 y
f
x 的微分 d y
f ' x dx
在 x 的微分， 称为函数 f x 在 x
f
的二阶微分， 表为 d 2 y 或 d 2 f x ； 函数 y
x 的二阶微分 d
2
y
在x 的
微分，称为函数 f x 在 x 的三阶微分，表为 d 3 y 或 d 3 f x ；一般情况， 函数 y
n 1
' dx f
n
x dx
n
将 d x 表为 d x n ，则 n 阶微分 d n y
f
n
n x d x 可转换为 n 阶导数
x

d y dx
n
n
(n)
k k
sin( kx n cos( kx n

) )
(n)
n
2 2
( 1) ( n 1) x
n
( 5 ) (ln x )
(n)
( 1)
n1
( n 1 )! x
n
(
1 x
)
(n)
( 1)
n
n! x
n1
例： 设
x f
x0
x0
A * x 0 x
（1）
其中 A 是与 x 无关的常数，则称函数 f x 在 x 0 可微， A * x 称为函数 f x 在
x 0 的微分，表为：
dy A * x
A * x
或
df
x0
A * x
，
( t ) dt dx ,
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数
y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx
微分形式的不变性
计算下列函数的微分
y x ln x x y x y e y
2
3x 9 4x 8
2x
x 1 x
2
d y d d y
3 2
f '' x d x ' d x
n 1
f ''' x d x
3
……………………
d y d d
n
n
n 1
y d f
x dx
n 1
f
f
n
n 1
x dx