2016-2017年吉林省吉林五十五中高二(上)期中数学试卷及参考答案

2016-2017学年吉林省吉林五十五中高二（上）期中数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99 B．100 C．96 D．101
2．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．
3．（5分）已知数列，3，，…，，那么9是数列的（）A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
4．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）
A．49 B．89 C．99 D．101
5．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（5分）在等比数列{a n}中，a1=，q=，a n=，则项数n为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
8．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）
A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0 9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）
A．5 B．3 C．7 D．8
10．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
11．（5分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．
12．（5分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和
为（）
A．63 B．108 C．75 D．83
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．14．（5分）已知等差数列{a n}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为．
15．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=．
16．（5分）若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值是．
三、解答题
17．（12分）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5项和．
18．（12分）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．
（Ⅰ）求{a n}的通项a n；
（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．
19．（12分）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0为．
20．（12分）画出下列不等式（组）表示的平面区域：
（1）3x+2y+6＞0
（2）．
21．（15分）在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：
（1）角C的度数；
（2）边AB的长．
22．（15分）某生产甲，乙两种产品，生产这两种产品每吨需要的煤，电以及每吨产品的产值如表所示．若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问
该厂如何安排生产，使该厂日产值最大？
用煤/吨用电/千瓦产值/万元甲种产品728
乙种产品3511
2016-2017学年吉林省吉林五十五中高二（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99 B．100 C．96 D．101
【解答】解：由题意，a n=3n﹣2，故有3n﹣2=298，∴n=100，
故选：B．
2．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．
===．
【解答】解：S
△ABC
故选：B．
3．（5分）已知数列，3，，…，，那么9是数列的（）A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
【解答】解：由=9．
解之得n=14
由此可知9是此数列的第14项．
故选：C．
4．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）
A．49 B．89 C．99 D．101
【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，
∴数列{a n}是首项为a1=1，公差为a n+1﹣a n=2的等差数列，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
∴a51=2×51﹣1=101．
故选：D．
5．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，
故函数的最小值是4，
故选：C．
6．（5分）在等比数列{a n}中，a1=，q=，a n=，则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵{a n}是等比数列
∴=a1q n﹣1=×==
解得：n=5
故选：C．
7．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，
解得sinB=．
再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，
故选：D．
8．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）
A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞0【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选：A．
9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）
A．5 B．3 C．7 D．8
【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．
故选：C．
10．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
【解答】解：由正弦定理得：=，
即sinB==，
则B=arcsin或π﹣arcsin，
即此三角形解的情况是两解．
故选：B．
11．（5分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）
由余弦定理可得，=
故选：D．
12．（5分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）
A．63 B．108 C．75 D．83
【解答】解：由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．
则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，
∴第三个n项的和为：=3，
∴前3n项的和为60+3=63．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，
又b=1，S
=，
△ABC
∴bcsinA=×1×c×=，
解得c=4，
根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，
解得a=，
根据正弦定理====，
则=．
故答案为：
14．（5分）已知等差数列{a n}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为a n=2n﹣3．
【解答】解：由题意可得，2（a+1）=（a﹣1）+（2a+3），
解得：a=0．
∴等差数列{a n}的前三项为﹣1，1，3．
则a1=﹣1，d=2．
∴a n=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．
故答案为：a n=2n﹣3．
15．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=﹣14．
【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，
∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a＜0，
由韦达定理可得，
解得a=﹣12，b=﹣2，
∴a+b=﹣14．
故答案为：﹣14．
16．（5分）若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值是9．
【解答】解：∵
∴=
当且仅当时，取等号．
故答案为：9．
三、解答题
17．（12分）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5
项和．
【解答】解：设公比为q，…（1分）
由已知得…（3分）②
即…（5分）
②÷①得，…（7分）
将代入①得a1=8，…（8分）
∴，…（10分）
…（12分）
18．（12分）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．
（Ⅰ）求{a n}的通项a n；
（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由已知条件，，
解出a1=3，d=﹣2，所以a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．
（Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2．
所以n=2时，S n取到最大值4．
19．（12分）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0为{x|x＞5或x＜﹣1} ．
【解答】解：由﹣x2+4x+5＜0化为x2﹣4x﹣5＞0，即（x﹣5）（x+1）＞0，解得x ＞5或x＜﹣1．
∴不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣1}．
故答案为{x|x＞5或x＜﹣1}．
20．（12分）画出下列不等式（组）表示的平面区域：
（1）3x+2y+6＞0
（2）．
【解答】解：（1）画出满足条件的平面区域，如图示：
；
（2）画出满足条件的平面区域，如图示：
．
21．（15分）在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：
（1）角C的度数；
（2）边AB的长．
【解答】解：（1）
∴C=120°
（2）由题设：
∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°
=
∴
22．（15分）某生产甲，乙两种产品，生产这两种产品每吨需要的煤，电以及每吨产品的产值如表所示．若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使该厂日产值最大？
用煤/吨用电/千瓦产值/万元甲种产品728
乙种产品3511
【解答】解：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨．
依题意可得线性约束条件…（5分）
目标函数为z=8x+11y，…（7分）
作出线性约束条件所表示的平面区域如图所示…（10分）
将z=8x+11y变形为y=﹣x+
当直线y=﹣x+
在纵轴上的截距达到最大值时，
即直线y=﹣x+经过点M时，z也达到最大值．
由得M点的坐标为（5，7）…（12分）
所以当x=5，y=7时，z max=5×8+7×11=117 …（13分）
因此，该厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，才能使该厂日产值最大，最大的产值是117万元．…（14分）。