鼓楼区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题(2)

鼓楼区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 函数f （x ）
=﹣x 的图象关于（ ）
A ．y 轴对称
B ．直线y=﹣x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y=x 对称
2． 函数（，）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）
()2cos()f x x ωϕ=+0ω>0ϕ-π<<A. B. C. D. 32
-
1
-
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.3． 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则
=（
）
A ．3
B ．4
C ．
D ．13
4． 点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）A ．
B ．
C ．
D
．
5． 已知函数f （x ）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（
）
A ．y=2
B ．y=log 3（x+1）
C ．y=4﹣
D ．
y=
6． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）A ．3
B ．
C ．2
D ．6
7． （2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图所示．x ﹣1
0234f （x ）
12020当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 的零点的个数为（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9． 数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．2
1n a n n =-+(1)2n n n a -=
(1)2
n n n a +=2
1n a n =+10．如果对定义在上的函数，对任意，均有成立，则称
R )(x f n m ≠0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 函数为“函数”.给出下列函数：)(x f H ①
；②；③；④
()ln 25x f x =-34)(3++-=x x x f )cos (sin 222)(x x x x f --=．其中函数是“函数”的个数为（ ）⎩⎨
⎧=≠=0
,00
|,|ln )(x x x x f H A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4
【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大．11．若函数y=x 2+（2a ﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[﹣，+∞）
B ．（﹣∞，﹣]
C ．[，+∞）
D ．（﹣∞，]
12．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量
，
，若
，则角B 的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 块木块堆成．
14．若函数y=ln （﹣2x ）为奇函数，则a= ．
15．设全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是 ．16．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()2
1ln 2
f x x x =-17．椭圆
+
=1上的点到直线l ：x ﹣2y ﹣12=0的最大距离为 ．
18．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=ax 2﹣2lnx ．
（Ⅰ）若f （x ）在x=e 处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若x ∈（0，e]，求f （x ）的单调区间；（Ⅲ） 设a ＞
，g （x ）=﹣5+ln ，∃x 1，x 2∈（0，e]，使得|f （x 1）﹣g （x 2）|＜9成立，求a 的取值范围．
20．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）过点A （1，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的距离等于
？若存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由．
21．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +（n ∈N *）．证明：对一切n ∈N *，有
（Ⅰ）
＜
；
（Ⅱ）0＜a n ＜1．　
22．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形中，，点、分别在边、上．点ABCD 60BAD ∠=o
E F CD CB 与点、不重合，，，沿将翻折到的位置，使平面E C D EF AC ⊥EF AC O =I EF CEF ∆PEF ∆PEF ⊥平面．
ABFED Ⅰ求证：平面；
BD ⊥POA Ⅱ记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且
，求此时线段的长．P ABD -1V P BDEF -2V 124
3
V V =PO P
A
C
D
O E
F F
E
O D
C
A
23．．
（1）求证：
（2），若．
24．根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点A（1，1），B（﹣1，3）且面积最小；
（2）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上且与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）．
鼓楼区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵f （﹣x ）=﹣+x=﹣f （x ）∴
是奇函数，所以f （x ）的图象关于原点对称
故选C ．　
2． 【答案】D
【解析】易知周期，∴.由（），得112()1212T π5π=-=π22T ωπ==52212k ϕπ⨯+=πk ∈Z 526k ϕπ
=-+π
（），可得，所以，则，故选D.
k Z ∈56ϕπ=-5()2cos(26f x x π=-5(0)2cos()6
f π
=-=3． 【答案】D
【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，=4，
∴S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8也成等比数列，且S 8=4S 4，∴（S 8﹣S 4）2=S 4×（S 12﹣S 8），即9S 42=S 4×（S 12﹣4S 4），解得
=13．
故选：D ．
【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键．是基础的计算题．
4． 【答案】A
【解析】解：点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x ，y 轴对称，如图所示．
由图可得面积S==
+
=
+2
．
故选：A ．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．　
5． 【答案】C
【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，函数y=2，y=log 3（x+1），y=
的值域均含4，
即y=4不是它们的渐近线，
函数y=4﹣
的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），
故y=4为函数图象的渐近线，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．
6．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
7．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
8．【答案】C
【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：
因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，
所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．　
9． 【答案】C 【解析】
试题分析：可采用排除法，令和，验证选项，只有，使得，故选C ．1n =2n =(1)
2
n n n a +=121,3a a ==考点：数列的通项公式．10．【答案】B
第
11．【答案】B
【解析】解：∵函数y=x 2+（2a ﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线
又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，故2≤解得a ≤﹣故选B ．　
12．【答案】B 【解析】解：若
，
则（a+b ）（sinB ﹣sinA ）﹣sinC （a+c ）=0，
由正弦定理可得：（a+b ）（b ﹣a ）﹣c （
a+c ）=0，
化为a 2+c 2﹣b 2=﹣ac ，
∴cosB=
=﹣
，
∵B ∈（0，π），∴B=，
故选：B ．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．
二、填空题
13．【答案】　4　
【解析】解：由三视图可以看出此几何体由两排两列，前排有一个方块，后排左面一列有两个木块右面一列有一个，
故后排有三个，故此几何体共有4个木块组成．
故答案为：4．
14．【答案】　4　．
【解析】解：函数y=ln（﹣2x）为奇函数，
可得f（﹣x）=﹣f（x），
ln（+2x）=﹣ln（﹣2x）．
ln（+2x）=ln（）=ln（）．
可得1+ax2﹣4x2=1，
解得a=4．
故答案为：4．
15．【答案】　[，1]　．
【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M，
∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]，
故答案为[，1]．
0,1
16．【答案】()
【解析】
17．【答案】　4　．
【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ）
则P到直线的距离为d==，
当sin（θ﹣）=1时，d取得最大值为4，
故答案为：4．
18．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f′（x）=2ax﹣=由已知f′（e）=2ae﹣=0，解得a=．经检验，a=符合题意．
（Ⅱ）
1）当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．
2）当a＞0时，
①若＜e，即，则f（x）在（0，）上是减函数，在（，e]上是增函数；
②若≥e，即0＜a≤，则f（x）在[0，e]上是减函数．
综上所述，当a≤时，f（x）的减区间是（0，e]，
当a＞时，f（x）的减区间是，增区间是．
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知f（x）的最小值是f（）=1+lna；
易知g（x）在（0，e]上的最大值是g（e）=﹣4﹣lna；
注意到（1+lna）﹣（﹣4﹣lna）=5+2lna＞0，
故由题设知，
解得＜a＜e2．
故a的取值范围是（，e2）
20．【答案】
【解析】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，
得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，
由得y2+2y﹣2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣
又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1
∵t≥﹣
∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0
【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．
21．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +
（n ∈N *），∴a n ＞0，a n+1=a n +
＞0（n ∈N *），a n+1﹣a n =＞0，∴
，∴对一切n ∈N *，＜．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k ∈N *，＜，∴
，∴当n ≥2时，
=
＞3﹣[1+
]=3﹣[1+
]=3﹣（1+1﹣
）=，
∴a n ＜1，又
，∴对一切n ∈N *，0＜a n ＜1．
【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．
22．【答案】
【解析】Ⅰ证明：在菱形中，
ABCD ∵，∴．
BD AC ⊥BD AO ⊥∵，∴，
EF AC ⊥PO EF ⊥∵平面⊥平面，平面平面，且平面，
PEF ABFED PEF I ABFED EF =PO ⊂PEF ∴平面，
PO ⊥ABFED ∵平面，∴．
BD ⊂ABFED PO BD ⊥∵，∴平面．
AO PO O =I BD ⊥POA Ⅱ设．由Ⅰ知，平面，
AO BD H =I PO ⊥ABFED ∴为三棱锥及四棱锥的高，
PO P ABD -P BDEF -
∴，∵，1211,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形1243V V =∴，∴， 3344ABD CBD BFED S S S ∆∆==梯形14
CEF CBD S S ∆∆=∵，,BD AC EF AC ⊥⊥∴，∴∽． ∴， //EF BD CEF ∆CBD ∆21(
4
CEF CBD
S CO CH S ∆∆==∴， ∴．
111222
CO CH AH ===⨯PO OC ==23
．【答案】
【解析】解：（1）∵
，∴a n+1=f （a n ）=
，则
，∴{}是首项为1，公差为3的等差数列；
（2）由（1）得， =3n ﹣2，
∵{b n }的前n 项和为
，∴当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣
2n ﹣1=2n ﹣1，
而b 1=S 1=1，也满足上式，则b n =2n ﹣1，
∴==（3n ﹣2）2n ﹣1，
∴
=20+4•21+7•22+…+（3n ﹣2）2n ﹣1，①则2T n =21+4•22+7•23+…+（3n ﹣2）2n ，②
①﹣②得：﹣T n =1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n ﹣1﹣（3n ﹣2）2n ，
∴T n =（3n ﹣5）2n +5．
24．
【答案】
【解析】解：（1）过A 、B 两点且面积最小的圆就是以线段AB 为直径的圆，∴圆心坐标为（0，2），半径r=|AB|=
=×=，
∴所求圆的方程为x 2+（y ﹣2）2=2；
（2）由圆与y 轴交于点A （0，﹣4），B （0，﹣2）可知，圆心在直线y=﹣3上，由，解得，
∴圆心坐标为（2，﹣3），半径r=，
∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．　。