玉山县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

玉山县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（
）
A. B.11015C. D.310
2
52． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（
）
A ．y=x+2
B ．y=
C ．y=3x
D ．y=3x 3
3． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4． 现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区，其中甲、乙两个社区每个社区至少2台，其它社区允许1台也没有，则不同的分配方案共有（ ）
A ．27种
B ．35种
C ．29种
D ．125种
5． 某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（
）A ．4320B ．2400C ．2160D ．1320　
6． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
（）
A．4 B．8 C．12 D．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
7．已知向量=（﹣1，3），=（x，2），且，则x=（）
A．B．C．D．
8．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（
）
A．4B．2C．D．2
9．命题：“∀x＞0，都有x2﹣x≥0”的否定是（）
A．∀x≤0，都有x2﹣x＞0B．∀x＞0，都有x2﹣x≤0
C．∃x＞0，使得x2﹣x＜0D．∃x≤0，使得x2﹣x＞0
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）
A．0°B．45°C．60°D．90°
11．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（）
A ．9.6
B ．7.68
C ．6.144
D ．4.9152
12．设x ，y 满足线性约束条件，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a 的
值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
二、填空题
13．如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点,是侧1111D ABC A B C D -,E F 1,BC CC P 面内一点，若平行于平面,则线段长度的取值范围是_________.
11BCC B 1AP AEF 1A P
14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；BM ED CN BE ③与成角；④与是异面直线．CN BM 60︒DM BN 以上四个命题中，正确命题的序号是
（写出所有你认为正确的命题）．
15．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；
②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点；③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点；④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．　
16．若直线：与直线：垂直，则 .
012=--ay x 2l 02=+y x =a 17．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n
的最小值是 ．18．函数f （x ）=
（x ＞3）的最小值为 ．
三、解答题
19．已知集合P={x|2x 2﹣3x+1≤0}，Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}．（1）若a=1，求P ∩Q ；
（2）若x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分13分）已知函数，
3
2
()31f x ax x =-+
（Ⅰ）讨论的单调性；
()f x （Ⅱ）证明：当时，有唯一的零点，且．
2a <-()f x 0x 01(0,)2
x ∈21．如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形，P ABCD -ABCD 45,1,ADC AD AC O ∠===
为的中点，平面，为 的中点.AC PO ⊥ABCD 2,PO M =BD （1）证明: 平面 ；
AD ⊥PAC （2）求直线 与平面所成角的正切值.
AM ABCD
22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.
()()f x x a a R =-∈（1）当时，解不等式；
1a =()211f x x <--（2）当时，，求的取值范围.
(2,1)x ∈-121()x x a f x ->---
23．在△ABC 中，D 为BC 边上的动点，且AD=3，B=．
（1）若cos ∠ADC=
，求AB 的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD 的周长f （θ），并求当θ取何值时，周长f （θ）取到最大值？
24．（本题满分15分）
设点是椭圆上任意一点，
过点作椭圆的切线，与椭圆交于，P 14:2
21=+y x C P )1(14:22222>=+t t
y t x C A 两点．
B
（1）求证：；
PB PA =（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
OAB ∆【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
玉山县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】
【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P ＝.
310
2． 【答案】 C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x 的图象上．故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．　
3． 【答案】B
【解析】解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立，若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选：B ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．　
4． 【答案】 B
【解析】
排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．
【分析】根据题意，可将7台型号相同的健身设备看成是相同的元素，首先分给甲、乙两个社区各台设备，再将余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论分配方案，①当三台设备都给一个社区，②当三台设备分为1和2两份分给2个社区，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案．
【解答】解：根据题意，7台型号相同的健身设备是相同的元素，
首先要满足甲、乙两个社区至少2台，可以先分给甲、乙两个社区各2台设备，余下的三台设备任意分给五个社区，分三种情况讨论：
①当三台设备都给一个社区时，有5种结果，
②当三台设备分为1和2两份分给2个社区时，有2×C 52=20种结果，③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区时，有C 53=10种结果，∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果；故选B ．
【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意型号相同的健身设备是相同的元素．5． 【答案】D
【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3），利用间接法，有•
=388，
第二组（1，1，2，2），利用间接法，有（﹣
）•
=932
根据分类计数原理，可得388+932=1320种，故选D ．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．　
6． 【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长，宽的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
62，故选C.123123
1
=⨯⨯7． 【答案】C
【解析】解：∵，
∴3x+2=0，解得x=﹣．故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
8． 【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），
∴AB 是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x ，则
，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
∃x＞0，使得x2﹣x＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
10．【答案】C
【解析】解：连结A1D、BD、A1B，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，
∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，
∵A1D=A1B=BD，
∴∠DA1B=60°．
∴CD1与EF所成角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．　
11．【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，
结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．
故选：C．
12．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax﹣y（a＞0）得y=ax﹣z，
∵a＞0，∴目标函数的斜率k=a＞0．
平移直线y=ax﹣z，
由图象可知当直线y=ax﹣z和直线2x﹣y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax﹣z和直线x﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．
此时a=．
故选：B．
二、填空题
13．【答案】
【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
14．【答案】③④
【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①与是异面直线，所以是错误BM ED 的；②与是平行直线，所以是错误的；③从图中连接，由于几何体是正方体，所以三角形DN BE ,AN AC ANC
为等边三角形，所以所成的角为，所以是正确的；④与是异面直线，所以是正确的．,AN AC 60︒DM BN
考点：空间中直线与直线的位置关系．
15．【答案】　①②⑤　
【解析】解：对于①，令g （x ）=x ，可得x=
或x=1，故①正确；对于②，因为f （x 0）=x 0，所以f （f （x 0））=f （x 0）=x 0，即f （f （x 0））=x 0，故x 0也是函数y=f （x ）的稳定点，故②正确；
对于③④，g （x ）=2x 2﹣1，令2（2x 2﹣1）2﹣1=x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x ﹣1）（2x+1）（4x 2+2x ﹣1）=0还有另外两解
，故函数g （x ）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是不动点，故③④错误；
对于⑤，若函数y=f （x ）有不动点x 0，显然它也有稳定点x 0；
若函数y=f （x ）有稳定点x 0，即f （f （x 0））=x 0，设f （x 0）=y 0，则f （y 0）=x 0
即（x 0，y 0）和（y 0，x 0）都在函数y=f （x ）的图象上，
假设x 0＞y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＞f （y 0），即y 0＞x 0，与假设矛盾；
假设x 0＜y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＜f （y 0），即y 0＜x 0，与假设矛盾；
故x 0=y 0，即f （x 0）=x 0，y=f （x ）有不动点x 0，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．
16．【答案】1
【解析】
试题分析：两直线垂直满足，解得，故填：1.
()02-12=⨯+⨯a 1=a 考点：直线垂直
【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，，，当两直线垂直时，需满足，当两直线平行时，
0:1111=++c y b x a l 0:2222=++c y b x a l 02121=+b b a a 需满足且，或是，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直01221=-b a b a 1221c b c b ≠2
12121c c b b a a ≠=
，两直线平行时，，.1
121-=k k 21k k =21b b ≠17．【答案】　2　．
【解析】解：整理函数解析式得f （x ）﹣1=log a （x ﹣1），故可知函数f （x ）的图象恒过（2，1）即A （2，1），故2m+n=1．
∴4m +2n ≥2=2=2．
当且仅当4m =2n ，即2m=n ，
即n=，m=时取等号．
∴4m +2n 的最小值为2．
故答案为：2
18．【答案】　12　．
【解析】解：因为x ＞3，所以f （x ）＞0
由题意知： =﹣
令t=∈（0，），h （t ）=
=t ﹣3t 2因为 h （t ）=t ﹣3t 2 的对称轴x=，开口朝上知函数h （t ）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；故h （t ）∈（0，
]由h （t ）=
⇒f （x ）=
≥12故答案为：12
　三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）
当a=1时，Q={x|（x ﹣1）（x ﹣2）≤0}={x|1≤x ≤2}
则P ∩Q={1}
（2）∵a ≤a+1，∴Q={x|（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0}={x|a ≤x ≤a+1}
∵x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，∴P ⊆Q ∴，即实数a 的取值范围是
【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型．　
20．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）， （1分）2
()363(2)f x ax x x ax '=-=-①当时，解得或，解得，0a >()0f x '>2x a >
0x <()0f x '<20x a
<<∴的递增区间为和，的递减区间为． （4分）()f x (,0)-∞2(,)a +∞()f x 2(0,a
②当时，的递增区间为，递减区间为． （5分）
0a =()f x (,0)-∞(0,)+∞③当时，解得，解得或0a <()0f x '>20x a <<()0f x '<0x >2x a
<∴的递增区间为，的递减区间为和． （7分）()f x 2(,0)a ()f x 2(,)a
-∞(0,)+∞（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知上递减，在上递增，在上递减．2a <-2(,a -∞2(,0)a
(0,)+∞∵，∴在没有零点． （9分）22240a f a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭
()f x (,0)-∞∵，，在上递减，()010f =>11(2)028
f a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x (0,)+∞∴在上，存在唯一的，使得．且 （12分）(0,)+∞0x ()00f x =01(0,2
x ∈综上所述，当时，有唯一的零点，且． （13分）2a <-()f x 0x 01(0,)2
x ∈
21．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】111]
考
点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、直线与平面所成角的求解，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理与性质定理、直线与平面所成角的求解等知识点综合考查，解答中熟记直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的定义，找出线面角是解答的关键，注重考查了学生的空间想象能力和推理与论证能力，属于中档试题.
22．【答案】（1）；（2）.
{}
11x x x ><-或(,2]-∞-【解析】试
题解析：（1）因为，所以，
()211f x x <--1211x x -<--即，
1211x x ---<-当时，，∴，∴，从而；
1x >1211x x --+<-1x -<-1x >1x >
当
时，，∴，∴，从而不等式无解；112
x ≤≤1211x x --+<-33x -<-1x >当时，，∴，从而；12
x <1211x x -+-<-1x <-1x <-综上，不等式的解集为.{}11x x x ><-或（2）由，得，
121()x x a f x ->---121x x a x a -+->--因为，
1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--所以当时，；
(1)()0x x a --≥121x x a x a -+-=--当时，(1)()0x x a --<121
x x a x a -+->--记不等式的解集为，则，故，
(1)()0x x a --<A (2,1)A -⊆2a ≤-所以的取值范围是.
(,2]-∞-考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）∵
，
∴
，
∴
…2分（注：先算∴sin ∠ADC 给1分）
∵，…3分
∴
，…5分（2）∵∠BAD=θ，
∴
，…6由正弦定理有
，…7分∴
，…8分
∴
，…10分=，…11分
当，即时f （θ）取到最大值9．…12分
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点为线段中点，；…………7分
P AB PB PA =（2）若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，AB 2:±=x AB 2C )1,2(2--±t A ，故，…………9分
)1,2(2-±t B 122-=∆t S OAB 若直线斜率存在，由（1）可得
AB ，，，…………11分148221+-=+k km x x 144422221+-=k t m x x 1
41141222212+-+=-+=k t k x x k AB
点到直线的距离，…………13分O AB 2221141k k k m d ++=+=∴，综上，的面积为定值．…………15分122
12-=⋅=∆t d AB S OAB OAB ∆122-t。