应用数值分析第四版第一章课后作业答案

第一章
1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。

3
.14,7/100)4(143
.0,7/1)2(0031
.0,1000/)3(1
.3,)1(========x a x a x a x a ππ
试估计x 的绝对误差和相对误差。

解：（1）0132.00416
.01.3≈=
≈-=-=a e
e x a e r π （2）0011.00143
.0143.07/1≈=
≈-=-=a e
e x a e r （3）0127.000004
.00031.01000/≈=
≈-=-=a
e
e x a e r π （4）001.00143
.03.147/100≈=
≈-=-=a
e
e x a e r
2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。

试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。

解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2
x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2
x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10
-4
x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5
由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn
i=1∣∂f/∂x i ∣δx i
e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1
x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049
e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3
/ x 1δx 4］ =0.501937
3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

解：设=()u f x ，
()()()()()
()||||||||||()||()||
|
|()||()||||r r r
x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ=
≈==≤
()||10.2
(())|
|()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x
δδδδ==⋅⋅==
4、长方体的长宽高分别为50cm ，20cm 和10cm ，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm 2。

解：设2()S xy yz zx =++
{}[]{}(,,)(,,)(,,)
()|
|()||()||()(,,)(,,)(,,)||||||max (),(),()2()2()2()max (),(),()1
S x y z S x y z S x y z e S e x e y e z x y z
S x y z S x y z S x y z e x e y e z x y z y z z x x y e x e y e z ∂∂∂≤++∂∂∂⎛⎫
∂∂∂≤++ ⎪∂∂∂⎝⎭
=+++++<
{}[]11
max (),(),()2()2()2()4()
11
0.0031254(502010)320
e x e y e z y z z x x y x y z <
=
+++++++===++
所以，测量误差小于0.00625时其表面积的误差不超过1cm 2。

5、设x 和y 的相对误差为0.001，则xy 的相对误差约为多少？
解：由公式：i r i
n
i n i
n n
i i i
r x x f
x x f x x x f x x f u δδδ∂∂=∂∂=
∑
∑
==1
111
),,()
,,()(
则有：002.0001.0001.0)()()()(=+=+=≤y x xy xy e r r r r δδδ xy 的相对误差约为0.002.
6. 改变下列表达式，使计算结果更准确。

（1）1,||1x x x +-≥ （2）
11,||1121x
x x x
--≤++ （3）(1cos ),0,||1x x x x
-≠≤ （4）11,||1x x x x x +--≥
解：（1）111x x x x
+-=++ （2）2
112121(12)(1)x x x x x x --=
++++ （3）2
(1cos )sin (1cos )
x x x x x -=+
（4）2
2
112
(11)
x x x x
x x x +--=
++-
7、计算6(21)-的近似值，取2 1.414≈。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差
最小。

（1）
6
1
(21)+ （2）3(322)-
（3）3
1(322)
+ （4）99702-
解：计算各项的条件数'()(())||()
xf x cond f x f x = 11 1.4146
1
(),(())| 3.5145(1)
x f x cond f x x ==
=+ 322 1.414()(32),(())|49.3256x f x x cond f x ==-= 331.41431(),(())| 1.4558(32)
x
f x c o n d f x x ==
=+ 441.4
14()9970,(())|4949
x f x x c o n d f x ==-= 由计算知，第一种算法误差最小。

n n 1
1
8 ∞
=∑、考虑无穷级数，它是微积分中的发散级数。

在计算机上计算该级数的部分和，会得到怎样的结果？为什么？
解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。

因为随着n 的增大，会出现大数吃小数的现象。

9、 通过分析浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情
况。

解：浮点数集合F=（10，3，-2，2）在数轴上离原点越近，分布越稠密；离原点越远，
分布越稀疏。

一般浮点数集的分布也符合此规律。

10、试导出计算积分1
(1,2,3,4)14n n x I dx n x ==+⎰的递推计算公式111()4n n I I n -=-，并分析此递推公式的数值稳定性。

解：1111
1111
0000
141()14414414n n n n n n n x x x x x I dx dx x dx dx x x x ----+-===-+++⎰⎰⎰⎰
1
11
()4n n I I n -∴=
- 分析计算的误差，设初值0I 的误差为000I I e -=，递推过程的舍入误差不计，并记
n n n I I e -=，则有 。

显然，随着计算的递
推，误差越来越小，因此递推公式是稳定的。

11、为减少乘除法运算次数，应将下面算式怎样改写？
0114
)1(...)(41e I I I I e n n
n n n n n -==--=-=--
3
217151318)
()(-+-+-+
=x x x y 解：令1
1
-=
x u ，则18357+++=u u u y ))(( 12、试推导求函数值)(x f y =的绝对误差和相对误差。

解：**(())()()'()()'()()e f x f x f x f x x f x e x ξ=-=-≈
***()()'()()'()()'()
(())()()()()()
r r f x f x f x x f x x x f x e f x x x e x f x f x f x x f x ξ---==≈=
13、试推导求函数值),(y x f 的条件数)),((y x f Cond 。

解：(,)(,)
(,)(,)()()f x y f x y f x y f x y x x y y x y
∂∂=+
-+-+∂
∂
'
'(,)(,)(,)(,)()()
(,)(,)(,)y x yf x y xf x y f x y f x y x x y y f x y f x y x f x y y
---≈+
''''
(,)(,)(,)(,)
()()(,)(,)(,)(,)(,)()()max ,(,)(,)y x y
x
yf x y xf x y f x y f x y x x y y f x y f x y x f x y y yf x y xf x y x x y y f x y f x y x y ---≤+
⎛⎫⎧⎫--⎪⎪≤ +⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎩⎭⎝
⎭
'(,)'(,)
((,))(,)(,)
x y xf x y yf x y Cond f x y f x y f x y ∴=+
14、序列{}n x 满足递推公式
⎩⎨
⎧⋅⋅⋅=-=≈=+)
,,(.105732
1310n n x x x n n 求计算到20x 的的误差，并讨论计算过程的稳定性。

解：000x x e -=
000111555e x x x x e =-=-=
021*********e x x x x e =---=-=)()(
…
9020201084545⨯≈=.e e
误差逐渐增大，计算不稳定
15、写出下面Matlab 程序所描述的数学表达式。

（1）for j=1: n
for i=1: m
y ( i )= A (i, j)*x(j)+y(i) end end (2)for j=1:n
y=x(j)*A(:,j)+y end
解：（1）m n n
m R y R x R
A y Ax y ∈∈∈+=⨯,,,
（2）y Ax y += A 为n 列的矩阵，x 为n 行1列的列向量，y 为与A 有相同行数的
列向量
16、写出下面Matlab 程序所描述的数学表达式。

(1) for i=1: m
for j=1: n
A(i,j)= A (i, j)+x(i)*y(j) end end
(2) for j=1:m
A(:,j)= A (:, j)+ y(j)* x(:) end
解：(1) n m n
m R y R x R
A y x A A ⨯⨯⨯∈∈∈+=11,,,*
(2) x y A A *+= A 为m 列的矩阵,y 为与A 有相同行数的列向量。