人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 两条直线平行与垂直的判定

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
问题导学
一、两条直线平行
活动与探究1
判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行：
(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)；
(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；
(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)；
(4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)．
迁移与应用
1．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x 等于( )
A ．2
B ．－2
C ． 4
D ．1
2．已知过A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( )
A ．－8
B ．0
C ．2
D ．10
当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜率均不存在时，则两直线重合或平行．若两直线平行，则两直线的斜率相等或都不存在．
二、两条直线垂直
活动与探究2
(1)l 1经过点A (3,4)和B (3,6)，l 2经过点P (－5,20)和Q (5,20)，判断l 1与l 2是否垂直；
(2)直线l 1过点(2m,1)，(－3，m )，直线l 2过点(m ，m )，(1，－2)，若l 1与l 2垂直，求实数m 的值．
迁移与应用
1．已知直线l 1经过点A (－2,5)，B (3,5)，直线l 2经过点M (2,4)，N (2，－4)，则直线l 1与l 2的关系是( )
A ．l 1∥l 2
B ．l 1⊥l 2
C ．重合
D ．以上都不对
2．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－23
的直线垂直，则实数a 的值是( )
A ．－23
B ．－32
C ．23
D ．32
利用斜率来判断两直线的位置关系，不要忽视斜率不存在的情形．
①当两条直线的斜率都存在时，设这两条直线分别为l 1，l 2，它们的斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．
②当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两条直线也垂直．
三、两直线平行与垂直的综合应用
活动与探究3
已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．
迁移与应用
1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，且有一点D 满足CD ⊥AB ，CB ∥AD ，则D 点的坐标为( )
A ．(－1,0)
B ．(0，－1)
C ．(1,0)
D ．(0,1)
2．已知A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．以A 点为直角顶点的直角三角形
D ．以B 点为直角顶点的直角三角形
(1)在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明明确目标．(2)证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况．(3)判断四边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的四边形．
当堂检测
1．下列说法中正确的是( )
A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等
C ．垂直的两直线的斜率之积为－1
D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行
2．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( )
A ．1a
B ．a
C ．－1a
D ．－1a
或不存在 3．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )
A ．(3,0)
B ．(－3,0)
C ．(0，－3)
D ．(0,3)
4．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,0)，B (2,0)，C (2,3)，则AB 边上的高所在直线的斜率__________，BC 边上的高所在直线的斜率为__________．
5．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为__________．
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．k 1＝k 2 l 1∥l 2
预习交流1 提示：不一定．当两直线的倾斜角是90°时，斜率不存在．
2．k 1·k 2＝－1 l 1⊥l 2
预习交流2 (1)提示：不一定．当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两直线垂直，但斜率之积不存在．
(2)提示：在解答这类问题时，要特别注意斜率不存在的情况．特别的，如题目中含有字母参数，要进行分类讨论．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：斜率存在的直线求出斜率，利用l 1∥l 2⇔k 1＝k 2进行判断，两直线斜率都不存在的，可通过观察并结合图形得出结论．
解：(1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54
，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行． (2)k 1＝1，k 2＝2－12－1
＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)
＝－1，则有k 1＝k 2． 又k AM ＝3－1
－1－0＝－2≠－1， ∴A ，B ，M 不共线．故l 1∥l 2．
(4)由已知点的坐标，得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合，故有l 1∥l 2．
迁移与应用 1．A 2．A
活动与探究2 思路分析：(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若斜率不存在，可结合图形判断．
(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．
解：(1)直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为0，∴l 1⊥l 2．
(2)①当两直线斜率都存在，即m ≠－32且m ≠1时，有k 1＝1－m 2m ＋3，k 2＝m ＋2m －1
． ∵两直线互相垂直，∴1－m 2m ＋3·m ＋2m －1
＝－1．∴m ＝－1． ②当m ＝1时，k 1＝0，k 2不存在，此时亦有两直线垂直．
当2m ＝－3，m ＝－32时，k 1不存在，k 2＝m ＋2m －1＝－32＋2－32
－1＝－15，l 1与l 2不垂直． 综上m ＝±1．
迁移与应用 1．B 2．A
活动与探究3 思路分析：画出图形，由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．
解：A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置如图．由斜率公式可得
k AB =()531=,243
--- k CD =
031=,363--- k AD =()
03=3,34----- k BC =351=,622
--- k AB =k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD ．
由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．
又∵k AB ·k AD ＝13
×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ． 故四边形ABCD 为直角梯形．
迁移与应用 1．D 解析：k AB ＝2－(－1)2－1＝3，k CB ＝2－02－3
＝－2． ∵CD ⊥AB ，CB ∥AD ，∴CD 与AD 的斜率都存在．
设D 点坐标为(x ，y )，则k CD ＝y x －3，k AD ＝y ＋1x －1．解方程组1=,331=2,1
y x y x ⎧-⎪⎪-⎨+⎪-⎪-⎩得=0,=1,x y ⎧⎨⎩∴点D 坐标为(0,1)．
2．C 解析：k AB ＝1－(－1)－1－2＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32
，∴k AB ·k AC ＝－1．∴AB ⊥AC ．∴∠A 是直角．
【当堂检测】1．B
2．D
3．D
4．不存在0 5．4。