北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中
考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}{}1,0,2,1,1A B =-=-，则集合A B = （）
A ．{}
1-B ．{}
1,0,2-C ．{}
1,0,1,2-D ．{}
0,22．设全集R U =，{}02M x x =≤≤，{}13N x x =≤≤．如图所示，阴影部分所表示的集合为（）
A ．()(),03,∞∞-⋃+
B ．(][),03,∞∞-⋃+
C ．()()
,12,+∞∞-⋃D ．(][)
,12,∞∞-⋃+3．设函数()()2,0,0x x f x g x x ⎧<⎪
=⎨>⎪⎩
，()f x 是奇函数，则()3g 的值是（）
A ．1
8
-
B ．8-
C ．
18
D ．8
4．已知函数1
()12x
f x =
+，则对任意实数x ，有（）
A ．()()0f x f x -+=
B ．()()0f x f x --=
C ．()()1
f x f x -+=D ．1()()3
f x f x --=
5．若,a b R ∈，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b
<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，要求每箱售价不得低于50元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．要获得最大利润，每箱苹果的售价应定为（）A ．55元
B ．60元
C ．65元
D ．70元
7．关于x 的方程2210x ax -+=的两个实数根12,x x ，满足12012x x <<<<，则常数a 的取值范围是（）A ．()
0,1B ．()
1,+∞C ．51,4⎛⎫ ⎪
⎝⎭D ．5,4⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若()()()2,1,3a g b g c g =-==，则,,a b c
的大小关系为（）A ．a b c
<<B ．c b a
<<C ．b a c
<<D ．b c a
<<9．对任意[]()()2
1,1,442a f x x a x a ∈-=+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（）
A ．()(),13,-∞+∞
B ．()1,3
C ．()()
,12,-∞+∞ D ．()
1,210．函数()()120f x x ax a =++->的定义域为R ，最小值为()M a ，给出以下四个结论：①()M a 最小值为1；②()M a 最大值为3；③()f x 在2,a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减；④只有唯一的a
值使得()f x 的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论是（）
A ．①②
B ．②④
C ．②③
D ．①③
二、填空题
11．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,2-，则这个函数的解析式是．
12
．函数()f x =
的定义域是.
13．写出一个a 的值，使关于x 的不等式1x a +<恰有两个整数解．a =．
14．已知函数()9
2
f x x x =+
-，()2,x ∈+∞，当x =时，函数有最小值
．
15．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得
()2f x =()1f x ，则称函数()f x 是“()V k 型函数”．
（i ）()2
1f x x =+是否为“()1V -型函数”？
；（填“是”或“否”）
（ii ）若函数()()1,1
0,1a x x g x a x x a x ⎧
+-≥⎪=>⎨⎪-<⎩
是“()1V 型函数”，则实数a 的取值范围是．
三、解答题
16．已知集合{}
2560A x x x =-+=，{}2280B x x x =+-=，{}
22
190C x x ax a =-+-=．
(1)求A B ⋂；
(2)求实数a 的值，使得A C ⋂≠∅，B C =∅ ．
17．解关于x 的不等式()2
220x a x a --->．
18．已知函数()231
x f x x -=
-(1)判断函数()f x 是否具有奇偶性？并说明理由；
(2)用函数单调性的定义证明：()f x 在(1,)+∞上是增函数；(3)求函数()f x 在区间[]2,5上的值域．
19．设函数()2
22f x x tx =-+，其中R t ∈．
(1)若()f x 有两个零点．求实数t 的取值范围；(2)求()f x 在区间[]0,4上的最值．
20．已知函数()()()2
212,,1
k f x x a g x h x x x =-+=
=+．(1)当1k =-时，方程()()f x g x =在()1,2上有实根，求实数a 的取值范围；(2)对任意R x ∈，不等式()()h x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)关于x 的不等式()()h x g x >的解集中的正整数解恰有3个，直接写出实数k 的取值范围．21．设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除A S 的数对()(),i j i j <的个数．
（I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值;（Ⅱ）求A n 的最大值;
（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．。