2018年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)

2018年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知全集U =R ，集合A ={x|−3<x <3}，则∁U A =( ) A.(−3, 3) B.[−3, 3]
C.(−∞, −3)∪(3, +∞)
D.(−∞, −3]∪[3, +∞) 2. 若复数
m+i 1+i
在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）
A.(−∞, −1)
B.(−1, 1)
C.(1, +∞)
D.(−1, +∞)
3. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）
A.13
8 B.8
5
C.5
3
D.3
2
4. 已知点P(x, y)的坐标满足条件{2x +3y −9≤0
2x −3y +9≥0y −1≥0 ，且点P 在直线3x +y −m =0
上．则m 的取值范围是（ ） A.[−9, 9] B.[−8, 9] C.[−8, 10]
D.[9, 10]
5. 设直线l 过原点，倾斜角为α，圆C 的方程为x 2+(y −2)2=1．则“α=π
3”是“直线L 与圆C 相切”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6. 已知x ，y ∈R ，且0<x <y <1，则（ ） A.x −1<y −1<1 B.1<lgx <lgy 11
7. 已知a →
，b →
是单位向量，a →
∗b →
=√32
，则|a →
+tb →
|(t ∈R)的最小值为（ ） A.1
4
B.1
2
C.√32
D.1
8. 某食品保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：∘C ）满足函数关系y =
e kx+b （e =2.718⋯为自然对数的底数，k ，b 为常数）
．若该食品在0 ∘C 的保鲜时间是192小时，在22 ∘C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ∘C 的保鲜时间是（ ） A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
已知双曲线
x 2m
−y 2=1的一个焦点为(−2√2,0)，则该双曲线的方程为________．
在△ABC 中，AC =1，BC =3，A +B =60∘，则AB =________．
某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[12.5, 25]，样本数据分组为
[12.5, 15),[15, 17.5),[17.5, 20),[20, 22.5),[22.5, 25]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是________．
已知x +y =3，则2x +2y 的最小值是________．
已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为________m 3．
刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后刘老师和四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．”
丁说：“我没考好．”
结果四名学生中有两人说对了，则这四名学生中说对了的是________两人．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
已知函数f(x)=sin(2x +π
6)−2cos 2x ． (I) 求f(π
6)的值；
(II) 求f(x)在区间[−π3,π
6brack 上的最大值．
已知{a n }是等差数列，{b n }是单调递增的等比数列，且a 2=b 2=3，b 1+b 3=10，b 1b 3=a 5．
(I) 求{a n }的通项公式；
(II) 设c n ={a n (n ≤5)
b n (n >5)
，求数列{c n }的前n 项和．
为了解市民对A ，B 两个品牌共享单车使用情况的满意程度，分别从使用A ，B 两个品牌单车的市民中随机抽取了100人，对这两个品牌的单车进行评分，满分60分．根据调查，得到A 品牌单车评分的频率分布直方图，和B 品牌单车评分的频数分布表：
(Ⅰ)求对A 品牌单车评价“满意度指数”为0的人数；
(Ⅱ)从该市同时使用A ，B 两个品牌单车的用户中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 品牌单车评价的“满意度指数”比对B 品牌单车评价的“满意度指数”高的概率； (Ⅲ)如果从A ，B 两个品牌单车中选择一个出行，你会选择哪一个？说明理由．
(Ⅰ)求证：平面SBC⊥平面SAB；
(Ⅱ)如果DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．求证：SC⊥平面BDE；(Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下，求三棱锥E−BCD的体积．
已知函数f(x)=x(lnx−1)+lnx+1．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；
(Ⅱ)若不等式x2+x（m−f′(x)）+1≥0恒成立，求实数m的取值范围．
已知椭圆E:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)，两点P1(0, √3)，P2(1, −3
2
)在椭圆上．
(Ⅰ)求椭圆E的方程及焦点坐标；
(Ⅱ)设直线l不经过点P1(0, √3)且与椭圆E相交于M，N两点，直线P1M与直线P1N的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=−√3．求证：直线l恒过某定点．
参考答案与试题解析
2018年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.
【答案】 D
【考点】 补集及其运算 【解析】
进行补集的运算即可． 【解答】
U =R ，A ={x|−3<x <3}； ∴ ∁U A =(−∞, −3]∪[3, +∞)． 2.
【答案】 C
【考点】 复数的运算 【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出不等式组，求解即可得答案． 【解答】 ∵ m+i
1+i =
(m+i)(1−i)(1+i)(1−i)
=
1+m 2
+
1−m 2
i 在复平面内对应的点在第四象限，
∴
{1+m 2>01−m
2
<0
，解得m >(1)
∴ 实数m 的取值范围是(1, +∞)． 故选：C ． 3.
【答案】 B
【考点】 程序框图 【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】
模拟程序的运行，可得 k =1，s =2
不满足条件k >3，执行循环体，k =2，s =3
2 不满足条件k >3，执行循环体，k =3，s =53
满足条件k >3，退出循环，输出s 的值为8
5． 4.
【答案】 C
【考点】 简单线性规划 【解析】
画出不等式组表示的平面区域，求出目标函数取最大、最小值时的最优解，计算最大、最小值，从而求出m 的取值范围． 【解答】
画出不等式组{2x +3y −9≤0
2x −3y +9≥0y −1≥0 表示的平面区域，如图所示；
则目标函数3x +y −m =0转化为m =3x +y ，
目标函数过点A 时，取得最小值，过点B 时取得最大值； 由{
2x −3y +9=0
y =1 ，求得A(−3, 1)， 由{
2x +3y −9=0
y =1
，求得B(3, 1)， 则m =3x +y 的最小值为3×(−3)+1=−8，最大值为3×3+1=10； ∴ m 的取值范围是[−8, 10]． 5.
【答案】 A
【考点】
直线与圆的位置关系 【解析】
当α=π
3，直线l 的方程为y =√3x ，从而“α=π3”⇒“直线l 与圆C 相切”；直线l 过原点，倾斜角为α的直线方程为y =tanαx ，当直线l 与圆C 相切时，tanα=√3或tanα=−√3，从而α=π
3或α=2π
3
．由此求出“α=π
3”是“直线l 与圆C 相切”的充分而不必要条件． 【解答】
∵ 直线l 过原点，倾斜角为α，α=π
3，
∴ 直线l 的方程为y =√3x ，
圆x 2+(y −2)2=1的圆心C(0, 2)，半径r =1，
圆心C(0, 2)到直线y =√3x 的距离d =√4=1，直线l 与圆相切， ∴ “α=π
3”⇒“直线l 与圆C 相切”；
直线l 过原点，倾斜角为α的直线方程为y =tanαx ， ∵ 直线l 与圆C 相切， ∴
√1+tan 2α
=1，解得tanα=√3或tanα=−√3，
∴ “直线l 与圆C 相切”⇒“α=π
3或α=
2π3
”．
∴ “α=π
3”是“直线l 与圆C 相切”的充分而不必要条件． 6.
【答案】 D
【考点】
不等式的基本性质 【解析】
x ，y ∈R ，且0<x <y <1，利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论． 【解答】
∵ x ，y ∈R ，且0<x <y <1，
∴ 1
x >1
y >1，lgx <lgy <0，(1
2)x >(1
2)y >1
2，0<sinx <siny ． 7.
【答案】 B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】
根据a →,b →
为单位向量及a →
∗b →
=√32即可求出|a →
+tb →
|2=t 2+√3t +1，然后可求出二次函数t 2+√3t +1的最小值，从而得出|a →+tb →
|的最小值．
【解答】
a →,
b →
是单位向量，a →
∗b →
=√32；
∴ |a →+tb →
|2=a →2+2ta →∗b →
+t 2b →
2=1+√3t +t 2；
∵ t 2+√3t +1的最小值为
4−34
=1
4；
∴ |a →+tb →
|的最小值为1
2．
8.
【答案】 C
【考点】
指数函数的实际应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由题意，得{
192=e 0+b =e b ,
48=e 22k+b , ②÷①，得e 22k =(e 11k )2=1
4，
故食品在33
∘
C 的保险时间是
y =e 33k+b =(e 11k )3×e b =(12)3
×192=24（小时）
． 故选C ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 【答案】
x 2
7
−y 2=1 【考点】
双曲线的离心率 【解析】
根据题意，由双曲线的焦点坐标可得c 的值，进而由双曲线的几何性质可得c 2=m +1=8，解可得m 的值，将m 的值代入双曲线的方程即可得答案． 【解答】 双曲线
x 2
m
−y 2=1的一个焦点为(−2√2,0)，即c =2√2， 则有c 2=m +1=8， 解可得：m =1， 则双曲线的标准方程为：x 27
−y 2=1；
【答案】 √13
【考点】 余弦定理 【解析】
由已知利用三角形内角和定理可求C ，根据余弦定理即可得解AB 的值． 【解答】
∵ AC =1，BC =3，A +B =60∘， ∴ C =120∘，
∴ 由余弦定理可得：AB 2=32+12−2×1×3×cos120∘=13， ∴ 解得：AB =√13． 【答案】 60
【考点】
频率分布直方图 【解析】
根据直方图，先求出这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的频率，由此能求出这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数． 【解答】
根据直方图，得这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的频率为(0.08+0.04)×2.5=0.(3)
∴ 这200名学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是200×0.3=60（人）． 【答案】 4√2
【考点】 基本不等式
直接利用基本不等式求出结果．
【解答】
已知x+y=3，
则：2x+2y≥2√2x∗2y=2√2x+y=2∗√23=4√2．
【答案】
16
【考点】
由三视图求体积
【解析】
根据三视图判断棱锥结构特征，代入数据计算．
【解答】
由主视图可知棱锥高为6，由俯视图和侧视图可知底面平行四边形的长为4，高为2，
∴四棱锥的体积V=1
3
×4×2×6=(16)
【答案】
乙丙
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
判断甲与乙的关系，通过对立事件判断分析即可．
【解答】
甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是
对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】
（I）由题意，f(π
6)=sin(2×π
6
+π
6
)−2(cosπ
6
)2=sinπ
2
−2×(√3
2
)2=1−3
2
=−1
2
；
(II)由函数f(x)=sin(2x+π
6
)−2cos2x
=sin2xcos π
6
+cos2xsin
π
6
−cos2x−1=
√3
2
sin2x−
1
2
cos2x−1
=sin(2x−π
6
)−1
∵x∈[−π
3,π
6
brack上
∴2x−π
6∈[−5π
6
, π
6
]
故当2x−π
6=π
6
时，函数f(x)取得最大值为1
2
−1=−1
2
．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的图象
【解析】
（I）将x=π
6
带入计算即可．
(II)利用和与差公式以及辅助角公式化简，求解内层范围，可得答案．
（I ）由题意，f(π
6
)=sin(2×π
6
+π
6
)−2(cos π
6
)2=sin π
2
−2×(√3
2
)2=1−3
2
=−1
2
；
(II)由 函数f(x)=sin(2x +π
6)−2cos 2x
=sin2xcos π6+cos2xsin π6−cos2x −1=√3
2sin2x −12cos2x −1
=sin(2x −π
6)−1
∵ x ∈[−π3,π
6brack 上 ∴ 2x −π
6∈[−
5π6
, π
6]
故当2x −π
6=π6时，函数f(x)取得最大值为1
2−1=−1
2．
【答案】
（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，
∵ {a n }是等差数列，{b n }是单调递增的等比数列，且a 2=b 2=3，b 1+b 3=10，b 1b 3=a 5．
∴ 由{b 2=3b 1+b 3=10 ，得{b 1q =3b 1+b 1q 2=10 ，解得{b 1=1
q =3 ， 由{a 2
=3b 1b 3=a 5 ，得{a 1+d =3a 1+4d =9 ，解得{a 1=1
d =2 ， ∴ a n =2n −(1)
（2）设数列{c n }的前n 项和为S n ，
由(Ⅰ)可知a n =2n −1，b n =b 1q n−1=3n−1， 当n ≤5时，S n =a 1+a 2+...+a n =
n(a 1+a n )
2
=n 2，
当n >5时，S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+b 6++b 7+...+b n =
5(a 1+a 5)
2
+
b 6(1−q n−5)
1−q
=25+
3n −243
2
=
3n −193
2
．
综上，数列{c n }的前n 项和S n ={n 2,n ≤5
3n −193
2
,n >5
．
【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】
(Ⅰ)由{b 2=3b 1+b 3=10 ，解得{b 1=1q =3 ，由{a 2=3b 1b 3=a 5 ，解得{a 1=1
d =2 ，由此能求出a n ．
(Ⅱ)设数列{c n }的前n 项和为S n ，求出a n =2n −1，b n =b 1q n−1=3n−1，由此能求出
数列{c n }的前n 项和． 【解答】
（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，
∵ {a n }是等差数列，{b n }是单调递增的等比数列，且a 2=b 2=3，b 1+b 3=10，b 1b 3=a 5．
b 2=3b 1q =3b 1=1
由{a 2
=3b 1b 3=a 5 ，得{a 1+d =3a 1+4d =9 ，解得{a 1=1
d =2 ， ∴ a n =2n −(1)
（2）设数列{c n }的前n 项和为S n ，
由(Ⅰ)可知a n =2n −1，b n =b 1q n−1=3n−1， 当n ≤5时，S n =a 1+a 2+...+a n =
n(a 1+a n )
2
=n 2，
当n >5时，S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+b 6++b 7+...+b n =
5(a 1+a 5)
2
+
b 6(1−q n−5)
1−q
=25+
3n −243
2
=
3n −193
2
．
综上，数列{c n }的前n 项和S n ={n 2,n ≤5
3n −193
2
,n >5
．
【答案】
(Ⅰ)由对A 品牌单车评分的频率分布直方图，得：
对A 品牌评价“满意度指数”为0的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2， ∴ 对A 品牌评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20人．
(Ⅱ)设“对A 品牌单车评价的‘满意度指数’比对B 品牌单车评价的‘满意度指数’高”为事件C ， 设“对A 品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件A 1， “对A 品牌单车评价的‘满意度指数’为2”为事件A 2， “对B 品牌单车评价的‘满意度指数’为0”为事件B 0， “对B 品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件B 1， 用频率估计概率得：
P(A 1)=0.4，P(A 2)=0.4，P(B 0)=
1+3+6100
=0.1，P(B 1)=
14+40100
=0.55，
∵ 事件A i 与B j 相互独立，其中i ，2，j =0，1， ∴ P(C)=P(A 1B 0+A 2B 0+A 2B 1) =0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55 =0.(3)
∴ 该用户对A 品牌单车评价的“满意度指数”比对B 品牌单车评价的“满意度指数”高的概率为0.(3)
(Ⅲ)如果从用户对A 、B 两个品牌评价的“满意度指数”的期望角度看， A 品牌“满意度指数”X 的分布列为：
B 品牌“满意度指数”Y 的分布列为：
∵ E(X)=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2， E(Y)=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25， E(X)<E(Y)，∴ 会选择B 品牌的单车出行． 【考点】
频率分布直方图
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
(Ⅰ)由对A品牌单车评分的频率分布直方图，求出对A品牌评价“满意度指数”为0的频率，由此能求出对A品牌评价“满意度指数”为0的人数．
(Ⅱ)设“对A品牌单车评价的‘满意度指数’比对B品牌单车评价的‘满意度指数’高”为事件C，设“对A品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件A1，“对A品牌单车评价的‘满意度指数’
为2”为事件A2，“对B品牌单车评价的‘满意度指数’为0”为事件B0，“对B品牌单车评价
的‘满意度指数’为1”为事件B1，用频率估计概率，根据相互独立事件概率乘法公式和互
斥事件概率加法公式能求出该用户对A品牌单车评价的“满意度指数”比对B品牌单车评
价的“满意度指数”高的概率．
(Ⅲ)如果从用户对A、B两个品牌评价的“满意度指数”的期望角度看，分别求出A、B品
牌“满意度指数”的分布列和期望，由E(X)<E(Y)，得选择B品牌的单车出行．
【解答】
(Ⅰ)由对A品牌单车评分的频率分布直方图，得：
对A品牌评价“满意度指数”为0的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2，
∴对A品牌评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20人．
(Ⅱ)设“对A品牌单车评价的‘满意度指数’比对B品牌单车评价的‘满意度指数’高”为事件C，设“对A品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件A1，
“对A品牌单车评价的‘满意度指数’为2”为事件A2，
“对B品牌单车评价的‘满意度指数’为0”为事件B0，
“对B品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件B1，
用频率估计概率得：
P(A1)=0.4，P(A2)=0.4，P(B0)=1+3+6
100=0.1，P(B1)=14+40
100
=0.55，
∵事件A i与B j相互独立，其中i，2，j=0，1，
∴P(C)=P(A1B0+A2B0+A2B1)
=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55
=0.(3)
∴该用户对A品牌单车评价的“满意度指数”比对B品牌单车评价的“满意度指数”高的概率为0.(3)
(Ⅲ)如果从用户对A、B两个品牌评价的“满意度指数”的期望角度看，
A品牌“满意度指数”X的分布列为：
B品牌“满意度指数”Y的分布列为：
∵E(X)=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2，
E(Y)=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，
E(X)<E(Y)，∴会选择B品牌的单车出行．
【答案】
(Ⅰ)证明：∵SA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
∴SA⊥BC，
又AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，则平面SBC⊥平面SAB；
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，三角形SBC为等腰直角三角形，
又SB=BC=√2，∴SC=2，
又E为SC的中点，∴BE⊥SC．
又DE⊥SC，DE∩BE=E，
∴SC⊥平面BDE；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，SC⊥平面BDE，又BD⊂平面SAC，∴SC⊥BD，又SA⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，
又SA∩SC=S，∴BD⊥平面SAC，
∴BD⊥AC，
∴BD=√6
3，CD=2√3
3
，DE=√3
3
．
V E−BCD=V B−CDE=1
3S△CDE∗BD=1
3
×√6
3
×1
2
×1×√3
3
=√2
18
．
∴三棱锥E−BCD的体积为√2
18
．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
(Ⅰ)由SA⊥底面ABC，得SA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，进一步得到平面SBC⊥平面SAB；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，三角形SBC为等腰直角三角形，结合已知可得SC=2，再由E为SC的中点，可得BE⊥SC．又DE⊥SC，由线面垂直的判定可得SC⊥平面BDE；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，SC⊥平面BDE，则SC⊥BD，又SA⊥底面ABC，得SA⊥BD，可得BD⊥平面SAC，即BD⊥AC，然后利用等积法求三棱锥E−BCD的体积．
【解答】
(Ⅰ)证明：∵SA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
∴SA⊥BC，
又AB⊥BC，SA∩AB=A，
∴BC⊥平面SAB，则平面SBC⊥平面SAB；
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，三角形SBC为等腰直角三角形，
又SB=BC=√2，∴SC=2，
又E为SC的中点，∴BE⊥SC．
又DE⊥SC，DE∩BE=E，
∴SC⊥平面BDE；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，SC⊥平面BDE，又BD⊂平面SAC，∴SC⊥BD，
又SA⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，
又SA∩SC=S，∴BD⊥平面SAC，
∴BD⊥AC，
∴BD=√6
3，CD=2√3
3
，DE=√3
3
．
V E−BCD=V B−CDE=1
3S△CDE∗BD=1
3
×√6
3
×1
2
×1×√3
3
=√2
18
．
∴三棱锥E−BCD的体积为√2
18
．
【答案】
(Ⅰ)∵f′(x)=lnx+1
x
，
故f′(1)=1，又f(1)=0，
故切线方程是y=x−1，
即x−y−1=0；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=lnx+1
x
，
故不等式x2+x（m−f′(x)）+1≥0可化为：
x2+mx−xlnx≥0，而x>0，
故上式等价于m≥lnx−x，
令g(x)=lnx−x，则g′(x)=1−x
x
，
当g′(x)=0时，x=1，
则x，g′(x)，g(x)的变化如下：
故x=1是g(x)的最大值点，即g(x)≤g(1)=−1，
故m≥−1，
综上，实数m的范围是[−1, +∞)．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数，计算f′(1)，f(1)的值，求出切线方程即可；
(Ⅱ)求出函数的导数，问题等价于m≥lnx−x，令g(x)=lnx−x，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【解答】
(Ⅰ)∵f′(x)=lnx+1
x
，
故f′(1)=1，又f(1)=0，
故切线方程是y=x−1，
即x−y−1=0；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=lnx +1
x ，
故不等式x 2+x （m −f′(x)）+1≥0可化为： x 2+mx −xlnx ≥0，而x >0， 故上式等价于m ≥lnx −x ， 令g(x)=lnx −x ，则g′(x)=
1−x x ，
当g′(x)=0时，x =1，
则x ，g′(x)，g(x)的变化如下：
故x =1是g(x)的最大值点，即g(x)≤g(1)=−1， 故m ≥−1，
综上，实数m 的范围是[−1, +∞)． 【答案】
(Ⅰ)由题意可知：b =√3，由P 2(1, −3
2)在椭圆上，代入，解得a =2，c 2=a 2−c 2=3，
∴ 椭圆E 的方程：
x 24
+y 23
=1，则焦点坐标F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)；
(Ⅱ)①当直线l 斜率不存在时，设l 的方程：x =t(t ≠0)，M(t, y M )，N(t, −y M )， 则k 1+k 2=
y M −√3t
+
−y M −√3
t
=−√3，解得t =2，
此时直线过椭圆E 的右顶点，不存两个交点，所以这种情况不成立，
②当直线l 斜率存在时，设l:y =kx +m ，(m ≠√3)，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 由题意可知：k ≠0，m ≠−√3，
联立{y =kx +m
3x 2+4y 2
=12 ，整理得：(3+4k 2)x +8kmx +4m 2−12=0， x 1+x 2=−8km
3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2
，(m ≠±√3)，x 1≠0，x 2≠0，
则k 1+k 2=y 1−√3x 1+
y 2−√3x 2
=
x 2(kx 1+m)−√3x 2+x 1(kx 2+m)−√3x 1
x 1x 2
，
=
2kx 1x 2+(m−√3)(x 1+x 2)
x 1x 2
=2k +(m −√3)×
−
8km 3+4k 24m 2−123+4k 2
=√3k
m+√
3，
∴
√3k
m+√3
=−√3，整理得m =−2k −√3，此时△=−192√3k ，存在k 使得△>0，
∴ 直线l 的方程为：y =kx −2k −√3=k(x −2)−√3，当x =2，y =−√3， ∴ 直线l 恒过定点(2, −√3)． 【考点】 椭圆的定义 【解析】
(Ⅰ)将两点代入即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程及焦点坐标；
(Ⅱ)分类讨论，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得m =−2k −√3，即可证明直线l 恒过定点． 【解答】
(Ⅰ)由题意可知：b =√3，由P 2(1, −3
2)在椭圆上，代入，解得a =2，c 2=a 2−c 2=3，
∴ 椭圆E 的方程：
x 24
+y 23
=1，则焦点坐标F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)；
(Ⅱ)①当直线l 斜率不存在时，设l 的方程：x =t(t ≠0)，M(t, y M )，N(t, −y M )， 则k 1+k 2=
y M −√3t
+
−y M −√3
t
=−√3，解得t =2，
此时直线过椭圆E 的右顶点，不存两个交点，所以这种情况不成立，
②当直线l 斜率存在时，设l:y =kx +m ，(m ≠√3)，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 由题意可知：k ≠0，m ≠−√3，
联立{y =kx +m
3x 2+4y 2
=12 ，整理得：(3+4k 2)x +8kmx +4m 2−12=0， x 1+x 2=−8km
3+4k 2
，x 1x 2=4m 2−123+4k 2
，(m ≠±√3)，x 1≠0，x 2≠0，
则k 1+k 2=y 1−√3x 1+
y 2−√3x 2
=
x 2(kx 1+m)−√3x 2+x 1(kx 2+m)−√3x 1
x 1x 2
，
=
2kx 1x 2+(m−√3)(x 1+x 2)
x 1x 2
=2k +(m −√3)×−
8km
3+4k 24m 2−123+4k 2
=
√3k
m+√3
，
∴
√3k
m+√3
=−√3，整理得m =−2k −√3，此时△=−192√3k ，存在k 使得△>0，
∴ 直线l 的方程为：y =kx −2k −√3=k(x −2)−√3，当x =2，y =−√3， ∴ 直线l 恒过定点(2, −√3)．。