北京市石景山八年级数学上学期期末考试试题 北京课改版(1)
北京市石景山区景山学校2022-2023学年八年级数学第一学期期末联考试题含解析
2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．武侯区初中数学分享学习课堂改革正在积极推进，在一次数学测试中，某班的一个共学小组每位同学的成绩（单位：分；满分100分）分别是：92，90，94，88，记这组数据的方差为21S ．将上面这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣2，记这组新数据的方差为22S ，此时有21S ＝22S ，则21S 的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．52．甲从A 地到B 地要走m 小时，乙从B 地到A 地要走n 小时，若甲、乙二人同时从A 、B 两地出发，经过几小时相遇( )A ．(m +n )小时B ．2m n+小时 C ．m nnm +小时 D ．mnm n+小时 3．下列多项式： ①222x xy y +- ②222x y xy --+ ③22x xy y ++ ④2114x x ++， 其中能用完全平方公式分解因式的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若实数m 、n 满足 02m +=-，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 （ ） A ．12B ．10C ．8或10D ．65．如果2a b +=，那么代数式2b a a a a b ⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值是（ ）. A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．一次函数y kx k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，O 为线段AB 的中点，4cm AB =，1P 、2P 、3P 、4P 到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ）A ．1PB ．2PC ．3PD ．4P9．若ABC 中刚好有2B C ∠=∠ ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且A ∠ 称作“可爱角”．现有 一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）． A ．45︒或 36︒B ．72或 36C ．45︒或72︒D ．36︒或72︒或45︒10．点P (－2,3)到x 轴的距离是( ) A ．2B ．3C ．D ．511．甲乙两地铁路线长约500千米，后来高铁提速，平均速度是原来火车速度的1.8倍，这样由甲到乙的行驶时间缩短了1.5小时；设原来火车的平均速度为x 千米/时，根据题意，可得方程 （ ） A ．5005001.5 1.8x x+= B ．5005001.8 1.5x x+=C ．5005001.5 1.8x x-= D ．5005001.8 1.8x x-= 12．已知：将直线y kx b =+沿着y 轴向下平移2个单位长度后得到直线1y x =-，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ） A ．经过第一、二、四象限 B ．与x 轴交于(1,0) C ．与y 轴交于(0,1)D ．y 随x 的增大而减小二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，当∣BC-AC ∣最大时，点C 的坐标是________.14．近似数2.019精确到百分位的结果是_____．15．若点M （m ，﹣1）关于x 轴的对称点是N （2，n ），则m+n 的值是_____． 16．如图，ABC 中，6AB AC ==，12ABC S =△，BD CD =，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，则CF EF +的最小值为______．17．如图，=30∠︒AOB ，点P 在AOB ∠的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，连接CD 交OA 、OB 分别于点E 、F ；若PEF 的周长的为10，则线段=OP _____．18．函数y x 3=-x 的取值范围是 .三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB 、ED 分别垂直于BD ，点B 、D 是垂足，且AB CD =，AC CE =，求证：ACE ∆是直角三角形．20．（8分）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.74.55.16.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.53.5 3.5 3.64.9 3.7 3.85.6 5.5 5.96.25.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.26.4 3.54.5 4.5 4.65.4 5.66.6 5.8 4.5 6.27.5频数分布表分组划记频数2.0＜x≤3.5正正113.5＜x≤5.0195.0＜x≤6.56.5＜x≤8.08.0＜x≤9.5 2合计50（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？21．（8分）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．（10分）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，22．点D从点O出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD 绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）求证：△CDE是等边三角形（下列图形中任选其一进行证明）；（2）如图2，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．OC OD之间的地带，现要建一座23．（10分）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路,OC OD的距离相等，且到工厂A和工厂B 货物中转站P，若要求中转站P到两条公路,的距离也相等，请用尺规作出点P的位置．（不要求写做法，只保留作图痕迹）24．（10分）利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．（1）如图①，B ，C ，D 三点共线，AB BD ⊥于点B ，DE BD ⊥于点D ，AC CE ⊥，且AC CE =．若6AB DE +=，求BD 的长．（2）如图②，在平面直角坐标系中，ABC ∆为等腰直角三角形，直角顶点C 的坐标为(10)，，点A 的坐标为(21)-，．求直线AB 与y 轴的交点坐标． （3）如图③，90ACB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，若点B 坐标为0b (，)，点A 坐标为(0)a ，．则AOBC S =四边形 ．（只需写出结果，用含a ，b 的式子表示）25．（12分）如图，在ABC ∆中，AB BC =，D 为AC 上一点，且DA DB =，CB CD =，求DBC ∠的度数．26．先化简，再求值．22233111a a a a a a a a --+÷⨯+--，其中2019a = 参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、D【分析】根据方差公式计算出22S 的值，再根据21S ＝22S ，即可得出21S 的值． 【详解】x ＝（2+0+4﹣2）÷4＝1，()()()()222222210141211199544S -+-+-+--+++===，∵21S ＝22S ， ∴21S 的值为5， 故选：D ． 【点睛】本题考查了方差的实际应用，掌握方差的计算公式是解题的关键． 2、D【解析】假设甲、乙经过x 小时相遇, 令A 、B 距离为a ,甲从A 地到B 地要走m 小时，则甲的速度为am；乙从B 地到A 地要走n 小时，则乙的速度为,a n 根据题目中的等量关系列出方程求解即可.【详解】假设甲、乙经过x 小时相遇,令A 、B 距离为a ,甲从A 地到B 地要走m 小时，则甲的速度为am；乙从B 地到A 地要走n 小时，则乙的速度为,a n根据题意，列方程a ax x a m n +=， 解得.mnx m n=+ 故选:D. 【点睛】本题主要考查分式方程的应用,解题的关键是分析题意，找出题目中的等量关系. 3、B【解析】试题分析：①222x xy y +-，不能分解，错误；②2222()x y xy x y --+=--；③22x xy y ++，不能分解，错误；④22111(1)42x x x ++=+． 其中能用完全平方公式分解因式的有2个，为②④．故选B ． 考点：因式分解-运用公式法．4、B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.5、A【解析】（a－2ba）·aa b-=22a ba-·aa b-=a b a ba+-（）（）·aa b-=a+b=2.故选A.6、A【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可【详解】解：当k>0时，函数图象经过一、二、三象限；当k<0时，函数图象经过二、三、四象限，故A正确.故选A.【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k<0，b<0时，函数图像经过二、三、四象限是解答此题的关键.7、A【分析】根据轴对称图形概念进行解答即可.【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C 、是轴对称图形，不合题意；D 、是轴对称图形，不合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴;轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形叫做轴对称图形. 8、B【分析】根据O 为线段AB 的中点，AB ＝4cm ，得到AO ＝BO ＝2cm ，由P 1、P2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、2.8cm 、1.7cm ，得到OP 2＝2cm ，推出OP 2＝12AB ，根据直角三角形的判定即可得到结论． 【详解】∵O 为线段AB 的中点，AB ＝4cm ， ∴AO ＝BO ＝2cm ，∵P 1、P2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、2.8cm 、1.7cm ， ∴OP 2＝2cm ， ∴OP 2＝12AB ， ∴P 1、P2、P 3、P 4四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是P 2， 故选：B ． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定定理，熟记直角三角形的判定是解题的关键． 9、C【分析】根据三角形内角和为180°且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即可求解．【详解】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC ，且2B C ∠=∠， 情况一：当∠B 是底角时，则另一底角为∠A ，且∠A=∠B=2∠C ， 由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°， ∴5∠C=180°，∴∠C=36°，∠A=∠B=72°， 此时可爱角为∠A=72°，情况二：当∠C 是底角，则另一底角为∠A ，且∠B=2∠A=2∠C ， 由三角形内角和为180°可知：∠A+∠B+∠C=180°， ∴4∠C=180°，即∠C=45°，此时可爱角为∠A=45°， 故选：C ． 【点睛】本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角相等及三角形内角和为180°． 10、B【解析】直接利用点的坐标性质得出答案． 【详解】点P （-2，1）到x 轴的距离是：1． 故选B ． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标性质是解题关键． 11、C【分析】设原来高铁的平均速度为x 千米/时，则提速后的平均速度为1.8x ，根据题意可得：由甲到乙的行驶时间比原来缩短了1.5小时，列方程即可．【详解】解：设原来火车的平均速度为x 千米/时，则提速后的平均速度为1.8x ， 由题意得，5005001.5 1.8x x-=. 故选C. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 12、C【分析】根据直线平移的规律得到平移前的直线解析式，再根据一次函数的性质依次判断选项即可得到答案.【详解】∵直线y kx b =+沿着y 轴向下平移2个单位长度后得到直线1y x =-， ∴原直线解析式为：1y x =-+2=x+1， ∴函数图象经过第一、二、三象限，故A 错误，当y=0时，解得x=-1，图象与x 轴交点坐标为（-1,0），故B 错误； 当x=0时，得y=1，图象与y 轴交点坐标为（0,1），故C 正确； ∵k=1>0，∴y 随x 的增大而增大，故D 错误， 故选：C. 【点睛】此题考查一次函数的性质，函数图象平移的规律，根据图象的平移规律得到函数的解析式是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、（0，6）【解析】试题解析：当点,,A B C 在同一条直线上时, BC AC -取得最大值. 设直线AB 的解析式为: ,y kx b =+∴可得出方程组430k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得62b k =⎧⎨=-⎩， 则这个一次函数的解析式为y =−2x +6，当0x =时， 6.y =故点C 的坐标为：()0,6.故答案为()0,6.14、2.1【分析】根据四舍五入法可以解答本题．【详解】2.019≈2.1(精确到百分位)，故答案为2.1．【点睛】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义． 15、1【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案．【详解】∵点M （m ，﹣1）关于x 轴的对称点是N （2，n ），∴m =2，n =1，∴m +n =1．故答案为：1．【点睛】本题考查了关于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键． 16、4【分析】作BE ⊥AC 垂足为E ，交AD 于F ，此时CF+EF 最小，利用面积法即可求得答案．【详解】作BE ⊥AC 垂足为E ，交AD 于F ，∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC ，∴FB=FC ，∴CF+EF=BF+EF ，∵线段BE 是垂线段，根据垂线段最短，∴点E 、点F 就是所找的点； ∵12ABC S AC BE =， ∴221246ABC S BE AC ⨯===， ∴CF+EF 的最小值4BE ==．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、垂线段最短等知识，掌握应用面积法求高是解决这个问题的关键．17、1【分析】连接OD ，OC ，根据对称得出DOC ∆是等边三角形，进而得出答案．【详解】解：连接OD ，OC ，∵D 、C 分别是点P 关于直线OA 、OB 的对称点，DOF POF ∴∠=∠,COA POA ∠=∠,DO OP OC ==，PF DF =，PE CE =， 260DOC AOB ∴∠=∠=︒，CD=CE+EF+DF=PE+EF+PF =1，DOC ∴∆是等边三角形，10OP OD CD ∴===．故答案为：1．【点睛】本题依据轴对称的性质，得出DOC ∆是等边三角形是解题关键．18、x 3≥．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-1≥0，解得：x≥1．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．三、解答题（共78分）19、见解析【分析】利用HL 证出Rt △ABC ≌Rt △CDE ，从而得出∠ACB=∠CED ，然后根据直角三角形的性质和等量代换可得∠ACB ＋∠ECD=90°，从而求出∠ACE ，最后根据直角三角形的定义即可证明．【详解】证明：∵AB 、ED 分别垂直于BD∴∠ABC=∠CDE=90°在Rt △ABC 和Rt △CDE 中AB CD AC CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABC ≌Rt △CDE∴∠ACB=∠CED∵∠CED ＋∠ECD=90°∴∠ACB ＋∠ECD=90°∴∠ACE=180°－（∠ACB ＋∠ECD ）=90°∴△ACE 为直角三角形【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和直角三角形的判定，掌握利用HL 判定两个三角形全等、全等三角形的对应角相等和直角三角形的定义是解决此题的关键．20、详见解析【分析】（1）根据题中给出的50个数据，从中分别找出5.0＜x≤6.5与6.5＜x≤8.0的个数，进行划记，得到对应的频数，进而完成频数分布表和频数分布直方图．（2）本题答案不唯一．例如：从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户．（3）由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而11+19=30，故家庭月均用水量应该定为5吨．【详解】解：（1）频数分布表如下：分组划记频数2.0＜x≤3.5正正113.5＜x≤5.0195.0＜x≤6.5136.5＜x≤8.0 58.0＜x≤9.5 2合计50频数分布直方图如下：（2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户．（3）要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为5吨，因为月平均用水量不超过5吨的有30户，30÷50=60%． 21、证明见解析【分析】欲证BD=DE ，只需证∠DBE=∠E ，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE=∠E=30°．【详解】∵△ABC 为等边三角形，BD 是AC 边的中线，∴BD ⊥AC ，BD 平分∠ABC ，∠DBE=12∠ABC=30°．∵CD=CE ，∴∠CDE=∠E ．∵∠ACB=60°，且∠ACB 为△CDE 的外角，∴∠CDE+∠E=60°．∴∠CDE=∠E=30°，∴∠DBE=∠DEB=30°，∴BD=DE ．【点睛】考点：1．等边三角形的性质；2．三角形内角和定理；3．等腰三角形的判定与性质．22、 (1)见解析；(2) 存在，当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE ，∠DCA=∠ECB ，由等边三角形的判定可得结论；（2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE =60°，DC =EC ，∴△CDE 是等边三角形；（2）解：存在，①当0≤t ＜6s 时，由旋转可知，60ABE ∠=︒，60DBE ∠<︒，若90BED ∠=︒，由(1)可知，△CDE 是等边三角形，∴60DEC ∠=︒，∴60DEC ∠=︒，∴30CEB ∠=︒，∵CEB CDA ∠=∠，∴30CDA ∠=︒，∵60CAB ∠=︒，∴30DCA CDA ∠=∠=︒，∴4DA CA ==，∴OD =OA ﹣DA =6﹣4=2，∴t =2÷1=2s ； ②当6＜t ＜10s 时，由∠DBE =120°＞90°，∴此时不存在；③ t = 10s 时，点D 与点B 重合，∴此时不存在；④ 当t ＞10s 时，由旋转的性质可知， ∠CBE =60°又由（1）知∠CDE =60°，∴∠BDE =∠CDE +∠BDC =60°+∠BDC ， 而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE =90°，从而∠BCD =30°，∴BD =BC =4cm ，∴OD =14cm ，∴t =14÷1=14s ； 综上所述：当t =2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．23、见解析【分析】结合角平分线的性质及作法以及线段垂直平分线的性质及作法进一步分析画图即可.【详解】如图所示，点P 即为所求：【点睛】本题主要考查了尺规作图的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.24、（1）6；（2）（0,2）；（3）()24b a +【分析】（1）利用AAS 证出△ABC ≌△CDE ，根据全等三角形的性质可得AB=CD ，BC=DE ，再根据BD=CD ＋BC 等量代换即可求出BD ；（2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，利用AAS 证出△ADC ≌△CEB ，根据全等三角形的性质可得AD=CE ，CD=BE ，根据点A 和点C 的坐标即可求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，即可求出直线AB 与y 轴的交点坐标；（3）过点C 作CD ⊥y 轴于D ，CE ⊥x 轴于E ，根据正方形的判定可得四边形OECD 是正方形，然后利用ASA 证出△DCA ≌△ECB ，从而得出DA=EB ，S △DCA =S △ECB ，然后利用正方形的边长相等即可求出a 、b 表示出DA 和正方形的边长OD ，然后根据ECB AOBC AOEC S S S=+四边形四边形即可推出AOBC S 四边形=OECD S 正方形，最后求正方形的面积即可． 【详解】解：（1）∵AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°∴∠A ＋∠ACB=90°，∠ECD ＋∠ACB=180°－∠ACE=90°∴∠A=∠ECD在△ABC 和△CDE 中ABC CDE A ECDAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE∴AB=CD ，BC=DE∴BD=CD ＋BC=6AB DE +=（2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于 E∵△ABC 为等腰直角三角形∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=CB∴∠DAC ＋∠ACD=90°，∠ECB ＋∠ACD=180°－∠ACB=90°∴∠DAC =∠ECB在△ADC 和△CEB 中ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB∴AD=CE ，CD=BE∵点C 的坐标为()1,0，点A 的坐标为()21-，∴CO=1，AD=1，DO=2,∴OE=OC ＋CE= OC ＋AD=2，BE=CD=CO ＋DO=3，∴点B 的坐标为（2,3）设直线AB 的解析式为y=kx ＋b将A 、B 两点的坐标代入，得1232k b k b=-+⎧⎨=+⎩ 解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为122y x =+ 当x=0时，解得y=2∴直线AB 与y 轴的交点坐标为（0,2）；（3）过点C 作CD ⊥y 轴于D ，CE ⊥x 轴于E∵OC 平分∠AOB∴CD=CE∴四边形OECD 是正方形∴∠DCE=90°，OD=OE∵∠ACB=90°∴∠DCA ＋∠ACE=∠ECB ＋∠ACE=90°∴∠DCA=∠ECB在△DCA 和△ECB 中DCA ECB CD CECDA CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DCA ≌△ECB∴DA=EB ，S △DCA =S △ECB∵点B 坐标为()0b ，，点A 坐标为()0a ， ∴OB=b ，OA=a∵OD=OE∴OA ＋DA=OB －BE即a ＋DA=b －DA∴DA=2b a - ∴OD= OA ＋DA=2b a + ECB AOBC AOEC S S S=+四边形四边形 =DCA AOEC S S +四边形=OECD S 正方形= DA 2 =22b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭=()24b a +故答案为：()24b a +．【点睛】 此题考查的是全等三角形的判定及性质、同角的余角相等、求一次函数的解析式和正方形的判定及性质，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、同角的余角相等、利用待定系数法求一次函数的解析式和正方形的判定及性质是解决此题的关键．25、72°【分析】根据等腰三角形的“等边对等角”,由AB BC =可得A C ∠=∠，由DA DB =可得A ABD ∠=∠，由CB CD =可得CDB CBD ∠=∠，又根据“三角形的外角等于不相邻两内角和”可以得到CDB A ABD ∠=∠+∠，再由三角形内角和180°，可以求出DBC ∠的度数．【详解】解：AB BC =.A C ∴∠=∠.DA DB =.A ABD ∴∠=∠.CB CD =.CDB CBD ∴∠=∠.180A C ABC ∠+∠+∠=︒.设A C x ∠=∠=.2BDC DBC x ∠=∠=.3180x x x ∴++=︒.36x ∴=︒.故223672x DBC ==⨯︒=∠︒.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理.掌握“等边对等角”以及运用三角形内角和定理和三角形的外角定理是解题的关键.26、1a +，1．【分析】先根据分式的乘除法进行化简，再将a 的值代入求解即可． 【详解】原式(3)31(1)(1)(1)1a a a a a a a a a =--+÷⋅++--(3)(1)(1)1(1)31a a a a a a a a a -+-+⋅⋅+--= 1a =+当2019a =时，原式201912020=+=．【点睛】本题考查了分式的乘除法运算与求值，掌握分式的运算法则是解题关键．。
京改版八年级上册数学期末测试卷及含答案
京改版八年级上册数学期末测试卷及含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC=4m，则AB的长度为（）A.2 mB.4 mC.4 mD.6m2、如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，BD，OD，OC，若∠ABD＝15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为（）A.120°B.105°C.100°D.110°3、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（）A.95°B.85°C.75°D.35°4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（）A.100°B.120°C.135°D.150°5、当x＝时，x2＋2x的值是（）A.1B.2C.2 －1D.2 ＋16、在代数式、、6x2y、、、、中，分式有（）.A.4个B.3个C.2个D.1个7、我国四个直辖市的地铁标识中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8、设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③5＜a＜6；④a是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A.①④B.②③C.①②④D.①③④9、如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A.90°B.105°C.120°D.135°10、下列四个实数中，最小的是（）A. B.2 C. D.1.411、如图，在中，，以为圆心任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．已知，，为上动点，则的最小值为（）A.2B.3C.5D.812、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于A.50°B.60°C.70°D.80°13、数轴上A、B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是（）A. B. C. D.14、下列根式中属最简二次根式的是（）.A. B. C. D.15、如图，AB=AC，AF∥BC，∠FAC=75°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°二、填空题(共10题，共计30分)16、计算：________．17、生活中有一种可推拉的活动护栏，它是应用了数学中四边形的________．18、工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的________性．19、如图，等边△ABC的边长为8，D、E分别是BC、AC边的中点，过点D作DF ⊥AB于F，连接EF，则EF的长为________.20、Rt△ABC中，∠A=3∠C=90°，AB=3，点Q在边AB上且BQ= ，过Q作QF∥BC交AC于点F，点P在线段QF上，过P作PD∥AC交AB于点D，PE ∥AB交BC于点E，当P到△ABC的三边的距离之和为3时，PD+PE+PF=________.21、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为________.22、比较大小：________ （填“>”、“=”或“<”）．23、已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为________．24、已知，且，则________.25、当ａ＝－2时，二次根式的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简，再求值：x﹣2﹣，其中x=2 ﹣2．27、如图，已知△ABC，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上以相同速度由C点向A点运动．一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP 全等时，求点P运动的时间．28、老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积.老李测量了草坪各边得知：AB=3米,BC=4米,AD=12米,CD=13米,且AB⊥CB.请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积.29、如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P.（1）如果∠A=70°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）；①②③④在（2）的条件下，将直线MN绕点P旋转.（ⅰ）当直线MN与AB、AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由；（ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由.30、如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACG的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的关系，并说明理由．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、B4、C5、A6、B7、C8、C9、D10、D11、B12、B13、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)30、。
京市石景山区八年级(上)期末数学试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 8 小题，共 16.0 分）
1. 16 的算术平方根是（ ）
A. 4
B. ±4
C. −4
2. 在下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
总分
D. 2
A.
B.
C.
D.
3. 一个不透明的盒子中装有 5 个红球，3 个白球和 2 个黄球，这些球除了颜色外无其 他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是白球的可能性为（ ）
特例 3：3+15=415，
特例 4：
（填写一个符合上述运算特征的例子）．
2 观察、归纳，得出猜想．
如果 n 为正整数，用含 n 的式子表示上述的运算规律为：
．
3 证明你的猜想．
4 应用运算规律．
①化简：2018+12020×4040=
；
②若 a+1b=91b（a，b 均为正整数），则 a+b 的值为
18. 如图，点 A，B，C，D在同一条直线上，AB=DC，∠E=∠F， EC∥FB．求证：EA=FD．
19. 用适当的方法解下列方程：x2-2x-4=0．
20. 小石和小丁利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有 A，A，B，这些卡片除 了字母外完全相同．从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从 中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则小石获胜，否则小 丁获胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
27. 已知关于 x 的一元二次方程（m-1）x2+（m-4）x-3=0（m 为实数且 m≠1）． 1 求证：此方程总有两个实数根； 2 如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值．
2024北京石景山初二(上)期末数学试卷及答案
石景山初二期末试卷数 学学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6的算术平方根为（A ）3 （B）（C （D ）2．我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ） 3．若代数式31xx -的值为0，则实数x 的值为 （A ）0x =（B ）1x =（C ） 0x >（D ） 1x ≥4．下列说法中，正确的是（A ）“在标准大气压下，将水加热到100℃，水会沸腾”是随机事件 （B ）随机事件是可能会发生，也可能不会发生的事件 （C ）投掷一枚硬币10次，一定有5次正面向上 （D ）“事件可能发生”是指事件发生的机会很多．如图，△ABC 中AB 边上的高线为6．下列变形正确的是（A ）22x x y y +=+（B ）22a b a b a b -=--（C ）112x y x y+=+（D ）836222142a b a b a b =7．在一个不透明的袋子中，装有白球、红球若干个，各球除颜色外都相同.某校初二 五班30名同学做实验，从袋中任意摸一球，记录颜色后将球放回袋中搅匀，再进 行下一次摸球试验.每人做20次这样的摸球试验后，进行累计，发现全班试验中摸 出红球共100 次，估计袋中红球与白球数量的比值约为 （A ）1:5 （B ）1:6 （C ）1:11 （D ）1:128．关于x 的分式方程351x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是 （A ）5m >-（B ）5m <- （C ）5m >-且3m ≠-（D ）3m ≠-二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是 ． 10．在括号内填入适当的整式对分式变形：()2m n n =，变形的依据是 ．11． ()()11+= .12．如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的∠α= °.13．如图，点B ，C ，F ，E 在同一条直线上，BC =EF ，AB ∥DE ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个．．条件， 这个条件可以是 ；根据你添加的条件， 本题中判定两个三角形全等所用的方法为 .（A ）AD （B ）CE （C ）AF （D ）BG BC DEFA GBCEAFD4．国庆期间，某超市开展“有奖促销”活动，凡购物不少于50元的顾客均有一次转动转盘的机会．如图，转盘被平均分为8等份，指针固定不动，转动转盘，转盘停止后，当指针指向数字8时，该顾客获一等奖；当指针指向3或5时，该顾客获二等奖；若指针指向分界线则重转．顾客转动一次转盘，获一等奖或二等奖的可能性大小为．15．如图，△ABC中，AB=AC=1，BC．BD平分∠ABC. 则（1）∠C=°；（2）点D到BC的距离为 .16．如图，在等边△ABC中，AB=6，点O在AB上，且AO=4，点E是边BC上一动点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转得到线段OD，且∠DOE=60°.（1）连接DE，则△ODE的形状为；（2）当点E在边BC上运动时，连接CD，则CD的最小值为 .三、解答题（本题共68分，第17-21每小题5分；第22-23每小题6分；24题5分，第25-26每小题6分；第27-28每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17()021-+π．1819．解方程：311323162x x-=--．20．如图，AC，BD交于点O，OA=OD，∠1=∠2.求证：AB = CD.CB21B CDOADCBA21．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、 葭长各几何？”题目大意为：“如图，有一个池塘，其 底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC 生长在池塘 的中央，高出水面的部分BC 为1尺，如果把该芦苇沿 与池塘边垂直的方向拉向池塘边，那么芦苇的顶部C 恰 好碰到池塘边的C '处，问水深和芦苇长各多少尺？”请 根据题意解决问题.22．已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AB >BC .（1）利用尺规作图，作△ABC 中AC 边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：12CBD A ∠=∠.23．已知210a a +-=，求代数式321121a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭的值．24．台球技艺中包含了许多物理、数学的知识.图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E 的阻挡，击球者想通过正面击打主球M ，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次）， 经过一次反弹后正面撞击到目标球F .球的反弹路径类似于光的反射光路.台球桌 面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在AD 边上作出撞击点P ,使得 ∠MP A =∠FPD ，并用数学知识进行证明.锦囊：ACB 图3DFEM5．2023年8月29日华为Mate 60系列正式开售，某用户购买后进行手机测试，分别在5G和4G网络环境下，下载容量为920兆的同一个文件，发现在5G网络环境下载所需时间比4G网络环境下载的时间少105秒，测得5G网络环境下载的速度是4G网络环境下载速度的11.5倍，问该用户在5G网络环境下载文件的速度是每秒多少兆？26．小明根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究分式的运算规律.下面是小明的探究过程,请补充完整：（1）具体运算,发现规律.第1个：21222⨯=+;第2个：332233⨯=+;第3个：443344⨯=+;第4个：554455⨯=+;第5个：.……（2）观察、归纳，发现规律，得出猜想：第n个等式可以表示为：（n为正整数）.（3）证明（2）中的猜想.7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC =BC，D为射线BC上一点（不与点B，C 重合），连接AD并延长到点E，使得DE=AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F.（1）如图1，点D在线段CB上，且DB<CD.①请补全图形；②判断CD，DB，CF之间的数量关系，并证明.（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，请画出图形，直接写出CD，DB，CF之间的数量关系.（3）基于上面的题目，请提出一个变式或拓展探究性的问题.图28．在66 的正方形网格中，小正方形的边长为1，网格线的交点为格点，△ABC 为格点三角形（顶点都在格点上）．对于点P 与格点△ABC 给出如下定义：点P 为网格中一点（与点B ，C 不共线），连接P A ，PB ，PC ，若P A 与△PBC 的某条 边相等，则称P 为△ABC 的关联点.（1）如图1，在格点1P ，2P ，3P 中，是△ABC 关联点的是 ；（2）如图2，若点P 为△ABC 的关联点，当点P 是△ABC 内部(不含边界)的格点时，请标出所有满足条件的点P 的位置；（3）如图2，E 是△ABC 的边AC 上一点（不与点A ，C 重合），过点E 作AC 的垂线，与△ABC 的边AB (或BC )交于点F ．若线段EF 上存在△ABC 的两个 关联点，求线段AE 的取值范围.图1 图2AC第一学期初二期末答案及评分参考步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。
2022-2023学年北京市石景山区数学八年级第一学期期末学业水平测试试题含解析
2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了41.4元，而两个月前买同重量的这两样菜只要36元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%，但排骨单价却上涨了20%，设两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为x 元/斤，y 元/斤，则可列方程为（ ）A ．()()2362110%120%41.4x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩B ．()()241.42110%120%36x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩C ．()()241.4110%2120%36x y x y +=⎧⎨-+⨯+=⎩D ．()()236110%2120%41.4x y x y +=⎧⎨-+⨯+=⎩ 2．下列各数中，是无理数的是（ ）．A ．4B ．1-C ．πD ．0 3．计算：21y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（ ） A ．2y y -+14 B ．2y y ++14 C ．2y y 2-+14 D ．2y y 2++144．甲、乙两车从A 地出发，匀速驶向B 地．甲车以80km /h 的速度行驶1h 后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B 地并停留1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km /h ；②m ＝160；③点H 的坐标是（7，80）；④n ＝7.1．其中说法正确的有（ ）5．等腰三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．17cmC ．20cmD ．16cm 或20cm6．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为PQ ，则线段BQ 的长度为（ ）A ．53B ．52C ．4D ．57．某市为了处理污水需要铺设一条长为2000米的管道，实际施工时，×××××××，设原计划每天铺设管道x 米，则可列方程200020001010x x -=+，根据此情景，题目中的“×××××××”表示所丢失的条件，这一条件为（ ）A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期10天完成任务B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期10天完成任务C ．每天比原计划少铺设10米，结果提前10天完成任务D ．每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成任务8．若a=10，则实数a 在数轴上对应的点的大致位置是（ ）A ．点EB ．点FC ．点GD ．点H 9．解分式方程11322x x x-=---时，去分母变形正确的是（ ） A ．113(2)x x -+=+- B ．113(2)x x -+=---C ．113(2)x x -=---D ．113(2)x x -=-- 10．若a ＞b ，则下列结论不一定．．．成立的是（ ） A ．a +2＞b +2 B ．-3a ＜-3b C ．a 2＞b 2 D ．1-4a ＜1-4b二、填空题(每小题3分,共24分)11．若()()21||2x x --＝1．则x ＝___．12．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是________．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=2，则该等腰三角形的底角为________．14．比较大小：10_____1．（填“＞”、“=”或“＜”）15．如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x__y（用“＞”或“＜”填空）．1号2号16．如果a+b＝3，ab＝4，那么a2+b2的值是_．17．如图，∠BAC＝30°，AB＝4，点P是射线AC上的一动点，则线段BP的最小值是_____．18．如图，等腰△ABC中，AB=AC，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠DBC=15°，则∠A的度数是______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图所示，四边形ABCD中AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由20．（6分）在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点()0A a ，点，()0B b ，，且a b 、满足24420a a a b -++-=，点P 在直线AB 的左侧，且45APB ∠=．（1）求a b 、的值；（2）若点P 在x 轴上，求点P 的坐标；（3）若ABP ∆为直角三角形，求点P 的坐标．22．（8分）如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，BE ＝CF ． （1）求证：AD 平分∠BAC ．（2）写出AB +AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．23．（8分）老师在黑板上写出三个算式：225382-=⨯，229587-=⨯，22153827-=⨯，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯，22157822-=⨯，…（1）请你再写出一个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字表述上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．24．（8分）已知：等边三角形ABC ∆，BC 交y 轴于点D ，A a （，0），B b （，0），且a 、b 满足26910a a b +++-=．（1）如图，求A 、B 的坐标及CD 的长；（2）如图，点P 是AB 延长线上一点，点E 是CP 右侧一点，CP PE =，且60CPE ∠=︒．连接EB ．求证：直线EB 必过点D 关于x 轴对称的对称点；（3）如图，若点M 在CA 延长线上，点N 在AB 延长线上，且CMD DNA ∠=∠，求AN AM -的值．25．（10分）计算或因式分解：（1）计算：312127()932+÷-+-； （2）因式分解：(2)(4)1x x --+;（3）计算：232652(2)5(10)(2)x y xy x y x y xy xy •÷-+-÷．26．（10分）如图，在△ABC 中，AC ＝21，BC ＝13，D 是AC 边上一点，BD ＝12，AD ＝1．(1)求证：BD ⊥AC ．(2)若E 是边AB 上的动点，求线段DE 的最小值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据题目中设的两个月前的萝卜和排骨的单价，先列出两个月前的式子236x y +=，再根据降价和涨价列出现在的式子()()2110%120%41.4x y ⨯-++=，得到方程组．现在萝卜的价格下降了10%，就是()110%x -，排骨的价格上涨了20%，就是()120%y +，那么这次买菜的情况列式：()()2110%120%41.4x y ⨯-++=，∴方程组可以列为()()2362110%120%41.4x y x y +=⎧⎨⨯-++=⎩． 故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组． 2、C【分析】根据无理数的定义解答．＝2，是有理数；－1，0是有理数，π是无理数，故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3、A【解析】利用完全平方公式()222a 2b a ab b ±=±+化简即可求出值．【详解】解：原式＝y 2﹣y+14， 故选A ．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4、B【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．【详解】由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km ，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km ，则乙的速度为120km/h ．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B ，用时4小时，每小时比甲快40km ，则此时甲乙距离4×40=160km ，则m=160，②正确； 当乙在B 休息1h 时，甲前进80km ，则H 点坐标为（7，80），③正确；n=6+1+0.4=7.4，④错误．故选B．【点睛】本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．5、C【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况：①当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故答案选C．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．6、C【分析】设BQ=x，则由折叠的性质可得DQ=AQ=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BQD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【详解】设BQ=x，由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△BQD中，x2+32=（9﹣x）2，解得：x=1．故线段BQ的长为1．故选：C．【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．7、D【分析】工作时间＝工作总量÷工作效率．那么2000x÷表示原来的工作时间，那么()200010x÷+就表示现在的工作时间，10就代表原计划比现在多的时间．【详解】解：原计划每天铺设管道x米，那么10x+就应该是实际每天比原计划多铺了10米，而用200020001010x x-=+则表示用原计划的时间−实际用的时间＝10天，那么就说明每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成任务．故选：D．本题主要考查的是分式方程的实际应用，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．8、C【解析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．∴3＜4，∵，∴3＜a＜4，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出3＜4是解题关键．9、C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．【详解】解：去分母得：1-x=-1-3（x-2），故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．10、C【分析】根据不等式的性质逐项判断即得答案．【详解】解：A、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项结论成立，不符合题意；B、若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，故本选项结论成立，不符合题意；C、若a＞b≥0，则a2＞b2，若0≥a＞b，则a2＜b2，故本选项结论不一定成立，符合题意；D、若a＞b，则1－4a＜1－4b，故本选项结论成立，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，属于常考题型，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．【详解】解：∵()()21||21x xx--=+，∴x2﹣1＝1且x+1≠1，或|x|﹣2＝1，且x+1≠1，解得：x＝1或x＝±2．故答案为：1或±2．【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．12、十【分析】设这个多边形有n条边，则其内角和为()2180,n-︒外角和为360︒，再根据题意列方程可得答案．【详解】解：设这个多边形有n条边，则其内角和为()2180,n-︒外角和为360︒，()21804360n∴-︒=⨯︒28,n∴-=10,n∴=故答案为：十．【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握利用多边形的内角和与外角和定理列一元一次方程解决问题是解题的关键．13、45º【分析】根据特征值为2设设底角为x︒，则顶角为2x︒，再根据三角形内角和定理列方程求解即可.【详解】解：∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值=2，∴设底角为x︒，则顶角为2x︒，∴x︒+x︒+2x︒=180︒，∴x︒=45︒，∴底角为45︒，故答案为：45︒.【点睛】列方程是解此题的关键.14、＞．【解析】先求出【详解】∵12=9＜10，＞1，故答案为＞．【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．15、＜【解析】如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x ＜y ， 故答案为＜．16、1．【分析】直接利用已知结合完全平方公式计算得出答案．【详解】∵a +b ＝3，ab ＝4，∴（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝9，∴a 2+b 2＝9﹣2×4＝1． 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用公式是解题关键．17、1【分析】先根据垂线段最短得出，当BP AC ⊥时，线段BP 的值最小，再根据直角三角形的性质（直角三角形中，30所对直角边等于斜边的一半）即可得出答案．【详解】由垂线段最短得：当BP AC ⊥时，线段BP 的值最小30,4BAC AB ∠=︒=122BP AB ∴== 故答案为：1．【点睛】本题考查了垂直定理：垂线段最短、直角三角形的性质，根据垂线段最短得出线段BP 最小时BP 的位置是解题关键．18、50°【分析】设∠A=x ，根据折叠的性质可得∠DBA=∠A=x ，然后根据角的关系和三角形外角的性质即可求出∠ABC和∠BDC，然后根据等边对等角即可求出∠C，最后根据三角形的内角和定理列出方程即可求出结论．【详解】解：设∠A=x，由折叠的性质可得∠DBA=∠A=x∴∠ABC=∠DBC ＋∠DBA=15°＋x，∠BDC=∠DBA＋∠A=2x∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=15°＋x∵∠C＋∠DBC＋∠BDC=180°∴15＋x＋15＋2x=180解得：x=50即∠A=50°故答案为：50°．【点睛】此题考查的是折叠的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握折叠的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理和方程思想是解决此题的关键．三、解答题(共66分)19、证△ABE≌△ADF（AD=AB、AE=AF）【分析】由题中条件AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，可得AE=AF，由AB=AD，可由HL判定Rt△ABE≌Rt△ADF，即可得证．【详解】图中△ADF和△ABE全等．∵AC平分∠BCD，AF⊥CD，AE⊥CE；∴AF=AE，∠AFD=∠AEB=90°在Rt△ADF与Rt△ABE中，AB=AD，AF=AE∴Rt△ADF≌Rt△ABE．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理HL，判定定理即“斜边，直角边判定定理”判定直角三角形全等．注意应用．20、（1）见解析；（2）CD AD+BD，理由见解析；（3）CD+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝32AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH ＝12AD ，∴DH 2AD ， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD AD +BD ，故答案为：CD +BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.21、（1）a ＝2，b ＝1；（2）P （1，0）；（3）P （﹣1，2）或（﹣2，﹣2）．【分析】（1）将244a a -+利用完全平方公式变形得到（a-2）2+|2a-b|＝0，即可求出a 、b 的值；（2）由b 的值得到OB=1，根据45APB ∠=得到OP=OB=1，即可得到点P 的坐标； （3）由45APB ∠=可分两种情况求使ABP ∆为直角三角形，当∠ABP ＝90°时，当∠BAP ＝90°时，利用等腰三角形的性质证明三角形全等，由此得到点P 的坐标.【详解】（1）∵a 2-1a+1+|2a-b|＝0，∴（a-2）2+|2a-b|＝0，∴a ＝2，b ＝1．（2）由（1）知，b ＝1，∴B （0，1）．∴OB ＝1．∵点P 在直线 AB 的左侧，且在 x 轴上，∠APB ＝15°∴OP ＝OB ＝1，∴P （1，0）．（3）由（1）知 a ＝﹣2，b ＝1，∴A （2,0），B （0,1）∴OA ＝2，OB ＝1，∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝15°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝15°，∴∠APB＝∠BAP＝15°.∴AB＝PB .过点P 作PC⊥OB 于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90 °，∴∠ABO＝∠BPC .在△AOB 和△BCP 中，AOB BCP90ABO BPCAB PB︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB≌△BCP(AAS) .∴PC＝OB＝1，BC＝OA＝2 .∴OC＝OB﹣BC＝2.∴P(-1，2)②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'≌△BOA.∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝1.∴OD ＝AD ﹣OA ＝2.∴P'（﹣2，-2）.即：满足条件的点P （﹣1，2）或（﹣2，﹣2）.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，完全平方公式，三角形全等的判定及性质，分类讨论直角三角形形成的点的坐标.22、（1）详见解析；（2）AB +AC ＝2AE ，理由详见解析.【分析】（1）根据相“HL ”定理得出△BDE ≌△CDF ，故可得出DE ＝DF ，所以AD 平分∠BAC ；（2）由（1）中△BDE ≌△CDE 可知BE ＝CF ，AD 平分∠BAC ，故可得出△AED ≌△AFD ，所以AE ＝AF ，故AB +AC ＝AE ﹣BE +AF +CF ＝AE +AE ＝2AE ．【详解】证明：（1）∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠E ＝∠DFC ＝90°，∴△BDE 与△CDE 均为直角三角形，∵在Rt △BDE 与Rt △CDF 中,,,BD CD BE CF =⎧⎨=⎩ ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ；（2）AB +AC ＝2AE ．理由：∵BE ＝CF ，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵∠E ＝∠AFD ＝90°，∴∠ADE ＝∠ADF ，在△AED 与△AFD 中，,,,EAD CAD AD AD ADE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AED ≌△AFD ，∴AE ＝AF ，∴AB +AC ＝AE ﹣BE +AF +CF ＝AE +AE ＝2AE ．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．23、（1）152-92=8×18，132-92=8×11；（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）证明见解析．【分析】（1）根据算式的规律可见：左边是两个奇数的平方差，右边是8的倍数；可写出相同规律的算式；（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）可设任意两个奇数为：2n+1，2m+1（其中n 、m 为整数）计算即可．【详解】解：（1）通过对老师和王华算式的观察，可以知道，左边是奇数的平方差，右边是8的倍数，∴152-92=8×18，132-92=8×11，…； （2）上述规律可用文字描述为：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3）证明：设m 、n 为整数，则任意两个奇数可表示为2m+1和2n+1，∴（2m+1）2-（2n+1）2=（2m-2n ）（2m+2n+2）=4（m-n ）（m+n+1），又∵①当m 、n 同奇数或同偶数时；m-n 一定是偶数，设m-n=2a ；②m 、n 一奇数一偶数；m+n+1一定是偶数，设m+n+1=2a∴（2m+1）2-（2n+1）2=8a （m+n+1），而a （m+n+1）是整数，∴任意两个奇数的平方差等于8的倍数成立．【点睛】本题考查了一个数学规律，即任意两个奇数的平方差等于8的倍数．通过本题的学习可见数字世界的奇妙变换，很有意义．24、（1）A （-3,0），B （1,0），CD=2；（2）见解析；（3）6.【分析】（1）首先利用绝对值的非负性得出3,1a b =-=，即可得出点A 、B 的坐标；得出AB 、BC ，然后由∠CBA=60°得出∠ODB=30°，进而得出BD ，得出CD ；（2）首先判定△CEP 、△ABC 为等边三角形，进而判定△CBE ≌△CAP ，然后利用角和边的关系得出DO=OF ，即可判定点D 、F 关于x 轴对称，直线EB 必过点D 关于x 轴对称的对称点；（3）作DI ∥AB ，判定△CDI 为等边三角形，然后判定△MDI ≌△NDB ，得出NB=MI ，进而得出AN AM -的值.【详解】（1）∵26910a a b +++-=，即()2310a b ++-=∴30,10a b +=-=∴3,1a b =-=∴A （-3,0），B （1,0），∴AB=BC=4，∵∠CBA=60°∴∠ODB=30°∴BD=2OB=2∴CD=BC-BD=4-2=2；（2）延长EB 交y 轴于F ，连接CE ，如图所示：∵CP PE =，60CPE ∠=︒∴△CEP 为等边三角形∴∠ECP=60°，CE=CP由（1）中得知，△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，CA=CB∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+∠BCP∴∠ACP=∠BCE∴△CBE ≌△CAP （SAS ）∴∠CEB=∠CPA∴∠EBP=∠ECP=60°∴∠FBO=∠DBO=60°∴∠BFO=∠BDO=30°∴BD=BF∵BO ⊥DF∴DO=OF∴点D 、F 关于x 轴对称∴直线EB 必过点D 关于x 轴对称的对称点；（3）过点D 作DI ∥AB 交AC 于I ，如图所示：由（2）中△ABC 为等边三角形，则△CDI 为等边三角形，∴DI=CD=DB∴∠MID=120°=∠DBN ∴△MDI ≌△NDB （AAS ）∴NB=MI∴AN-AM=（AB+NB ）-AM=AB+MI-AM=AB+AI=AB+BD=4+2=6【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握，即可解题.25、（1）3；（2）()23x -；（3）32x --【分析】（1）根据立方根的定义、算术平方根的定义和绝对值的定义计算即可； （2）先根据多项式乘多项式法则去括号，然后利用完全平方公式因式分解即可； （3）根据幂的运算性质、单项式乘单项式法则、单项式除以单项式法则、多项式除以单项式法则计算即可．【详解】解：（1312127()932-+- =1313()322+⨯-+ =113()22+-+=3（2）(2)(4)1x x --+=2681x x -++=269x x -+=()23x -（3）232652(2)5(10)(2)x y xy x y x y xy xy •÷-+-÷=2563685(10)(2)x y xy x y x •÷-+-=655740(10)(2)x y x y x ÷-+-=42x x -+-=32x --【点睛】此题考查的是实数的混合运算、因式分解和整式的乘除法，掌握立方根的定义、算术平方根的定义、绝对值的定义、多项式乘多项式法则、利用完全平方公式因式分解、幂的运算性质、单项式乘单项式法则、单项式除以单项式法则、多项式除以单项式法则是解决此题的关键．26、 (1)证明见解析；(2)线段DE 使得最小值为9.2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可．（2）根据垂线段最短可得出当DE ⊥AB 时，DE 长度最小，再利用面积法可求出线段DE 的最小值．【详解】解：(1)∵AC ＝21，AD ＝1，∴CD ＝AC ﹣AD=5，在△BCD 中，BD 2+CD 2＝122+52＝19＝BC 2，∴∠BDC ＝90°，∴BD ⊥AC ．(2)当DE ⊥AB 时，DE 最短，在Rt △ABD 中，AB =20， ∵12•AD•DB ＝12•AB•DE ， ∴DE ＝161220⨯＝9.2， ∴线段DE 使得最小值为9.2．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。
2021-2022学年北京市石景山区八年级上学期期末数学试题及参考答案
2021-2022学年北京市石景山区第一学期初二期末试卷数 学一、选择题（下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。
本题共16分，每小题2分）1．25的平方根是(A)5(B)5-(C)5±(D)5±2．下列各式从左到右变形正确的是(A)2362x xx =(B)11n n m m +=+ (C)n m n m m n mn--=(D)22n n m m=3．如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、 奥林匹克五环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体.以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为(A)(B) (C) (D)4．下列运算正确的(A)325+= (B)20102÷= (C)326⨯= (D)()233-=-5．下列说法正确的是(A)“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件会徽图形 会徽印鉴 奥林匹克标志图1 图2(B)“打开电视机，正在播放乒乓球比赛”是必然事件 (C)“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件(D) 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次 6．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简()22ab +的结果是(A)a b -+ (C)a b +(B)a b -- (D)a b -7．如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同. 现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是(A)15(B)25(C)35(D)458．如图，在ABC △中，110BAC ∠=°，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，AB 的垂直 平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，连接AF ， 则FAD ∠的度数为 (A) 20° (C) 35° (B) 30° (D) 70°二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若代数式3x -有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．有下列命题：①可以在数轴上表示无理数3；②若22a b >，则a b >；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为 （填序号）．11. 已知三角形的两边长分别为3和5，则这个三角形的第三边长可以是 （写出一个即可）.12．如图，点C 是线段AB 的中点，DA ∥EC ．请你只添加一个条件，使得DAC △≌ECB △． （1）你添加的条件是 ；BECAD 0b 1aF E DABC越野滑雪 速度滑冰 花样滑冰 高山滑雪 单板滑雪大跳台（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）（2）依据所添条件，判定DAC △与ECB △全等的理由是 ． 13．计算(的结果是 ．14．若230x x +-=，则代数式21()1x x x x -⋅-的值是 ．15．如图，点D 是AOB ∠的平分线OC 上一点，过点D 作DE ∥OB 交射线OA 于点E ，则线段DE 与OE 的数量关系为：DE OE （填“＞”或“=”或“＜”）．16．如图，在12Rt OA A △中，190A ∠=°，2111A A OA ==，以2OA 为直角边作等腰直角23OA A △，再以3OA 为直角边作等腰直角34OA A △，…，按照此规律作图，则4OA 的长度为 ，n OA 的长度为 ．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17(21+. 18．计算：2-.19．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，CA CB =，点D 是ACB △内一点，连接CD ，过点C 作CE CD ⊥且CE CD =，连接AD ，BE .求证：AD BE =.20．计算：23122x x x x -----.21．下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：如图1，直线l 及直线l 上一点P . 求作：直线PQ ，使得PQ l ⊥.P76作法：如图2，①以点P 为圆心，任意长为半径作弧，交直线l 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的同样长为半径作弧，两弧在直线l 的 同侧交于点Q ； ③作直线PQ .直线PQ 就是所求作的直线. 根据小明设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明. 证明：连接QA ，QB .∵QA = ，PA PB =，∴PQ l ⊥（ ）（填推理的依据）.22．已知2x =，求代数式2104233x x x -+÷--⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.23．解分式方程：1312x xx -+=+.24．如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，10AB =，6AC =．AD 平分CAB ∠交BC于点D ． （1）求BC 的长； （2）求CD 的长.25．列方程解应用题．某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用22天完成了任务.求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？26．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二图2次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1==特例2==特例3=特例4=特例5 （填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律为： ． （3）证明你的猜想． （4）应用运算规律．= ；=（a ，b 均为正整数），则a b +的值为 ． 27．点P 为等边ABC △的边AB 延长线上的动点，点B 关于直线PC 的对称点为D ，连接AD .（1）如图1，若2BP AB ==，依题意补全图形，并直接写出线段AD 的长度； （2）如图2，线段AD 交PC 于点E ， ①设BCP α∠=，求AEC ∠的度数；②求证：AE CE DE =+.28．在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，6CA CB ==，点P 是线段CB 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作直线l CB ⊥交AB 于点Q .给出如下定义：若在AC 边上存在一点M ，使得点M 关于直线l 的对称点N 恰好在．ACB △的边上．．．，则称点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”.例如，图1中的点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”.（1）如图2，若1CP =，点1M ，2M ，3M ，4M 在AC 边上且11AM =，22AM =，34AM =，46AM =.在点1M ，2M ，3M ，4M 中，是ACB △的关于直线l 的“反称点”为 ；（2）若点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”，恰好使得ACN △是等腰三角形，求AM 的长；（3）存在直线l 及点M ，使得点M 是ACB △的关于直线l 的“反称点”，直接写出线段CP 的取值范围.图1 图2图1 图2 备用图l(M 4M M 2M l2021-2022学年北京市石景山区第一学期初二期末数学答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。
北京市石景山区八年级(上)期末数学试卷
27．（5 分）等边△ABC 的边长为 4，D 是射线 BC 上任一点，线段 AD 绕点 D 顺
时针旋转 60°得到线段 DE，连接 CE．
（1）当点 D 是 BC 的中点时，如图 1，判断线段 BD 与 CE 的数量关系，请直接 写出结论：（不必证明）；
（2）当点 D 是 BC 边上任一点时，如图 2，请用等式表示线段 AB，CE，CD 之间 的数量关系，并证明；
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7．（3 分）化简
的结果是（ ）
A．x+1
B．
C．x﹣1
D．
8．（3 分）如图，Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线与 AC 交 于点 D，与 AB 交于点 E，连接 BD．若 AD=14，则 BC 的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．（3 分）如图 1，已知三角形纸片 ABC，AB=AC，∠C=65°．将其折叠，如图 2，
使点 A 与点 B 重合，折痕为 ED，点 E，D 分别在 AB，AC 上，那么∠DBC 的度
数为（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
10．（3 分）如图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的．若 AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边
（3）当点 D 是 BC 延长线上一点且 CD=1 时，如图 3，求线段 CE 的长．
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北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的．
1．A； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．B； 7．A； 8．D； 9．B； 10．A； 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．3； 12． ； 13．AC=DF； 14．﹣m3； 15． ； 16． ；
北京市石景山区八年级数学第一学期期末考试试题
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷八年级数学一、 选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．36的平方根是（ ）A ． 6±B ． 6C ． 36±D ．362．223-=（ ）A ．3 BC ．D ．3．当<0x 的值为（ ） A ． 1- B ．1C ．1±D ．x4．若分式22xx -+的值是零，则x 的值是（ ） A ．0=xB ．2±=xC ．2-=xD ．2=x5．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）A ．必然事件B ．随机事件C ．确定事件D ．不可能事件6． 下列图形中，是轴对称图形的是( )ABCD7．五边形内角和的度数是( )A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，//1=502=60a b ∠︒∠︒，，，则3∠的度数为( ) A ．80° B ．70° C ．60°D ．50°9．如图，已知点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是（ ） A ．∠B =∠E B ．∠BCA =∠F C ．BC ∥EFD ．∠A =∠EDF10．如图，分别写有实数2255π-，，，从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是（ ）A ．41 B ．21 C ．34D ．1二、 填空题（本题共15分，每小题3分）112x +x 的取值范围是 ． 12．计算(33)(3+1)= ．13．等腰三角形的两条边分别为4cm 和8cm ，则这个三角形的周长为 ．ABDEFab 1 23π525-214．等腰直角△ABC 中，BC =AC =1，以斜边AB和长度为1的边BB 1为直角边构造 直角△ABB 1，如图，这样构造下去……， 则AB 3= ；AB n = ． 15．对于非零的两个实数a 、b ，规定ab b a 11-=⊕，若()1122=-⊕x ，则x 的值为 ．三、解答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 16+． 解：173x y --互为相反数，求+x y 的值． 解：18．解方程：2216124x x x --=+-. 解：319．先化简，再求值：21()(1)1x x x x x-÷+--，其中=2x . 解：四、画图题（本题满分6分）20．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A 和点B 是格点，位置如图． （1）在图1中确定格点C 使△ABC 为直角三角形，画出一个这样的△ABC ； （2）在图2中确定格点D 使△ABD 为等腰三角形，画出一个这样的△ABD ； （3）在图2中满足题（2）条件的格点D 有________个．五、列方程解应用题（本题满分6分）21．某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准》（以下简称《标准》），同时每人配套购买一本《数学课程标准解读》（以下简称《解读》）．其中《解读》的单价比《标准》的单价多25元．若学校购买《标准》用了378元，购买《解读》用了1053元，请问《标准》和《解读》的单价各是多少元？六、解答题（本题共3个小题，共17分） 22．(本小题6分)叙述并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程． 定理： 已知： 求证： 证明：23．(本小题5分) 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =36°． （1）用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的所有等腰三角形（用字母表示，写在横线上，不要求证明）．24．(本小题6分)已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD ⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD =∠FCD ． 求证：（1）△ABD ≌△CFD ；（2）BE ⊥AC ． 证明：ABABCDEF七、探究题（本题满分6分）25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，若把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．（1）当∠A＝35°时，求∠CBD的度数．（2）若AC ＝4，BC ＝3，求AD的长．（3）当AB＝m（m >0），△ABC的面积为m +1时，求△BCD的周长．（用含m的代数式表示）石景山区2012-2013学年度第一学期期末考试八年级数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）16．解：原式-……………………………………………3分BCDE=2+ ……………………………………………5分 17．解：由已知可得⎩⎨⎧=--=+-03092y x y x ………………………………………………2分； 解出⎩⎨⎧==1215y x 所以27=+y x . ………………………………………5分18．解：22(2)(4)16x x ---=．...............................................................................2分48x -=．2x =-． ……………………………………………………..4分检验：2x =-时最简公分母(+2)(2)=0x x -，所以2x =-是增根． ∴原方程无解． ……………………………………5分 19.解：21()(1)1x x x x x-÷+--＝()21111x x x x -⋅-+＝1x. ……………………4分 当2=x 时，原式＝＝2. ……………………………………………5分 四、画图题（本题满分6分）20．解：(1) 画出一个如下图1中的一个三角形………………………………2分(2) 画出一个如下图2中的一个三角形………………………………4分(3) 4．（理由如图2） (6)分五、列方程解应用题（本题满分6分）21．解：设《标准》的单价为x 元，则《解读》的单价为(x +25)元. ……1分根据题意，得x 378=251053x ， …………………………………3分解得，x =14. ………………………………………………………4分经检验x=14是所列方程的解，且符合题意. ……………………………5分∴x +25=39.答：《标准》的单价为14元，则《解读》的单价为39元. …………6分（注：不检验、不作答各扣1分）六、解答题（本题共3个小题，共17分）22．(本小题6分)解：定理：三角形的三个内角和等于180°……………………1分 已知：△ABC （如图）.求证：∠A +∠B +∠ACB =180°. …………2分 证明：延长BC 到D ，过C 作CE//AB . …………3分∴ ∠1=∠A ,AE12∠2=∠B .∵∠1+∠2+∠ACB ＝180°，∴∠A +∠B +∠ACB =180°. ………………6分 23．(本小题5分)解：(1)如右图…………………………………………2分(2) △ABC 、△ADB 、△DBC …………………5分 (每写出一个得1分)24．(本小题6分)解：证明：(1) ∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB =∠CDF =90°.∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°. ……………………..1分∴ AD=CD . ………………………………………2分在△ABD 和△CFD 中，ADB CDF AD CDBAD FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝ ∴ △ABD ≌△CFD . ………………………………3分(2) ∴ BD=FD . ……………………………………………………………4分 ∵ ∠FDB =90°，∴∠FBD ＝∠BFD ＝45°. ∵∠ACB ＝45°，∴∠CEB ＝90°.∴ BE ⊥AC ． ………………………………………………………………6分七、探究题（本题满分6分） 25．解： （1）20°． …………………………1分（2）设AD ＝x ，由已知BD ＝x ；CD ＝4-x .在△BCD中，∠C =90°，根据勾股定理,得ABCDx 2=(4-x )2+32 ……………2分解得x ＝258. ∴AD ＝258………………………3分（3）设AC ＝b ，BC ＝a ，由已知m 2=a 2+b 2，且112ab m =+……………4分可求出a +b =m +2. ……………5分由已知a +b 即为△BCD 的周长， 所以△BCD 的周长为m +2. ……………6分ABCD E。
北京石景山2022年数学八年级第一学期期末达标检测模拟试题含解析
2022-2023学年八上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知23x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程26x ay -=的一组解，则a 的值为（ ）． A ．5- B ．23 C ．5 D ．32- 2．下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）A ．9，12，15B ．3, 4, 5C ．1，2，3D ．40，41，9 3．如图，在四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D 的度数为( )A ．115°B ．105°C ．95°D ．85°4．如图，90ACB ∠=︒，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．22.5°D ．15°5．下列运算不正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()4312y y =C ．33(2)8x x -=-D ．3362x x x +=6．如图，等边ABC ∆的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是边AC 上一点，若3AE =，则EM CM +的最小值为（ ）A ．226B ．33C ．23D ．927．若 x 2+ mx + 9 是一个完全平方式，那么 m 的值是（ ）A ．9B ． ±18C ．6D ．±68．有下列五个命题：①如果20x >，那么0x >；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图为一次函数1(0)y ax b a =+≠和2(0)y bx a b =+≠在同一坐标系中的图象，则12y ax b y bx a =+⎧⎨=+⎩，的解x m y n =⎧⎨=⎩，中（ ）A ．0m >，0n >B ．0m >，0n <C ．0m <，0n >D ．0m <，0n < 10．要使分式13x +有意义，则x 的取值应满足( ) A ．3x ≥ B ．-3x < C ．3-≠x D ．3x ≠11．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程4000400010x x--＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ） A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成12．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ．1．4 cm 2B ．1．5 cm 2C ．1．6 cm 2D ．1．7 cm 2二、填空题（每题4分，共24分）13．我国南宋数学家杨辉用如图的三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”，观察左边()n a b +展开的系数与右边杨辉三角对应的数，则6()a b +展开后最大的系数为_____14．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，顶点B 为（﹣4，0），顶点C 为（1，0），将△ABC 关于y 轴轴对称变换得到△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1关于直线x ＝2（即过（2，0）垂直于x 轴的直线）轴对称变换得到△A 2B 2C 2，再将△A 2B 2C 2关于直线x ＝4轴对称变换得到△A 3B 3C 3，再将△A 3B 3C 3关于直线x ＝6轴对称变换得到△A 4B 4C 4…，按此规律继续变换下去，则点A 10的坐标为_____．15．16的平方根是 ．16． “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来” 喻义要想拥有珍贵品质或美好才华等是需要不断的努力、修炼、克服一定的困难才能达到的据有关资料显示，梅花的花粉直径大约是0.00002米，数字0.00002用科学记数法表示为______17．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S 甲2、S 乙2，且S 甲2＞S 乙2，则队员身高比较整齐的球队是_____．18．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ．若BD ＋AC ＝3a ，则AC ＝_________．(用含a 的式子表示)三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知在△ABC 中，CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线．(1)求证：∠A ＝2∠E ，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠2是△BCE 的一个外角，(已知) ∴∠ACD ＝∠ABC+∠A ，∠2＝∠1+∠E(_________) ∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∠E ＝∠2﹣∠1(等式的性质)∵CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线(已知)∴∠ACD ＝2∠2，∠ABC ＝2∠1(_______)∴∠A ＝2∠2﹣2∠1(_________)＝2(∠2﹣∠1)(_________)＝2∠E(等量代换)(2)如果∠A ＝∠ABC ，求证：CE ∥AB ．20．（8分）如图，在ABC ∆中，AB BC =，60ABC ∠=︒，线段AC 与AD 关于直线AP 对称，E 是线段BD 与直线AP 的交点．（1）若15DAE ∠=︒，求证：ABD ∆是等腰直角三角形；（2）连CE ，求证：BE AE CE =+．21．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC 的度数；(2)求证：DC ＝AB ．22．（10分）甲、乙两人在净月大街上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与甲出发的时间x （分）之间的关系如图中折线OA ﹣AB ﹣BC ﹣CD 所示． （1）甲的速度为 米/分，乙的速度为 米/分；乙用 分钟追上甲；乙走完全程用了 分钟．（2）请结合图象再写出一条信息．23．（10分）甲、乙两车从A 地出发，沿同一路线驶向B 地，甲车先出发匀速驶向B 地，40min 后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km /h ，结果与甲车同时到达B 地，甲乙两车距A 地的路程y （km ）与乙车行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示（1）a ＝ ，甲的速度是 km /h ；（2）求线段CF 对应的函数表达式，并求乙刚到达货站时，甲距B 地还有多远？ （3）乙车出发 min 追上甲车？（4）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距40km ．24．（10分）阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，试判断△ABC 的形状．解：∵ 222244a c b c a b -=-， ①∴ 2222222()()()c a b a b a b -=-+． ②∴ 222c a b =+． ③∴ △ABC 是直角三角形． ④回答下列问题：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?请写出该步的代码为 ． （2）错误的原因为 ．（3）请你将正确的解答过程写下来．25．（12分）如图，在ABC 中，AB AC =，点,E F 分别在,AB AC 上，AE AF =，BF 与CE 相交于点P ．（1）求证：AEC AFB △≌△．（2）若10PB =，则求PC 长．26．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】将23x y =⎧⎨=-⎩代入26x ay -=计算即可． 【详解】解：将23x y =⎧⎨=-⎩代入26x ay -= 得()2236a ⨯--=， 解得23a = 故选：B ．【点睛】本题考查了已知二元一次方程的解求参数问题，正确将方程的解代入方程计算是解题的关键．2、C【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．【详解】解：A 、92＋122＝152，故是直角三角形，不符合题意；B 、32＋42＝52，故是直角三角形，不符合题意；C 、12＋22≠32，故不是直角三角形，符合题意；D 、92＋402＝412，故是直角三角形，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3、C【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=100°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B 的度数以及得出∠D的度数．【详解】∵MF ∥AD ，FN ∥DC ，∠A=100°，∠C=70°， ∴∠BMF=100°，∠FNB=70°， ∵将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，∴∠F=∠B=180°-50°-35°=95°， ∴∠D=360°-100°-70°-95°=95°． 故选C ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN ，∠FNM=∠MNB 是解题关键．4、C【分析】连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，∵∠ACB=90°，AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，∵∠ABC=∠DBE ，∴∠CAB=∠CDM ，在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ，114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．5、D【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，计算正确，故本选项错误；B. ()4312y y =，计算正确，故本选项错误；C. ()3328x x -=-，原式计算正确，故本选项错误；D. 3336=22x x x x +≠，计算错误，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．6、B【分析】连接BE ，与AD 交于点M ，BE 就是EM CM +的最小值，根据等边三角形的性质求解即可.【详解】解：连接BE ，与AD 交于点M ，AD 是BC 边上的中线，AD BC ∴⊥，AD ∴是BC 的垂直平分线，B ∴、C 关于AD 对称，BE ∴就是EM CM +的最小值，等边ABC 的边长为6，∴3BD =，6AB =,AD ∴==3AE =，633CE AC AE ∴=-=-=，BE ∴是AC 的垂直平分线，∵ABC 是等边三角形，易得 BE AD ==EM CM BE +=，EM CM ∴+的最小值为故选：B ．【点睛】本题考查等边三角形的性质、轴对称-路径最短等内容，明确当B ，M ，E 三点共线时EM CM +最短是解题的关键．7、D【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3积的2倍．【详解】解：∵x 2+mx+9是一个完全平方式，∴x 2+mx+9=（x ±3）2，∴m=±6，故选D ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．8、A【分析】①根据任何非零数的平方均为正数即得；②根据两直线平行内错角相等即得；③根据直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短即得；④根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数即得；⑤根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角即得．【详解】∵当0x <时，20x >∴命题①为假命题；∵内错角相等的前提是两直线平行∴命题②是假命题；∵直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短，简称“垂线段最短” ∴命题③是真命题；2=有理数∴命题④是假命题；∵在一个钝角三角形中，与钝角相邻的外角是锐角，且这个锐角小于钝角∴命题⑤是假命题．∴只有1个真命题．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根的性质，平行线的性质，垂线公理，无理数的定义及三角形外角的性质，正确理解基础知识的内涵和外延是解题关键．9、A【分析】方程组12y ax b y bx a=+⎧⎨=+⎩，的解就是一次函数y 1=ax+b 和y 2=-bx+a （a≠0，b≠0）图象的交点，根据交点所在象限确定m 、n 的取值范围．【详解】方程组12y ax b y bx a =+⎧⎨=+⎩，的解就是一次函数y 1=ax+b 和y 2=bx+a （a≠0，b≠0）图象的交点，∵两函数图象交点在第一象限，∴m ＞0，n ＞0，故选A ．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的方程组的解．10、C【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得到30x +≠，解不等式即可．【详解】解：由题意得：30x +≠，解得：3x ≠-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．本题不难，要注意审题．11、C【解析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．此题得解．【详解】解：∵利用工作时间列出方程： 4000400020x 10x-=-， ∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解题的关键．12、B【详解】延长AP 交BC 于E ，∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，∠ABP=∠EBP ，又知BP=BP ，∠APB=∠BPE=91°，∴△ABP ≌△BEP ，∴S △ABP =S △BEP ，AP=PE ，∴△APC 和△CPE 等底同高，∴S △APC =S △PCE ，∴S △PBC =S △PBE +S △PCE =S △ABC =1.5，故选B ．考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.三角形的面积．二、填空题（每题4分，共24分）13、15【解析】根据题意已知的式子找到展开后最大的系数规律即可求解．【详解】∵1()a b +展开后最大的系数为1=0+1； 2()a b +展开后最大的系数为2=1+1；3()a b +展开后最大的系数为3=1+2；4()a b +展开后最大的系数为6=1+2+3；∴5()a b +展开后最大的系数为1+2+3+4=10； 6()a b +展开后最大的系数为1+2+3+4+5=15；故答案为：15.【点睛】此题主要考查多项式的规律探索，解题的关键是根据已知的式子找到规律求解.14、（15.5，2.5）【分析】根据对称性质可得点的坐标变化规律，由此即可求解．【详解】解：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，顶点B为(﹣4，0)，顶点C为(1，0)，∴BC＝5∴A(﹣1.5，2.5)将△ABC关于y轴轴对称变换得到△A1B1C1，∴A1 (1.5，2.5)再将△A1B1C1关于直线x＝2轴对称变换得到△A2B2C2，∴A2 (2.5，2.5)再将△A2B2C2关于直线x＝4轴对称变换得到△A3B3C3，∴A3 (5.5，2.5)再将△A3B3C3关于直线x＝6轴对称变换得到△A4B4C4，∴A4 (6.5，2.5)…按此规律继续变换下去，A5 (8.5，2.5)，A6 (9.5，2.5)，A7 (11.5，2.5)则点A10的坐标为(15.5，2.5)，故答案为：(15.5，2.5)．【点睛】本题考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是掌握对称性．注意在寻找规律的过程中需要多写出几个点A的坐标．15、±1．【详解】由（±1）2=16，可得16的平方根是±1．16、2×10-5【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00002=2×10-5，故答案为：2×10-5【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．17、乙队【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵S甲2＞S乙2，∴队员身高比较整齐的球队是乙，故答案为：乙队．【点睛】此题考查方差的意义．解题关键在于掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．18、a【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD=BD，然后根据三角形的外角的性质求得∠ADC=30°，最后由直角三角形中的30°角所对的直角边是斜边的一半可求出AC的长度．【详解】解：连接AD．∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD=15°．∴∠ADC=30°，又∠C=90°，∴AC=12AD=12BD=12(3a-AC)，∴AC=a．故答案为：a．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（共78分）19、 (1)见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角的性质即可求证；（2）由（1）可知：∠A ＝2∠E ，由于∠A ＝∠ABC ，∠ABC ＝2∠ABE ，所以∠E ＝∠ABE ，从而可证AB ∥CE ．【详解】解：(1)∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∠2是△BCE 的一个外角，(已知)， ∴∠ACD ＝∠ABC+∠A ，∠2＝∠1+∠E(三角形外角的性质)，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∠E ＝∠2﹣∠1(等式的性质)，∵CE 是外角∠ACD 的平分线，BE 是∠ABC 的平分线(已知)，∴∠ACD ＝2∠2，∠ABC ＝2∠1(角平分线的性质 )，∴∠A ＝2∠2﹣2∠1( 等量代换)，＝2(∠2﹣∠1)(提取公因数)，＝2∠E(等量代换)；(2)由(1)可知：∠A ＝2∠E∵∠A ＝∠ABC ，∠ABC ＝2∠ABE ，∴2∠E ＝2∠ABE ，即∠E ＝∠ABE ，∴AB ∥CE ．【点睛】本题考查三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的性质，需要学生灵活运用所学知识．20、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先证明ABC ∆是正三角形得60BAC ∠=︒，再根据对称性得15PAC ∠=︒，AC=AD ，从而可得结论；（2）在BE 上取点F ，使BF CE =，连AF ，证明ABF ∆≌ACE ∆，再证明AFE ∆是正三角形得AF FE =，从而可得结论． 【详解】在ABC ∆中，AB BC =，60ABC ∠=︒ABC ∆∴是正三角形AC AB BC ==，60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠（1）线段AC 与AD 关于直线AP 对称∴15CAE DAE ∠=∠=︒，AD AC =75BAE BAC CAE ∴∠=∠+∠=︒，90BAD ∠=︒AB AC AD ==∴ABD ∆是等腰直角三角形（2）在BE 上取点F ，使BF CE =，连AF线段AC 与AD 关于直线AP 对称ACE ADE ∴∠=∠，AD AC =∴AD AC AB ==ADB ABD ∴∠=∠=∠ACE在ABF ∆与ACE ∆中AC AB CE BFACE ABF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABF ∆≌ACE ∆∴AF AE =∴60EAF EAC CAF FAB CAF ∠=∠+∠=∠+∠=︒在AFE ∆中，AF AE =，60EAF ∠=︒∴AFE ∆是正三角形，AF FE ∴=∴BE BF FE CE AE =+=+．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21、（1）75°（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由AB=AC 可得∠C=∠B=30°，可求得∠BAC ，再利用角的和差可求得∠DAC ；（2）由外角的性质得到∠ADC=75°，即可得到∠ADC=∠DAC，从而有AC=DC，即可得到结论．试题解析：（1）∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；（2）∵∠ADC=∠B+∠DAB=30° +45°=75°，∴∠ADC=∠DAC，∴AC=DC，∵AB=AC，∴AB=CD．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形的外角性质．22、（1）60，80，12，30；（2）见解析（答案不唯一）．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，乙用多少分钟追上甲，乙走完全程需要多少时间；（2）答案不唯一，只要符合实际即可．【详解】（1）由图可得，甲的速度为：240÷4=60（米/分钟），乙的速度为：16×60÷(16﹣4)=16×60÷12=80（米/分钟），乙用16﹣4=12（分钟）追上甲，乙走完全程用了：2400÷80=30（分钟），故答案为：60，80，12，30；（2）甲走完全程需要2400÷60=40（分钟）．【点睛】本题考查了函数图象的应用，解题的关键是正确理解图象并求出甲乙两人的速度，利用数形结合的思想解答．23、（1）4.5，60；（2）y＝60x+40，180；（3）80；（4）甲出发23小时或83小时或4小时或2小时后，甲乙两车相距40km．【分析】（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得a＝4.5，甲从A到B共用了（23+2）小时，然后利用速度公式计算甲的速度；（2）根据甲的速度可求出甲乙出发时甲所走的路程，即可得出线段CF对应的函数表达式；再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可；（3）根据题意列方程求出乙的速度，再列式计算解答即可；（4）直线OD的解析式为y＝1x（0≤x≤4），然后利用函数值相差40列方程解答即可．【详解】（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a＝4+0.5＝4.5（小时），甲车的速度＝4602+73＝60（千米/小时）； 故答案为：4.5；60；（2）乙出发时甲所走的路程为：60×4060＝40（km ）， ∴线段CF 对应的函数表达式为：y ＝60x +40； 乙刚到达货站时，甲距B 地的路程为：460﹣60（4+23）＝180（km ）． （3）设乙车刚出发时的速度为x 千米/时，则装满货后的速度为（x ﹣50）千米/时， 根据题意可知：4x +（2﹣4.5）（x ﹣50）＝460，解得：x ＝1．乙车追上甲车的时间为40÷（1﹣60）＝43（小时），43小时＝80分钟， 故答案为：80；（4）易得直线OD 的解析式为y ＝1x （0≤x ≤4），根据题意得60x +40﹣1x ＝40或1x ﹣（60x +40）＝40或60x ＝460﹣180﹣40或60x ＝460﹣40， 解得x ＝23或x ＝83或x ＝4或x ＝2． 答：甲出发23小时或x ＝83小时或x ＝4小时或x ＝2小时后，甲乙两车相距40km ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的行程问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．24、（1）③；（2）忽略了220a b -= 的可能；（3）见解析【分析】（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以22a b -，没有考虑22a b -是否为0；（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；（3）根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．【详解】（1）根据题意可知，∵由()()()2222222c a b a b a b -=-+， ∴通过移项得()()22220a b c a b ⎡⎤--+=⎣⎦，故③错误； （2）由（1）可知，错误的原因是：忽略了220a b -=的可能；（3）正确的写法为：∵222244a c b c a b -=-，∴()()()2222222ca b a b a b -=-+， ∴()()()22222220c a b a b a b ---+=， ∴()()22220a b c a b ⎡⎤--+=⎣⎦， ∴220a b -=或()2220c a b-+=，∴a b =或222c a b =+， ∴ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形；故答案为ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．25、（1）详见解析；（2）10【分析】（1）根据AE=AF ，AB=AC ，∠A=∠A 即可证明三角形全等；（2）根据（1）结论可证∠ABF=∠ACE ，即可证明∠PBC=∠PCB ，即可得到PB=PC ，可得PC 的长．【详解】解：（1）在△AEC 与△AFB 中，AC AB CAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△AFB （SAS ）（2）∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵△AEC ≌△AFB∴∠ACE ＝∠ABF ，∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ，∴∠PBC ＝∠PCB ，∴PB ＝PC ，又∵PB ＝10，∴PC =10.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，考查了全等三角形对应角相等的性质，求证△AEC≌△AFB是解题的关键.26、（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22-=24米．257答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴222520-，-22CD CE∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．。
北京市石景山八年级数学上学期期末考试试题 北京课改版(1)
北京市石景山2021-2021学年八年级上学期期末考试数学试题 北京课改版一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，把正确选项前的字母填在题后括号内） 1．16的算术根是（ ）.A ．4B ．4-C ．4±D ．8±2成心义，那么x 的取值范围是（ ）. A ．1x >B ．1x ≥C ．1x ≥且32x ≠D ． 1x >且32x ≠ 3．以下图形不是．．轴对称图形的是（ ）. A ．线段 B ．等腰三角形C ．角D ．有一个内角为60°的直角三角形 4．以下事件中是不可能事件的是（ ）．A ．随机抛掷一枚硬币，正面向上．B ．a 是实数,a =-．C ．长为1cm ，2cm ，3cm 的三条线段为边长的三角形是直角三角形．D ．小明从古城动身乘坐地铁一号线去西单图书大厦．5. 初二年级通过学生日常德育积分评比，选出6位获“阳光青年”称号的同窗．年级组长李教师将6份奖品别离放在6个完全相同的不透明礼盒中，预备将它们奖给小君等6位同窗．这些奖品中3份是学习文具，2份是体育用品，1份是科技馆通票．小君同窗从中随机取一份奖品，恰好取到体育用品的可能性是( )． A.16 B ．13 C. 12 D. 236．有一个角是︒36的等腰三角形,其它两个角的度数是( ).A. ︒︒108,36 B ．︒︒72,36 C. ︒︒72,72 D. ︒︒108,36或︒︒72,72 7．以下四个算式正确的选项是（ ）. A ．33=6+ B ．233=2÷ C ．()()4949-⨯-=-⨯- D ．4333=1-8．如图，在△ABC 中，BE 、CE 别离是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF ∥BC 交AB 于D ，交AC 于F ，假设AB =4, AC =3，那么△ADF 周长为（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．109．如图，滑雪爱好者小明在海拔约为121米的B 处乘雪橇沿30°的斜坡下滑至A 处所历时刻为2秒，已知下滑路程S （米）与所用时刻t （秒）的关系为210S t t =+，那么山脚A 处的海拔约为（ ）. (其中3 1.7≈) A ． 100.6米B ． 97米C ．109米D ．145米10．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，那么图中阴影部份的总面积是（ ）. A ．6 B ．8 C ．4D ．12二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分，把答案填在题中横线上）11．约分：22515mn m n-=_____________． 12．假设整数p 知足：⎪⎩⎪⎨⎧-<<.12,72p p p 则p 的值为_________．13. 假设分式55q q -+值为0，那么q 的值是________________． 14．如图，在正方形网格 (图中每一个小正方形的边长均为1) 中，△ABC 的三个极点均在格点上，那么△ABC 的周长为 _________________，面积为____________________． 15．如图,在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC= BC ，将其绕点A逆时针旋转15°取得Rt△''AB C ，''B C 交AB 于E ，若图中阴影部份面积为23，那么'B E 的长为 ． 16．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC=4cm ，在射．线．BC 上一动点D ，从点B 动身，以5厘米每秒的速度CAB 第14题A DB CEFMNDFE A B C 第8题 第9题 第10题 ABEC'ACB第15题15°匀速运动，假设点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为极点的三 角形恰为等腰三角形，那么所历时刻t 为 秒． （结果可含根号）．三、解答题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）17．计算：()213.144832π-⎛⎫------ ⎪⎝⎭．解： 18．解方程：238111x x x +-=--． 解： 19．计算：1124(38)8---． 解：20．先化简，再求值已知：23x y =，求222569222y x xy y x y x y x y ⎛⎫-+--÷⎪--⎝⎭的值． 解：四、列方程解应用题（此题5分）21. 据报导，2021年11月8日超强台风“海燕”在菲律宾中部萨马省登岸，给菲律宾造成庞大经济财产损失．中国政府伸出援助之手，捐钱捐物．某地决定向灾区捐助帐篷．记者采访了某帐篷制造厂如何超卓完成任务．下面是记者与工厂厂长的一段对话：依照记者与厂长的一段对话，请求出原打算天天加工多少顶帐篷. 解：五、解答题（本大题共3个小题，每题5分共15分）22．已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 别离在BC 的双侧，且AE ∥DF ，AE =DF ． 求证：AB =DC ．证明：你好，你们是如何提前4天完加工了300顶帐篷后，由于救灾紧急需要，FDE23. 已知：如图，△ABC 是等边三角形. D 、E 是△ABC 外两点，连结BE 交AC 于M ，连结AD 交CE 于N ，AD 交BE 于F ，AD =EB . 当AFB ∠度数多少时，△ECD 是等边三角形？并证明你的结论. 解：当AFB ∠=__________时，△ECD 是等边三角形. 证明：24. 已知：在△ABC 中，24=AB ,5AC =，ABC =∠解：六、几何探讨（此题6分）25．如图1，在△ABC 中，∠ACB =2∠B ，∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D ，点H为AO 上一动点，过点H 作直线l ⊥AO 于H ，别离交直线AB 、AC 、BC 、于点N 、E 、M . （1）当直线l 通过点C 时（如图2），求证：BN =CD ；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．（3）请你探讨线段BN 、CE 、CD 之间的等量关系, 并直接写出结论.七、选作题26. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，108A ∠=°，请你在图中，别离用两种不同方式，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．的不等边三角形．．．．．．(不等边三角形指除等腰三角形之外)，而另外两个是不全等．．．的等腰三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数，在每一个等腰三角形中标出相等图1B图1 图2B B石景山区2021-2021学年度第一学期期末考试 初二数学答案及评分参考 阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明要紧进程即可．假设考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（此题共10道小题，每题3分，共30分）11．3nm-； 12．3； 13．5； 14．36；（各2分）15．2； 16答对一个2分，答对两个3分，答对3个4分） 三、解答题（此题共4个小题，每题5分，共20分）17． 解：原式=14- ………………………………………………………4分=3--………………………………………………………………5分 18． 解：2(3)(1)81x x x ++-=- …………………………………………………1分 224381x x x ++-=- …………………………………………………2分 44x = …………………………………………………3分 1x = ………………………………………………………4分经查验：1x =是原方程的增根，因此原方程无解 ……………………………5分19． 解：原式 …………………………………………3分- …………………………………………4分……………………………………………………5分20. 解：原式=()()()22225213x y x y y x yx y +-⎡⎤-⨯⎢⎥--⎣⎦…………………………………………1分=()()()()22522223y x y x y x y x y x y -+--⋅--=()22293y x x y -- …………………………………………………………………2分=33y xy x+- ……………………………………………………………………3分 解法一：∵23x y =，不妨设()2,30x k y k k ==≠ …………………………………4分 ∴原式=9292k kk k+- =117 ………………………………………5分解法二：3333xy x y xy x y++=-- ………………………………………4分 ∵23x y = ∴原式=231132733+=- ………………………………………5分 （阅卷说明：若是学生直接将2,3x y ==代入计算正确者，此题扣1分） 四、列方程解应用题（此题5分）21. 解：设原打算天天加工x 顶帐篷. ……………………………………………………1分1500300150030042x x---= …………………………………………………2分 解得 150x = ………………………………………………………………3分 经查验，150x =是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分 答：原打算天天加工150顶帐篷.……………………………………………………5分 五、解答题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 22．证明：∵AE ∥DF ，∴∠AEB ＝∠DFC . …………………………………………………………1分 ∵BF =CE ， ∴BF +EF ＝CE +EF .即BE ＝CF . …………………………2分在△ABE 和△DCF 中，CAE DF AEB DFC BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………………………………………3分 ∴△ABE ≌△DCF ………………………………………………………4分 ∴AB =DC ………………………………………………………5分23. 解：AFB ∠=60° ………………………………………………………………1分 证明：∵△ABC 是等边三角形∴CA =CB ，4∠=60°2分 ∵∠2+∠4=∠5 ∠1+∠3=∠5且∠3=60°∴∠1=∠2 ……………… ………………3分 又∵BE =AD∴△BCE ≌△ACD （SAS ）∴CE =CD ，∠BCE =∠ACD ……………………………………………4分 ∴∠BCE －∠6=∠ACD －∠6 即∠4=∠7=60°∴△ECD 是等边三角形 ………………………………………………5分 24. 解：分类讨论（1）如图，过A 作AD ⊥BC 交BC （延长线）于D ，………………………1分 ∴∠D =90°，∴在Rt△ABD 中，∠B +∠BAD =90°， ∴∠BAD =45°∴DA DB =,又∵222AB DB DA =+, 不妨设x DB DA ==则3222=+x x ，解得4=x ，∴DA =DB =4 ……………………………2分DC 'CBA∵∠D =90°，∴在Rt△ACD 中，222AC DA DC =+3452222=-=-=AD AC CD ……………………………3分∴BC =BD -CD =4-3=1 ……………………………4分 （2）如图：由（1）同理：DB =4，CD =3 ∴BC =BD +CD =4+3=7.综上所述：BC =1或BC =7 ……………………………5分 (阅卷说明：只计算出一种情形，此题得4分) 六、几何探讨（此题6分） 25. （1）证明：连结ND∵AO 平分BAC ∠, ∴12∠=∠∵直线l ⊥AO 于H ,∴4590∠=∠=︒ ∴67∠=∠ ∴AN AC = ∴NH CH =∴AH 是线段NC 的中垂线 ∴DC DN = ∴98∠=∠∴AND ACB ∠=∠∵3AND B ∠=∠+∠,2ACB B ∠=∠, ∴3∠=∠B ∴DN BN =∴BN DC = ……………………………………………………………………2分 （2）当M BC 是中点时,CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE =证明：过点C 作'CN AO ⊥交AB 于'N 由（1）可得'BN CD =,',AN AC AN AE == ∴43∠=∠,'NN CE =过点C 作CG ∥AB 交直线l 于点G ∴42∠=∠,1B ∠=∠ ∴23∠=∠∴CG CE =∵M BC 是中点, ∴BM CM =在△BNM 和△CGM 中， ∴△BNM ≌△CGM ∴BN CG = ∴BN CE =∴''2CD BN NN BN CE ==+= …………………………………………4分 （3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-………………………………6分 (阅卷说明：三种情形写对一个给1分，全对给2分)七、选作题26.。
2023北京石景山八上初二期末数学试卷及答案
石景山区2022-2023学年第一学期初二期末试卷数 学学校姓名准考证号一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．5的算术平方根是（A ）5±（B ）25（C）（D2．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠,现发现约有400多种证明方法.下面四个图形是证明勾股定理的图形,其中是轴对称图形的是（A ）（B ） （C ） （D ） 3．使得分式23+m m 值为零的m 的值是 （A ）0=m （B ）2=m （C ）3m ≠-（D ）3≠m 4.用直角三角板，做ABC ∆某条边上的高，下列做法正确的是（A ） （B ） （C ） （D ）5．在等腰ABC ∆中，5==AC AB ，132=BC ，则底边上的高为（A ）12 （B） （C）（D ）186．如图，数轴上M ，N ，P ，Q 四点中，与2（A ）点M （B ）点N （C ）点P （D ）点Q7．下列各式中，运算正确的是（A ）11223+=x x x（B ） 2112+111+=--x x x （C ）2642142⋅=y x x y y （D ） 221323÷=y xy x y 8．如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ,OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 点转动.C 点固定,DE CD OC ==,点D ，E 可在槽中滑动. 如图2，若︒=∠84BDE ，则CDE ∠的度数是图1 图2（A ）︒65 （B ）︒68 （C ）︒66 （D ）︒70二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 有意义，则x 可取的一个数是 ．10. 下面是大山同学计算223--x x 的过程： （1）运算步骤为通分，其依据是 ；（2）运算结果的分子m 应是代数式 ．11. 如果等腰三角形的一个内角为︒80，那么其它两个角的度数为 ．12. 若50-x ，则+=x y ．13. 依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上.① 在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品； ② 五人排成一行照相，甲、乙正好相邻；③ 同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等；④ 小明打开电视，正在播放广告；必然事件 ；不可能事件 ；随机事件 .14. 下面是代号分别为A ，B ，C ，D 的转盘，它们分别被分成2个、4个、6个、8个面积相等的扇形.A B C D （1）用力转动转盘 （填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等；（2）用力转动转盘 （填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是13. 15. 如图，在ABC ∆中，AC AB ⊥，︒=∠55C ，点E 为BA 延长线上一点，点F 为BC边上一点，若︒=∠30E ，则CFE ∠的度数为 .第15题图 第16题图16. 如图，ABC ∆中，︒=∠90A ,BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，BC DE ⊥于E ，若6=AB ，9=BC ,则DE 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）1718．计算： 42()11--+÷--x x x x x . 19．解方程： 3122-+=--x x x x． 20．已知3=x y ，求代数式()-⋅+x y y y x x y的值. 21．已知：ABC ∆.求作：点P ，使得点P 在AC 上，且PB PA =.作法：①分别以A ，B 为圆心，大于AB 21的同样长为半径作弧，两弧分别交于M ，N ； ②作直线MN ，与AC 交于P 点. 点P 为所求作的点.根据上述作图过程（1）请利用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：连接AM ，BM ，AN ，BN .∵=AM ，BN AN =，∴M ，N 在线段AB 的垂直平分线上.即MN 是线段AB 的垂直平分线.∵点P 在直线MN 上，∴PB PA =（ ）（填写推理的依据）.22．已知：如图，点B 是线段AC 上一点，BE AD //，BE AB =，C D ∠=∠.求证：EC BD =.23．如图，将线段CD 放在单位长为1的小正方形网格内，点A ，B 均落在格点上． （1）按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法）：①请在线段CD 上画出点P ，使得+PA AB 的和最小；②请在线段CD 上画出点Q ，使得+QA QB 的和最小；（2）请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形.①+PA AB 的和最小的依据是 ；②+QA QB = （直接写出答案）.24．学校为了丰富学生体育活动，计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每个篮球的价格比每个的排球价格多4元，已知学校用2000元购买篮球的个数与用1800元购买排球的个数相等．求每个篮球、每个排球的价格.25．若关于x 的分式方程25211+-+=--x a x x x 的解为正数，求正整数a 的值．26．已知：如图，A ，B ，D 三点在同一直线上，ABC ∆和CDE ∆为等腰直角三角形，︒=∠=∠90DCE ACB .（1）求证：AD BE =,AD BE ⊥；（2）已知AB BD 2=，13=CE ，求AB 的长.27．将分式的分母因式分解后，可以把一个分式表示成两个分式的和或差.观察下列各式，解答下面问题：111132(1)(2)12==-++++++x x x x x x 111156(2)(3)23==-++++++x x x x x x 1111712(3)(4)34==-++++++x x x x x x ……（1）2111( )( )=-+x x ； （2）计算：222111438151235++++++++x x x x x x .28．如图，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠30BAC ，点B 关于AC 边的对称点为D ，连接CD ，过A 作CD AE //且CD AE =，连接CE ,DE .（1）依题意补全图形；（2）判断AB 和DE 的数量关系并证明；（3）平面内有一点M ，使得DC DM =，EB EM =，求CDM ∠的度数.（备用图）2022-2023学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【解答】解：数5．故选：D ．2．【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C ．3．【解答】解： 分式23m m +值为零，0m ∴=且30m +≠，0m ∴=．故选：A ．4．【解答】解：A 、B 、D 均不是高线．故选：C ．5．【解答】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，ABC ∆ 是等腰三角形，AB AC =，12BD CD BC ∴==，在Rt ABD ∆中，由勾股定理得，AD =，即底边上的高为故选：B ．6．【解答】解：459<< ，23∴<<，23∴->>-，120∴-<，∴点N 距离此点最近．故选：B ．7．【解答】解：A 、11322x x x +=，故A 不符合题意；B 、1111x x ++-11(1)(1)x x x x -++=+-221x x =-，故B 不符合题意；C 、2642142y x x y y⋅=，故C 符合题意；D 、232y xy x ÷223x xy y=⋅243y =，故D 不符合题意；故选：C ．8．【解答】解：OC CD DE == ，COD CDO ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，2DCE CDO COD COD ∠=∠+∠=∠ ，2DEC COD ∴∠=∠，COD DEC BDE ∠+∠=∠ ，384COD ∴∠=︒，28COD ∴∠=︒，56DEC DCE ∴∠=∠=︒，68CDE ∴∠=︒，故选：B ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】230x -…，解得：32x …，所以x 可取的一个数是4，故答案为：4（答案不唯一）．10．【解答】解：（1）分式的通分是运用分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；（2）通过运算得，2(3)(3)x x x x x --+223(3)x x xx x -+=+3(3)x x x =+，故答案为：3x ．11．【解答】解：当80︒是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80︒；当80︒是等腰三角形的底角时，则顶角是18080220︒-︒⨯=︒．故答案为：80︒或20︒．12．【解答】解：|5|0x -= ，50x ∴-=，30y +=，解得：5x =，3y =-，532x y +=-=．故答案为：2．13．【解答】解：①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件；②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻，是随机事件；③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等，是不可能事件；④小明打开电视，正在播放广告，是随机事件；则必然事件是①；可能是近是③；随机事件是②④，故答案为：①；③；②④．14．【解答】解：（1）用力转动转盘A （填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性与落在白色区域的可能性相等．故答案为：A ；（2）1623⨯=．故用力转动转盘C （填写转盘代号），当转盘停止后，指针落在阴影区域的可能性大小是13．故答案为：C ．15．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，55C ∠=︒，则9035B C ∠=︒-∠=︒，CFE ∠ 是BEF ∆的外角，353065CFE B E ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：65︒．16．【解答】解：AC AB ⊥ ，DE BC ⊥，BD 平分ABC ∠，DE DA ∴=，在Rt ABD ∆与Rt EBD ∆中，BD BD AD DE =⎧⎨=⎩，Rt ABD Rt EBD(HL)∴∆≅∆，6BE AB ∴==，9BC = ，3CE ∴=，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得，AC设DE x =，则CD x =，在Rt CDE ∆中，由勾股定理得，222CD ED CE =+，即222)3x x =+，解得x即DE三、解答题（本题共68分，第17-21题每题5分，第22-27题每题6分，第28题7分）17．【解答】解：原式=-．18．【解答】解：原式4(1)112x x x x x x -+--=⋅--242x x x x -+-=-(2)(2)2x x x -+=-2x =+．19．【解答】解：去分母得：32x x x +-=-，解得：1x =，检验：把1x =代入得：20x -≠，∴分式方程的解为1x =．20．【解答】解：3x y = ，∴(x y y y x x y-⋅+3()33y y y y y y y=-⋅+11(3)34=-⨯8134=⨯23=．21．【解答】（1）解：如图，点P 即为所求；（2）证明：连接AM ，BM ，AN ，BN ．AM BM = ，AN BN =，M ∴，N 在线段AB 的垂直平分线上．即MN 是线段AB 的垂直平分线．点P 在直线MN 上，PA PB ∴=（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）．故答案为：BM ，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等．22．【解答】证明：//AD BEA EBC∴∠=∠在ABD ∆和BEC ∆中，D C A EBC AB BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD BEC AAS ∴∆≅∆，BD EC ∴=．23．【解答】解：（1）如图所示：（2）①根据轴对称的性质可知：PA PB +的和最小的依据是两点之间，线段最短；故答案为：两点之间，线段最短；②根据轴对称的性质可知：QA QA ='，QA QB QA QB A B ∴+='+='===．故答案为：24．【解答】解：设每个篮球的价格为x 元，则每个排球的价格为(4)x -元，由题意得：200018004x x =-，解得：40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，则440436x -=-=，答：每个篮球的价格为40元，每个排球的价格为36元．25．【解答】解：原方程可化为：252(1)x a x x ++-=-，3x a ∴=-．原方程的解为正数，30a ∴->，3a ∴<，10x -≠ ，1x ∴≠，31a ∴-≠，2a ∴≠，∴正整数a 的值为1．26．【解答】（1）证明：ABC ∆ 和CDE ∆为等腰直角三角形，AC BC ∴=，CD CE =，90ACB DCE ∠=∠=︒ ．ACD BCE ∴∠=∠，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=，BEC ADC ∠=∠，90DBE DCE ∴∠=∠=︒，BE AD ∴⊥；（2）解：DE == 设AB x =，则2BD x =，3BE AD x ∴==，在Rt BDE ∆中，由勾股定理得，222(2)(3)x x +=，解得x （负值舍去），AB ∴27．【解答】解：（1）21111x x x x =-++；（2）222111438151235x x x x x x ++++++++111(1)(3)(3)(5)(5)(7)x x x x x x =++++++++111111111(((213235257x x x x x x =-+-+-++++++1111111(2133557x x x x x x =-+-+-++++++111()217x x =-++2387x x =++．28．【解答】解：（1）图形如图1所示：=．（2）结论：AB DE理由：AE CD=，//AE CD，∴四边形ACDE是平行四边形，AC DE∴=，，=AB AC∴=；AB DE（3）如图2中，当CDM∠是钝角．=，=AE CD，CD DM∴=，AE DM=，，BE EMAB DE=∴∆≅∆，ABE DEM SSS()∴∠=∠，BAE EDM，30=AB AC∠=︒，B，D关于AC对称，BAC∴∠=∠=︒，AC ADCAD CAB30=，∴∠=∠=︒，75ACD ADCAE CD，//∴∠=∠=︒，EAD ADC75∴∠=︒+︒+︒=︒，303075135BAEEDB BAE∴∠=∠=︒，135∴∠=︒-︒--︒-︒=︒．CDM3607530135120如图3中，当CDM∠'是锐角时，同法可得135ADM BAE∠'=∠=︒，∴∠'=︒-︒-︒=︒，135753030CDM综上所述，CDM∠的值为120︒或30︒．。
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北京市石景山2013-2014学年八年级上学期期末考试数学试题 北京课改版一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项前的字母填在题后括号内） 1．16的算术根是（ ）.A ．4B ．4-C ．4±D ．8±2有意义，则x 的取值范围是（ ）. A ．1x > B ．1x ≥ C ．1x ≥且32x ≠ D ． 1x >且32x ≠3．下列图形不是．．轴对称图形的是（ ）. A ．线段 B ．等腰三角形C ．角D ．有一个内角为60°的直角三角形 4．下列事件中是不可能事件的是（ ）．A ．随机抛掷一枚硬币，正面向上．B ．a 是实数a =-．C ．长为1cm ，2cm ，3cm 的三条线段为边长的三角形是直角三角形．D ．小明从古城出发乘坐地铁一号线去西单图书大厦．5. 初二年级通过学生日常德育积分评比，选出6位获“阳光少年”称号的同学．年级组长李老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小君等6位同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是体育用品，1份是科技馆通票．小君同学从中随机取一份奖品，恰好取到体育用品的可能性是( )．A.16 B ．13 C. 12 D. 236．有一个角是︒36的等腰三角形,其它两个角的度数是( ).A. ︒︒108,36 B ．︒︒72,36 C. ︒︒72,72 D. ︒︒108,36或︒︒72,727．下列四个算式正确的是（ ）.A ．33=6+ B ．233=2÷C ．()()4949-⨯-=-⨯- D ．4333=1-8．如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF ∥BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB =4, AC =3，则△ADF 周长为（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．109．如图，滑雪爱好者小明在海拔约为121米的B 处乘雪橇沿30°的斜坡下滑至A 处所用时间为2秒，已知下滑路程S （米）与所用时间t （秒）的关系为210S t t =+，则山脚A 处的海拔约为（ ）. (其中3 1.7≈)A ． 100.6米B ． 97米C ．109米D ．145米10．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，则图中阴影部分的总面积是（ ）.A ．6B ．8C ．4D ．12二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）11．约分：22515mn m n-=_____________．12．若整数p 满足：⎪⎩⎪⎨⎧-<<.12,72p p p 则p 的值为_________．13. 若分式55q q -+值为0，则q 的值是________________． 14．如图，在正方形网格 (图中每个小正方形的边长均为1) 中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 的周长为 _________________，面积为____________________． 15．如图,在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC= BC ，将其绕点A 逆时针旋转15°得到Rt△''AB C ，''B C 交AB 于E ，若 图中阴影部分面积为23，则'B E 的长为 ． 16．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8cm ，AC=4cm ，在射． 线．BC 上一动点D ，从点B 出发，以5厘米每秒的速度 匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为 秒． （结果可含根号）．CAB第14题 A DB C EFM N DF E AB C 第8题 第9题 第10题 A B EC'AC B第15题15°三、解答题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）17．计算：()213.142π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭．解：18．解方程：238111x x x +-=--． 解：19． 解：20．先化简，再求值已知：23x y =，求222569222y x xy y x y x y x y ⎛⎫-+--÷⎪--⎝⎭的值． 解：四、列方程解应用题（本题5分）21. 据报道，2013年11月8日超强台风“海燕”在菲律宾中部萨马省登陆，给菲律宾造成巨大经济财产损失．中国政府伸出援助之手，捐款捐物．某地决定向灾区捐助帐篷．记者采访了某帐篷制造厂如何出色完成任务．下面是记者与工厂厂长的一段对话：根据记者与厂长的一段对话，请求出原计划每天加工多少顶帐篷. 解：五、解答题（本大题共3个小题，每题5分共15分） 22．已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 分别在BC 的两侧，且AE ∥DF ，AE =DF ． 求证：AB =DC ． 证明：你好，你们是如何提前4天完成1500顶帐篷生产任务的? 加工了300顶帐篷后，由于救灾紧急需要，我厂将工作效率提高到原计划的2倍. F D C E23. 已知：如图，△ABC 是等边三角形. D 、E 是△ABC 外两点，连结BE 交AC 于M ，连结AD 交CE 于N ，AD 交BE 于F ，AD =EB . 当AFB ∠度数多少时，△ECD 是等边三角形？并证明你的结论.解：当AFB ∠=__________时，△ECD 是等边三角形. 证明：24. 已知：在△ABC 中，24=AB ,5AC =，oABC 45=∠，求BC 的长．解：六、几何探究（本题6分）25．如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M.（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．（1）证明：（2）当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为_________________________.证明：（3）请你探究线段BN、CE、CD之间的等量关系,并直接写出结论.图1图2B备用图七、选作题 26. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，108A ∠=°，请你在图中，分别用两种不同方法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．的不等边三角形．．．．．．(不等边三角形指除等腰三角形以外)，而另外两个是不全等．．．的等腰三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数，在每个等腰三角形中标出相等两底角度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法，但要保留作图痕迹，若经过图形变换后两个图形重合，则视为同一种方法）．石景山区2013-2014学年度第一学期期末考试初二数学答案及评分参考阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．二、填空题（本题共6道小题，每小题4分，共24分）11．3nm-； 12．3； 13．5； 14．36；（各2分） 15．2； 16答对一个2分，答对两个3分，答对3个4分）三、解答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）17． 解：原式=14- ………………………………………………………4分 =3--………………………………………………………………5分 18． 解：2(3)(1)81x x x ++-=- …………………………………………………1分 224381x x x ++-=- …………………………………………………2分 44x = …………………………………………………3分图1 图2B B1x = ………………………………………………………4分经检验：1x =是原方程的增根，所以原方程无解 ……………………………5分 19．解：原式 …………………………………………3分…………………………………………4分……………………………………………………5分20. 解：原式=()()()22225213x y x y y x yx y +-⎡⎤-⨯⎢⎥--⎣⎦…………………………………………1分=()()()()22522223y x y x y x y x y x y -+--⋅--= ()22293y x x y -- …………………………………………………………………2分=33y xy x +- ……………………………………………………………………3分 解法一：∵23x y =，不妨设()2,30x k y k k ==≠ …………………………………4分∴原式=9292k k k k +- =117 ………………………………………5分 解法二：3333x y x y xy x y++=-- ………………………………………4分 ∵23x y =∴原式=231132733+=- ………………………………………5分 （阅卷说明：如果学生直接将2,3x y ==代入计算正确者，本题扣1分）四、列方程解应用题（本题5分）21. 解：设原计划每天加工x 顶帐篷. ……………………………………………………1分1500300150030042x x---= …………………………………………………2分 解得 150x = ………………………………………………………………3分 经检验，150x =是原方程的解，且符合题意. ………………………………4分答：原计划每天加工150顶帐篷.……………………………………………………5分 五、解答题（本大题共3个小题，每题5分，共15分） 22．证明：∵AE ∥DF ，∴∠AEB ＝∠DFC . …………………………………………………………1分 ∵BF =CE ， ∴BF +EF ＝CE +EF .即BE ＝CF . …………………………2分 在△ABE 和△DCF 中，AE DF AEB DFC BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………………………………………3分 ∴△ABE ≌△DCF………………………………………………………4分 ∴AB =DC ………………………………………………………5分23. 解：AFB ∠=60° ………………………………………………………………1分 证明：∵△ABC 是等边三角形∴CA =CB ，4∠=60° …………………………………………………………2分 ∵∠2+∠4=∠5 ∠1+∠3=∠5 且∠3=60° ∴∠1=∠2 ………………………………3分 又∵BE =AD ∴△BCE ≌△ACD （SAS ） ∴CE =CD ，∠BCE =∠ACD ……………………………………………4分 ∴∠BCE －∠6=∠ACD －∠6 即∠4=∠7=60°∴△ECD 是等边三角形 ………………………………………………5分 24. 解：分类讨论（1）如图，过A 作AD ⊥BC 交BC （延长线）于D ，………………………1分 ∴∠D =90°， ∴在Rt△ABD 中，∠B +∠BAD =90°， ∴∠BAD =45° ∴DA DB =, 又∵222AB DB DA =+, 不妨设x DB DA ==则3222=+x x ，解得4=x ，∴DA =DB =4 ……………………………2分∵∠D =90°，∴在Rt△ACD 中，222AC DA DC =+3452222=-=-=AD AC CD ……………………………3分∴BC =BD -CD =4-3=1 ……………………………4分 （2）如图：由（1）同理：DB =4，CD =3 ∴BC =BD +CD =4+3=7.综上所述：BC =1或BC =7 ……………………………5分 (阅卷说明：只计算出一种情况，本题得4分) 六、几何探究（本题6分）D C 'C BA25. （1）证明：连结ND∵AO 平分BAC ∠,∴12∠=∠ ∵直线l ⊥AO 于H , ∴4590∠=∠=︒ ∴67∠=∠ ∴AN AC =∴NH CH =∴AH 是线段NC 的中垂线 ∴DC DN = ∴98∠=∠∴AND ACB ∠=∠∵3AND B ∠=∠+∠,2ACB B ∠=∠, ∴3∠=∠B ∴DN BN =∴BN DC = ……………………………………………………………………2分 （2）当M BC 是中点时,CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE =证明：过点C 作'CN AO ⊥交AB 于'N由（1）可得'BN CD =,',AN AC AN AE == ∴43∠=∠,'NN CE =过点C 作CG ∥AB 交直线l 于点G ∴42∠=∠,1B ∠=∠ ∴23∠=∠∴CG CE = ∵M BC 是中点, ∴BM CM =在△BNM 和△CGM 中，1,,,B BM CM NMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BNM ≌△CGM ∴BN CG = ∴BN CE =∴''2CD BN NN BN CE ==+= …………………………………………4分 （3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系：当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE=-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-………………………………6分(阅卷说明：三种情况写对一个给1分，全对给2分)七、选作题 26.11。