山东省临沂市2019-2020学年中考五诊数学试题含解析

山东省临沂市2019-2020学年中考五诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列命题中假命题是（ ） A ．正六边形的外角和等于
B ．位似图形必定相似
C ．样本方差越大，数据波动越小
D ．方程
无实数根
2．如果(x －2)(x ＋3)=x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值是（ ） A ．p=5，q=6
B ．p=1，q=－6
C ．p=1，q=6
D ．p=5，q=－6
3．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A ．15
B ．17
C ．19
D ．24
4．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。

那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A ．()2
22a b a b -=- B ．()2
222a b a ab b +=++ C ．()2
222a b a ab b -=-+
D ．()()2
2
a b a b a b -=+-
5．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）
A ．y 1
B ．y 2
C ．y 3
D ．y 4
6．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.1．
其中合理的是（）
A．①B．②C．①②D．①③
7．2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（）
A．32，31 B．31，32 C．31，31 D．32，35
8．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（）
A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1
9．如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是（）
A．∠BAC＝αB．∠DAE＝αC．∠CFD＝αD．∠FDC＝α
10．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是( )
A．1
6
B．
1
3
C．1
2
D．
2
3
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G，下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°
时，S△ABE＝1
2
S△CEF，其中正确的是（）
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
12．在﹣3，0，4，6这四个数中，最大的数是（）
A．﹣3 B．0 C．4 D．6
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．某校园学子餐厅把WIFI密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是______．
14．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于________．
15．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3和B1，B2，B3分别在直线y=14
55
x 和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，
△B2A3B3都是等腰直角三角形．则A3的坐标为_______.
．
16．已知圆锥的底面半径为3cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角°．17．每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2019层的三角形个数为_____．
18．已知一次函数y=ax+b 的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）小雁塔位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小明在学习了锐角三角函数后，想利用所学知识测量“小雁塔”的高度，小明在一栋高9.982米的建筑物底部D 处测得塔顶端A 的仰角为45°，接着在建筑物顶端C 处测得塔顶端A 的仰角为37.5°．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，请你根据题中提供的相关信息，求出“小雁塔”的高AB 的长度（结果精确到1米）（参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）
20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y =，我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的“和谐点”.
（1）已知点A 的坐标为()1,3，
①若点B 的坐标为()3,3，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标； ②点C 在直线x ＝5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.
（2）⊙O 的半径为r ，点()1,4D 为点()1,2E 、(),F m n 的“和谐点”，且DE ＝2，若使得DEF ∆与⊙O 有交点，画出示意图直接写出半径r 的取值范围.
21．（6分）某食品厂生产一种半成品食材，产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式
1
p x 82
=
+，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系，如下表： 销售价格x(元/千克)
2
4
⋯
10
市场需求量q /(百千克)
12 10
⋯
4
已知按物价部门规定销售价格x 不低于2元/千克且不高于10元/千克
()1求q 与x 的函数关系式；
()2当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x 的取值范围；
()3当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能
废弃.若该半成品食材的成本是2元/千克．
①求厂家获得的利润y(百元)与销售价格x 的函数关系式；
②当厂家获得的利润y(百元)随销售价格x 的上涨而增加时，直接写出x 的取值范围.(利润=售价-成
本)
22．（8分）计算：2cos30°
+27-33--(1
2
)-2
23．（8分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，D 是边AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 经过点E ，且交BC 于点F ． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；
(2)若BF ＝6，⊙O 的半径为5，求CE 的长．
24．（10分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．
请你根据统计图解答下列问题：参加比赛的学生共有____名；在扇形统计图中，m的值为____，表示“D 等级”的扇形的圆心角为____度；组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
25．（10分）（问题发现）
（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；
（拓展探究）
（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN 的形状，并说明理由；
（解决问题）
（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=22，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．
26．（12分）如图，抛物线y=x1﹣1x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为1．
（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（1）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE 面积的最大值；
（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE 上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，
N 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点H 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、H 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
27．（12分）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线2
49
y x bx c =-
++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CPQ 的面积为S ．
①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线2
49
y x bx c =-
++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
【解析】
试题解析：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；
B、位似图形必定相似，是真命题；
C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；
D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；
故选：C．
考点：命题与定理．
2．B
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．
【详解】
解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-1，
又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，
∴x2+px+q=x2+x-1，
∴p=1，q=-1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．
3．D
【解析】
【分析】
由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），由此得出规律解决问题．
【详解】
解：解：∵第①个图案有三角形1个，
第②图案有三角形1+3＝4个，
第③个图案有三角形1+3+4＝8个，
∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），
则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个，
故选D．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出a n＝4（n﹣1）是解题的关键．4．D
【解析】
【分析】
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．【详解】
阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点睛】
考点：等腰梯形的性质；平方差公式的几何背景；平行四边形的性质．
5．A
【解析】
【分析】
由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
【详解】
由图象可知：
抛物线y1的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1=3
4
（x+2）2-2；
抛物线y2的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2=x2-1；
抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3=（x-1）2+1；
抛物线y4的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y4=2（x-1）2-3；
综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．
【解析】
①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；
②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.1.错误,
故选B.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.
7．C
【解析】
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35，数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是1，众数是1．
故选C．
8．A
【解析】
【分析】
根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．由此即可解答.
【详解】
∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，
∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例．
故选A．
【点睛】
本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．9．D
【解析】
【分析】
利用旋转不变性即可解决问题．
【详解】
∵△DAE是由△BAC旋转得到，
∴∠BAC=∠DAE=α，∠B=∠D，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠CFD=∠BAC=α，
故A ，B ，C 正确，
故选D ．
【点睛】
本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型．
10．B
【解析】
试题解析：∵转盘被等分成6个扇形区域，
而黄色区域占其中的一个，
∴指针指向黄色区域的概率=
16
． 故选A ．
考点：几何概率．
11．C
【解析】
【分析】
①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，
②设BC=a ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出S △CEF 和S △ABE ，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】
①四边形ABCD 是正方形，
∴AB═AD ，∠B=∠D=90°．
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中， AE AF AB AD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF
∵BC=CD ，
∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，
∵AE=AF ，
∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．
②设BC=a，CE=y，
∴BE+DF=2（a-y）
y，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（）a时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y2＝x)2
∴x2=2y（x+y）
∵S△CEF=1
2
x2，S△ABE=
1
2
y(x+y)，
∴S△ABE=1
2
S△CEF．（故④正确）．
综上所述，正确的有①③④，
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
12．C
【解析】
试题分析：根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．因此，
在﹣3，0，1这四个数中，﹣3＜0＜1，最大的数是1．故选C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．143549
【解析】
【分析】
根据题中密码规律确定所求即可.
【详解】
5⊗3⊗2=5×3×10000+5×2×100+5×（2+3）=151025
9⊗2⊗4=9×2×10000+9×4×100+9×（2+4）=183654，
8⊗6⊗3=8×6×10000+8×3×100+8×（3+6）=482472，
∴7⊗2⊗5=7×2×10000+7×5×100+7×（2+5）=143549.
故答案为：143549
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，根据题意得出规律并熟练掌握运算法则是解题关键.
14．70°
【解析】
【详解】
试题分析：由平角的定义可知，∠1+∠2+∠3=180°，又∠1=∠2，∠3=40°，所以∠1=（180°-40°）÷2=70°，
因为ａ∥b ，所以∠4=∠1=70°
. 故答案为70°
. 考点：角的计算；平行线的性质.
15．A 3（299,44） 【解析】
【分析】 设直线y=
1455
x +与x 轴的交点为G ，过点A 1，A 2，A 3分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，由条件可求得312A F A D A E GD GE GF ==，再根据等腰三角形可分别求得A 1D 、A 2E 、A 3F ，可得到A 1，A 2，A 3的坐标.
【详解】
设直线y=1455
x +与x 轴的交点为G ， 令y=0可解得x=-4，
∴G 点坐标为（-4，0），
∴OG=4，
如图1，过点A 1，A 2，A 3分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，
∵△A 1B 1O 为等腰直角三角形，
∴A 1D=OD ，
又∵点A1在直线y=x+上，
∴=，即=，
解得A1D=1=（）0，
∴A1（1，1），OB1=2，
同理可得=，即=，
解得A2E=
=（）1，则OE=OB1+B1E=，
∴A2（，），OB2=5，
同理可求得A3F=
=（）2，则OF=5+=，
∴A3（，）；
故答案为（，）
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质和直线上点的坐标特点，根据题意找到点的坐标的变化规律是解题的关键，注意观察数据的变化．
16．1
【解析】
试题分析：根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积即可求出圆心角的度数．
解：∵侧面积为15πcm2，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×3×l=15π，
解得：l=5，
∴扇形面积为15π=，
解得：n=1，
∴侧面展开图的圆心角是1度．
故答案为1．
考点：圆锥的计算．
17．2．
【解析】
【分析】
设第n层有a n个三角形（n为正整数），根据前几层三角形个数的变化，即可得出变化规律“a n＝2n﹣2”，再代入n＝2029即可求出结论．
【详解】
设第n层有a n个三角形（n为正整数），
∵a2＝2，a2＝2+2＝3，a3＝2×2+2＝5，a4＝2×3+2＝7，…，
∴a n＝2（n﹣2）+2＝2n﹣2．
∴当n＝2029时，a2029＝2×2029﹣2＝2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律“a n＝2n﹣2”是解题的关键．
18．x≥1．
【解析】
试题分析：根据题意得当x≥1时，ax+b≥2，即不等式ax+b≥2的解集为x≥1．
故答案为x≥1．
考点：一次函数与一元一次不等式．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．43米
【解析】
【分析】
作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．根据tan∠ACE=AE
EC
，列出方
程即可解决问题．
【详解】
解：如图，作CE⊥AB于E．则四边形BDCE是矩形，BE=CD=9.982米，设AB=x．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，
∴AB=BD=x，
在Rt △AEC 中，
tan ∠ACE=
=tan37.5°≈0.77， ∴=0.77，
解得x≈43，
答：“小雁塔”的高AB 的长度约为43米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
20．（1）①点C 坐标为()1,5C 或()3,5C '；②y ＝x ＋2或y ＝－x ＋3；（2）217r ≤≤或517r ≤≤
【解析】
【分析】
（1）①根据“和谐点”的定义即可解决问题；
②首先求出点C 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形画出图形即可解决问题．
【详解】
（1）①如图1．
观察图象可知满足条件的点C 坐标为C （1，5）或C'（3，5）；
②如图2．
由图可知，B （5，3）．
∵A （1，3），∴AB=3．
∵△ABC 为等腰直角三角形，∴BC=3，∴C 1（5，7）或C 2（5，﹣1）．
设直线AC 的表达式为y=kx+b （k≠0），当C 1（5，7）时，357k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴12k b =⎧⎨=⎩
，∴y=x+2，当C 2（5，﹣1）时，351k b k b +=⎧⎨+=-⎩，∴14
k b =-⎧⎨=⎩，∴y=﹣x+3． 综上所述：直线AC 的表达式是y=x+2或y=﹣x+3．
（2）分两种情况讨论：
①当点F 在点E 左侧时：
连接OD ．则OD=221417+=，∴217r ≤≤．
②当点F 在点E 右侧时：
连接OE ，OD ．
∵E （1，2），D （1，3），∴22125+221417+=517r ≤≤
综上所述：217r ≤≤517r ≤≤
【点睛】
本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、等腰直角三角形的判定和性质、“和谐点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 21．（1） q x 14=-+；（2）2x 4≤≤；（3）213105y (x )24=--+①；②当134x 2
<≤时，厂家获得
的利润y随销售价格x的上涨而增加．
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）由题意可得：p≤q，进而得出x的取值范围；
（3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；
②利用二次函数的增减性得出答案即可．
【详解】
（1）设q=kx+b（k，b为常数且k≠0），当x=2时，q=12，当x=4时，q=10，代入解析式得：212 410 k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
1
14
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴q与x的函数关系式为：q=﹣x+14；
（2）当产量小于或等于市场需求量时，有p≤q，∴1
2
x+8≤﹣x+14，解得：x≤4，又2≤x≤10，∴2≤x≤4；
（3）①当产量大于市场需求量时，可得4＜x≤10，由题意得：厂家获得的利润是：
y=qx﹣2p=﹣x2+13x﹣16=﹣（x
13
2
-）2
105
4
+；
②∵当x
13
2
≤时，y随x的增加而增加．
又∵产量大于市场需求量时，有4＜x≤10，∴当4＜x
13
2
≤时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而
增加．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析式是解题的关键．
22．7
【解析】
【分析】
根据实数的计算，先把各数化简，再进行合并即可.
【详解】
原式=234
-
7
【点睛】
此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊三角函数的化简与二次根式的运算.
23．（1）证明见解析；（2）CE=1．
【解析】
【分析】
（1）根据等角对等边得∠OBE=∠OEB，由角平分线的定义可得∠OBE=∠EBC，从而可得∠OEB=∠EBC，根据内错角相等，两直线平行可得OE∥BC，根据两直线平行，同位角相等可得∠OEA=90°，从而可证AC是⊙O的切线.
（2）根据垂径定理可求BH=1
2
BF=3，根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OHCE是矩形，
由矩形的对边相等可得CE=OH，在Rt△OBH中，利用勾股定理可求出OH的长，从而求出CE的长. 【详解】
（1）证明：如图，连接OE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵ BE平分∠ABC．
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠OEB=∠EBC，
∴OE∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
∴ AC是⊙O的切线.
（2）解：过O作OH⊥BF，
∴BH=1
2
BF=3，四边形OHCE是矩形，
∴CE=OH，
在Rt△OBH中，BH=3，OB=5，
∴OH=22
OB OH
=1，
∴CE=1.
【点睛】
本题考查切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．
24．（1）20；（2）40，1；（3）2
3
．
【解析】
试题分析：（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数；
（2）根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人），故答案为20；
（2）C级所占的百分比为8
20
×100%=40%，表示“D等级”的扇形的圆心角为
4
20
×360°=1°；
故答案为40、1．（3）列表如下：
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P恰好是一名男生和一名女生=4
6
=
2
3
．
25．（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）316﹣3
【解析】
【分析】
（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC垂直平分BD；（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN 是矩形；
（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．
【详解】
（1）∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，
故答案为AC垂直平分BD；
（2）四边形FMAN是矩形．理由：
如图2，连接AF，
∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，
∴AF=CF=BF，
又∵等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，
∴AD=DB，AE=CE，
∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，
又∵∠BAC=90°，
∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，
∴四边形AMFN是矩形；
（3）BD′的平方为16+83或16﹣83．
分两种情况：
①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，
如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，
由旋转可得，∠DAD'=60°，
∴∠EAD'=30°，
∵2=AD'，
∴D'E=1
2
AD'=2，AE=6，
∴BE=22+6，
∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（2）2+（22+6）2=16+83②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，
如图所示：过B作BF⊥AD'于F，
旋转可得，∠DAD'=60°，
∴∠BAD'=30°，
∵AB=22=AD'，
∴BF=1
2
AB=2，AF=6，
∴26，
∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=2）2+（26）2=16﹣3
综上所述，BD′平方的长度为316﹣3．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．
26．（1）y=﹣x﹣1；（1）△ACE的面积最大值为27
8
；（3）M（1，﹣1），N（
1
2
，0）；（4）满足条件的F
点坐标为F1（1，0），F1（﹣3，0），F3（7，0），F4（47，0）．
【解析】
【分析】
（1）令抛物线y=x1-1x-3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；
（1）设P点的横坐标为x（-1≤x≤1），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出△ACE的面积最大值；
（3）根据D点关于PE的对称点为点C（1，-3），点Q（0，-1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则
四边形DMNQ 的周长最小，求出直线CM 的解析式为y=-1x+1，进而求出最小值和点M ，N 的坐标； （4）结合图形，分两类进行讨论，①CF 平行x 轴，如图1，此时可以求出F 点两个坐标；②CF 不平行x 轴，如题中的图1，此时可以求出F 点的两个坐标．
【详解】
解：（1）令y=0，解得11x =-或x 1=3，
∴A （﹣1，0），B （3，0）；
将C 点的横坐标x=1代入y=x 1﹣1x ﹣3得3y =-，
∴C （1，-3），
∴直线AC 的函数解析式是1y x =--，
（1）设P 点的横坐标为x （﹣1≤x≤1），
则P 、E 的坐标分别为：P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 1﹣1x ﹣3），
∵P 点在E 点的上方，()()
221232PE x x x x x =-----=-++， ∴当12x =时，PE 的最大值9,4= △ACE 的面积最大值()1327[21]228PE PE =--==， （3）D 点关于PE 的对称点为点C （1，﹣3），点Q （0，﹣1）点关于x 轴的对称点为K （0，1）， 连接CK 交直线PE 于M 点，交x 轴于N 点，可求直线CK 的解析式为21y x =-+，此时四边形DMNQ 的周长最小，
最小值252CM QD =+=+，
求得M （1，﹣1），102N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
． （4）存在如图1，若AF ∥CH ，此时的D 和H 点重合，CD=1，则AF=1，
于是可得F 1（1，0），F 1（﹣3，0），
如图1，根据点A 和F 的坐标中点和点C 和点H 的坐标中点相同，
再根据|HA|=|CF|， 求出()()434747F F +，
，，． 综上所述，满足条件的F 点坐标为F 1（1，0），F 1（﹣3，0），()347F ，，()
447F ，． 【点睛】
属于二次函数综合题，考查二次函数与x 轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值以及平行四边形的性质等，综合性比较强，难度较大. 27．（1）244893
y x x =-
++；（2）①2315(5)102S m =-+，当m=5时，S 取最大值；②满足条件的点F 共有四个，坐标分别为13(,8)2F ，23()2F ,4，33(,627)2F +，43(,627)2F -， 【解析】
【分析】
（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线y=-49
x 2+bx+c ，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数；
②直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写．
【详解】
解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得84366b+c=09
c =⎧⎪⎨-⨯+⎪⎩ ， 解得：438
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ，
∴抛物线的解析式为y=﹣49
x 2+43x+8； （2）①∵OA=8，OC=6，
∴22OA OC +=10，
过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB = QE QC = AB AC =35， ∴10QE m =35， ∴QE=35（10﹣m ）， ∴S=12•CP•QE=12m 35×（10﹣m ）=﹣310
m 2+3m ； ②∵S=12•CP•QE=12m×35（10﹣m ）=﹣310m 2+3m=﹣310（m ﹣5）2+152， ∴当m=5时，S 取最大值；
在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y=﹣49x 2+43x+8的对称轴为x=32
， D 的坐标为（3，8），Q （3，4），
当∠FDQ=90°时，F 1（
32
，8）， 当∠FQD=90°时，则F 2（32
，4）， 当∠DFQ=90°时，设F （32，n ）， 则FD 2+FQ 2=DQ 2，
即49+（8﹣n ）2+49
+（n ﹣4）2=16， 解得：n=6±
72 ， ∴F 3（32，6+72），F 4（32，6﹣72
）， 满足条件的点F 共有四个，坐标分别为
F 1（32，8），F 2（32，4），F 3（32，6+7），F 4（32，6﹣7）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用能力，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识
点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．。