福建省惠安惠南中学2017-2018学年高二上学期期中考试

泉州台商投资区惠南中学2017年秋季期中考试卷
高二数学 命题人
考试时间：120分钟 满分：150分 2017.11.9
班级 座号 姓名
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）
1.设集合{}33|
0,|log 15x M x N x x x +⎧⎫
=>=≥⎨⎬-⎩⎭
，则M N =（ ）
A ．[)3,5
B ．[]1,3
C ．()5,+∞
D ．(]3,3- 2.下列命题中，正确的是（ ） A ．3sin cos 2παα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
B ．常数数列一定是等比数列
C ．若10a b <<
，则1ab < D ．1
2x x
+≥ 3.已知等比数列{}n a 的公比q =2，其前4项和460S =，则3a 等于（ ） A ．16 B ．8 C ．-16 D ．-8 4.数列{}n a 的通项公式为323n a n =-，当n S 取到最小时，n =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
5.设0,0,4x y xy >>=，则22
x y y x
+取最小值时x 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a ，成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
32
53
S S S S --的值为（ ）
A ．-3
B ．-2
C ．3
D ．2
7.在ABC ∆中，,,a b c ，分别是角,,A B C 的对边，若角A B C 、、成等差数列，且3,c 1a ==，
则b 的值为（ ）
A
B ．2 C
D ．7
8.若实数,x y 满足不等式组102200x y x y y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
，则321z x y =++的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
9.已知三角形ABC ∆的三边长是公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为2
3
，则这个三角形的周长是（ ）
A ．18
B ．21
C ．24
D ．15 10.已知点(),x y P 、()3,0A 、()1,1B 在同一直线上，那么24x
y
+的最小值是（ ）
A
． B
． C ．16 D ．20 11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*3113,21,n n S a S n N +==+∈，则符合5n S a >的最小的n 值为（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5 12.已知()y f x =是定义在R 上的增函数且满足()()f x f x -=-恒成立，若对任意的
,x y R ∈，不等式()()2262180f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值
范围是（ ）
A ．（3，7）
B ．（9，25）
C ．（13，49）
D ．（9，49）
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、．若21
,3
b c C π
===，则ABC ∆的面积为______________．
14.已知函数()()()221691x x f x x x x ⎧>⎪
=⎨-+≤⎪⎩，则不等式()()1f x f >的解集是___________．
15.已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足：
12111
1,,3
n n n n b b a b b nb ++==+=，则{}n b 的前n 项和为______________．
16. 已知方程2
20x ax b ++=(,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则3
1
b a --的取值范围为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知不等式2
0ax x c ++>的解集为{}|13x x <<．
（1）求,a c 的值；
（2）若不等式2
240ax x c ++>的解集为A ，不等式30ax cm +<的解集为B ，且A B ⊂，
求实数m 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =， 且1233,3,4a a a ++构成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令31ln ,1,2,,n n b a n +==求数列{}n b 的前n 项和n T ．
19．（本小题满分12分）
（1）当1x >时，求函数()f x 的最小值；
（2）当1x <时，不等式()f x a ≤恒成立，求实数a 的最小值． 20．（本小题满分12分）
如图，在ABC △中，3
B π
=
，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，AC =
4
CED π=
∠． （1）求CE 的长；
（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．
21．（本小题满分12分）
某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，今年年初组织一些同学自筹资金196万元购进一台设备，并立即投入生产自行设计的产品，计划第一年维修、保养费用24万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备使用后，每年的总收入为100万元，设从今年起使用n 年后该设备的盈利额为()f n 万元。

（Ⅰ）写出()f n 的表达式；
（Ⅱ）求从第几年开始，该设备开始盈利；
（Ⅲ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备；方案二：当盈利额达到最大值时，以16万元价格处理该设备。

问用哪种方案处理较为合算?请说明理由.
22．（本小题满分12分）
设各项均为实数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11()n n n S a S n ++=∈*
N ．
（1）若1a ，2S ，22a -成等比数列，求2S 和3a ； （2）求证：对3k ≥有43
k a ≤．
泉州台商投资区惠南中学2017年秋季期中考试卷
高二数学试卷参考答案与评分标准
一、选择题（12小题，每题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.
4
3
14. }21|{><x x x 或
15. 1
312123-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯-n
16.1322
（，）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
（1）依题意得，1、3是方程2
0ax x c ++=的两根，且0a <，．．．．．．．．．．．．．．．1分
所以，011313a a c a ⎧
⎪<⎪
⎪
+=-⎨⎪
⎪⨯=⎪⎩
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分
解得1434
a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
（2）由（1）得13,44a c =-
=-，所以，2240ax x c ++>即为21
2304
x x -+->， 解得，26x <<，∴{}|26A x x =<<，
又30ax cm +<，即为0x m +>解得x m >-，∴{}|B x x m =>-，．．．．．．．．．．．．8分 ∵A B ⊂，∴{}{}|26|x x x x m <<⊂>-， ∴2m -≤，即2m ≥-，
∴m 的取值范围是[)2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．10分
18． （本小题满分12分）
（2）由（1）得3312n n a +=，3ln 23ln 2n
n b n ∴==．
又13ln 2n n b b +-=，{}n b ∴是等差数列．
12n n T b b b ∴=++
+1()(3ln 23ln 2)3(1)
ln 2.222
n n b b n n n n +++=
== 故3(1)
ln 22
n n n T +=
． 19．（本小题满分12分）
20．（本小题满分12分）
21．（本小题满分12分） （Ⅰ）2(1)
()100196[248]480196()2
n n f n n n n n n N *-=--+
=-+-∈.………3分 （Ⅱ）由()0f n >得：2
4801960n n -+->即2
20490n n -+<，
解得1010n <，由n N *
∈知，317n ≤≤， 即从第三年开始盈利………6分
（Ⅲ）方案①：年平均盈利为()f n n ，则()494()8048024f n n n n =-++≤-⋅=，当且仅当49
n n
=
，即7n =时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元.……10分 方案②：2
()4(10)204f n n =--+，当10n =时，取得最大值204，即经过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．………12分
22.
（2）由题设条件有11n n n n a S a S ++=+，故11,1n n S a +≠≠，且111,11
n n n n n n S a
a S S a +++=
=--， 从而对3k ≥有1
1211211
21112111
11111
11
k k k k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a a S a S a a a a ---------------+
+-=
===-+--++-- ①， 显然22
111131()024
k k k a a a ----+=-+
>，且210k a -≥， 要证43k a ≤，由①只要证21
211413k k k a a a ---≤-+，即证2211134(1)k k k a a a ---≤-+，
即证2
1(2)0k a --≥，此式明显成立，因此4
(3)3
k a k ≤
≥．。