北京市中考数学试卷及答案
2022年北京市中考数学试卷-含答案详解
2022年北京市中考数学真题一、选择题(本大题共8小题,共24.0分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 下面几何体中,是圆锥的为( )A. B.C. D.2. 截至2021年12月31日,长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时,相当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学记数法表示应为( )A. 26.2883×1010B. 2.62883×1011C. 2.62883×1012D. 0.262883×10123. 如图,利用工具测量角,则∠1的大小为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°4. 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( )A. a<−2B. b<1C. a>bD. −a>b5. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )A. 14B. 13C. 12D. 346. 若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为( )A. −4B. −14C. 14D. 47. 图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 58. 下面的三个问题中都有两个变量:①汽车从A地匀速行驶到B地,汽车的剩余路程y与行驶时间x;②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y与放水时间x;③用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积y与一边长x,其中,变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题(本大题共8小题,共24.0分)9. 若√x−8在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.10. 分解因式:xy2−x=.11. 方程2x+5=1x的解为.12. 在平面直角坐标系xOy中,若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上,则y1y2(填“>”“=”或“<”).13. 某商场准备进400双滑冰鞋,了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号,数据如下:鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据,估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双.14. 如图,在ΔABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则SΔACD =.15. 如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,AFFC =14,则AE的长为.16. 甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为A,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下:包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.(1)如果装运的I号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一中满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号);(2)如果装运的I号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的II号产品最多,写出满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号).三、计算题(本大题共2小题,共12.0分)17. 计算:(π−1)0+4sin45∘−√8+|−3|.18. 解不等式组:{2+x>7−4x, x<4+x2.四、解答题(本大题共10小题,共80.0分。
2024届北京市育才校中考联考数学试卷含解析
2024学年北京市育才校中考联考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.某自行车厂准备生产共享单车4000辆,在生产完1600辆后,采用了新技术,使得工作效率比原来提高了20%,结果共用了18天完成任务,若设原来每天生产自行车x辆,则根据题意可列方程为( )A.1600x+4000(120%)x+=18 B.1600x40001600(120%)x-++=18C.1600x+4000160020%x-=18 D.4000x40001600(120%)x-++=182.下列计算正确的是( )A.(a-3)2=a2-6a-9 B.(a+3)(a-3)=a2-9C.(a-b)2=a2-b2D.(a+b)2=a2+a23.如图所示,a∥b,直线a与直线b之间的距离是()A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段CD的长度4.若抛物线y=x2﹣3x+c与y轴的交点为(0,2),则下列说法正确的是()A.抛物线开口向下B.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(3,0)C.当x=1时,y有最大值为0D.抛物线的对称轴是直线x=3 25.2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元,则a、b之间满足的关系式为()A.B.C .D .6.《九章算术》是中国古代数学的重要著作,方程术是它的最高成就,其中记载:今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两。
2024年北京中考试卷数学
2024年北京中考试卷数学一、选择题(每题4分)2的相反数是()A. 2B. -2C. -D. 2(答案:B)据报道,某小区居民李先生改良用水设备,在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨。
将300000用科学记数法表示应为()A. 0.3×105 C. 3×104(答案:B)有6张扑克牌,从中随机抽取一张,点数为偶数的概率是()(具体选项未给出,但可以通过计算得出概率为1/3或类似值,需根据原试卷确定选项)如图是几何体的三视图,该几何体是()A. 圆锥B. 圆柱C. 正三棱柱D. 正三棱锥(答案需根据具体图形确定)某篮球队12名队员的年龄分布如下:年龄(岁)18 19 20 21人数 5 4 1 2那么这12名队员年龄的众数和平均数分别是()A. 18,19B. 19,19C. 18,19.5D. 19,19.5(答案:D)园林队在某公园进行绿化,中间休息了一段时间。
绿化面积S(单位:平方米)与工作时间t(单位:小时)的函数关系的图象……那么休息后园林队每小时绿化面积为()A. 40平方米B. 50平方米C. 80平方米D. 100平方米(答案需根据具体函数图象确定)圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为()A. 2B. 4√2-4C. 4D. 8(答案需通过几何计算得出)点A为某封闭图形边界上一定点,动点P从点A出发,沿其边界顺时针匀速运动一周。
设点P运动的时间为x,线段AP的长为y。
表示y 与x的函数关系的图象大致为……,则该封闭图形可能是()(答案需根据具体函数图象确定)二、填空题(每题4分)分解因式:ax2=_________(答案:a(x2-3y))在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为25m,那么这根旗杆的高度为_________m(答案:15)在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2。
北京市2021年中考数学试卷(含答案)
与分配到 t 生产线的吨数的比为
.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料后,
又给 生产线分配了 h 吨原材料,给 t 生产线分配了 自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则 h 的值为
吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各 .
2
三、解答题 17.计算: sin困u 香 l 香
应为( )
A.u善l困地 lul
B.l善困地 lul
C.l善困地 lull
D.l困善地 lulu
3.如图,点 在直线 t 上,
.若
ܥl u ,则 t 的大小为( )
A. u
B.iu
C. u
D.困u
4.下列多边形中,内角和最大的是( )
A. 5.实数
B.
C.
在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是(
证明:在 t 中, t ▲ ܥ, 是 的中点, t ▲ (填推理的依据).
∵直线 t 表示的方向为东西方向, ∴直线 表示的方向为南北方向.
3
21.已知关于 的一元二次方程
ih 香 h ܥu .
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若 h t u ,且该方程的两个实数根的差为 2,求 h 的值.
D. )
A. t
B. t
C. 香 t u
D.
u
6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是( )
A.li 7.已知 i
B.l ܥl虀i地 ii ܥl地 困 i
ܥu
C.l i困 ܥll困 .若
为整数且
D. ul
香 l ,则 的值
为( )
2024北京中考试卷数学
1. 一个数的五分之一加上9等于24,这个数是多少?- A. 75- B. 80- C. 85- D. 902. 如果一个正方形的边长是5厘米,那么它的面积是多少平方厘米?- A. 20- B. 25- C. 30- D. 353. 已知6x + 7 = 49,求x 的值。
- A. 6- B. 7- C. 8- D. 94. 一个等腰三角形的两个底角都是60°,那么顶角的度数为多少?- A. 40°- B. 50°- C. 60°- D. 70°5. 某商品打八折后的价格是160元,那么原价是多少元?- A. 180- B. 200- C. 220- D. 2406. 等差数列1, 4, 7, 10, ... 的第6项是多少?- A. 15- B. 16- C. 17- D. 187. 一个圆的周长是25.12厘米,那么它的半径是多少厘米?(取π=3.14)- A. 4- B. 5- C. 6- D. 78. 如果x + 9 = 20,那么x 的值为多少?- A. 10- B. 11- C. 12- D. 139. 一辆车以每小时80公里的速度行驶,2.5小时后它行驶了多少公里?- A. 180- B. 200- C. 220- D. 24010. 一个长方形的周长是48厘米,如果长是14厘米,那么宽是多少厘米?- A. 10- B. 11- C. 12- D. 13。
2022年北京市中考数学真题(解析版)
∵共有4种等可能的结果,第一次摸到红球,第二次摸到绿球有1种情况,
∴第一次摸到红球,第二次摸到绿球的概率为 ,
故选:A.
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率,列出所有等可能的结果是解决本题的关键.
6.若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根,则实数 的值为()
A. B. C. D.
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件,可得x-8≥0,然后进行计算即可解答.
【详解】解:由题意得:
x 8≥0,
解得:x≥8.
故答案为:x≥8.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式 是解题的关键.
10.分解因式: ______.
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式,再根据平方差公式计算,即可得到答案.
③设绳子的长为L,一边长x,则另一边长为 ,
则矩形的面积为: ,
故③不可以利用该图象表示;
故可以利用该图象表示的有:①②,
故选:A.
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系,采用数形结合的思想是解决本题的关键.
第二部分非选择题
二、填空题(共16分,每题2分)
9.若 在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是___________.
【点睛】本题考查了数轴上的点,熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键.
5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是()
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球,第二次摸到绿球的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.
北京市中考数学试卷及答案(完整版)
北京市中考数学试卷及答案(完整版)(文档可以直接使用,也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载)2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 解析满分120分,考试时间120分钟一、选择题(本题共32分,每小题4分)下面各题均有四个选项,其中只有一个..是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2021-2021)》中,北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案:B解析:科学记数法的表示形式为a×10n 的形式,其中1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.3 960=3.96×103 2. 43-的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-答案:D解析:(0)a a ≠的倒数为1a ,所以,43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为 A.51 B. 52 C. 53 D. 54答案:C解析:大于2的有3、4、5,共3个,故所求概率为534. 如图,直线a ,b 被直线c 所截,a ∥b ,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80° 答案:C解析:∠1=∠2=12(180°-40°)=70°,由两直线平行,内错相等,得 ∠4=70°。
5. 如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上。
若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案:B解析:由△EAB∽△EDC,得:CE CDBE AB=,即102020AB=,解得:AB=406. 下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案:A解析:B既是轴对称图形,又是中心对称图形;C只是轴对称图形;D既不是轴对称图形也不是中心对称图形,只有A符合。
2024年北京市中考数学试卷真题及其答案
2024年北京市中考数学试卷一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.(2分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.2.(2分)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为()A.29°B.32°C.45°D.58°3.(2分)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.b>﹣1B.|b|>2C.a+b>0D.ab>04.(2分)若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为()A.﹣16B.﹣4C.4D.165.(2分)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个,两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,则两次摸出的都是红球的概率是()A.B.C.D.6.(2分)为助力数字经济发展,北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位),整体投产后,累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍,达到mFlops,则m的值为()A.8×1016B.2×1017C.5×1017D.2×10187.(2分)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.(1)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;(2)作射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;以点C′为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点D′;(3)过点D′作射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.上述方法通过判定△C ′O ′D ′≌△COD 得到∠A ′O ′B ′=∠AOB ,其中判定△C ′O ′D ′≌△COD 的依据是()A.三边分别相等的两个三角形全等B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8.(2分)如图,在菱形ABCD 中,∠BAD =60°,O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90°得到菱形A ′B ′C ′D ′,两个菱形的公共点为E ,F ,G ,H .对八边形BFB ′GDHD ′E 给出下面四个结论:①该八边形各边长都相等;②该八边形各内角都相等;③点O 到该八边形各顶点的距离都相等;④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等.上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④二、填空题(共16分,每题2分)9.(2分)若在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是.10.(2分)分解因式:x 3﹣25x =.11.(2分)方程的解为.12.(2分)在平面直角坐标系xOy 中,若函数的图象经过点(3,y 1)和(﹣3,y 2),则y 1+y 2的值是.13.(2分)某厂加工了200个工件,质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位:g ),得到的数据如下:50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x (单位:g )满足49.98≤x ≤50.02时,评定该工件为一等品.根据以上数据,估计这200个工件中一等品的个数是.14.(2分)如图,⊙O 的直径AB 平分弦CD (不是直径).若∠D =35°,则∠C =°.15.(2分)如图,在正方形ABCD 中,点E 在AB 上,AF ⊥DE 于点F ,CG ⊥DE 于点G .若AD =5,CG =4,则△AEF 的面积为.第14题第15题16.(2分)联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排,所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕,下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下:节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排,则节目D的演员的候场时间为min;若使这23位演员的候场时间之和最小,则节目应按的先后顺序彩排.三、解答题(共68分,第17-19题每题5分,第20-21题每题6分,第22-23题每题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)计算:.18.(5分)解不等式组:.19.(5分)已知a﹣b﹣1=0,求代数式的值.20.(6分)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.(1)求证:四边形AFCD为平行四边形;(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.21.(6分)为防治污染,保护和改善生态环境,自2023年7月1日起,我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车,“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进,该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,B两类物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由.22.(5分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=﹣kx+3的图象交于点(2,1).(1)求k,b的值;(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=﹣kx+3的值,直接写出m的取值范围.23.(5分)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.教师评委打分:86889091919191929298b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组:第1组82≤x<85,第2组85≤x<88,第3组88≤x<91,第4组91≤x<94,第5组94≤x<97,第6组97≤x≤100):c.评委打分的平均数、中位数、众数如下:平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息,回答下列问题:①m的值为,n的值位于学生评委打分数据分组的第组;②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分,记其余8名教师评委打分的平均数为,则91(填“>”“=”或“<”);(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手,计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前,若平均数相同,则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下:评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中,则这三位选手中排序最靠前的是,表中k(k为整数)的值为.24.(6分)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,OD平分∠AOC.(1)求证:OD∥BC;(2)延长DO交⊙O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P.若,PE=1,求⊙O半径的长.25.(5分)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中,小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯,并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图.当1号杯和2号杯中都有VmL 水时,小云分别记录了1号杯的水面高度h 1(单位:cm )和2号杯的水面高度h 2单位:cm ),部分数据如下:V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8(1)补全表格(结果保留小数点后一位);(2)通过分析数据,发现可以用函数刻画h 1与V ,h 2与V 之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象;(3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题:①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时,2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为cm (结果保留小数点后一位);②在①的条件下,将2号杯中的一部分水倒入1号杯中,当两个水杯的水面高度相同时,其水面高度约为cm (结果保留小数点后一位).26.(6分)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =ax 2﹣2a 2x (a ≠0).(1)当a =1时,求抛物线的顶点坐标;(2)已知M (x 1,y 1)和N (x 2,y 2)是抛物线上的两点.若对于x 1=3a ,3≤x 2≤4,都有y 1<y 2,求a 的取值范围.27.(7分)已知∠MAN =α(0°<α<45°),点B ,C 分别在射线AN ,AM 上,将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ,过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E .(1)如图1,当点D 在射线AN 上时,求证:C 是AE 的中点;(2)如图2,当点D 在∠MAN 内部时,作DF ∥AN ,交射线AM 于点F ,用等式表示线段EF 与AC 的数量关系,并证明.28.(7分)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ,给出如下定义:若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部,且∠ACB =α,则称点C 是弦AB 的“α可及点”.(1)如图,点A (0,1),B (1,0).①在点C 1(2,0),C 2(1,2),中,点是弦AB 的“α可及点”,其中α=°;②若点D 是弦AB 的“90°可及点”,则点D 的横坐标的最大值为;(2)已知P 是直线上一点,且存在⊙O 的弦MN ,使得点P 是弦MN 的“60°可及点”.记点P 的横坐标为t ,直接写出t 的取值范围.2024年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.(2分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【解答】解:A、图形是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意;B、图形是中心对称图形,也是轴对称图形,符合题意;C、图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,不符合题意;D、图形不是中心对称图形,是轴对称图形,不符合题意,故选:B.2.(2分)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为()A.29°B.32°C.45°D.58°【解答】解:∵OE⊥OC,∴∠COE=∠DOE=90°,∵∠BOD=∠AOC=58°,∴∠EOB=90°﹣58°=32°.故选:B.3.(2分)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.b>﹣1B.|b|>2C.a+b>0D.ab>0【解答】解:由数轴得,﹣2<b<﹣1,2<a<3,∴|b|<2,a+b>0,ab<0,故选:C.4.(2分)若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为()A.﹣16B.﹣4C.4D.16【解答】解:因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,所以Δ=(﹣4)2﹣4c=0,解得c=4.故选:C.5.(2分)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个,两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,则两次摸出的都是红球的概率是()A.B.C.D.【解答】解:列表如下:红黄红(红,红)(红,黄)黄(黄,红)(黄,黄)共有4种等可能的结果,其中两次摸出的都是红球的结果有1种,∴两次摸出的都是红球的概率为.故选:A.6.(2分)为助力数字经济发展,北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位),整体投产后,累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍,达到mFlops,则m的值为()A.8×1016B.2×1017C.5×1017D.2×1018【解答】解:由题意可得:4×1017×5=2×1018.故选:D.7.(2分)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.(1)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;(2)作射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;以点C′为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点D′;(3)过点D′作射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′=∠AOB,其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是()A.三边分别相等的两个三角形全等B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【解答】解:由作图过程可得,OC=OD=O'C'=O'D',C'D'=CD,∴△C′O′D′≌△COD(SSS),∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等.故选:A.8.(2分)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′,两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论:①该八边形各边长都相等;②该八边形各内角都相等;③点O到该八边形各顶点的距离都相等;④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④【解答】解:延长BD和DB,连接OH,∵菱形ABCD,∠BAD=60°,∴∠BAO=∠DAO=30°,∠AOD=∠AOB=90°,∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D',∴点A′,D′,B′,C′一定在对角线AC,BD上,且OD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC',∴AD'=C'D,∠D'AH=∠DC'H=30°,∵∠D′HA=∠DHC′,∴△AD'H≌△C'DH(AAS),∴D′H=DH,C′H=AH,同理可证D'E=BE,BF=B'F,B'G=DG,∵∠EA'B=∠HC'D=30°,A′B=C′D,∠A'BE=∠C'DH=120°,∴△A'BE≌△C'DH(ASA),∴DH=BE,∴DH=BE=D′H=D′E=BF=FB′=B′G=DG,∴该八边形各边长都相等,故①正确;根据角的平分线的性质定理,得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等,故④正确;根据题意,得∠ED'H=120°,∵∠D'OD=90°,∠OD'H=∠ODH=60°,∴∠D'HD=150°,∴该八边形各内角不相等,故②错误;∵OD=OD′,D′H=DH,OH=OH,∴△D'OH≌△DOH(SSS),∴∠D'OH=∠DOH=45°,∠D'HO=∠DHO=75°,∴OD≠OH,∴点O到该八边形各顶点的距离不相等,故③错误;故选:B.二、填空题(共16分,每题2分)9.(2分)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是x≥9.【解答】解:根据题意得x﹣9≥0,解得:x≥9.故答案为:x≥9.10.(2分)分解因式:x3﹣25x=x(x+5)(x﹣5).【解答】解:x3﹣25x,=x(x2﹣25),=x(x+5)(x﹣5).11.(2分)方程的解为x=﹣1.【解答】解:x +(2x +3)=03x +3=0x =﹣1,经检验,x =﹣1是原方程的解.12.(2分)在平面直角坐标系xOy 中,若函数的图象经过点(3,y 1)和(﹣3,y 2),则y 1+y 2的值是.【解答】解:∵函数的图象经过点(3,y 1)和(﹣3,y 2),∴y 1=,y 2=﹣,∴y 1+y 2=0.故答案为:0.13.(2分)某厂加工了200个工件,质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量(单位:g ),得到的数据如下:50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02当一个工件的质量x (单位:g )满足49.98≤x ≤50.02时,评定该工件为一等品.根据以上数据,估计这200个工件中一等品的个数是160.【解答】解:∵满足49.98≤x ≤50.02时,评定该工件为一等品,∴抽取10个工件的一等品有49.98,50.00,49.99,50.02,49.99,50.01,50.00,50.02,共计8个,∴估计这200个工件中一等品的个数是200×=160,故答案为:160.14.(2分)如图,⊙O 的直径AB 平分弦CD (不是直径).若∠D =35°,则∠C =55°.【解答】解:设AB 与CD 相交于点E ,∵⊙O 的直径AB 平分弦CD (不是直径),∴AB ⊥CD ,∴∠DEB =90°,∵∠D=35°,∴∠B=90°﹣∠D=55°,∴∠C=∠B=55°,故选:55.15.(2分)如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADC=DAE=90°,∵AF⊥DE,CG⊥DE,∴∠AFD=∠CGD=90°,∵∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF,∴∠CDG=∠DAF,∴△CDG≌△DAF(AAS),∴AF=DG==3,DF=CG=4,同理可得∠EAF=∠ADF,又∠AFE=∠AFD,∴△AFE∽△DFA,∴,即,∴EF=,=AE•EF=.∴S△AEF故答案为:.16.(2分)联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排,所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕,下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下:节目A B C D演员人数102101彩排时长30102010已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).若节目按“A﹣B﹣C﹣D”的先后顺序彩排,则节目D的演员的候场时间为60min;若使这23位演员的候场时间之和最小,则节目应按B﹣D﹣C﹣A的先后顺序彩排.【解答】解:根据题意,节目D的演员的候场时间为:30+10+20=60(min);若使这23位演员的候场时间之和最小,则节目应按:B﹣D﹣C﹣A顺序排序,即1×10+10×10+10×20=310(min),故答案为:60;B﹣D﹣C﹣A.三、解答题(共68分,第17-19题每题5分,第20-21题每题6分,第22-23题每题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)计算:.【解答】解:=1+﹣2×+=.18.(5分)解不等式组:.【解答】解:解不等式3(x﹣1)<4+2x得,x<7,解不等式得,x>﹣1,所以不等式组的解集为:﹣1<x<7.19.(5分)已知a﹣b﹣1=0,求代数式的值.【解答】解:∵a﹣b﹣1=0,∴a﹣b=1,======3.20.(6分)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.(1)求证:四边形AFCD为平行四边形;(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.【解答】(1)证明:∵E是AB的中点,∴AE=BE,∵DF=BF,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,∴CF∥AD,∵AF∥CD,∴四边形AFCD为平行四边形;(2)解:由(1)知,EF是△ABD的中位线,∴AD=2EF=2,∵∠EFB=90°,tan∠FEB=3,∴BF=3EF=3,∵DF=FB,∴DF=BF=3,∵AD∥CE,∴∠ADF=∠EFB=90°,∴AF==,∵四边形AFCD为平行四边形,∴CD=AF=,∵DF=BF,CE⊥BD,∴BC=CD=.21.(6分)为防治污染,保护和改善生态环境,自2023年7月1日起,我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车,“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进,该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,B两类物质排放量之和为40mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由.【解答】解:这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”,理由如下:设该汽车的A类物质排放量为x mg/km,则该汽车的B类物质排放量为(92﹣x)mg/km,根据题意得(1﹣50%)x+(1﹣75%)(92﹣x)=40,解得x=68,∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量(1﹣50%)x=34,∵“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km,∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”.22.(5分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=﹣kx+3的图象交于点(2,1).(1)求k,b的值;(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=﹣kx+3的值,直接写出m的取值范围.【解答】解:(1)∵直线y=﹣kx+3点(2,1),∴﹣2k+3=1,解得k=1,将点(2,1)代入y=x+b得:2+b=1,解得b=﹣1.(2)∵当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x﹣1的值,也大于函数y=﹣x+3的值,∴m≥1.∴m的取值范围是m≥1.23.(5分)某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.教师评委打分:86889091919191929298b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分6组:第1组82≤x<85,第2组85≤x<88,第3组88≤x<91,第4组91≤x<94,第5组94≤x<97,第6组97≤x≤100):c.评委打分的平均数、中位数、众数如下:平均数中位数众数教师评委9191m学生评委90.8n93根据以上信息,回答下列问题:①m的值为91,n的值位于学生评委打分数据分组的第4组;②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分,记其余8名教师评委打分的平均数为,则<91(填“>”“=”或“<”);(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手,计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前,若平均数相同,则方差较小的选手排序靠前.5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下:评委1评委2评委3评委4评委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中,则这三位选手中排序最靠前的是甲,表中k(k为整数)的值为92.【解答】解:(1)①由题意得,教师评委打分中91出现的次数最多,故众数m=91.45名学生评委打分数据的中位数是第23个数,故n的值位于学生评委打分数据分组的第4组;故答案为:91;4;②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分,记其余8名教师评委打分的平均数为,则=×(88+90+91+91+91+91+92+92)=90.75,∴<91.故答案为:<;(2)甲选手的平均数为×(93+90+92+93+92)=92,乙选手的平均数为×(91+92+92+92+92)=91.8,∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中,∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数,∵5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92,=×[4×(92﹣91.8)2+(91﹣91.8)2]=0.16,乙选手的方差S2乙5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k,∴乙选手的方差小于丙选手的方差,∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数,小于或等于甲选手的平均数,∴93+90+92+93+92≥90+94+90+94+k>91+92+92+92+92,∴92≥k>91,∵k为整数,∴k(k为整数)的值为92,故答案为:92.24.(6分)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,OD平分∠AOC.(1)求证:OD∥BC;(2)延长DO交⊙O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P.若,PE=1,求⊙O半径的长.【解答】(1)证明:连接AC交OD于H,∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC,∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD,∴=,∴OD⊥AC,∴OD∥BC;(2)解:∵OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,∴=,∴设OE=5x,BC=6x,∵AO=OB,OH∥BC,∴AH=CH,∴OH=BC=3x,∵PB是⊙O的切线,∴∠OBP=90,∴∠PBO=∠AHO,∵∠BOP=∠AOH,∴△AOH∽△POB,∴,∴,∴x =或x =0(不合题意舍去),∴OE =,∴⊙O 半径的长为.25.(5分)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中,小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯,并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图.当1号杯和2号杯中都有VmL 水时,小云分别记录了1号杯的水面高度h 1(单位:cm )和2号杯的水面高度h 2单位:cm ),部分数据如下:V /mL 040100200300400500h 1/cm 0 2.5 5.07.510.012.5h 2/cm2.8 4.87.28.910.511.8(1)补全表格(结果保留小数点后一位);(2)通过分析数据,发现可以用函数刻画h 1与V ,h 2与V 之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象;(3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题:①当1号杯和2号杯中都有320mL 水时,2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 1.2cm (结果保留小数点后一位);②在①的条件下,将2号杯中的一部分水倒入1号杯中,当两个水杯的水面高度相同时,其水面高度约为8.5cm (结果保留小数点后一位).【解答】解:(1)设h 1=kV ,将(100,2.5)代入得:2.5=100k ,解得k =,∴h 1=V ,∵V =40,∴h 1=1.0,故答案为:1.0.(2)如图所示,(3)①当V =320ml 时,h 1=8.0cm ,由图象可知相差约为1.2cm .故答案为:1.2.②在①的条件下两杯相差1.2cm ,此时h 1大约是7.9,加上0.6约为8.5cm .故答案为:8.5.26.(6分)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =ax 2﹣2a 2x (a ≠0).(1)当a =1时,求抛物线的顶点坐标;(2)已知M (x 1,y 1)和N (x 2,y 2)是抛物线上的两点.若对于x 1=3a ,3≤x 2≤4,都有y 1<y 2,求a 的取值范围.【解答】解:(1)将a =1代入得y =x 2﹣2x =(x ﹣1)2﹣1,∴顶点坐标为(1,﹣1);(2)由题得,y 1=a •(3a )2﹣2a 2•3a =3a 3,y 2=﹣2a 2x 2,∵y 1<y 2,∴y 2﹣y 1=a (﹣2ax 2﹣3a 2)=a (x 2﹣3a )(x 2+a )>0,①当a >0时,(x 2﹣3a )(x 2+a )>0,∴或,解得x 2>3a 或x 2<﹣a ,∵3≤x 2≤4,∴3a <3或﹣a >4,∴a <1或a <﹣4,∵a >0,∴0<a <1;②当a <0时,(x 2﹣3a )(x 2+a )<0,∴或,解得3a <x 2<﹣a ,∵3≤x 2≤4,∴,解得a <﹣4,综上,0<a <1或a <﹣4.27.(7分)已知∠MAN =α(0°<α<45°),点B ,C 分别在射线AN ,AM 上,将线段BC 绕点B 顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD ,过点D 作AN 的垂线交射线AM 于点E .(1)如图1,当点D 在射线AN 上时,求证:C 是AE 的中点;(2)如图2,当点D 在∠MAN 内部时,作DF ∥AN ,交射线AM 于点F ,用等式表示线段EF 与AC 的数量关系,并证明.【解答】(1)证明:连接CD,由题意得:BC=BD,∠CBD=180°﹣2α,∴∠BDC=∠BCD,∵∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°,∴,∴∠BDC=∠A,∴CA=CD,∵DN⊥AN,∴∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°,∴∠1=∠2,∴CD=CE,∴CA=CE,∴点C是AE的中点;(2)解:EF=2AC,在射线AM上取点H,使得BH=BA,取EF的中点G,连接DG,∵BH=BA,∴∠BAH=∠BHA=α,∴∠ABH=180°﹣2α=∠CBD,∴∠ABC=∠HBD,∵BC=BD,∴△ABC≌△HBD(SAS),∴AC=DH,∠BHD=∠A=α,∴∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α,∵DF∥AN,∴∠EFD=∠A=α,∠EDF=∠3=90°,∵G 是AE 的中点,∴GF =GD ,EF =2GD ,∴∠GFD =∠GDF =α,∴∠HGD =2α,∴∠HGD =∠FHD ,∴DG =DH ,∵AC =DH ,∴DG =AC ,∴EF =2AC .28.(7分)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ,给出如下定义:若点C 关于直线AB 的对称点C ′在⊙O 上或其内部,且∠ACB =α,则称点C 是弦AB 的“α可及点”.(1)如图,点A (0,1),B (1,0).①在点C 1(2,0),C 2(1,2),中,点C 2是弦AB 的“α可及点”,其中α=45°;②若点D 是弦AB 的“90°可及点”,则点D 的横坐标的最大值为;(2)已知P 是直线上一点,且存在⊙O 的弦MN ,使得点P 是弦MN 的“60°可及点”.记点P 的横坐标为t ,直接写出t 的取值范围.【解答】解:(1)①反过来思考,由相对运动理解,作出⊙O 关于AB 的对称圆⊙O ,∵若点C 关于直线AB 的对称点C '在⊙O 上或其内部,且∠ACB =α,则称点C 是弦AB 的“α可及点”,∴点C 应在⊙O '的圆内或圆上,∵点A (0,1),B (1,0),∴OA =OB =1,∵∠AOB =90°,∴∠ABO =∠OAB =45°,由对称得:∠O 'BA =O 'AB =45°,∴△O ′BA 为等腰直角三角形,∴O '(1,1),设⊙O 半径为R ,则,故C 1在⊙O '外,不符合题意;C 2O '=2﹣1=1=R ,故C 2在⊙O '上,符合题意;,故C 3在⊙O '外,不符合题意,∴点C 2是弦AB 的“α可及点”,可知B ,O ′,C 2三点共线,∵,∴,故答案为:C 2,45;②取AB 中点为H ,连接DH ,∵∠ADB=90°,∴HD=HA=HB,∴点D在以H为圆心,HA为半径的AB上方半圆上运动(不包括端点A、B),∴当DH∥x轴时,点D横坐标最大,∵OA=OB=1,∠AOB=90°,∴,∴,∵点A(0,1),B(1,0),∴,∴,∴点D的横坐标的最大值为,故答案为:;(2)反过来思考,由相对运动理解,作出⊙O关于AB的对称圆⊙O',∵若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部,且∠ACB=α,则称点C是弦AB的“α可及点”,∴点C应在⊙O'的圆内或圆上,∴点P需要在⊙O'的圆内或圆上,作出△MPN的外接圆⊙O″,连接O″M,O″N,∴点P在以O″为圆心,MO″为半径的上运动(不包括端点M、N),∴∠MO″N=2∠MPN=120°,∴∠O″MN=30°,由对称得点O,O'在MN的垂直平分线上,∵△MPN的外接圆为⊙O″,∴点O″也在MN的垂直平分线上,记OO'与NM交于点Q,∴,∴,随着MN的增大,⊙O'会越来越靠近⊙O,当点O'与点O″重合时,点P在⊙O'上,即为临界状态,此时MN最大,,连接O″P,OP,∵OP≤OO″+O″P,∴当MN最大,时,此时△MNP为等边三角形,由上述过程知,∴,∴当r=1,OP的最大值为2,设,则,解得:,记直线与⊙O交于T,S,与y轴交于点K,过点S作SL⊥x轴,当x=0,,当y=0时,,解得x=1,∴与x轴交于点T(1,0),∴,∵OT=OS,∴△OTS为等边三角形,∴∠TOS=60°,∴,∴,∴t的取值范围是.。
2022年北京市中考数学试卷(含答案)
2022年北京市中考数学试卷一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.(2分)(2022•北京)下面几何体中,是圆锥的为()A.B.C.D.2.(2分)(2022•北京)截至2021年12月31日,长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时,相当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学记数法表示应为()A.26.2883×1010B.2.62883×1011C.2.62883×1012D.0.262883×10123.(2分)(2022•北京)如图,利用工具测量角,则∠1的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°4.(2分)(2022•北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.a<﹣2B.b<1C.a>b D.﹣a>b5.(2分)(2022•北京)不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是()A.B.C.D.6.(2分)(2022•北京)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为()A.﹣4B.C.D.47.(2分)(2022•北京)图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为()A.1B.2C.3D.58.(2分)(2022•北京)下面的三个问题中都有两个变量:①汽车从A地匀速行驶到B地,汽车的剩余路程y与行驶时间x;②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y与放水时间x;③用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积y与一边长x.其中,变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题(共16分,每题2分)9.(2分)(2022•北京)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.10.(2分)(2022•北京)分解因式:xy2﹣x=.11.(2分)(2022•北京)方程=的解为.12.(2分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y=(k>0)的图象上,则y1y2(填“>”“=”或“<”).13.(2分)(2022•北京)某商场准备进400双滑冰鞋,了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号,数据如下:鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据,估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双.14.(2分)(2022•北京)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD=.15.(2分)(2022•北京)如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则AE的长为.16.(2分)(2022•北京)甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为A,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下:包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.(1)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一种满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号);(2)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的Ⅱ号产品最多,写出满足条件的装运方案(写出要装运包裹的编号).三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22题5分,第23-24题,每题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)(2022•北京)计算:(π﹣1)0+4sin45°﹣+|﹣3|.18.(5分)(2022•北京)解不等式组:.19.(5分)(2022•北京)已知x2+2x﹣2=0,求代数式x (x+2)+(x+1)2的值.20.(5分)(2022•北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.已知:如图,△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.方法一证明:如图,过点A作DE∥BC.方法二证明:如图,过点C作CD∥AB.21.(6分)(2022•北京)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE =CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.22.(5分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(4,3),(﹣2,0),且与y轴交于点A.(1)求该函数的解析式及点A的坐标;(2)当x>0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值,直接写出n的取值范围.23.(6分)(2022•北京)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛,十位评委对每位同学的演唱进行现场打分,对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两位同学得分的折线图:b.丙同学得分:10,10,10,9,9,8,3,9,8,10c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:同学甲乙丙平均数8.68.6m 根据以上信息,回答下列问题:(1)求表中m的值;(2)在参加比赛的同学中,如果某同学得分的10个数据的方差越小,则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断:在甲、乙两位同学中,评委对的评价更一致(填“甲”或“乙”);(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分,最后得分越高,则认为该同学表现越优秀.据此推断:在甲、乙、丙三位同学中,表现最优秀的是(填“甲”“乙”或“丙”).24.(6分)(2022•北京)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD.(1)求证:∠BOD=2∠A;(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为⊙O的切线.25.(5分)(2022•北京)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:02581114水平距离x/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40竖直高度y/m根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系y=a(x ﹣h)2+k(a<0);(2)第二次训练时,该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=﹣0.04(x﹣9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1,第二次训练的着陆点的水平距离为d2,则d1d2(填“>”“=”或“<”).26.(6分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c (a>0)上,设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值;(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上.若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围.27.(7分)(2022•北京)在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接AF,EF.若AF⊥EF,求证:BD⊥AF;(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.28.(7分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义:将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度,再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度,得到点P′,点P′关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.(1)如图,点M(1,1),点N在线段OM的延长线上.若点P(﹣2,0),点Q为点P 的“对应点”.①在图中画出点Q;②连接PQ,交线段ON于点T,求证:NT=OM;(2)⊙O的半径为1,M是⊙O上一点,点N在线段OM上,且ON=t(<t<1),若P为⊙O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接PQ.当点M在⊙O上运动时,直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).2022年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.(2分)(2022•北京)下面几何体中,是圆锥的为()A.B.C.D.【分析】简单几何体的识别.【解答】解:A是圆柱;B是圆锥;C是三棱锥,也叫四面体;D是球体,简称球;故选:B.【点评】本题考查简单几何体的识别,正确区分几何体是解题的关键.2.(2分)(2022•北京)截至2021年12月31日,长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时,相当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学记数法表示应为()A.26.2883×1010B.2.62883×1011C.2.62883×1012D.0.262883×1012【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,且n比原来的整数位数少1,据此判断即可.【解答】解:262883000000=2.62883×1011.故选:B.【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.3.(2分)(2022•北京)如图,利用工具测量角,则∠1的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°【分析】根据对顶角的性质解答即可.【解答】解:根据对顶角相等的性质,可得:∠1=30°,故选:A.【点评】本题主要考查了对顶角,熟练掌握对顶角相等是解答本题关键.4.(2分)(2022•北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.a<﹣2B.b<1C.a>b D.﹣a>b【分析】利用数轴与实数的关系,及正负数在数轴上的表示求解.【解答】解:根据图形可以得到:﹣2<a<0<1<b<2;所以:A、B、C都是错误的;故选:D.【点评】本题考查了数轴与实数的关系,理解并正确运用是解题的关键.5.(2分)(2022•北京)不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是()A.B.C.D.【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数,即可确定出所求的概率.【解答】解:列表如下:红绿红(红,红)(绿,红)绿(红,绿)(绿,绿)所有等可能的情况有4种,其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况,所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为,故选:A.【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.6.(2分)(2022•北京)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为()A.﹣4B.C.D.4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m=0,然后解一次方程即可.【解答】解:根据题意得Δ=12﹣4m=0,解得m=.故选:C.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac 有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.7.(2分)(2022•北京)图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为()A.1B.2C.3D.5【分析】一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,这条直线就是这个图形的一条对称轴,由此即可解决问题.【解答】解:如图所示,该图形有5条对称轴,故选:D.【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用.8.(2分)(2022•北京)下面的三个问题中都有两个变量:①汽车从A地匀速行驶到B地,汽车的剩余路程y与行驶时间x;②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y与放水时间x;③用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积y与一边长x.其中,变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【分析】(1)根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可;(2)根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可;(3)根据矩形的面积公式判断即可.【解答】解:汽车从A地匀速行驶到B地,根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小,故①符合题意;将水箱中的水匀速放出,直至放完,根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小,故②符合题意;用长度一定的绳子围成一个矩形,周长一定时,矩形面积是长x的二次函数,故③不符合题意;所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②.故选:A.【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.二、填空题(共16分,每题2分)9.(2分)(2022•北京)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是x≥8.【分析】根据二次根式有意义的条件,可得:x﹣8≥0,据此求出实数x的取值范围即可.【解答】解:∵在实数范围内有意义,∴x﹣8≥0,解得:x≥8.故答案为:x≥8.【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,解答此题的关键是要明确:二次根式中的被开方数是非负数.10.(2分)(2022•北京)分解因式:xy2﹣x=x(y﹣1)(y+1).【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.【解答】解:xy2﹣x,=x(y2﹣1),=x(y﹣1)(y+1).故答案为:x(y﹣1)(y+1).【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.11.(2分)(2022•北京)方程=的解为x=5.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:2x=x+5,解得:x=5,检验:把x=5代入得:x(x+5)≠0,∴分式方程的解为x=5.故答案为:x=5.【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.12.(2分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y =(k>0)的图象上,则y 1>y2(填“>”“=”或“<”).【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限,再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答.【解答】解:∵k>0,∴反比例函数y=(k>0)的图象在一、三象限,∵5>2>0,∴点A(2,y1),B(5,y2)在第一象限,y随x的增大而减小,∴y1>y2,故答案为:>.【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征,比较简单.13.(2分)(2022•北京)某商场准备进400双滑冰鞋,了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号,数据如下:鞋号353637383940414243 2455126321销售量/双根据以上数据,估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为120双.【分析】应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案.【解答】解:根据统计表可得,39号的鞋卖的最多,则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为(双).故答案为:120.【点评】本题主要考查了用样本估计总体,熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键.14.(2分)(2022•北京)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD=1.【分析】过D点作DH⊥AC于H,如图,根据角平分线的性质得到DE=DH=1,然后根据三角形面积公式计算.【解答】解:过D点作DH⊥AC于H,如图,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DE=DH=1,∴S△ACD=×2×1=1.故答案为:1.【点评】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.15.(2分)(2022•北京)如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,=,则AE的长为1.【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°,AD∥BC,利用勾股定理求出BC=4,利用相似三角形的性质,即可求出AE的长.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AD∥BC,∵AB=3,AC=5,∴BC ===4,∵AD∥BC,∴∠EAF=∠BCF,∠AEF=∠CBF,∴△EAF∽△BCF,∴=,∴,∴,∴AE=1,故答案为:1.【点评】本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定与性质,掌握矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.16.(2分)(2022•北京)甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为A,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下:包裹编号Ⅰ号产品重量/吨Ⅱ号产品重量/吨包裹的重量/吨A516B325C235D437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.(1)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一种满足条件的装运方案ABC(或ABE或AD或ACD或BCD)(写出要装运包裹的编号);(2)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的Ⅱ号产品最多,写出满足条件的装运方案ABE或BCD(写出要装运包裹的编号).【分析】(1)从A,B,C,D,E中选出2个或3个,同时满足I号产品不少于9吨,且不多于11吨,总重不超过19.5吨即可;(2)从(1)中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可.【解答】解:(1)选择ABC时,装运的I号产品重量为:5+3+2=10(吨),总重6+5+5=16<19.5(吨),符合要求;选择ABE时,装运的I号产品重量为:5+3+3=11(吨),总重6+5+8=19<19.5(吨),符合要求;选择AD时,装运的1号产品重量为:5+4=9(吨),总重6+7=13<19.5 (吨),符合要求;选择ACD时,装运的I号产品重量为:5+2+4=11(吨),总重6+5+7=18<19.5(吨),符合要求;选择BCD时,装运的1号产品重量为:3+2+4=9(吨),总重5+5+7=17<19.5(吨),符合要求;选择DCE时,装运的I号产品重量为:4+2+3=9(吨),总重7+5+8=20>19.5(吨),不符合要求;选择BDE时,装运的I号产品重量为:3+4+3=10(吨),总重5+7+8=20>19.5(吨),不符合要求;综上,满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD.故答案为:ABC(或ABE或AD或ACD或BCD);(2)选择ABC时,装运的I号产品重量为:1+2+3=6(吨);选择ABE时,装运的I号产品重量为:1+2+5=8(吨);选择AD时,装运的II号产品重量为:1+3=4 (吨);选择ACD时,装运的II号产品重量为:1+3+3=7 (吨);选择BCD时,装运的II号产品重量为:2+3+3=8 (吨);故答案为:ABE或BCD.【点评】本题考查方案的选择,读懂题意,尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键.三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22题5分,第23-24题,每题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)(2022•北京)计算:(π﹣1)0+4sin45°﹣+|﹣3|.【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简,进而合并得出答案.【解答】解:原式=1+4×﹣2+3=1+2﹣2+3=4.【点评】此题主要考查了实数的运算,正确化简各数是解题关键.18.(5分)(2022•北京)解不等式组:.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.【解答】解:由2+x>7﹣4x,得:x>1,由x<,得:x<4,则不等式组的解集为1<x<4.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.19.(5分)(2022•北京)已知x2+2x﹣2=0,求代数式x(x+2)+(x+1)2的值.【分析】先去括号,再合并同类项,然后把x2+2x=2代入化简后的式子进行计算即可解答.【解答】解:x(x+2)+(x+1)2=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1,∵x2+2x﹣2=0,∴x2+2x=2,∴当x2+2x=2时,原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=4+1=5.【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值,准确熟练地进行计算是解题的关键.20.(5分)(2022•北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.已知:如图,△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.方法一证明:如图,过点A作DE∥BC.方法二证明:如图,过点C作CD∥AB.【分析】方法一:由平行线的性质得:∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°,从而可求解;方法二:由平行线的性质得:∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°,从而可求解.【解答】证明:方法一:∵DE∥BC,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°,∴∠B+∠BAC+∠C=180°;方法二:∵CD∥AB,∴∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°,∵∠B+∠ACB+∠A=180°.【点评】本题主要考查平行线的性质,解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.21.(6分)(2022•北京)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE =CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.【分析】(1)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明;(2)根据平行四边形的性质可得DA=DC,然后利用等腰三角形的性质可得DB⊥EF,进而可以证明四边形EBFD是菱形.【解答】证明:(1)在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,∵AE=CF.∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形;(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠BAC=∠DCA,∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∵OA=OC,∴DB⊥EF,∴平行四边形EBFD是菱形.【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.22.(5分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(4,3),(﹣2,0),且与y轴交于点A.(1)求该函数的解析式及点A的坐标;(2)当x>0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值,直接写出n的取值范围.【分析】(1)先利用待定系数法求出函数解析式为y=x+1,然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标;(2)当函数y=x+n与y轴的交点在点A(含A点)上方时,当x>0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值.【解答】解:(1)把(4,3),(﹣2,0)分别代入y=kx+b得,解得,∴函数解析式为y=x+1,当x=0时,y=x+1=1,∴A点坐标为(0,1);(2)当n≥1时,当x>0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k ≠0)的值.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式:掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键.也考查了一次函数的性质.23.(6分)(2022•北京)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛,十位评委对每位同学的演唱进行现场打分,对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两位同学得分的折线图:b.丙同学得分:10,10,10,9,9,8,3,9,8,10c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息,回答下列问题:(1)求表中m的值;(2)在参加比赛的同学中,如果某同学得分的10个数据的方差越小,则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断:在甲、乙两位同学中,评委对甲的评价更一致(填“甲”或“乙”);(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分,最后得分越高,则认为该同学表现越优秀.据此推断:在甲、乙、丙三位同学中,表现最优秀的是丙(填“甲”“乙”或“丙”).【分析】(1)根据平均数的定义即可求解;(2)计算甲、乙两位同学的方差,即可求解;(3)根据题意,分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分,即可得出结论.【解答】解:(1)m=×(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)=8.6;(2)甲同学的方差S2甲=×[2×(7﹣8.6)2+2×(8﹣8.6)2+4×(9﹣8.6)2+2×(10﹣8.6)2]=1.04,乙同学的方差S2乙=×[4×(7﹣8.6)2+2×(9﹣8.6)2+4×(10﹣8.6)2]=1.84,∵S2甲<S2乙,∴评委对甲同学演唱的评价更一致.故答案为:甲;(3)甲同学的最后得分为×(7+8×2+9×4+10)=8.625;乙同学的最后得分为×(3×7+9×2+10×3)=8.625;丙同学的最后得分为×(8×2+9×3+10×3)=9.125,∴在甲、乙、丙三位同学中,表现最优秀的是丙.故答案为:丙.【点评】本题考查折线统计图,平均数、方差,理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提.24.(6分)(2022•北京)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD.(1)求证:∠BOD=2∠A;(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为⊙O的切线.【分析】(1)连接AD,首先利用垂径定理得,知∠CAB=∠BAD,再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论;(2)连接OC,首先由点F为AC的中点,可得AD=CD,则∠ADF=∠CDF,再利用圆的性质,可说明∠CDF=∠OCF,∠CAB=∠CDE,从而得出∠OCD+∠DCE=90°,从而证明结论.【解答】证明:(1)如图,连接AD,∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,∴,∴∠CAB=∠BAD,∵∠BOD=2∠BAD,∴∠BOD=2∠A;(2)如图,连接OC,∵F为AC的中点,∴DF⊥AC,∴AD=CD,∴∠ADF=∠CDF,∵,∴∠CAB=∠DAB,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CDF=∠CAB,∵OC=OD,∴∠CDF=∠OCD,∴∠OCD=∠CAB,∵,∴∠CAB=∠CDE,∴∠CDE=∠OCD,∵∠E=90°,∴∠CDE+∠DCE=90°,∴∠OCD+∠DCE=90°,即OC⊥CE,∵OC为半径,∴直线CE为⊙O的切线.【点评】本题主要考查了圆周角定理,垂径定理,圆的切线的判定等知识,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.25.(5分)(2022•北京)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:02581114水平距离x/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40竖直高度y/m根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系y=a(x ﹣h)2+k(a<0);(2)第二次训练时,该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=﹣0.04(x﹣9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1,第二次训练的着陆点的水平距离为d2,则d1<d2(填“>”“=”或“<”).【分析】(1)先根据表格中的数据找到顶点坐标,即可得出h、k的值,运动员竖直高度的最大值;将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式;(2)设着陆点的纵坐标为t,分别代入第一次和第二次的函数关系式,求出着陆点的横坐标,用t表示出d1和d2,然后进行比较即可.【解答】解:(1)根据表格中的数据可知,抛物线的顶点坐标为:(8,23.20),∴h=8,k=23.20,即该运动员竖直高度的最大值为23.20m,根据表格中的数据可知,当x=0时,y=20.00,代入y=a(x﹣8)2+23.20得:20.00=a(0﹣8)2+23.20,解得:a=﹣0.05,∴函数关系式为:y=﹣0.05(x﹣8)2+23.20;(2)设着陆点的纵坐标为t,则第一次训练时,t=﹣0.05(x﹣8)2+23.20,解得:x=8+或x=8﹣,∴根据图象可知,第一次训练时着陆点的水平距离d1=8+,第二次训练时,t=﹣0.04(x﹣9)2+23.24,解得:x=9+或x=9﹣,∴根据图象可知,第二次训练时着陆点的水平距离d2=9+,∵20(23.20﹣t)<25(23.24﹣t),∴<,∴d1<d2,故答案为:<.【点评】本题主要考查了二次函数的应用,待定系数法求函数关系式,设着陆点的纵坐标为t,用t表示出d1和d2是解题的关键.26.(6分)(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c (a>0)上,设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值;(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上.若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围.【分析】(1)将点(1,m),N(3,n)代入抛物线解析式,再根据m=n得出b=﹣4a,再求对称轴即可;(2)再根据m<n<c,可确定出对称轴的取值范围,进而可确定x0的取值范围.【解答】解:(1)将点(1,m),N(3,n)代入抛物线解析式,∴,∵m=n,。
北京市2023年中考数学试卷((附参考答案))
北京市2023年中考数学试卷一、单选题1.截至2023年6月11日17时,全国冬小麦收款2.39亿亩,进度过七成半,将239000000用科学记数法表示应为()A.B.C.D.2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.3.如图,,,则的大小为()A.B.C.D.4.已知,则下列结论正确的是()A.B.C.D.5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则实数的值为()A.B.C.D.96.十二边形的外角和为()A.B.C.D.7.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币,则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是()A.B.C.D.8.如图,点A、B、C在同一条线上,点B在点A,C之间,点D,E在直线AC同侧,,,,连接DE,设,,,给出下面三个结论:①;②;③;上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题9.若代数式有意义,则实数x的取值范围是.10.分解因式:=.11.方程的解为.12.在平面直角坐标系中,若函数的图象经过点和,则m的值为.13.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命,从中随机抽取了50只灯泡进行检测,获得了它们的使用寿命(单位:小时),数据整理如下:使用寿命灯泡只数51012176根据以上数据,估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为只.14.如图,直线AD,BC交于点O,.若,,.则的值为.15.如图,是的半径,是的弦,于点D,是的切线,交的延长线于点E.若,,则线段的长为.16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需A,B,C,D,E,F,G七道工序,加工要求如下:①工序C,D须在工序A完成后进行,工序E须在工序B,D都完成后进行,工序F须在工序C,D 都完成后进行;②一道工序只能由一名学生完成,此工序完成后该学生才能进行其他工序;③各道工序所需时间如下表所示:工序A B C D E F G所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下,若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工,则需要分钟;若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工,则最少需要分钟.三、解答题17.计算:.18.解不等式组:.19.已知,求代数式的值.20.如图,在中,点E,F分别在,上,,.(1)求证:四边形是矩形;(2),,,求的长.21.对联是中华传统文化的瑰宝,对联装裱后,如图所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边.一般情况下,天头长与地头长的比是,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联,对联的长为,宽为.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍,求边的宽和天头长.(书法作品选自《启功法书》)22.在平面直角坐标系中,函数的图象经过点和,与过点且平行于x轴的线交于点C.(1)求该函数的解析式及点C的坐标;(2)当时,对于x的每一个值,函数的值大于函数的值且小于4,直接写出n的值.23.某校舞蹈队共16名学生,测量并获取了所有学生的身高(单位:cm),数据整理如下:a.16名学生的身高:161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数:平均数中位数众数166.75m n(1)写出表中m,n的值;(2)对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是(填“甲组”或“乙组”);甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168,168,172,他们的身高的方差为.在选另外两名学生时,首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别为和.24.如图,圆内接四边形的对角线,交于点,平分,.(1)求证平分,并求的大小;(2)过点作交的延长线于点.若,,求此圆半径的长.25.某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略.部分内容如下.每次清洗1个单位质量的该种含污物品,清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990方案一:采用一次清洗的方式.结果:当用水量为19个单位质量时,清洗后测得的清洁度为0.990.方案二:采用两次清洗的方式.记第一次用水量为个单位质量,第二次用水量为个单位质量,总用水量为个单位质量,两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如下:11.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.00.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析,补充完成以下内容.(1)选出C是0.990的所有数据组,并划“√”;(2)通过分析(Ⅰ)中选出的数据,发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系,在平面直角坐标系中画出此函数的图象;结果:结合实验数据,利用所画的函数图象可以推断,当第一次用水量约为个单位质量(精确到个位)时,总用水量最小.(3)根据以上实验数据和结果,解决下列问题:当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时,与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质量(结果保留小数点后一位);(4)当采用两次清洗的方式时,若第一次用水量为6个单位质量,总用水量为7.5个单位质量,则清洗后的清洁度C0.990(填“>”“=”或“<”).26.在平面直角坐标系中,,是抛物线上任意两点,设抛物线的对称轴为.(1)若对于,有,求的值;(2)若对于,,都有,求的取值范围.27.在中、,于点M,D是线段上的动点(不与点M,C重合),将线段绕点D顺时针旋转得到线段.(1)如图1,当点E在线段上时,求证:D是的中点;(2)如图2,若在线段上存在点F(不与点B,M重合)满足,连接,,直接写出的大小,并证明.28.在平面直角坐标系中,的半径为1.对于的弦和外一点C给出如下定义:若直线,中一条经过点O,另一条是的切线,则称点C是弦的“关联点”.(1)如图,点,,①在点,,中,弦的“关联点”是.②若点C是弦的“关联点”,直接写出的长;(2)已知点,.对于线段上一点S,存在的弦,使得点S是弦的“关联点”,记的长为t,当点S在线段上运动时,直接写出t的取值范围.答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】313.【答案】46014.【答案】15.【答案】16.【答案】53;2817.【答案】解:原式.18.【答案】解:解不等式①得:解不等式②得:不等式的解集为:19.【答案】解:原式,由可得,将代入原式可得,原式.20.【答案】(1)证明:∵四边形是平行四边形,∴,,∵,∴,∴四边形是平行四边形,∵,∴平行四边形是矩形;(2)解:由(1)知四边形是矩形,∴,∵,,∴是等腰直角三角形,∴,又∵,∴,∴,∴.21.【答案】解:设天头长为,由题意天头长与地头长的比是,可知地头长为,边的宽为,装裱后的长为,装裱后的宽为,由题意可得:解得,∴,答:边的宽为,天头长为.22.【答案】(1)解:把点,代入得:,解得:,∴该函数的解析式为,由题意知点C的纵坐标为4,当时,解得:,∴;(2)23.【答案】(1)解:将这组数据按照从小到大的顺序排列为:161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175,出现次数最多的数是165,出现了3次,即众数,16个数据中的第8和第9个数据分别是166,166,∴中位数,∴,;(2)甲组(3)170;17224.【答案】(1)解:∵∴,∴,即平分.∵平分,∴,∴,∴,即,∴是直径,∴;(2)解:∵,,∴,则.∵,∴.∵,∴,∴是等边三角形,则.∵平分,∴.∵是直径,∴,则.∵四边形是圆内接四边形,∴,则,∴,∴,∴.∵,∴,∴.∵是直径,∴此圆半径的长为.25.【答案】(1)解:表格如下:11.09.09.07.05.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.00.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.511.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√(2)函数图象如下:;4(3)11.3(4)<26.【答案】(1)解:∵对于,有,∴抛物线的对称轴为直线,∵抛物线的对称轴为.∴;(2)解:∵当,,∴,,∵,,∴离对称轴更近,,则与的中点在对称轴的右侧,∴,即.27.【答案】(1)解:证明:由旋转的性质得:,,∵,∴,∴,∴,∴,即D是的中点;(2);证明:如图2,延长到H使,连接,,∵,∴是的中位线,∴,,由旋转的性质得:,,∴,∵,∴,是等腰三角形,∴,,设,,则,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴,∵,∴,即.28.【答案】(1)①,;②(2)解:或∵线段上一点S,存在的弦,使得点S是弦的“关联点”,又∵弦随着S的变动在一定范围内变动,且,,,∴S共有2种情况,分别位于点M和经过点O的的垂直平分线上,如图所示,①当S位于点时,为的切线,作,∵,的半径为1,且为的切线,∴,∵,∴,∴,即,解得,∴根据勾股定理得,,根据勾股定理,,同理,,∴当S位于点时,的临界值为和.②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时,∵点,,∴,∴,又∵的半径为1,∴,∴三角形为等边三角形,∴在此情况下,,,∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时,的临界值为和,∴在两种情况下,的最小值在内,最大值在,综上所述,t的取值范围为或,。
2024年北京市中考真题数学试卷含答案解析
2024年北京市中考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A .B .C .D .【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形,根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可,如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;把一个图形绕着某一个点旋转180︒,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键.【详解】解:A 、是中心对称图形,但不是轴对称图形,故不符合题意;B 、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故符合题意;C 、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不符合题意;D 、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故不符合题意;故选:B .2.如图,直线AB 和CD 相交于点O ,OE OC ⊥,若58AOC ∠=︒,则EOB ∠的大小为( )A .29︒B .32︒C .45︒D .58︒【答案】B【分析】本题考查了垂直的定义,平角的定义,熟练掌握知识点,是解题的关键.根据OE OC ⊥得到90COE ∠=︒,再由平角180AOB ∠=︒即可求解.【详解】解:∵OE OC ⊥,∴90COE ∠=︒,∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒,58AOC ∠=︒,∴180905832EOB ∠=︒-︒-=︒,故选:B .3.实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( )A .1b >-B .2b >C .0a b +>D .0ab >4.若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根,则实数c 的值为( )A .16-B .4-C .4D .16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=即可.本题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式是解题的关键.【详解】∵方程240x x c -+=,1,4,a b c c ==-=,∴()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=,∴416c =,解得4c =.故选C .5.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球,除颜色外两个小球无其他差别.从中随机取出一个小球后,放回并摇匀,再从中随机取出一个小球,则两次都取到白色小球的概率为( )A .34B .12C .13D .14共有4种等可能的结果,其中两次都取到白色小球的结果有∴两次都取到白色小球的概率为故选:D .6.为助力数字经济发展,北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops (Flops 是计算机系统算力的一种度量单位),整体投产后,累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍,达到m Flops ,则m 的值为( )A .16810⨯B .17210⨯C .17510⨯D .18210⨯【答案】D【分析】用移动小数点的方法确定a 值,根据整数位数减一原则确定n 值,最后写成10n a ⨯的形式即可.本题考查了科学记数法表示大数,熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ,运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键.【详解】17184105210m =⨯⨯=⨯,故选D .7.下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.(1)如图,以点O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA ,OB 于点C ,D ;(2)作射线O A '',以点O '为圆心,OC 长为半径画弧,交O A ''于点C ';以点C '为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点D ¢;(3)过点D ¢作射线O B '',则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠,其中判定C O D COD '''△≌△的依据是( )A .三边分别相等的两个三角形全等B .两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C .两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D .两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中,同圆半径相等,判定三角形全等的依据是边边边原理,解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图,熟练掌握作图的依据是边边边原理是解题的关键.【详解】根据基本作图中,同圆半径相等,判定三角形全等的依据是边边边原理,故选A.8.如图,在菱形ABCD 中,60BAD ∠=︒,O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D '''',两个菱形的公共点为E ,F ,G ,H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论:①该八边形各边长都相等;②该八边形各内角都相等;③点O 到该八边形各顶点的距离都相等;④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。
2022年北京市中考数学试卷及答案
2022年北京市中考试卷一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.下面几何体中,是圆锥的为()A.B.C.D.2.将262883000000用科学记数法表示应为()A.1026.288310⨯B.112.6288310⨯C.122.6288310⨯D.120.26288310⨯3.如图,利用工具测量角,则1∠的大小为()A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒4.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A.2a<-B.1b<C.a b>D.a b->5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是()A.14B.13C.12D.346.若关于x的一元二次方程20x x m++=有两个相等的实数根,则实数m的值为()A.4-B.14-C.14D.47.图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为()A .1B .2C .3D .58.下面的三个问题中都有两个变量:①汽车从A 地匀速行驶到B 地,汽车的剩余路程y 与行驶时间x ; ②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y 与放水时间x ; ③用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积y 与一边长x .其中,变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③二、填空题(共16分,每题2分)98x -x 的取值范围是 . 10.分解因式:2xy x -= . 11.方程215x x=+的解为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,若点1(2,)A y ,2(5,)B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上,则1y 2y (填“>”“ =”或“<” ).13.某商场准备进400双滑冰鞋,了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号,数据如下:鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双2455126321根据以上数据,估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双.14.如图,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,DE AB ⊥.若2AC =,1DE =,则ACD S ∆= .15.如图,在矩形ABCD 中,若3AB =,5AC =,14AF FC =,则AE 的长为 .16.甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为A ,B ,C ,D ,E ,每个包裹的重量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的重量如下: 包裹编号 Ⅰ号产品重量/吨 Ⅱ号产品重量/吨 包裹的重量/吨A 5 1 6 B3 2 5 C2 3 5 D 4 3 7 E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.(1)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一种满足条件的装运方案 (写出要装运包裹的编号);(2)如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的Ⅱ号产品最多,写出满足条件的装运方案 (写出要装运包裹的编号).三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22题5分,第23-24题,每题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分) 17.计算:0(1)4sin 458|3|π-+︒--. 18.解不等式组:274,42x x xx +>-⎧⎪⎨+<⋅⎪⎩.19.已知2220x x +-=,求代数式2(2)(1)x x x +++的值.20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明. 三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180︒. 已知:如图,ABC ∆,求证:180A B C ∠+∠+∠=︒. 方法一证明:如图,过点A 作//DE BC .方法二证明:如图,过点C 作//CD AB .21.如图,在ABCD 中,AC ,BD 交于点O ,点E ,F 在AC 上,AE CF =. (1)求证:四边形EBFD 是平行四边形;(2)若BAC DAC ∠=∠,求证:四边形EBFD 是菱形.22.在平面直角坐标系xOy 中,函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(4,3),(2,0)-,且与y 轴交于点A . (1)求该函数的解析式及点A 的坐标;(2)当0x >时,对于x 的每一个值,函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值,直接写出n 的取值范围.23.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛,十位评委对每位同学的演唱进行现场打分,对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲、乙两位同学得分的折线图:b.丙同学得分:10,10,10,9,9,8,3,9,8,10c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息,回答下列问题:(1)求表中m的值;(2)在参加比赛的同学中,如果某同学得分的10个数据的方差越小,则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断:在甲、乙两位同学中,评委对的评价更一致(填“甲”或“乙”);(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分,最后得分越高,则认为该同学表现越优秀.据此推断:在甲、乙、丙三位同学中,表现最优秀的是(填“甲”“乙”或“丙”).24.如图,AB是O的直径,CD是O的一条弦,AB CD⊥,连接AC,OD.(1)求证:2∠=∠;BOD A(2)连接DB,过点C作CE DB⊥,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为O的切线.25.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y (单位:)m 与水平距离x (单位:)m 近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<.某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下: 水平距离/x m0 2 5 8 11 14竖直高度/y m20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系2()(0)y a x h k a =-+<; (2)第二次训练时,该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24y x =--+.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为1d ,第二次训练的着陆点的水平距离为2d ,则1d 2d (填“>”“ =”或“<” ).26.在平面直角坐标系xOy 中,点(1,)m ,(3,)n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上,设抛物线的对称轴为直线x t =.(1)当2c =,m n =时,求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值;(2)点0(x ,0)(1)m x ≠在抛物线上.若m n c <<,求t 的取值范围及0x 的取值范围.27.在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,D 为ABC ∆内一点,连接BD ,DC ,延长DC 到点E ,使得CE DC =. (1)如图1,延长BC 到点F ,使得CF BC =,连接AF ,EF .若AF EF ⊥,求证:BD AF ⊥; (2)连接AE ,交BD 的延长线于点H ,连接CH ,依题意补全图2.若222AB AE BD =+,用等式表示线段CD 与CH 的数量关系,并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(,)M a b ,N .对于点P 给出如下定义:将点P 向右(0)a 或向左(0)a <平移||a 个单位长度,再向上(0)b 或向下(0)b <平移||b 个单位长度,得到点P ',点P '关于点N 的对称点为Q ,称点Q 为点P 的“对应点”. (1)如图,点(1,1)M ,点N 在线段OM 的延长线上.若点(2,0)P -,点Q 为点P 的“对应点”. ①在图中画出点Q ;②连接PQ ,交线段ON 于点T ,求证:12NT OM =;(2)O 的半径为1,M 是O 上一点,点N 在线段OM 上,且1(1)2ON t t =<<,若P 为O 外一点,点Q 为点P 的“对应点”,连接PQ .当点M 在O 上运动时,直接写出PQ 长的最大值与最小值的差(用含t 的式子表示).答案与解析一、选择题(共16分,每题2分)1.解:A是圆柱;B是圆锥;C是三棱锥,也叫四面体;D是球体,简称球;故选:B.2.解:11262883000000 2.6288310=⨯.故选:B.3.解:根据对顶角相等的性质,可得:130∠=︒,故选:A.4.解:根据图形可以得到:2012a b-<<<<<;所以:A、B、C都是错误的;故选:D.5.解:列表如下:所有等可能的情况有4种,其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况,所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为14,故选:A.6.解:根据题意得△2140m=-=,解得14m=.故选:C.7.解:如图所示,该图形有5条对称轴,故选:D .8.解:汽车从A 地匀速行驶到B 地,根据汽车的剩余路程y 随行驶时间x 的增加而减小,故①符合题意; 将水箱中的水匀速放出,直至放完,根据水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小,故②符合题意; 用长度一定的绳子围成一个矩形,周长一定时,矩形面积是长x 的二次函数,故③不符合题意; 所以变量y 与变量x 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②. 故选:A .二、填空题(共16分,每题2分) 9.解:8x -在实数范围内有意义,80x ∴-,解得:8x . 故答案为:8x . 10.解:2xy x -,2(1)x y =-, (1)(1)x y y =-+.故答案为:(1)(1)x y y -+. 11.解:去分母得:25x x =+, 解得:5x =,检验:把5x =代入得:(5)0x x +≠,∴分式方程的解为5x =.故答案为:5x =. 12.解:0k >,∴反比例函数(0)ky k x=>的图象在一、三象限, 520>>,∴点1(2,)A y ,2(5,)B y 在第一象限,y 随x 的增大而减小,12y y ∴>,故答案为:>.13.解:根据统计表可得,39号的鞋卖的最多, 则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040⨯=(双). 故答案为:120.14.解:过D 点作DH AC ⊥于H ,如图,AD 平分BAC ∠,DE AB ⊥,DH AC ⊥, 1DE DH ∴==,12112ACD S ∆∴=⨯⨯=.故答案为:1.15.解:四边形ABCD 是矩形, 90ABC ∴∠=︒,//AD BC , 3AB =,5AC =,2222534BC AC AB ∴=--=, //AD BC ,EAF BCF ∴∠=∠,AEF CBF ∠=∠, EAF BCF ∴∆∆∽,14AF FC =, ∴14AE AF BC FC ==, ∴144AE =, 1AE ∴=,故答案为:1.16.解:(1)选择ABC 时,装运的I 号产品重量为:53210++=(吨),总重6551619.5++=<(吨),符合要求;选择ABE 时,装运的I 号产品重量为:53311++=(吨),总重6581919.5++=<(吨),符合要求; 选择AD 时,装运的1号产品重量为:549+=(吨),总重671319.5+=< (吨),符合要求; 选择ACD 时,装运的I 号产品重量为:52411++=(吨),总重6571819.5++=<(吨),符合要求; 选择BCD 时,装运的1号产品重量为:3249++=(吨),总重5571719.5++=<(吨),符合要求; 选择DCE 时,装运的I 号产品重量为:4239++=(吨),总重7582019.5++=>(吨),不符合要求; 选择BDE 时,装运的I 号产品重量为:34310++=(吨),总重5782019.5++=>(吨),不符合要求; 选择ACE 时,装运的I 号产品重量为53311++=(吨),总重65819++=(吨),符合要求, 综上,满足条件的装运方案有ABC 或ABE 或AD 或ACD 或BCD 或ACE .故答案为:ABC (或ABE 或AD 或ACD 或BCD 或)ACE ;(2)选择ABC 时,装运的Ⅱ号产品重量为:1236++=(吨);选择ABE 时,装运的Ⅱ号产品重量为:1258++=(吨);选择AD 时,装运的Ⅱ号产品重量为:134+= (吨);选择ACD 时,装运的Ⅱ号产品重量为:1337++= (吨);选择BCD 时,装运的Ⅱ号产品重量为:2338++= (吨);选择ACE 时,Ⅰ产品重量:52310++= 且91011;Ⅱ产品重量:1359++=,故答案为:ACE .三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22题5分,第23-24题,每题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分)17.解:原式143=+-13=+ 4=.18.解:由274x x +>-,得:1x >, 由42x x +<,得:4x <, 则不等式组的解集为14x <<.19.解:2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++2241x x =++,2220x x +-=,222x x ∴+=,∴当222x x +=时,原式22(2)1x x =++221=⨯+41=+5=.20.证明:方法一://DE BC ,B BAD ∴∠=∠,C CAE ∠=∠,180BAD BAC CAE ∠+∠+∠=︒,180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒;方法二://CD AB ,A ACD ∴∠=∠,180B BCD ∠+∠=︒,180B ACB A ∴∠+∠+∠=︒.21.证明:(1)在ABCD 中,OA OC =,OB OD =,AE CF =.OE OF ∴=,∴四边形EBFD 是平行四边形;(2)四边形ABCD 是平行四边形,//AB DC ∴,BAC DCA ∴∠=∠,BAC DAC ∠=∠,DCA DAC ∴∠=∠,DA DC ∴=,∴平行四边形ABCD 为菱形,DB EF ∴⊥,∴平行四边形EBFD 是菱形.22.解:(1)把(4,3),(2,0)-分别代入y kx b =+得4320k b k b +=⎧⎨-+=⎩, 解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴函数解析式为112y x =+, 当0x =时,1112y x =+=, A ∴点坐标为(0,1);(2)当1n 时,当0x >时,对于x 的每一个值,函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值.23.解:(1)1(10101099839810)8.610m =⨯+++++++++=; (2)甲同学的方差2_S 甲,乙同学的方差2_S 乙,2_S 甲,∴评委对甲同学演唱的评价更一致.故答案为:甲;(3)甲同学的最后得分为1(7829410)8.6258⨯+⨯+⨯+=; 乙同学的最后得分为1(3792103)8.6258⨯⨯+⨯+⨯=; 丙同学的最后得分为1(8293103)9.1258⨯⨯+⨯+⨯=, ∴在甲、乙、丙三位同学中,表现最优秀的是丙.故答案为:丙.24.证明:(1)如图,连接AD ,AB 是O 的直径,AB CD ⊥,∴BC BD =,CAB BAD ∴∠=∠,2BOD BAD ∠=∠,2BOD A ∴∠=∠;(2)如图,连接OC,F为AC的中点,∴⊥,DF AC∴=,AD CD∴∠=∠,ADF CDF=,BC BD∴∠=∠,CAB DABOA OD=,∴∠=∠,OAD ODA∴∠=∠,CDF CABOC OD=,∴∠=∠,CDF OCD∴∠=∠,OCD CAB=,BC BC∴∠=∠,CAB CDE∴∠=∠,CDE OCD∠=︒,90E∴∠+∠=︒,CDE DCE90∴∠+∠=︒,OCD DCE90即OC CE⊥,OC为半径,∴直线CE为O的切线.25.解:(1)根据表格中的数据可知,抛物线的顶点坐标为:(8,23.20),k=,∴=,23.208h即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ,根据表格中的数据可知,当0x =时,20.00y =,代入2(8)23.20y a x =-+得: 220.00(08)23.20a =-+,解得:0.05a =-,∴函数关系式为:20.05(8)23.20y x =--+;(2)设着陆点的纵坐标为t ,则第一次训练时,20.05(8)23.20t x =--+,解得:8x =或8x =,∴根据图象可知,第一次训练时着陆点的水平距离18d =+ 第二次训练时,20.04(9)23.24t x =--+,解得:9x =+或9x =,∴根据图象可知,第二次训练时着陆点的水平距离29d =, 20(23.20)25(23.24)t t -<-,∴<12d d ∴<,故答案为:<.26.解:(1)将点(1,)m ,(3,)n 代入抛物线解析式,∴93m a b c n a b c =++⎧⎨=++⎩, m n =,93a b c a b c ∴++=++,整理得,4b a =-,∴抛物线的对称轴为直线4222b a x a a-=-=-=; 2t ∴=,2c =,∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0,2).(2)m n c <<,93a b c a b c c ∴++<++<,解得43a b a -<<-,34a b a ∴<-<, ∴34222a b a a a a <-<,即322t <<. 当32t =时,02x =; 当2t =时,03x =.0x ∴的取值范围023x <<.27.(1)证明:在BCD ∆和FCE ∆中,BC CF BCD FCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()BCD FCE SAS ∴∆≅∆,DBC EFC ∴∠=∠,//BD EF ∴,AF EF ⊥,BD AF ∴⊥;(2)解:由题意补全图形如下:CD CH =.证明:延长BC 到F ,使CF BC =,连接AF ,EF ,AC BF ⊥,BC CF =,AB AF ∴=,由(1)可知//BD EF ,BD EF =,222AB AE BD =+,222AF AE EF ∴=+,90AEF ∴∠=︒,AE EF ∴⊥,BD AE ∴⊥,90DHE ∴∠=︒,又CD CE =,CH CD CE ∴==.28.解:(1)①由题意知,(21,01)P '-++,(1,1)P '∴-,如图,点Q 即为所求;②连接PP ',45P PO MOx '∠=∠=︒,//PP ON '∴,P N QN '=,PT QT ∴=,12NT PP '∴=, PP OM '=,12NT OM ∴=; (2)如图,连接PO ,并延长至S ,使OP OS =,延长SQ 到T ,使ST OM =,由题意知,//PP OM ',PP OM '=,P N NQ '=,2TQ MN ∴=,1MN OM ON t =-=-,22TQ t ∴=-,1(22)21SQ ST TQ t t ∴=-=--=-,PS QS PQ PS QS -+,PQ ∴的最小值为PS QS -,PQ 的最大值为PS QS +,PQ ∴长的最大值与最小值的差为()()242PS QS PS QS QS t +--==-.。
2023年北京市中考数学试题和答案解析
2023年北京市中考数学试卷一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.A.23.9×107B.2.39×108C.2.39×109D.0.239×1091.(2分)截至2023年6月11日17时,全国冬小麦收获2.39亿亩,进度过七成半,将239000000用科学记数法表示应为( )解:239000000=2.39×108,故选:B.【解答】A.B.C.D.2.(2分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )解:A、原图既是中心对称图形,又是轴对称图形,故此选项符合题意;B、原图是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不合题意;C、原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;D、原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;故选:A.【解答】A.36°B.44°C.54°D.63°3.(2分)如图,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为( )解:∵∠AOC=90°,∠AOD=126°,∴∠COD=∠AOD-∠AOC=36°,∵∠BOD=90°,∴∠BOC=∠BOD-∠COD=90°-36°=54°.故选:C.【解答】A.-1<-a<a<1B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1D.-1<-a<1<a 4.(2分)已知a-1>0,则下列结论正确的是( )解:∵a-1>0,∴a>1,∴-a<-1,∴-a<-1<1<a,故选:B.【解答】A.-9B.−94C.94D.9 5.(2分)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为( )解:∵关于x 的一元二次方程x 2-3x +m =0有两个相等的实数根,∴Δ=b 2-4ac =(-3)2-4m =0,解得m =94.故选:C .【解答】A .30°B .150°C .360°D .1800°6.(2分)正十二边形的外角和为( )解:因为多边形的外角和为360°,所以正十二边形的外角和为:360°.故选:C .【解答】A .14B .13C .12D .347.(2分)先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币,则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( )解:先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币,总共有四种等可能结果,分别是:(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反),则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是14,故选:A .【解答】A .①②B .①③C .②③D .①②③8.(2分)如图,点A ,B ,C 在同一条直线上,点B 在点A ,C 之间,点D ,E 在直线AC 同侧,AB <BC ,∠A =∠C =90°,△EAB ≌△BCD ,连接DE .设AB =a ,BC =b ,DE =c ,给出下面三个结论:①a +b <c ;②a +b >a 2+b 2;③2(a +b )>c .上述结论中,所有正确结论的序号是( )√√解:①过点D 作DF ∥AC ,交AE 于点F ;过点B 作BG ⊥FD ,交FD 于点G .∵DF ∥AC ,AC ⊥AE ,∴DF ⊥AE .又∵BG ⊥FD ,∴BG ∥AE ,∴四边形ABGF 为矩形.同理可得,四边形BCDG 也为矩形.∴FD =FG +GD =a +b .∴在Rt △EFD 中,斜边c >直角边a +b .故①正确.②∵△EAB ≌△BCD ,∴AE =BC =b ,∴在Rt △EAB 中,BE =AB 2+AE 2=a 2+b 2.∵AB +AE >BE ,∴a +b >a 2+b 2.故②正确.③∵△EAB ≌△BCD ,∴∠AEB =∠CBD ,又∵∠AEB +∠ABE =90°,∴∠CBD +∠ABE =90°,∴∠EBD =90°.∵BE =BD ,∴∠BED =∠BDE =45°,∴BE =a 2+b 2=c •sin 45°=22c .∴c =2a 2+b 2.∵[2(a +b )]2=2(a 2+2ab +b 2)=2(a 2+b 2)+4ab >2(a 2+b 2),【解答】√√√√√√√√二、填空题(共16分,每题2分)∴2(a +b )>2(a 2+b 2),∴2(a +b )>c .故③正确.故选:D .√√√9.(2分)若代数式5x −2有意义,则实数x 的取值范围是 .解:由题意得:x -2≠0,解得:x ≠2,故答案为:x ≠2.【解答】10.(2分)分解因式:x 2y -y 3= .解:x 2y -y 3=y (x 2-y 2)=y (x +y )(x -y ).故答案为:y (x +y )(x -y ).【解答】11.(2分)方程35x +1=12x的解为 .解:方程两边同时乘以2x (5x +1)得,3×2x =5x +1,∴x =1.检验:把x =1代入2x (5x +1)=12≠0,且方程左边=右边.∴原分式方程的解为x =1.【解答】12.(2分)在平面直角坐标系xOy 中,若函数y =kx(k ≠0)的图象经过点A (-3,2)和B (m ,-2),则m 的值为.解:∵函数y =k x(k ≠0)的图象经过点A (-3,2),∴k =-3×2=-6,∴反比例函数的关系式为y =-6x ,又∵B (m ,-2)在反比例函数的关系式为y =-6x的图象上,∴m =−6−2=3,故答案为:3.【解答】13.(2分)某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命,从中随机抽取了50只灯泡进行检测,获得了它们的使用寿命(单位:小时),数据整理如下:使用寿命x <10001000≤x <16001600≤x <22002200≤x <2800x ≥2800灯泡只数51012176根据以上数据,估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为只.解:估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×17+650=460(只).故答案为:460.【解答】三、解答题(共68分,第17-19题,每题5分,第20-21题,每题6分,第22-23题,每题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分)14.(2分)如图,直线AD ,BC 交于点O ,AB ∥EF ∥CD ,若AO =2,OF =1,FD =2,则BE EC的值为 .解:∵AO =2,OF =1,∴AF =AO +OF =2+1=3,∵AB ∥EF ∥CD ,∴BE EC=AF FD=32,故答案为:32.【解答】15.(2分)如图,OA 是⊙O 的半径,BC 是⊙O 的弦,OA ⊥BC 于点D ,AE 是⊙O 的切线,AE 交OC 的延长线于点E .若∠AOC =45°,BC =2,则线段AE 的长为.解:∵OA 是⊙O 的半径,AE 是⊙O 的切线,∴∠A =90°,∵∠AOC =45°,OA ⊥BC ,∴△CDO 和△EAO 是等腰直角三角形,∴OD =CD ,OA =AE ,∵OA ⊥BC ,∴CD =12BC =1,∴OD =CD =1,∴OC =2OD =2,∴AE =OA =OC =2,故答案为:2.【解答】√√√√16.(2分)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需A ,B 、C ,D 、E ,F 、G 七道工序,加工要求如下:①工序C ,D 须在工序A 完成后进行,工序E 须在工序B ,D 都完成后进行,工序F 须在工序C ,D 都完成后进行;②一道工序只能由一名学生完成,此工序完成后该学生才能进行其他工序;③各道工序所需时间如下表所示:工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下,若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工,则需要分钟;若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工,则最少需要分钟.解:由题意得:9+9+7+9+7+10+2=53(分钟),即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工,需要53分钟;假设这两名学生为甲、乙,∵工序C ,D 须在工序A 完成后进行,工序E 须在工序B ,D 都完成后进行,且工序A ,B 都需要9分钟完成,∴甲学生做工序A ,乙学生同时做工序B ,需要9分钟,然后甲学生做工序D ,乙学生同时做工序C ,乙学生工序C 完成后接着做工序G ,需要9分钟,最后甲学生做工序E ,乙学生同时做工序F ,需要10分钟,∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工,最少需要9+9+10=28(分钟),故答案为:53,28.【解答】17.(5分)计算:4sin 60°+(13)-1+|-2|-12.√解:原式=4×32+3+2-23=23+3+2-23=5.【解答】√√√√18.(5分)解不等式组:V Y W Y X x >x +235x −3<5+x.解:VY W Y X x >x +23①5x −3<5+x ②,解不等式①得:x >1,解不等式②得:x <2,∴原不等式组的解集为:1<x <2.【解答】19.(5分)已知x +2y -1=0,求代数式2x +4yx 2+4xy +4y2的值.解:∵x +2y -1=0,∴x +2y =1,∴2x +4yx 2+4xy +4y 2=2(x +2y )(x +2y )2=2x +2y =21=2,∴2x +4yx 2+4xy +4y2的值为2.【解答】20.(6分)如图,在⏥ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,AD 上,BE =DF ,AC =EF .(1)求证:四边形AECF 是矩形;(2)若AE =BE ,AB =2,tan ∠ACB =12,求BC 的长.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD =BC ,AD ∥BC ,∵BE =DF ,∴AD -DF =BC -BE ,即AF =EC ,∴四边形AECF 是平行四边形,∵AC =EF ,∴平行四边形AECF 是矩形;(2)解:∵四边形AECF 是矩形,∴∠AEC =∠AEB =90°,∵AE =BE ,AB =2,∴△ABE 是等腰直角三角形,∴AE =BE =22AB =2,∵tan ∠ACB =AE EC=12,∴EC =2AE =22,∴BC =BE +EC =2+22=32,即BC 的长为32.【解答】√√√√√√√21.(6分)对联是中华传统文化的瑰宝,对联装裱后,如图所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边.一般情况下,天头长与地头长的比是6:4,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的110.某人要装裱一副对联,对联的长为100cm ,宽为27cm .若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍,求边的宽和天头长.【解答】解:设天头长为6x cm,地头长为4x cm,则左、右边的宽为x cm,根据题意得,100+(6x+4x)=4×[27+(6x-4x)],解得x=4,答:边的宽为4cm,天头长为24cm.22.(5分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,1)和B(1,2),与过点(0,4)且平行于x 轴的直线交于点C.(1)求该函数的解析式及点C的坐标;x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值且小于4,直接写出n的值.(2)当x<3时,对于x的每一个值,函数y=23解:(1)把点A(0,1),B(1,2)代入y=kx+b(k≠0)得:b=1,k+b=2,【解答】解得:k=1,b=1,∴该函数的解析式为y=x+1,由题意知点C的纵坐标为4,当y=x+1=4时,解得:x=3,∴C(3,4);(2)由(1)知:当x=3时,y=x+1=4,因为当x<3时,函数y=2x+n的值大于函数y=x+1的值且小于4,3所以当y=2x+n过点(3,4)时满足题意,3代入(3,4)得:4=2×3+n,3解得:n=2.23.(5分)某校舞蹈队共16名学生,测量并获取了所有学生的身高(单位:cm),数据整理如下:a.16名学生的身高:161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175;b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数:平均数中位数众数166.75m n(1)写出表中m,n的值;(2)对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好,据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是(填“甲组”或“乙组”);甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175.在选另(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛,已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168,168,172,他们的身高的方差为329外两名学生时,首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于32,其次要求所选的两名学生9与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别为和.解:(1)数据按由小到大的顺序排序:161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175,则舞蹈队16名学生身高的中位数为m =166+1662=166(cm ),众数为n =165(cm ),故答案为:166,165;(2)甲组学生身高的平均值是:162+165+165+166+1665=164.8(cm ),甲组学生身高的方差是:15×[(164.8-162)2+(164.8-165)2+(164.8-165)2+(164.8-166)2+(164.8-166)2]=2.16,乙组学生身高的平均值是:161+162+164+165+1755=165.4(cm ),乙组学生身高的方差是:15×[(165.4-161)2+(165.4-162)2+(165.4-164)2+(165.4-165)2+(165.4-175)2]=25.04,∵25.04>2.6,∴甲组舞台呈现效果更好.故答案为:甲组;(3)∵168,168,172的平均数为13(168+168+172)=16913(cm ),且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329,∴数据的差别较小,可供选择的有170cm ,172cm ,平均数为:15(168+168+170+172+172)=170(cm ),方差为:15[(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(172-170)2+(172-170)2]=3.2<329,∴选出的另外两名学生的身高分别为170cm 和172cm .故答案为:170cm ,172cm .【解答】24.(6分)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点E ,BD 平分∠ABC ,∠B AC =∠ADB .(1)求证DB 平分∠ADC ,并求∠BAD 的大小;(2)过点C 作CF ∥AD 交AB 的延长线于点F ,若AC =AD ,BF =2,求此圆半径的长.(1)证明:∵∠BAC =∠ADB ,∠BAC =∠CDB ,∴∠ADB =∠CDB ,∴BD 平分∠ADC ,∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠CBD ,∵四边形ABCD 是圆内接四边形,∴∠ABC +∠ADC =180°,∴∠ABD +∠CBD +∠ADB +∠CDB =180°,∴2(∠ABD +∠ADB )=180°,∴∠ABD +∠ADB =90°,∴∠BAD =180°-90°=90°;(2)解:∵∠BAE +∠DAE =90°,∠BAE =∠ADE ,∴∠ADE +∠DAE =90°,∴∠AED =90°,∵∠BAD =90°,∴BD 是圆的直径,∴BD 垂直平分AC ,∴AD =CD ,∵AC =AD ,∴△ACD 是等边三角形,∴∠ADC =60°∵BD ⊥AC ,∴∠BDC =12∠ADC =30°,∵CF ∥AD ,【解答】∴∠F+∠BAD=180°,∴∠F=90°,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠ABC=180°,∵∠FBC+∠ABC=180°,∴∠FBC=∠ADC=60°,∴BC=2BF=4,∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,∴BC=12BD,∵BD是圆的直径,∴圆的半径长是4.25.(5分)某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略,部分内容如下.每次清洗1个单位质量的该种含污物品,清洗前的清洁度均为0.800,要求清洗后的清洁度为0.990.方案一:采用一次清洗的方式:结果:当用水量为19个单位质量时,清洗后测得的清洁度为0.990.方案二:采用两次清洗的方式:记第一次用水量为x1个单位质量,第二次用水量为x2个单位质量,总用水量为(x1+x 2)个单位质量,两次清洗后测得的清洁度为C.记录的部分实验数据如下:x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C 0.990.9890.990.990.990.990.990.9880.990.990.990对以上实验数据进行分析,补充完成以下内容.(Ⅰ)选出C是0.990的所有数据组,并划“√”;(Ⅱ)通过分析(Ⅰ)中选出的数据,发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系,在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象;结果:结合实验数据,利用所画的函数图象可以推断,当第一次用水量约为个单位质量(精确到个位)时,总用水量最小.根据以上实验数据和结果,解决下列问题:(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时,与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质量(结果保留小数点后一位);(2)当采用两次清洗的方式时,若第一次用水量为6个单位质量,总用水量为7.5个单位质量,则清洗后的清洁度C 0.990(填“>”“=”或”<”).解:(Ⅰ)表格如下:x 111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x 20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5x 1+x 211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C 0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√(Ⅱ)函数图象如下:由图象可得,当第一次用水量约为4个单位质量(精确到个位)时,总用水量最小.故答案为:4;(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时,用水量为7.7个单位质量,19-7.7=11.3,即可节水约11.3个单位质量.故答案为:11.3;(2)由图可得,当第一次用水量为6个单位质量,总用水量超过8个单位质量,则清洗后的清洁度能达到C <0.990,第一次用水量为6个单位质量,总用水量为7.5个单位质量,则清洗后的清洁度,故答案为:<.【解答】26.(6分)在平面直角坐标系xOy 中,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)是抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)上任意两点,设抛物线的对称轴为x =t .(1)若对于x 1=1,x 2=2,有y 1=y 2,求t 的值;(2)若对于0<x 1<1,1<x 2<2,都有y 1<y 2,求t 的取值范围.解:(1)∵对于x 1=1,x 2=2,有y 1=y 2,∴a +b +c =4a +2b +c ,∴3a +b =0,∴ba =-3.∵对称轴为x =-b 2a=32,∴t =32.(2)∵0<x 1<1,1<x 2<2,∴12<x 1+x 22<32,x 1<x 2,∵y 1<y 2,a >0,∴(x 1,y 1)离对称轴更近,x 1<x 2,则(x 1,y 1)与(x 2,y 2)的中点在对称轴的右侧,【解答】∴x 1+x 22>t ,即t ≤12.27.(7分)在△ABC 中,∠B =∠C =α(0°<α<45°),AM ⊥BC 于点M ,D 是线段MC 上的动点(不与点M ,C 重合),将线段D M 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE .(1)如图1,当点E 在线段AC 上时,求证:D 是MC 的中点;(2)如图2,若在线段BM 上存在点F (不与点B ,M 重合)满足DF =DC ,连接AE ,EF ,直接写出∠AEF 的大小,并证明.(1)证明:由旋转的性质得:DM =DE ,∠MDE =2α,∵∠C =α,∴∠DEC =∠MDE -∠C =α,∴∠C =∠DEC ,∴DE =DC ,∴DM =DC ,即D 是MC 的中点;(2)∠AEF =90°,证明:如图,延长FE 到H 使FE =EH ,连接CH ,AH ,∵DF =DC ,∴DE 是△FCH 的中位线,∴DE ∥CH ,CH =2DE ,由旋转的性质得:DM =DE ,∠MDE =2α,∴∠FCH =2α,∵∠B =∠C =α,∴∠ACH =α,△ABC 是等腰三角形,∴∠B =∠ACH ,AB =AC设DM =DE =m ,CD =n ,则CH =2m ,CM =m +n ,.DF =CD =n ,∴FM =DF -DM =n -m ,∵AM ⊥BC ,∴BM =CM =m +n ,∴BF =BM -FM =m +n -(n -m )=2m ,∴CH =BF ,在△ABF 和△ACH 中,V Y YW Y Y X AB =AC ∠B =∠ACH BF =CH ,∴△ABF ≌△ACH (SAS ),∴AF =AH ,∵FE =EH ,∴AE ⊥FH ,即∠AEF =90°,【解答】28.(7分)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义:若直线CA ,CB 中一条经过点O ,另一条是⊙O 的切线,则称点C 是弦AB 的“关联点”.(1)如图,点A (-1,0),B 1(−22,22),B 2(22,−22).①在点C 1(-1,1),C 2(−2,0),C 3(0,2)中,弦AB 1的“关联点”是 ;②若点C 是弦AB 2的“关联点”,直接写出OC 的长;√√√√√√(2)已知点M (0,3),N (655,0),对于线段MN 上一点S ,存在⊙O 的弦PQ ,使得点S 是弦PQ 的“关联点”.记PQ 的长为t ,当点S 在线段MN 上运动时,直接写出t 的取值范围.√解:(1)①由关联定义可知,若直线CA 、CB 中一条经过点O ,另一条是⊙O 的切线,则称点C 是弦AB 的“关联点”,∵点A (-1,0),B 1(−22,22),点C 1(-1,1),C 2(−2,0),C 3(0,2),∴直线AC 2经过点O ,且B 1C 2与⊙O 相切,∴C 2是弦AB 1的“关联点”,∵C 1(-1,1),A (-1,0)的横坐标相同,与B 1(−22,22)都位于直线y =-x 上,∴AC 1与⊙O 相切,B 1C 1经过点O ,∴C 1是弦AB 1的“关联点”;故答案为:C 1,C 2;②∵A (-1,0),B 2(22,−22),设C (a ,b ),如图所示,共有两种情况,a 、若C 1B 2与⊙O 相切,AC 经过点O ,则C 1B 2,AC 1所在直线为V W X y =x −2y =0,解得V W X x =2y =0,∴C 1(2,0),∴OC 1=2,b 、若AC 2与⊙O 相切,C 2B 2经过点O ,则直线C 2B 2,AC 2所在直线为V W X x =−1y =−x ,解得V W X x =−1y =1,∴C 2(-1,1),∴OC 2=2,综上所述,OC =2;(2)∵线段MN 上一点S ,存在⊙O 的弦PQ ,使得点S 是弦PQ 的“关联点”,∵弦PQ 随着S 的变动在一定范围内变动,且M (0,3),N (655,0),OM >ON ,∴S 共有2种情况,分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上,如图所示,①当S 位于点M (0,3)时,MP 为⊙O 的切线,作PJ ⊥OM ,∵M (0,3),⊙O 的半径为1,且MP 是⊙O 的切线,∴OP ⊥MP ,∵PJ ⊥OM ,∴△MPO ∽△POJ ,【解答】√√√√√√√√√√√√√√√∴OP OJ =OMOP,即1OJ=3,解得OJ=13,∴PJ=Q1P 2+Q1J2=223,Q1J=23,∴PQ1=PJ2+Q1J 2=233,同理PQ2=PJ2+Q2J 2=263,∴当S位于M(0,3)时,PQ1的临界值为233和263;②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时,,∵M(0,3),N(655,0),∴MN=OM2+ON2=955,∴OK=OM•ONMN=2,∵⊙O的半径为1,∴∠OKZ=30°,∴△OPQ为等边三角形,∴PQ=1或3,∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时,PQ1的临界点为1和3,∴在两种情况下,PQ的最小值在1≤t≤233内,最大值在263≤t≤3,综上所述,t的取值范围为1≤t≤233,263≤t≤3.√√√√√√√√√√√√√√√√√√√。
北京中考2023年数学试卷
2023年北京市初中学业水平考试时间:120分钟 满分:100分第一部分 选择题一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1. 截至2023年6月11日17时,全国冬小麦收获2.39亿亩,进度过七成半.将239 000 000用科学记数法表示应为( )A. 23.9×107B. 2.39×108C. 2.39×109D. 0.239×1092. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )3. 如图,∠AOC =∠BOD =90°,∠AOD =126°,则∠BOC 的大小为( )第3题图A. 36°B. 44°C. 54°D. 63°4. 已知a -1>0,则下列结论正确的是( )A. -1<-a <a <1B. -a <-1<1<aC. -a <-1<a <1D. -1<-a <1<a 5. 若关于x 的一元二次方程 x 2-3x +m =0有两个相等的实数根,则实数m 的值为( ) A. -9 B. -94 C. 94 D. 96. 正十二边形的外角和为( ) A. 30° B. 150° C. 360° D. 1 800°7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币,则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 348. 如图,点 A ,B ,C 在同一条直线上,点B 在点A ,C 之间,点D ,E 在直线AC 同侧,AB <BC ,∠A =∠C =90°,△EAB ≌△BCD ,连接 DE .设 AB =a ,BC =b ,DE =c ,给出下面三个结论:第8题图①a +b <c ; ②a +b >a 2+b 2; ③2(a +b )>c .上述结论中,所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③第二部分 非选择题二、填空题(共16分,每题2分)9. 若代数式5x -2有意义,则实数x 的取值范围是________.10. 分解因式:x 2y -y 3=________. 11. 方程35x +1=12x的解为________. 12. 在平面直角坐标系xOy 中,若函数y =kx (k ≠0)的图象经过点A (-3,2)和B (m ,-2),则m 的值为________.13. 某厂生产了1 000只灯泡.为了解这1 000只灯泡的使用寿命,从中随机抽取了50只灯泡进行检测,获得了它们的使用寿命(单位:小时),数据整理如下:根据以上数据,估计这1 000只灯泡中使用寿命不小于2 200小时的灯泡的数量为________ 只. 14. 如图,直线AD ,BC 交于点O ,AB ∥EF ∥CD.若 AO =2,OF =1,FD =2,则BEEC的值为________.第14题图15. 如图,OA 是⊙O 的半径,BC 是⊙O 的弦,OA ⊥BC 于点D ,AE 是 ⊙O 的切线,AE 交OC 的延长线于点E .若∠AOC =45°,BC =2,则线段AE 的长为________.第15题图16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 七道工序,加工要求如下:①工序C ,D 须在工序A 完成后进行,工序E 须在工序B ,D 都完成后进行,工序F 须在工序C ,D 都完成后进行;②一道工序只能由一名学生完成,此工序完成后该学生才能进行其他工序; ③各道工序所需时间如下表所示:在不考虑其他因素的前提下,若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工,则需要________分钟;若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工,则最少需要________分钟.三、解答题(共68分,第17-19题,每题5分,第20-21题,每题6分,第22-23题,每题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 计算:4sin60°+(13)-1+|-2|-12.18. 解不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧x >x +235x -3<5+x .19. 已知x +2y -1=0,求代数式2x +4yx 2+4xy +4y 2的值.20. 如图,在▱ABCD 中,点E ,F 分别在 BC ,AD 上,BE =DF ,AC =EF .第20题图(1)求证:四边形AECF 是矩形;(2)若AE =BE ,AB =2,tan ∠ACB =12,求BC 的长.21. (新考法 真实问题情境) 对联是中华传统文化的瑰宝.对联装裱后,如图所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空白处统称为边.一般情况下,天头长与地头长的比是6∶4,左、右边的宽相等,均为天头长与地头长的和的110. 某人要装裱一幅对联,对联的长为100 cm ,宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍,求边的宽和天头长.(书法作品选自《启功法书》)第21题图22. 在平面直角坐标系xOy 中,函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点 A (0,1)和B (1,2),与过点(0,4)且平行于x 轴的直线交于点C.(1)求该函数的解析式及点C 的坐标;(2)当x <3时,对于x 的每一个值,函数 y =23x +n 的值大于函数 y =kx +b (k ≠0)的值且小于4,直接写出 n的值.23. 某校舞蹈队共16名学生,测量并获取了所有学生的身高(单位:cm),数据整理如下: a .16名学生的身高:161,162,162,164,165,165,165,166, 166,167,168,168,170,172,172,175b .16名学生的身高的平均数、中位数、众数:(1)写出表中 m ,n 的值;(2)对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是 ________ (填“甲组”或“乙组”);(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168,168,172,他们的身高的方差为329.在选另外两名学生时,首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别为________和________.24. 如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠AD B.第24题图(1)求证DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小;(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长.25. (新考法新函数图象探究题) 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略.部分内容如下.每次清洗1个单位质量的该种含污物品,清洗前的清洁度均为0.800,要求清洗后的清洁度为0.990. 方案一:采用一次清洗的方式.方案二:采用两次清洗的方式.结果:结合实验数据,利用所画的函数图象可以推断,当第一次用水量约为根据以上实验数据和结果,解决下列问题:(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时,与采用一次清洗的方式相比,可节水约________ 个单位质量(结果保留小数点后一位);(2)当采用两次清洗的方式时,若第一次用水量为6个单位质量,总用水量为7.5个单位质量,则清洗后的清洁度C________ 0.990(填“>”“=”或“<”).26. 在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点.设抛物线的对称轴为x=t.(1)若对于x1=1,x2=2,有y1=y2,求t的值;(2)若对于0<x1<1,1<x2<2,都有y1<y2,求t的取值范围.27. 在△ABC中,∠B=∠C=α(0°<α<45°),AM⊥BC于点M,D是线段MC上的动点(不与点M,C重合),将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.(1)如图①,当点E在线段AC上时,求证:D是MC的中点;(2)如图②,若在线段BM上存在点F(不与点B,M重合)满足DF=DC,连接AE,EF,直接写出∠AEF的大小,并证明.第27题图28. (新考法 新定义现场学习型) 在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义:若直线CA ,CB 中一条经过点O ,另一条是⊙O 的切线,则称点 C 是弦AB 的“关联点”.(1)如图,点A (-1,0),B 1(-22,22),B 2(22,-22).第28题图①在点 C 1(-1,1),C 2(-2,0),C 3(0,2)中,弦AB 1的“关联点”是________; ②若点 C 是弦AB 2的“关联点”,直接写出OC 的长;(2)已知点 M (0,3),N (655,0).对于线段MN 上一点S ,存在⊙O 的弦PQ ,使得点S 是弦PQ 的“关联点”.记PQ 的长为t ,当点 S 在线段 MN 上运动时,直接写出t 的取值范围.2023年北京市初中学业水平考试解析快速对答案详解详析一、选择题 1. B2. A 【解析】A .既是轴对称图形,又是中心对称图形;B .是中心对称图形,不是轴对称图形;C .是轴对称图形,不是中心对称图形;D .是轴对称图形,不是中心对称图形.3. C 【解析】∵∠AOC =∠BOD =90°,∠AOD =126°,∴∠AOB =∠AOD -∠BOD =36°,∴∠BOC =∠AOC -∠AOB =54°.4. B 【解析】∵a -1>0,∴a >1,∴-a <-1,∴-a <-1<1<a .5. C 【解析】∵x 2-3x +m =0有两个相等的实数根,∴b 2-4ac =(-3)2-4m =0,∴m =94.6. C 【解析】多边形的外角和为360°.7. A 【解析】画树状图如解图,由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中第一次正面向上,第二次反面向上的结果有1种,∴P (第一次正面向上,第二次反面向上)=14.第7题解图(易错警示) 注意设问中结果的顺序性,区分“第一次正面向上、第二次反面向上”与“一次正面向上、一次反面向上”的不同,当心错选概率为12.8. D 【解析】如解图,过点E 作EF ⊥CD ,交CD 延长线于点F ,∵∠A =∠C =90°,四边形ACFE 是矩形,∴EF =AC =a +b ,∵在Rt △EDF 中,EF <DE ,∴a +b <c ,①正确;∵△EAB ≌△BCD ,∴AE =BC =b ,∴BE =AB 2+AE 2=a 2+b 2,∵在Rt △ABE 中,AB +AE >BE ,∴a +b >a 2+b 2,②正确;∵△EAB ≌△BCD ,∴BE =BD ,∠AEB =∠CBD .∵∠A =∠C =90°,∴∠AEB +∠ABE =90°,∴∠CBD +∠ABE =90°,∴∠EBD =90°,∴△EBD 是等腰直角三角形,∴BE =22c .∵在△ABE 中,AB +AE >BE ,∴a +b >22c ,∴2(a +b )>c ,③正确.第8题解图二、填空题9. x ≠2 【解析】分式5x -2有意义,则分母x -2≠0,∴x ≠2.10. y (x +y )(x -y ) 【解析】x 2y -y 3=y (x 2-y 2)=y (x +y )(x -y ).11. x =1 【解析】去分母,得6x =5x +1,移项、合并同类项,得x =1.检验:当x =1时,2x (5x +1)≠0,∴x =1是原分式方程的解.12. 3 【解析】∵函数y =kx (k ≠0)的图象经过点A (-3,2),B (m ,-2),∴将A (-3,2),B (m ,-2)代入y=kx (k ≠0),得k =-6=-2m ,∴m =3. 13. 460 【解析】1 000×17+650=460.14. 32 【解析】∵AB ∥EF ∥CD ,∴BE EC =AF FD =AO +OF FD ,∵AO =2,OF =1,FD =2,∴BE EC =2+12=32.15. 2 【解析】∵OA 是⊙O 的半径,OA ⊥BC ,BC =2,∴CD =12BC =1.∵∠AOC =45°,∴∠OCD =90°-∠AOC =45°,∴OD =CD =1,CO =OD 2+CD 2=2,∴OA = 2.∵AE 是⊙O 的切线,∴∠OAE =90°,∴∠E =90°-∠AOC =45°,∴AE =OA = 2.16. 53;28 【解析】由一名学生完成,则需要9+9+7+9+7+10+2=53分钟;由两名学生合作完成,要使所用时间最少,则可同时进行两道工序,根据工序的先后顺序,可知工序A ,B ,C ,D 应靠前完成,工序E ,F 应靠后完成,工序G 先后均可,又∵工序C ,D 须在工序A 完成后进行,∴工序A ,B 可先同时进行,9分钟后同时完成,工序A ,B 完成后可进行的工序为C ,D ,G ,所需时间分别为7分钟、9分钟、2分钟,∴可安排一名学生完成工序D ,与此同时另一名学生完成工序C ,G ,9分钟后同时完成,剩余工序E ,F 两名学生同时进行,各完成一个,工序E 需要7分钟,工序F 需要10分钟,则10分钟后所有工序完成,∴最少需要9+9+10=28分钟. 三、解答题17. 解:原式=4×32+3+2-2 3=23+3+2-2 3 =5. (5分)18. 解:解不等式x >x +23,得x >1,解不等式5x -3<5+x ,得x <2, ∴该不等式组的解集为1<x <2.(5分) 19. 解:原式=2(x +2y )(x +2y )2=2x +2y ,(3分)∵x +2y -1=0, ∴x +2y =1, ∴原式=21=2.(5分)20. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD =BC ,AD ∥BC .∵点E ,F 分别在BC ,AD 上,BE =DF , ∴AF =CE ,AF ∥CE , ∴四边形AECF 是平行四边形. 又∵AC =EF ,∴四边形AECF 是矩形;(3分) (2)解:∵四边形AECF 是矩形, ∴∠AEB =∠AEC =90°, ∴AE 2+BE 2=AB 2. ∵AE =BE ,AB =2, ∴2AE 2=4, ∴AE =BE = 2. ∵tan ∠ACB =AE CE =12,∴CE =22,∴BC =BE +CE =2+22=3 2.(6分)21. 解:设该对联装裱后天头长为6x cm ,则地头长为4x cm ,左、右边的宽为 110(6x +4x )=x cm. 根据题意列方程,得100+6x +4x =4(27+2x ),(3分) 解得x =4, ∴6x =24.答:边的宽为4 cm ,天头长为24 cm.(6分)22. 解:(1)将A (0,1)和B (1,2)代入y =kx +b (k ≠0),得⎩⎪⎨⎪⎧b =1k +b =2, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1b =1,∴该函数的解析式为y =x +1, 将y =4代入y =x +1,得x =3, ∴点C 的坐标为(3,4);(3分) (2)n 的值为2.(5分)(解法提示) 当y =23x +n 经过点C (3,4)时满足条件,将(3,4)代入y =23x +n ,得23×3+n =4,解得n =2.23. 解:(1)m =166,n =165;(2分)(解法提示) 共16名学生,中位数为身高按从小到大的顺序排序后第8,9名学生身高的平均数,∴m =166+1662=166.16名学生的身高数据中,165出现了3次,出现的次数最多,∴n =165. (2)甲组;(3分) (3)170,172.(5分)24. (1)证明:∵BD 平分∠ABC , ∴∠ABD =∠CBD , ∴AD =CD . ∵BC ︵=BC ︵, ∴∠BAC =∠BDC . ∵∠BAC =∠ADB , ∴∠BDC =∠ADB ,∴DB 平分∠ADC ,DE ⊥AC ,∴∠ADB +∠DAE =90°, ∴∠BAC +∠DAE =90°, ∴∠BAD =90°;(3分) (一题多解) ∵BC ︵=BC ︵, ∴∠BAC =∠BDC . ∵∠BAC =∠ADB , ∴∠BDC =∠ADB , ∴DB 平分∠ADC . ∵BD 平分∠ABC , ∴∠ABD =∠CBD . ∵∠ABC +∠ADC =180°,∴∠ABD +∠ADB =12(∠ABC +∠ADC )=90°,∴∠BAD =90°;(3分)(2)解:∵AC =AD ,且由(1)得AD =CD , ∴△ACD 是等边三角形, ∴∠ADC =60°,∴∠BDC =12∠ADC =30°,∠ABC =180°-∠ADC =120°,∴∠CBF =60°.∵∠BAD =90°, ∴BD 是此圆的直径, ∴∠BCD =90°. ∵CF ∥AD ,∴∠F =180°-∠BAD =90°, ∴∠BCF =90°-∠CBF =30°. ∵BF =2, ∴BC =2BF =4, ∴BD =2BC =8, 即此圆的直径是8,∴此圆的半径是4.(6分) 25. (1)11.3;(3分) (2)<.(5分)26. 解:(1)∵x 1=1,x 2=2,y 1=y 2, ∴抛物线对称轴为直线x =t =x 1+x 22=1+22=32, ∴t =32;(2分)(2)在点M (x 1,y 1),点N (x 2,y 2)中, ∵0<x 1<1,1<x 2<2, ∴x 1<x 2. ∵a >0,∴抛物线开口向上. 又∵抛物线为轴对称图形,∴当y 1<y 2,则点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离得|t -x 1|<|x 2-t |,两边平方,得t 2-2x 1t +x 21<t 2-2x 2t +x 22, 整理得x 21-x 22-2x 1t +2x 2t <0(x 1-x 2)(x 1+x 2)-2t (x 1-x 2)<0 (x 1-x 2)(x 1+x 2-2t )<0. ∵x 1<x 2,∴x 1+x 2-2t >0,x 1+x 2>2t ,t <x 1+x 22,由不等式及不等式关系0<x 1<1,1<x 2<2, 将两式相加,得1<x 1+x 2<3, ∴12<x 1+x 22<32, ∴t ≤12.(6分)(一题多解) ∵a >0, ∴抛物线开口向上. 又∵抛物线为轴对称图形,∴当y 1<y 2,则点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离. ∵0<x 1<1,1<x 2<2,∴x 1<x 2,如解图①,当t <x 1<x 2,则点M 和点N 都在对称轴的右侧,符合题意,此时t ≤0;第26题解图①如解图②,当x 1<x 2<t ,则点M 和点N 都在对称轴的左侧,不符合题意,此时t ≥2;第26题解图②当x 1<t <x 2,则点M 和点N 分别位于对称轴的两侧,此时0<t <2.(i )如解图③,当t =1时,不能保证点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离,不符合题意;第26题解图③(ii )当1<t <32时,不能保证点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离,不符合题意;(iii )如解图④当32≤t <2时,点M 到对称轴的距离大于点N 到对称轴的距离,不符合题意;第26题解图④(iiii )当12<t <1时,不能保证点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离,不符合题意;(iiiii )如解图⑤,当0<t ≤12时,点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离,符合题意.第26题解图⑤∴综上所述,t 的取值范围为t ≤12.(6分)27. (1)证明:由题意得,∠MDE =2α,MD =DE , ∵∠MDE =∠C +∠DEC ,∠C =α, ∴∠DEC =2α-α=α=∠C , ∴DC =DE , ∴MD =DC ,即D 是MC 的中点;(3分) (2)解:∠AEF =90°.证明:如解图,连接AF ,延长FE 至点Q ,使得FE =EQ ,连接AQ ,CQ ,第27题解图∵FD =DC ,FE =EQ , ∴DE 是△FCQ 的中位线, ∴DE ∥CQ ,DE =12CQ ,∴∠FDE =∠DCQ =∠DCA +∠ACQ . ∵∠B =∠DCA =α,∠FDE =2α=2∠B , ∴∠ACQ =∠DCA =α, ∴∠B =∠ACQ ,由题意得,BF =BC -FC =2MC -2CD =2(MC -CD )=2MD . ∵DM =DE ,∴2DM =2DE =2×12CQ =CQ ,在△ABF 和△ACQ 中, ⎩⎪⎨⎪⎧AB =AC ∠B =∠ACQ BF =CQ, ∴△ABF ≌△ACQ (SAS), ∴AF =AQ . 又∵FE =EQ , ∴AE ⊥FQ , ∴∠AEF =90°.(7分) 28. 解:(1)①C 1,C 2;(2分)(解法提示) 如解图①,连接C 1A ,连接C 1B 1并延长,∵C 1(-1,1),B 1(-22,22),∴B 1,C 1在直线y =-x 上.∵O (0,0)∴直线B 1C 1经过点O .∵A (-1,0),∴OA ⊥AC 1,∴AC 1是⊙O 的切线,∴C 1是弦AB 1的“关联点”;如解图②,连接C 2B 1,连接C 2A 并延长,∵C 2(-2,0),A (-1,0),∴直线C 2A 经过圆心O , 连接OB 1.∵B 1(-22,22),∴OB 1=1,B 1C 2=1,OC 2=2,∴OB 21+B 1C 22=OC 22,∴OB 1⊥B 1C 2,∴B 1C 2是⊙O 的切线,∴C 2是弦AB 1的“关联点”.第28题解图②2;(4分)(解法提示) 如解图③,当CA 是⊙O 的切线时,过点A 作OA 的垂线,交直线OB 2于点C 1,∴点C 在点C 1处时满足条件,OC 1=12+12=2;当CB 2是⊙O 的切线时,过点B 2作OB 2的垂线,交直线AO 于点C ,∵∠OB 2C =90°,∠COB 2=∠AOC 1=45°,∴B 2C =OB 2=1,∴OC =12+12=2;综上所述,若C 是弦AB 2的“关联点”,则OC = 2.第28题解图③(2)263≤t ≤3或1≤t ≤233.(7分)(解法提示) 如解图④,过点O 作OH ⊥MN 于点H , ∵OM =3,ON =655,∴MN =OM 2+ON 2=955, ∴sin ∠OMN =ON MN =23,∴sin ∠OMN =OH OM =23,∴OH =2.∵S 是MN 上的点,第28题解图④∴2≤OS ≤3,∴可将问题转化为点S 是⊙O 上弦PQ 的“关联点”,且2≤OS ≤3,求PQ 长的取值范围.如解图⑤,直线OS 交⊙O 于点P 1,P 2,E ,F 是直线OS 上的点,且OE =2,OF =3,则点S 在EF 上运动,过点S 作⊙O 的切线SQ ,切点为Q ,连接P 1Q ,P 2Q ,即为所求的弦PQ .第28题解图⑤∵SQ 是⊙O 的切线, ∴∠OQS =90°,∴∠QOS =90°-∠QSP ,∠QOP 1=90°+∠QSP .分析易得,当点S 从E 向F 运动时,∠QSP 变小, ∴当点S 从E 向F 运动时,∠QOS 变大,∠QOP 1变小, ∴当点S 从E 向F 运动时,P 2Q 变大,P 1Q 变小,∴当点S 在点E 处时,P 2Q 取得最小值,P 1Q 取得最大值,当点S 在点F 处时,P 2Q 取得最大值,P 1Q 取得最小值.如解图⑥,当点S 在点E 处时,过点Q 作QD ⊥OS 于点D ,第28题解图⑥∵∠QOD =∠SOQ ,∠ODQ =∠OQS , ∴△ODQ ∽△OQS , ∴OD OQ =OQ OS =DQ QS. ∵OQ =1,OS =2,∴QS =3,∴OD 1=12=DQ3,∴OD =12,DQ =32,∴P 1D =32,P 2D =12,∴P 1Q =P 1D 2+QD 2=3,P 2Q =P 2D 2+QD 2=1; 如解图⑦,当点S 在点F 处时,过点Q 作QK ⊥OS 于点K , 同理可得,△OKQ ∽△OQS , ∴OK OQ =OQ OS =KQ QS. ∵OQ =1,OS =3,∴QS =22,∴OK 1=13=KQ22,∴OK =13,KQ =223,∴P 1K =43,P 2K =23,∴P 1Q =P 1K 2+QK 2=263,P 2Q =P 2K 2+QK 2=233.∴263≤P 1Q ≤3,1≤P 2Q ≤233,∴当弦PQ 为P 1Q 时,263≤t ≤3; 当弦PQ 为P 2Q 时,1≤t ≤233第28题解图⑦。
2022年北京市中考数学试题及答案 全市统考试题
2022年北京中考数学试题及答案全市统考第一部分选择题一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.下面几何体中,是圆锥的为()A.B.C. D.【参考答案】B2.截至2021年12月31日,长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时,相当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学计数法表示应为()A.1026.288310⨯ B.112.6288310⨯C.122.6288310⨯ D.120.26288310⨯【参考答案】B3.如图,利用工具测量角,则1∠的大小为()A.30°B.60°C.120°D.150°【参考答案】A4.实数a b ,在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是()A. 2a -<B.1b <C.a b >D.a b->【参考答案】D5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是()A.14B.13C.12D.34【参考答案】A6.若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根,则实数m 的值为()A.4- B.14-C.14D.4【参考答案】C7.图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为()A.1B.2C.3D.5【参考答案】D8.下面的三个问题中都有两个变量:①汽车从A 地匀速行驶到B 地,汽车的剩余路程y 与行驶时间x ;②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y 与放水时间x ;③用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积y 与一边长x ,其中,变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【参考答案】A第二部分非选择题二、填空题(共16分,每题2分)9.在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是___________.【参考答案】x ≥8【详解】解:由题意得:x -8≥0,解得:x ≥8.故答案为:x ≥8.10.分解因式:2xy x -=______.【参考答案】()()11x y y +-【详解】2xy x-()21x y =-()()11x y y =+-故答案为:()()11x y y +-.11.方程215x x=+的解为___________.【参考答案】x =5【详解】解:215x x=+方程的两边同乘x (x +5),得:2x =x +5,解得:x =5,经检验:把x =5代入x (x +5)=50≠0.故原方程的解为:x =512.在平面直角坐标系xOy 中,若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上,则1y ______2y (填“>”“=”或“<”)【参考答案】>【详解】解:∵k >0,∴在每个象限内,y 随x 的增大而减小,25 <,∴1y >2y .故答案为:>.13.某商场准备进400双滑冰鞋,了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号,数据如下:鞋号353637383940414243销售量/双2455126321根据以上数据,估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双.【参考答案】120【详解】解:根据题意得:39码的鞋销售量为12双,销售量最高,∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040⨯=双.故答案为:12014.如图,在ABC ∆中,AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____.【参考答案】1【详解】解:如图,作DF AC ⊥于点F ,∵AD 平分BAC ∠,DE AB ⊥,DF AC ⊥,∴1DF DE ==,∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=.故答案为:1.15.如图,在矩形ABCD 中,若13,5,4AF AB AC FC ===,则AE 的长为_______.【参考答案】1【详解】解:在矩形ABCD 中:AD BC ∥,90ABC ∠=︒,∴14AE AF BC FC ==,4BC ===,∴144AE =,∴1AE =,故答案为:1.16.甲工厂将生产的I 号、II 号两种产品共打包成5个不同的包裹,编号分别为A,B,C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I 号、II 号产品的重量如下:包裹编号I 号产品重量/吨II 号产品重量/吨包裹的重量/吨A 516B 325C 235D 437E358甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.(1)如果装运的I 号产品不少于9吨,且不多于11吨,写出一中满足条件的装运方案________(写出要装运包裹的编号);(2)如果装运的I 号产品不少于9吨,且不多于11吨,同时装运的II 号产品最多,写出满足条件的装运方案________(写出要装运包裹的编号).【参考答案】①.ABC(或ABE 或AD 或ACD 或BCD)②.ABE 或BCD【详解】解:(1)根据题意,选择ABC 时,装运的I 号产品重量为:53210++=(吨),总重6551619.5++=<(吨),符合要求;选择ABE 时,装运的I 号产品重量为:53311++=(吨),总重6581919.5++=<(吨),符合要求;选择AD 时,装运的I 号产品重量为:549+=(吨),总重671319.5+=<(吨),符合要求;选择ACD 时,装运的I 号产品重量为:52411++=(吨),总重6571819.5++=<(吨),符合要求;选择BCD 时,装运的I 号产品重量为:3249++=(吨),总重5571719.5++=<(吨),符合要求;选择DCE 时,装运的I 号产品重量为:4239++=(吨),总重7582019.5++=>(吨),不符合要求;选择BDE 时,装运的I 号产品重量为:34310++=(吨),总重5782019.5++=>(吨),不符合要求;综上,满足条件的装运方案有ABC 或ABE 或AD 或ACD 或BCD.故答案为:ABC(或ABE 或AD 或ACD 或BCD).(2)选择ABC 时,装运的II 号产品重量为:1236++=(吨);选择ABE 时,装运的II 号产品重量为:1258++=(吨);选择AD 时,装运的II 号产品重量为:134+=(吨);选择ACD 时,装运的II 号产品重量为:1337++=(吨);选择BCD 时,装运的II 号产品重量为:2338++=(吨);故答案为:ABE 或BCD.三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22题5分,第23-24题,每题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算:0(1)4sin 45 3.π-+--【参考答案】4【详解】解:0(1)4sin 45 3.π-+--2=1432+⨯-+=4.【点睛】本题考查了实数的混合运算,掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键.18.解不等式组:274,4.2x x xx +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩【参考答案】14x <<【详解】解:274 4 2x x xx +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②解不等式①得1x >,解不等式②得4x <,故所给不等式组的解集为:14x <<.19.已知2220x x +-=,求代数式2(2)(1)x x x +++的值.【参考答案】5【详解】解:∵2220x x +-=,∴222x x +=,∴2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.三角形内角和定理:三角形三个内角和等于180°,已知:如图,ABC ∆,求证:180.A B C ∠+∠+∠=方法一证明:如图,过点A 作.DE BC ∥方法二证明:如图,过点C 作.CD AB ∥【参考答案】答案见解析【详解】证明:过点A 作//DE BC ,则B BAD ∠=∠,C EAC ∠=∠.(两直线平行,内错角相等)点D ,A ,E 在同一条直线上,180DAB BAC C ∴∠+∠+∠=︒.(平角的定义)180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒.即三角形的内角和为180︒.21.如图,在ABCD 中,AC BD ,交于点O ,点E F ,在AC 上,AE CF =.(1)求证:四边形EBFD 是平行四边形;(2)若,BAC DAC ∠=∠求证:四边形EBFD 是菱形.【参考答案】(1)见解析(2)见解析【小问1详解】证明:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AO CO =,BO DO =,∵AE CF =,∴AO AE CO CF -=-,即EO FO =,∴四边形EBFD 是平行四边形.【小问2详解】∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB CD ,∴DCA BAC ∠=∠,∵,BAC DAC ∠=∠∴DCA DAC ∠=∠,∴DA DC =,∴四边形ABCD 为菱形,∴AC BD ⊥,即EF BD ⊥,∵四边形EBFD 是平行四边形,∴四边形EBFD 是菱形.22.在平面直角坐标系xOy 中,函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(4,3),(2,0)-,且与y 轴交于点A .(1)求该函数的解析式及点A 的坐标;(2)当0x >时,对于x 的每一个值,函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值,直接写出n 的取值范围.【参考答案】(1)112y x =+,(0,1)(2)1n ≥【小问1详解】解:将(4,3),(2,0)-代入函数解析式得,3=402k b k b +⎧⎨=-+⎩,解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴函数的解析式为:112y x =+,当0x =时,得1y =,∴点A 的坐标为(0,1).【小问2详解】由题意得,112x n x +>+,即22x n >-,又由0x >,得220n -≤,解得1n ≥,∴n 的取值范围为1n ≥.23.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛,十位评委对每位同学的演唱进行现场打分,对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息.a.甲、乙两位同学得分的折线图:b .丙同学得分:10,10,10,9,9,8,3,9,8,10c .甲、乙、丙三位同学得分的平均数:同学甲乙丙平均数8.68.6m根据以上信息,回答下列问题:(1)求表中m 的值;(2)在参加比赛的同学中,如果某同学得分的10个数据的方差越小,则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断:甲、乙两位同学中,评委对_________的评价更一致(填“甲”或“乙”);(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分,最后得分越高,则认为该同学表现越优秀.据此推断:在甲、乙、丙三位同学中,表现最优秀的是_________(填“甲”“乙”或“丙”).【参考答案】(1)8.6(2)甲(3)乙【小问1详解】解:丙的平均数:101010998398108.610+++++++++=,则8.6m =.【小问2详解】2222212(8.68)4(8.69)2(8.67)2(8.610) 1.0410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦甲,222214(8.67)4(8.610)2(8.69) 1.8410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦乙,22S S < 甲乙,∴甲、乙两位同学中,评委对甲的评价更一致,故答案为:甲.【小问3详解】由题意得,去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为:甲:889799910=8.6258+++++++,乙:77799101010=9.758+++++++,丙:10109989810=9.1258+++++++,∵去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高,因此最优秀的是乙,故答案为:乙.24.如图,AB 是O 的直径,CD 是O 的一条弦,,AB CD ⊥连接,.AC OD(1)求证:2;BOD A ∠=∠(2)连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ,延长,DO 交AC 于点F ,若F 为AC 的中点,求证:直线CE 为O 的切线.【参考答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【小问1详解】证明:设AB 交CD 于点H ,连接OC ,由题可知,OC OD ∴=,90OHC OHD ∠=∠=︒,OH OH = ,()Rt COH Rt DOH HL ∴∆≅∆,COH DOH ∴∠=∠,BCBD ∴=,COB BOD ∴∠=∠,2COB A ∠=∠ ,2BOD A ∴∠=∠;【小问2详解】证明:连接AD ,OA OD = ,OAD ODA ∠=∠∴,同理可得:OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠,∵点H 是CD 的中点,点F 是AC 的中点,OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠,180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ,30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒,223060COB CAO ∴∠=∠=⨯︒=︒,AB Q 为O 的直径,90ADB ∴∠=︒,90903060ABD DAO ∴∠=-∠=︒-︒=︒,60ABD COB ∴∠=∠=︒,//OC DE ∴,CE BE ⊥Q ,CE OC ∴⊥,∴直线CE 为O 的切线.25.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台,运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y (单位:m)与水平距离x (单位:m)近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<.某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下:水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系2()(0);y a x h k a =-+<(2)第二次训练时,该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x =--+记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1,第二次训练的着陆点的水平距离为2d ,则1d ______2d (填“>”“=”或“<”).【参考答案】(1)23.20m;()20.05823.20y x =--+(2)<【小问1详解】解:根据表格中的数据可知,抛物线的顶点坐标为:()8,23.20,∴8h =,23.20k =,即该运动员竖直高度的最大值为23.20m,根据表格中的数据可知,当0x =时,20.00y =,代入()2823.20y a x =-+得:()220.000823.20a =-+,解得:0.05a =-,∴函数关系关系式为:()20.05823.20y x =--+.【小问2详解】设着陆点的纵坐标为t ,则第一次训练时,()20.05823.20t x =--+,解得:()82023.20x t =+-或()82023.20x t =--,∴根据图象可知,第一次训练时着陆点的水平距离18d =+,第二次训练时,()20.04923.24t x =--+,解得:9x =+9x =∴根据图象可知,第二次训练时着陆点的水平距离29d =,∵()()2023.202523.24t t --<,,∴12d d <.故答案为:<.26.在平面直角坐标系xOy 中,点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上,设抛物线的对称轴为.x t =(1)当2,c m n ==时,求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值;(2)点00(,)(1)x m x ≠在抛物线上,若,m n c <<求t 的取值范围及0x 的取值范围.【参考答案】(1)(0,2);2(2)t 的取值范围为322t <<,0x 的取值范围为023x <<【小问1详解】解:当2c =时,22y ax bx =++,∴当x =0时,y =2,∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0,2);∵m n =,∴点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称,∴1322t +==;【小问2详解】解:当x =0时,y =c ,∴抛物线与y 轴交点坐标为(0,c ),∴抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为(2t ,c ),∵0a >,∴当x t ≤时,y 随x 的增大而减小,当x t >时,y 随x 的增大而增大,当点(1,)m ,点(3,)n ,(2t ,c )均在对称轴的右侧时,1t <,∵,m n c <<1<3,∴2t >3,即32t >(不合题意,舍去),当点(1,)m 在对称轴的左侧,点(3,)n ,(2t ,c )均在对称轴的右侧时,点0(,)x m 在对称轴的右侧,13t <<,此时点(3,)n 到对称轴x t =的距离大于点(1,)m 到对称轴x t =的距离,∴13t t -<-,解得:2t <,∵,m n c <<1<3,∴2t >3,即32t >,∴322t <<,∵0(,)x m ,(1,)m ,对称轴为x t =,∴012x t +=,∴013222x +<<,解得:023x <<,∴t 的取值范围为322t <<,0x 的取值范围为023x <<.27.在ABC ∆中,90ACB ∠= ,D 为ABC ∆内一点,连接BD ,DC 延长DC 到点E ,使得.CE DC =(1)如图1,延长BC 到点F ,使得CF BC =,连接AF ,EF 若AF EF ⊥,求证:BD AF ⊥;(2)连接AE ,交BD 的延长线于点H ,连接CH ,依题意补全图2,若222AB AE BD =+,用等式表示线段CD 与CH 的数量关系,并证明.【参考答案】(1)见解析(2)CD CH =;证明见解析【小问1详解】证明:在F C E ∆和BCD ∆中,CE CD FCE BCD CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS FCE BCD ∆∆@,∴CFE CBD Ð=Ð,∴EF BD ∥,∵AF EF ⊥,∴BD AF ⊥.【小问2详解】解:补全后的图形如图所示,CD CH =,证明如下:延长BC 到点M ,使CM =CB ,连接EM ,AM ,∵90ACB ∠= ,CM =CB ,∴AC 垂直平分BM ,∴AB AM =,在MEC ∆和BDC ∆中,CM CBMCE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()SAS MEC BDC ∆∆@,∴ME BD =,CME CBD Ð=Ð,∵222AB AE BD =+,∴222AM AE ME =+,∴90AEM ∠=︒,∵CME CBD Ð=Ð,∴BH EM ∥,∴90BHE AEM Ð=Ð=°,即90DHE ∠=︒,∵12CE CD DE ==,∴12CH DE =,∴CD CH =.28.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义:将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度,再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度,得到点P',点P'关于点N 的对称点为Q ,称点Q 为点P 的“对应点”.(1)如图,点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上,若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”.①在图中画出点Q ;②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证:1;2NT OM =(2)O 的半径为1,M 是O 上一点,点N 在线段OM 上,且1(1)2ON t t =<<,若P 为O 外一点,点Q 为点P 的“对应点”,连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差(用含t 的式子表示)【参考答案】(1)见解析(2)42t -【小问1详解】解:①点Q 如下图所示.∵点(1,1)M ,∴点(2,0)P -向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到点P',∴()'1,1P -,∵点P'关于点N 的对称点为Q ,()2,2N ,∴点Q 的横坐标为:()2215⨯--=,纵坐标为:2213⨯-=,∴点()5,3Q,在坐标系内找出该点即可;②证明:如图延长ON 至点()3,3A ,连接AQ ,∵//AQ OP ,∴AQT OPT ∠=∠,在ΔAQT 与ΔOPT ∠中,AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ΔΔAQT OPT AAS ≅,∴12TA TO OA ==,∵()3,3A ,(1,1)M ,(2,2)N ,∴OA ==,OM ==ON ==,∴12TO OA ==,∴2NT ON OT =-==,∴12NT OM =;【小问2详解】解:如图所示,连接PO 并延长至S ,使OP OS =,延长SQ 至T ,使ST OM =,∵(,)M a b ,点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度,再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度,得到点P',∴'1PP OM ==,∵点P'关于点N 的对称点为Q ,∴'NP NQ =,又∵OP OS =,∴OM ∥ST ,∴NM 为Δ'P QT 的中位线,∴//NM QT ,1=2NM QT ,∵1NM OM ON t =-=-,∴222TQ NM t ==-,∴()12221SQ ST TQ t t =-=--=-,在ΔPQS 中,PS QS PQ PS QS -<<+,结合题意,max PQ PS QS =+,min PQ PS QS =-,∴()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-,即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -.。
北京市中考数学试卷(含答案解析)
2018年北京市中考数学试卷一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.下列几何体中,是圆柱的为A.B.C.D.2.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是A.||4a>B.0c b->C.0ac>D.0a c+>3.方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为A.12xy=-⎧⎨=⎩B.12xy=⎧⎨=-⎩C.21xy=-⎧⎨=⎩D.21xy=⎧⎨=-⎩4.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为27140m,则FAST的反射面积总面积约为A.327.1410m⨯B.427.1410m⨯C.522.510m⨯D.622.510m⨯5.若正多边形的一个外角是60︒,则该正多边形的内角和为A.360︒B.540︒C.720︒D.900︒6.如果23a b-=,那么代数式22()2a b aba a b+-⋅-的值为A.3B.23C.33D.437.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )近似满足函数关系2y ax bx c =++(0a ≠).下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为A .10mB .15mC .20mD .22.5m8.下图是老北京城一些地点的分布示意图.在图中,分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系,有如下四个结论:①当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(6-,3-)时,表示左安门的点的坐标为(5,6-); ②当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(12-,6-)时,表示左安门的点的坐标为(10,12-); ③当表示天安门的点的坐标为(1,1),表示广安门的点的坐标为(11-,5-)时,表示左安门的点的坐标为(11,11-); ④当表示天安门的点的坐标为(1.5,1.5),表示广安门的点的坐标为(16.5-,7.5-)时,表示左安门的点的坐标为(16.5,16.5-). 上述结论中,所有正确结论的序号是 A .①②③B .②③④C .①④D .①②③④二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.下图所示的网格是正方形网格,BAC∠.(填“>”,“=”或“<”)∠________DAE10.若x在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是_______.11.用一组a,b,c的值说明命题“若a b<,则ac bc<”是错误的,这组值可以是a=_____,b=______,c=_______.12.如图,点A,B,C,D在O上,CB CD∠==,30∠=︒,则ADB∠=︒,50CADACD________.13.如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若4AB=,AD=,则CF的长为________.314.从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分钟)的数据,统计如下:公交车用时公交车用时的频数线路3035t≤≤3540t<≤4045t<≤4550t<≤合计A59151166124500 B5050122278500C4526516723500早高峰期间,乘坐_________(填“A”,“B”或“C”)线路上的公交车,从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.15.某公园划船项目收费标准如下:船型两人船(限乘两人)四人船(限乘四人)六人船(限乘六人)八人船(限乘八人)每船租金(元/小时)90100130150某班18名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,则租船的总费用最低为________元.16.2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示,中国创新综合排名全球第22,创新效率排名全球第________.三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题6分,第27,28题,每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知:直线及直线外一点P.求作:PQ,使得PQ l∥.作法:如图,①在直线上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B;②在直线上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q;③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明:∵AB=_______,CB=_______,∴PQ l∥(____________)(填推理的依据).18.计算:04sin45(π2)18|1|︒+--+-.19.解不等式组:3(1)1922x xxx+>-⎧⎪⎨+>⎪⎩.20.关于x的一元二次方程210ax bx++=.(1)当2b a=+时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.21.如图,在四边形ABCD 中,AB DC ∥,AB AD =,对角线AC ,BD 交于点O ,AC 平分BAD ∠,过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ,连接OE . (1)求证:四边形ABCD 是菱形; (2)若5AB =,2BD =,求OE 的长.22.如图,AB 是O 的直径,过O 外一点P 作O 的两条切线PC ,PD ,切点分别为C ,D ,连接OP ,CD .(1)求证:OP CD ⊥;(2)连接AD ,BC ,若50DAB ∠=︒,70CBA ∠=︒,2OA =,求OP 的长.23.在平面直角坐标系xOy 中,函数ky x=(0x >)的图象G 经过点A (4,1),直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ,与y 轴交于点C .(1)求k 的值;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G 在点A ,B 之间的部分与线段OA ,OC ,BC 围成的区域(不含边界)为W .①当1b =-时,直接写出区域W 内的整点个数;②若区域W 内恰有4个整点,结合函数图象,求b 的取值范围.24.如图,Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点,P 是弦AB 上一动点,连接PQ并延长交AB 于点C ,连接AC .已知6cm AB =,设A ,P 两点间的距离为x cm ,P ,C 两点间的距离为1cm y ,A ,C 两点间的距离为2cm y .小腾根据学习函数的经验,分别对函数1y ,2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量,分别得到了1y ,2y 与x 的几组对应值; /cm x0 1 2 3 4 5 6 1/cm y 5.624.673.762.653.184.372/cm y5.62 5.59 5.53 5.425.19 4.73 4.11(2)在同一平面直角坐标系xOy 中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ,1y ),(x ,2y ),并画出函数1y ,2y 的图象;(3)结合函数图象,解决问题:当APC△为等腰三角形时,AP的长度约为____cm.25.某年级共有300名学生.为了解该年级学生A,B两门课程的学习情况,从中随机抽取60名学生进行测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.A课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组:4050≤,x<x<≤,5060≤,90100xx<≤≤);x<6070≤,7080x<≤,8090≤这一组是:x<b.A课程成绩在708070 71 71 71 76 76 77 78 78.578.579 79 79 79.5c.A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下:课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息,回答下列问题:(1)写出表中m的值;(2)在此次测试中,某学生的A课程成绩为76分,B课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是________(填“A”或“B”),理由是_______;(3)假设该年级学生都参加此次测试,估计A课程成绩超过75.8分的人数.26.在平面直角坐标系xOy中,直线44=+与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y x23=+-经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.y ax bx a(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.27.如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作⊥交DG的延长线于点H,连接BH.EH DE(1)求证:GF GC=;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N).已知点A(2-).-),C(6,2-,6),B(2-,2(1)求d(点O,ABC△);(2)记函数y kx=,=(11xk≠)的图象为图形G,若d(G,ABC-≤≤,0△)1直接写出k的取值范围;(3)T的圆心为T(,0),半径为1.若d(T,ABC=,直接写出的取值△)1范围.2018年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共16分,每小题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1.下列几何体中,是圆柱的为A .B .C .D .【答案】A【解析】A 选项为圆柱,B 选项为圆锥,C 选项为四棱柱,D 选项为四棱锥. 【考点】立体图形的认识2.实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是A .||4a >B .0c b ->C .0ac >D .0a c +>【答案】B【解析】∵43a -<<-,∴34a <<,故A 选项错误;数轴上表示b 的点在表示c 的点的左侧,故B 选项正确; ∵0a <,0c >,∴0ac <,故C选项错误;∵0a <,0c >,a c >,∴0a c +<,故D 选项错误.【考点】实数与数轴3.方程组33814x yx y-=⎧⎨-=⎩的解为A.12xy=-⎧⎨=⎩B.12xy=⎧⎨=-⎩C.21xy=-⎧⎨=⎩D.21xy=⎧⎨=-⎩【答案】D【解析】将4组解分别代入原方程组,只有D选项同时满足两个方程,故选D.【考点】二元一次方程组的解4.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为27140m,则FAST的反射面积总面积约为A.327.1410m⨯B.427.1410m⨯C.522.510m⨯D.622.510m⨯【答案】C【解析】5714035249900 2.510⨯=≈⨯(2m),故选C.【考点】科学记数法5.若正多边形的一个外角是60︒,则该正多边形的内角和为A.360︒B.540︒C.720︒D.900︒【答案】C【解析】由题意,正多边形的边数为360660n︒==︒,其内角和为()2180720n-⋅︒=︒.【考点】正多边形,多边形的内外角和.6.如果23a b-=,那么代数式22()2a b aba a b+-⋅-的值为A .3B .23C .33D .43【答案】A【解析】原式()2222222a b a b ab aa ab a a b a a b -+--=⋅=⋅=--,∵23a b -=,∴原式3=. 【考点】分式化简求值,整体代入.7.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y (单位:m )与水平距离x (单位:m )近似满足函数关系2y ax bx c =++(0a ≠).下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为A .10mB .15mC .20mD .22.5m【答案】B【解析】设对称轴为x h =,由(0,54.0)和(40,46.2)可知,040202h +<=, 由(0,54.0)和(20,57.9)可知,020102h +>=, ∴1020h <<,故选B .【考点】抛物线的对称轴.8.下图是老北京城一些地点的分布示意图.在图中,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,有如下四个结论:①当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(6-,3-)时,表示左安门的点的坐标为(5,6-);②当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(12-,6-)时,表示左安门的点的坐标为(10,12-);③当表示天安门的点的坐标为(1,1),表示广安门的点的坐标为(11-,5-)时,表示左安门的点的坐标为(11,11-);④当表示天安门的点的坐标为(1.5,1.5),表示广安门的点的坐标为(16.5-)-,7.5时,表示左安门的点的坐标为(16.5,16.5-).上述结论中,所有正确结论的序号是A.①②③B.②③④C.①④D.①②③④【答案】D【解析】显然①②正确;③是在②的基础上,将所有点向右平移个单位,再向上平移个单位得到,故③正确;-,④是在“当表示天安门的点的坐标为(0,0),表示广安门的点的坐标为(18-)”的基础上,将所有点向右平9-)时,表示左安门的点的坐标为(15,18移1.5个单位,再向上平移1.5个单位得到,故④正确.【考点】平面直角坐标系,点坐标的确定,点的平移二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.下图所示的网格是正方形网格,BAC∠.(填“>”,“=”或“<”)∠________DAE【答案】>【解析】如下图所示,△是等腰直角三角形,∴45AFG∠=∠=︒,∴BAC DAE∠>∠.FAG BAC另:此题也可直接测量得到结果.【考点】等腰直角三角形10.若x在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是_______.【答案】0x≥【解析】被开方数为非负数,故0x≥.【考点】二次根式有意义的条件.11.用一组a,b,c的值说明命题“若a b<,则ac bc<”是错误的,这组值可以是a=_____,b=______,c=_______.【答案】答案不唯一,满足a b<,0c≤即可,例如:,2,1-【解析】不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.【考点】不等式的基本性质12.如图,点A,B,C,D在O上,CB CD=,30CAD∠=︒,50ACD∠=︒,则ADB∠= ________.【答案】70【解析】∵CB CD=,∴30CAB CAD∠=∠=︒,∴60BAD∠=︒,∵50ABD ACD∠=∠=︒,∴18070ADB BAD ABD∠=︒-∠-∠=︒.【考点】圆周角定理,三角形内角和定理13.如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若4AB=,3AD=,则CF的长为________.【答案】10 3【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴4AB CD==,AB CD∥,90ADC∠=︒,在Rt ADC △中,90ADC ∠=︒,∴225AC AD CD =+=, ∵E 是AB 中点,∴1122AE AB CD ==, ∵AB CD ∥,∴12AF AE CF CD ==,∴21033CF AC ==. 【考点】矩形的性质,勾股定理,相似三角形的性质及判定14.从甲地到乙地有A ,B ,C 三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时(单位:分钟)的数据,统计如下:公交车用时公交车用时的频数 线路3035t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间,乘坐_________(填“A”,“B”或“C”)线路上的公交车,从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大. 【答案】C【解析】样本容量相同,C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小,所以其频率也最小,故选C .【考点】用频率估计概率15.某公园划船项目收费标准如下:船型两人船四人船六人船八人船(限乘两人)(限乘四人)(限乘六人)(限乘八人)每船租金90100130150(元/小时)某班18名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,则租船的总费用最低为________元.【答案】380【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘,租船的总费用为100130150380++=(元)【考点】统筹规划16.2017年,部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示,中国创新综合排名全球第22,创新效率排名全球第________.【答案】【解析】从左图可知,创新综合排名全球第22,对应创新产出排名全球第11;从下图可知,创新产出排名全球第11,对应创新效率排名全球第3.【考点】函数图象获取信息三、解答题(本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题6分,第27,28题,每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知:直线及直线外一点P.求作:PQ,使得PQ l∥.作法:如图,①在直线上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B;②在直线上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q;③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明:∵AB=_______,CB=_______,∴PQ l∥(____________)(填推理的依据).【解析】(1)尺规作图如下图所示:(2)PA,CQ,三角形中位线平行于三角形的第三边.【考点】尺规作图,三角形中位线定理18.计算:04sin45(π2)18|1|︒+--+-.【解析】解:原式241321222=⨯+-+=-.【考点】实数的运算19.解不等式组:3(1)1922x x x x +>-⎧⎪⎨+>⎪⎩.【解析】解:由①得,2x >-,由②得,3x <,∴不等式的解集为23x -<<.【考点】一元一次不等式组的解法20.关于x 的一元二次方程210ax bx ++=.(1)当2b a =+时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a ,b 的值,并求此时方程的根.【解析】(1)解:由题意:0a ≠.∵()22242440b a a a a ∆=-=+-=+>, ∴原方程有两个不相等的实数根.(2)答案不唯一,满足240b a -=(0a ≠)即可,例如:解:令1a =,2b =-,则原方程为2210x x -+=, 解得:121x x ==.【考点】一元二次方程21.如图,在四边形ABCD 中,AB DC ∥,AB AD =,对角线AC ,BD 交于点O ,AC 平分BAD ∠,过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ,连接OE . (1)求证:四边形ABCD 是菱形; (2)若5AB =,2BD =,求OE 的长.【解析】(1)证明:∵AB CD ∥∴CAB ACD ∠=∠ ∵AC 平分BAD ∠ ∴CAB CAD ∠=∠ ∴CAD ACD ∠=∠ ∴AD CD = 又∵AD AB = ∴AB CD = 又∵AB CD ∥∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵AB AD = ∴ABCD 是菱形(2)解:∵四边形ABCD 是菱形,对角线AC 、BD 交于点O .∴AC BD ⊥.12OA OC AC ==,12OB OD BD ==, ∴112OB BD ==. 在Rt AOB △中,90AOB ∠=︒. ∴222OA AB OB =-=. ∵CE AB ⊥,在Rt AEC △中,90AEC ∠=︒.O 为AC 中点. ∴122OE AC OA ===. 【考点】菱形的性质和判定,勾股定理,直角三角形斜边中线22.如图,AB 是O 的直径,过O 外一点P 作O 的两条切线PC ,PD ,切点分别为C ,D ,连接OP ,CD .(1)求证:OP CD ⊥;(2)连接AD ,BC ,若50DAB ∠=︒,70CBA ∠=︒,2OA =,求OP 的长.【解析】(1)证明:∵PC 、PD 与O ⊙相切于C 、D .∴PC PD =,OP 平分CPD ∠.在等腰PCD △中,PC PD =,PQ 平分CPD ∠. ∴PQ CD ⊥于Q ,即OP CD ⊥. (2)解:连接OC 、OD .∵OA OD =∴50OAD ODA ∠=∠=︒∴18080AOD OAD ODA ∠=︒-∠-∠=︒∴18060COD AOD BOC ∠=︒-∠-∠=︒. 在等腰COD △中,OC OD =.OQ CD ⊥ ∴1302DOQ COD ∠=∠=︒.∵PD 与O ⊙相切于D . ∴OD DP ⊥. ∴90ODP ∠=︒.在Rt ODP △中,90ODP ∠=︒,30POD ∠=︒ ∴243cos cos30332OD OA OP POD ====∠︒.【考点】切线的性质,切线长定理,锐角三角函数23.在平面直角坐标系xOy 中,函数ky x=(0x >)的图象G 经过点A (4,1),直线14l y x b =+∶与图象G 交于点B ,与y 轴交于点C . (1)求k 的值;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G 在点A ,B 之间的部分与线段OA ,OC ,BC 围成的区域(不含边界)为W .①当1b =-时,直接写出区域W 内的整点个数;②若区域W 内恰有4个整点,结合函数图象,求b 的取值范围. 【解析】(1)解:∵点A (4,1)在ky x=(0x >)的图象上. ∴14k=,∴4k =.(2)① 3个.(1,0),(2,0),(3,0).② a .当直线过(4,0)时:1404b ⨯+=,解得1b =-b .当直线过(5,0)时:1504b ⨯+=,解得54b =-c .当直线过(1,2)时:1124b ⨯+=,解得74b =d .当直线过(1,3)时:1134b ⨯+=,解得114b =∴综上所述:514b -<-≤或71144b <≤.【考点】一次函数与反比例函数综合,区域内整点个数问题24.如图,Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点,P 是弦AB 上一动点,连接PQ并延长交AB 于点C ,连接AC .已知6cm AB =,设A ,P 两点间的距离为x cm ,P ,C 两点间的距离为1cm y ,A ,C 两点间的距离为2cm y .小腾根据学习函数的经验,分别对函数1y ,2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小腾的探究过程,请补充完整:(1)按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量,分别得到了1y ,2y 与x 的几组对应值; /cm x0 1 2 3 4 5 6 1/cm y 5.624.673.762.653.184.372/cm y5.62 5.59 5.53 5.425.19 4.73 4.11(2)在同一平面直角坐标系xOy 中,描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ,1y ),(x ,2y ),并画出函数1y ,2y 的图象;(3)结合函数图象,解决问题:当APC△为等腰三角形时,AP的长度约为____cm.【解析】(1)3.00(2)如下图所示:(3)3.00或4.83或5.88.如下图所示,个函数图象的交点的横坐标即为所求.【考点】动点产生的函数图象问题,函数探究25.某年级共有300名学生.为了解该年级学生A,B两门课程的学习情况,从中随机抽取60名学生进行测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.A课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组:4050≤,x<≤,5060x<x<≤,90100≤,8090≤≤);x6070x<≤,7080x<≤这一组是:x<b.A课程成绩在708070 71 71 71 76 76 77 78 78.578.579 79 79 79.5c.A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下:课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息,回答下列问题:(1)写出表中m的值;(2)在此次测试中,某学生的A课程成绩为76分,B课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是________(填“A”或“B”),理由是_______;(3)假设该年级学生都参加此次测试,估计A课程成绩超过75.8分的人数.【解析】(1)78.75(2)B .该学生A 课程分数低于中位数,排名在中间位置之后,而B 课程分数高于中位数,排名在中间位置之前.(3)解:抽取的60名学生中.A 课程成绩超过75.8的人数为36人. ∴3630018060⨯=(人) 答:该年级学生都参加测试.估计A 课程分数超过75.8的人数为180人.【考点】频数分布直方图,中位数,用样本估计总体26.在平面直角坐标系xOy 中,直线44y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ,B ,抛物线23y ax bx a =+-经过点A ,将点B 向右平移5个单位长度,得到点C .(1)求点C 的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC 恰有一个公共点,结合函数图象,求a 的取值范围.【解析】(1)解:∵直线44y x =+与x 轴、y 轴交于A 、B .∴A (1-,0),B (0,4)∴C (5,4)(2)解:抛物线23y ax bx a =+-过A (1-,0)∴30a b a --=.2b a =-∴223y ax ax a =-- ∴对称轴为212a x a -=-=. (3)解:①当抛物线过点C 时.251034a a a--=,解得13a=.②当抛物线过点B时.34a-=,解得43a=-.③当抛物线顶点在BC上时.此时顶点为(1,4)∴234a a a--=,解得1a=-.∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-. 【考点】一次函数与坐标轴的交点,点的平移,抛物线对称轴,抛物线与线段交点问题27.如图,在正方形ABCD 中,E 是边AB 上的一动点(不与点A ,B 重合),连接DE ,点A 关于直线DE 的对称点为F ,连接EF 并延长交BC 于点G ,连接DG ,过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ,连接BH .(1)求证:GF GC =;(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系,并证明.【解析】(1)证明:连接DF .∵A ,F 关于DE 对称.∴AD FD =.AE FE =.在ADE △和FDE △中.AD FD AE FE DE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ADE FDE △≌△∴DAE DFE ∠=∠.∵四边形ABCD 是正方形∴90A C ∠=∠=︒.AD CD =∴90DFE A ∠=∠=︒∴18090DFG DFE ∠=︒-∠=︒∴DFG C ∠=∠∵AD DF =.AD CD =∴DF CD =在Rt DCG △和Rt DFG △.DC DF DG DG =⎧⎨=⎩∴Rt DCG △≌Rt DFG △∴CG FG =.(2)2BH AE =.证明:在AD 上取点M 使得AM AE =,连接ME .∵四这形ABCD 是正方形.∴AD AB =.90A ADC ∠=∠=︒.∵DAE △≌DFE △∴ADE FDE ∠=∠同理:CDG FDG ∠=∠∴EDG EDF GDF ∠=∠+∠1122ADF CDF =∠+∠ 1452ADC =∠=︒ ∵DE EH ⊥∴90DEH ∠=︒∴18045EHD DEH EDH ∠=︒-∠-∠=︒∴EHD EDH ∠=∠∴DE EH =.∵90A ∠=︒∴90ADE AED ∠+∠=︒∵90DEH ∠=︒∴90AED BEH ∠+∠=︒∴ADE BEH ∠=∠∵AD AB =.AM AE =∴DM EB =在DME △和EBH △中DM EB MDE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=∠⎩∴DME △≌EBH △∴ME BH =在Rt AME △中,90A ∠=︒,AE AM =. ∴222ME AE AM AE =+= ∴2BH AE =.【考点】正方形的性质,轴对称的性质,全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的性质与判定28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N).已知点A(2-).-),C(6,2-,6),B(2-,2(1)求d(点O,ABC△);(2)记函数y kx=,=(11k≠)的图象为图形G,若d(G,ABC-≤≤,0x△)1直接写出k的取值范围;(3)T的圆心为T(,0),半径为1.若d(T,ABC=,直接写出的取值△)1范围.【解析】(1)如下图所示:∵B(2-)-,2-),C(6,2∴D(0,2-)∴d(O,ABC△)2==OD(2)10<≤kk-<≤或01(3)4t =-或0422t -≤≤或422t =+.【考点】点到直线的距离,圆的切线。
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20XX 年北京市中考数学试卷
一、选择题(本题共32分,每小题4分。
下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的。
1.(4分)(2013•北京)在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2013﹣2015)》中,北京市提出了
2.(4分)(2013•北京)﹣的倒数是( )
. C 3.(4分)(2013•北京)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从. C D .
4.(4分)(2013•北京)如图,直线a ,b 被直线c 所截,a ∥
b ,∠1=∠2,若∠3=40°,则
∠4等于( )
5.(4分)(2013•北京)如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A ,在近岸取点B ,C ,D ,使得AB ⊥BC ,CD ⊥BC
,点E 在BC 上,并且点A ,E ,D 在同一条直线上.若测得BE=20m ,CE=10m ,CD=20m ,则河的宽度AB 等于( )
.
C
D .
7.(4分)(2013•
8.(4分)(2013•北京)如图,点P 是以O 为圆心,AB 为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦AP 的长为x ,△APO 的面积为y ,则下列图象中,能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )
. C D .
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.(4分)(2013•北京)分解因式:ab 2﹣4ab+4a= _________ .
10.(4分)(2013•北京)请写出一个开口向上,并且与y 轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y= _________ .
11.(4分)(2013•北京)如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点.若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为 _________ .
12.(4分)(2013•北京)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :y=﹣x ﹣1,双曲线y=,在l 上取一点A 1,过A 1作x
轴的垂线交双曲线于点B 1,过B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2,请继续操作并探究:过A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2,过B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3,…,这样依次得到l 上的点A 1,A 2,A 3,…,A n ,…记点A n 的横坐标为a n ,若a 1=2,则a 2= _________ ,a 2013= _________ ;若要将上述操作无限次地进行下去,则a 1不可能取的值是 _________ .
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.(5分)(2013•北京)已知:如图,D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.
求证:BC=AE.
14.(5分)(2013•北京)计算:(1﹣)0+|﹣|﹣2cos45°+()﹣1.
15.(5分)(2013•北京)解不等式组:.
16.(5分)(2013•北京)已知x2﹣4x﹣1=0,求代数式(2x﹣3)2﹣(x+y)(x﹣y)﹣y2的值.
17.(5分)(2013•北京)列方程或方程组解应用题:
某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小时完成任务,若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积.
18.(5分)(2013•北京)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.(5分)(2013•北京)如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使
CE=BC,连接DE,CF.
(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;
(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长.
20.(5分)(2013•北京)如图AB是⊙O的直径,PA,PC与⊙O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.
(1)求证:∠EPD=∠EDO;
(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的长.
21.(5分)(2013•北京)第九届中国国际园林博览会(园博会)已于20XX年5月18日在北京开幕,以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分.
(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为0.04平方千米,牡丹园面积为_________平方千米;
(2)第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍,水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据;
(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表),发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系.根据小娜的发现,请估计,将于20XX年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直接写出结果,精确到百位).
22.(5分)(2013•北京)阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当
∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.
小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正方形的边长为_________;(2)求正方形MNPQ的面积.
(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ.若S△RPQ=,则AD的长为_________.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.(7分)(2013•北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx﹣2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式;
(3)若该抛物线在﹣2<x<﹣1这一段位于直线l的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.
24.(7分)(2013•北京)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
25.(8分)(2013•北京)对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下的定义:若⊙C上存在两个点A、B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点.已知点D(,),E(0,﹣2),F(2,0).
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点D、E、F中,⊙O的关联点是_________.
②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是⊙O的关联点,求m的取值范围;
(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.
20XX年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共32分,每小题4分。
下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的。
1.B
2.D
3.C
4.C
5.B
6.A
7.B
AP=
OC==
OC AP=x
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.2
a b
(2)
10.y=x2+1(答案不唯一).
OM=AB=2.5
=13
AC=6.5
12.
31
,;01
--、.(
,
,
,
,
,
,﹣,
,,,﹣
;
、﹣;
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
14.5.
15.﹣1<x<
16.12
<
±
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
CE=BC
DH=2
AD=3
DE=.
PDA=
PDA=
×=0.03
;
,则斜边上的高为a a•a=
×
×
MF=SF=
a×=
•a
x x
SD•x x=
×a的面积为a ×,解得x=(不合题意,舍去)
,即.
.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
﹣
,
ACB=αα
α
CAD=∠BAC=
α=
EBC=
﹣
(,
PC=
OGF==
;
OPH==
=
;
KF=2KN=。