高中数学必修四学案 1.2.2 同角三角函数的基本关系

1．2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.
2.理解同角三角函数的基本关系式.
3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．
知识点 同角三角函数的基本关系式
思考1 计算下列式子的值：
(1)sin 230°＋cos 230°；
(2)sin 245°＋cos 245°；
(3)sin 290°＋cos 290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它．
[答案] 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x . ∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.
思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
[答案] ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2
＋k π，k ∈Z )． 梳理 (1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.
②商数关系：tan α＝sin αcos α
⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式
sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α.
②tan α＝sin αcos α
的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.
1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × )
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1.
2．sin 2θ2＋cos 2θ2
＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2
＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α
成立．( × ) 提示 当α＝π2
＋k π，k ∈Z 时就不成立.
类型一 利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
例1 (1)若sin α＝－513
，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512
[考点] 同角三角函数的基本关系式
[题点] 同角三角函数的商数关系
[答案] D
[解析] ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213
， ∴tan α＝sin αcos α＝－512
，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713
，α∈(0，π)，则tan α＝ . [考点] 同角三角函数的基本关系式
[题点] 同角三角函数的商数关系
[答案] －125
[解析] ∵sin α＋cos α＝713
， ∴(sin α＋cos α)2＝49169
， 即2sin αcos α＝－120169
<0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，
∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，
故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713
， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125
. 反思与感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题
的突破口．
跟踪训练1 已知tan α＝43
，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． [考点] 运用基本关系式求三角函数值
[题点] 运用基本关系式求三角函数值
解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43
cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②
由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925
. 又α是第三象限角，
∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45
. 命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值
例2 已知cos α＝－817
，求sin α，tan α的值． [考点] 运用基本关系式求三角函数值
[题点] 运用基本关系式求三角函数值
解 ∵cos α＝－817
<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角．
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517
， tan α＝sin αcos α＝1517－817
＝－158.
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158
. 反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．
跟踪训练2 已知cos α＝1213
，求sin α，tan α的值． [考点] 运用基本关系式求三角函数值
[题点] 运用基本关系式求三角函数值
解 ∵cos α＝1213
>0且cos α≠1， ∴α是第一或第四象限角．
(1)当α是第一象限角时，则
sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，
tan α＝sin αcos α＝5131213
＝512
. (2)当α是第四象限角时，则
sin α＝－1－cos 2α＝－513，tan α＝－512
. 类型二 齐次式求值问题
例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α
；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. [考点] 运用基本关系式求三角函数值
[题点] 运用基本关系式求三角函数值
解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611
. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α
＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1
＝14×4＋13×2＋125＝1330
.
反思与感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．
(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式．
跟踪训练3 已知sin α＋cos αsin α－cos α
＝2，计算下列各式的值． (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α
； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.
[考点] 运用基本关系式求三角函数值
[题点] 运用基本关系式求三角函数值
解 由sin α＋cos αsin α－cos α
＝2，化简，得sin α＝3cos α， 所以tan α＝3.
(1)原式＝3×3cos α－cos α
2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89
. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α
＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1
＋1＝1310.
类型三 三角函数式的化简与证明
例4 (1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. [考点] 运用基本关系式化简和证明
[题点] 运用基本关系式化简
解 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α
＋2sin αcos α ＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α
＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α
. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α
. [考点] 运用基本关系式化简和证明
[题点] 运用基本关系式证明
证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α
＝
tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan αsin αtan α－sin α
＝左边， ∴原等式成立．
反思与感悟 (1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或左边右边
＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练4 化简tan α 1sin 2α
－1，其中α是第二象限角． [考点] 运用基本关系式化简和证明
[题点] 运用基本关系式化简
解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α 1sin 2α－1＝tan α 1－sin 2αsin 2α＝tan α cos 2αsin 2α ＝sin α
cos α⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin α
cos α·－cos αsin α＝－1.
1．若sin α＝4
5，且α是第二象限角，则tan α的值为(
) A ．－4
3 B.3
4 C ．±34 D ．±4
3
[考点] 同角三角函数的基本关系式
[题点] 同角三角函数的商数关系
[答案] A
[解析] ∵α为第二象限角，sin α＝4
5，
∴cos α＝－35，tan α＝－4
3.
2．已知sin α－cos α＝－5
4，则sin αcos α等于( )
A.74 B ．－916 C ．－9
32 D.9
32
[考点] 同角三角函数的基本关系式
[题点] 同角三角函数的平方关系
[答案] C
[解析] 由题意得(sin α－cos α)2＝2516
， 即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516
， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516
， ∴sin αcos α＝－932
.故选C. 3．化简 1－sin 23π5的结果是( ) A ．cos 3π5
B ．sin 3π5
C ．－cos 3π5
D ．－sin 3π5 [考点] 同角三角函数的基本关系式
[题点] 同角三角函数的平方关系
[答案] C
[解析] 1－sin 23π5＝ cos 23π5＝⎪⎪⎪⎪cos 3π5， ∵π2<3π5<π，∴cos 3π5
<0， ∴⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5
， 即 1－sin 23π5＝－cos 3π5，故选C.
4．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α
的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.54
[考点] 运用基本关系式求三角函数值
[题点] 运用基本关系式求三角函数值
[答案] B
[解析] 2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝4－12＋2＝34
. 5．求证：cos x 1－sin x
＝1＋sin x cos x . [考点] 运用基本关系式化简和证明
[题点] 运用基本关系式证明
证明 方法一 (比较法——作差)
∵cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x
＝cos 2x －cos 2x
(1－sin x )cos x ＝0， ∴cos x 1－sin x
＝1＋sin x cos x . 方法二 (比较法——作商)
∵左右＝cos x
1－sin x 1＋sin x cos x
＝cos x ·cos x (1＋sin x )(1－sin x )
＝cos 2x 1－sin 2x ＝cos 2x cos 2x
＝1. ∴
cos x 1－sin x ＝1＋sin x cos x .
1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．
2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；
(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.。