二次方程根的判别式2

二次方程的根的判别式2
【学习目标】
1．知道什么是一元二次方程的根的判别式．
2．会用判别式判定根的情况．
【主体知识归纳】
1．一元二次方程的根的判别式：b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别
式．通常用符号“Δ”来表示．
2．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数
根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．
【基础知识讲解】
1．根的判别式是指Δ＝b 2
－4ac ，而不是指Δ＝ac b 42 ． 2．根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．
3．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的
实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．
4．判别式有以下应用：
(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；
(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；
(3)应用判别式进行有关的证明．
【例题精讲】
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）3x 2－2x －1＝0；
（2）y 2＝2y －4；
（3）（2k 2＋1）x 2－2kx ＋1＝0；
（4）9x 2－（p ＋7）x ＋p －3＝0．
解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程就是y 2－2y ＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数
根．
(3)∵2k 2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．
又∵Δ＝（－2k ）2－4（2k 2＋1）×1＝－4k 2－4＜0，∴原方程无实数根．
(4)Δ＝［－（p ＋7）］2－4×9×（p －3）＝（p －11）2＋36，
∵不论p 取何实数，（p －11）2均为非负数，
∴(p －11)2＋36＞0，即Δ＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
说明：(1)运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式．
(2)判别式的应用是以方程ax 2＋bx ＋c ＝0中a ≠0为前提条件的，对于含字母系数的二
次方程要特别注意这一点．
(3)要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有效的方法，如(4)小题．
例2：已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?
解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．
(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜
2
3且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝2
3时，方程有两个相等的实数根； (3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根． 说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．
例3:求证：不论a 、b 、c 为何值，关于x 的方程(b －x )2－4(a －x )(c －x )＝0必有实数
根．
剖析：此题考查运用一元二次方程根的判别式的能力，由于所给方程从形式上不能直接
判断出方程的类型，因此应将方程进行整理，得－3x 2＋(4a ＋4c －2b )x ＋b 2－4ac ＝0，显然
是关于x 的一元二次方程，所以只要证明Δ≥0即可．
证明:原方程可化为－3x 2＋(4a ＋4c －2b )x ＋b 2－4ac ＝0，
∴Δ＝(4a ＋4c －2b )2－4×(－3)(b 2－4ac )＝16a 2＋16b 2＋16c 2－16ab －16bc －16ac
＝8［(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2］
∵不论a 、b 、c 为何值，都有(a －b ) 2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0．
∴Δ＝8［(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2］≥0
∴方程必有实数根．
说明：判断一代数式的正、负时，通常的方法是将其进行恒等变形，配成完全平方式，再利用其非负性的特点进行证明．
例4:如果关于x 的方程x 2＋2x ＝m ＋9没有实数根，试判断关于y 的方程y 2＋my －2m ＋5
＝0的根的情况．
剖析：要判断y 2＋my －2m ＋5＝0根的情况，只要判断Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20
的取值情况即可．而x 2＋2x －m －9＝0没有实数根，可得Δ1＝22－4(－m －9)＝4m ＋40＜0，
即m ＜－10，而当m ＜－10时，m 2＋8m －20恒大于零，所以方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两
个不等的实数根．
解：∵x 2＋2x －m －9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m －9)＝4m ＋40＜0，即m ＜－10．
又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20
当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．
∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．
说明：判定Δ2的值用到了Δ1＜0所得的结论m ＜－10，这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到．
【思路拓展题】
秦九韶的高次方程
公元1819年7月1日，英国人霍纳在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，一时引起了英国数学界的轰动．由于这一方法有其独到之处，而且对数学科学有很大的推动作用，因而这一方法被命名为“霍纳方法”．
但是没过多久，意大利数学界就提出了异议，因为他们发现自己的同胞鲁菲尼已在15年前就得出了同样的方法，只是没有及时地报导罢了．因此，意大利数学界要求将这一数学方法命名为“鲁菲尼方法”．于是英、意双方开始了喋喋不休的争论．正巧，有个阿拉伯人前往欧洲，听到了双方的争论后，不置可否地大笑起来．争论双方问他，为何这般嘲笑，这位阿拉伯人从背包中掏出一本书，递与争论双方，说到：“你们都不要争了，依我看来，这个方法应该称作“秦九韶方法”．他们这才知道，早在570年前，有个叫秦九韶的中国人就发明了这种方法．双方觉得他们的这场争论已显得毫无意义了．
秦九韶，生于1202年，南宋普州安岳(今四川安岳)人，他自幼随做官的父亲周游过许多地方．20岁的时候，秦九韶随父亲来到南宋的都城——临安(今杭州)．秦九韶被父亲送到掌官天文历法的太史院学习．在这里，他了解了制定历法的一些基本算法和理论依据，这对于他后来写作著名的《数书九章》大有益处．
后来他回到四川老家，在一个县城里当县尉，这时，北方的元兵大举进犯，战乱频繁，他在这种动乱的环境中度过了他的壮年．后来他在《数书九章》中写了“天时”和“军旅”等问题，想必与这段生活有关．
过了几年，秦九韶的母亲去世了，他按照封建社会的传统，回家为母亲守孝三年．正是在这段时间里，秦九韶完成了他的辉煌的数学著作——《数书九章》．
《数书九章》共分九大类，每类各有九题，全书共有81道数学题目，内容包括天时、军旅、赋役、钱谷、市易等类问题，在这81道题目中，有的题目比较复杂，但题后大多附有算式和解法．正是在这些解法中包含着许多杰出的数学创造，高次方程的解法就是其中最重要的一项．
高次方程就是未知数的最高次幂在3次以上的方程．对于一元二次方程，我们可以用求根公式来解，三、四次方程的求根公式很复杂，至于五次以上的方程，那就没有求根公式了．那么用什么方法来解决呢?秦九韶创造的这种解法是一种近似的解法，但是它能够把结果算到任意精确的程度，只要你按照一些简单的程序，反复地进行四则运算即可．除了高次方程的解法之外，这本书的另一项伟大成就是关于同余式方面的工作．什么叫同余式呢?
我们还是从“韩信点兵”的故事说起：传说汉代开国功臣韩信有一次到练兵场，只见军士们龙腾虎跃，你来我往，好不热闹．韩信问带兵的军官．“你们这里共有多少士兵?”军官说：“人太多太乱，数不准确．”韩信说：“你把令旗给我，我来给你点数．”军官一听，慌忙将令旗奉上，只见韩信挥起令旗，命令道：“排一长队．”韩信见军士们已排好长队，便交待道：“先从1到3报数，再从1到5报数，最后从1到7报数．报完后，把剩余的人数告诉我，我便知总的军士人数．”
于是，军士们便认真地报起数来，第一报数后余2，第2报数后余3；第3报数后余2．韩信掐指一算，共计233人．
其实，“韩信点兵”问题又叫“孙子问题”，最早出现在公元4世纪的数学著作《孙子算经》中，原来的问题是这样表述的：“有物不知其数，三个一数余2，五个一数余3，七个一数余2，问该物总数几何?”
这个问题按照现在的人可以列出方程来：设总数为N，x为3人一数的次数，y为5人一数的次数，z为7人一数的次数．则
N＝3x＋2，N＝5y＋3，N＝7z＋2．
三个方程式，但却有四个未知数，这就叫不定方程．解不定方程在现代数论中有一个著名的定理：剩余定理．
但这个问题出现在公元4世纪的中国算书中，他们虽然给出算法，但却没有明确地表述和证明这个定理．
到公元13世纪，大数学家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上获得了超越前人的成果．
秦九韶在写作《数书九章》时，把当年在太史院学到的天文学知识与《孙子算经》的数学问题结合起来，发展了同余式的理论和算法，从而圆满地解决了韩信点兵之类的问题．秦九韶还有许多数学创造，他是世界上最早提出十进小数概念和表示法的人．他还独立地推导出了已知三边求三角形面积的公式：
S ＝])2
([41222222c b a b a ---（a 、b 、c 为三角形三边） 秦九韶在多元一次方程组和几何测量方面也有创新．他是世界上最伟大的数学家之一，《数书九章》标志着中国的古代数学达到了一个新的高峰．
【同步达纲练习】
1．选择题
(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式是( )
A ．．ac b 42-
B ．4ac －b 2
C ．b 2－4ac
D ．｜b 2－4ac ｜ (2)关于x 的方程mx 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜4 B ．m ≤4且m ≠0 C ．m ≥4且m ≠0
D ．m ＜4且m ≠0 (3)关于x 的方程kx 2＋2x －1＝0无实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k ≠0 B ．k ＜－1 C ．k ≤－1 D ．k ＝－1
(4)关于x 的方程2x 2－3x ＋m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( )
A ．m ＜89
B ．m ≥89
C ．m ≤89
D ．m ＜－8
9 (5)关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0有两个不相等的实数根，则k 的最
大整数值是( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．2
(6)方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等的实数根，则p 、q 之间的关系是( )
A ．p 2－4q ≠0
B ．p ＝2q
C ．p 2＝4q
D ．p 2
＞4q
(7)关于x 的方程m 2x 2－2mx ＋（m 2＋3）＝0的根的情况是( )
A ．当m ＝0时，方程有两个相等的实数根
B ．当m ≠0时，方程没有实数根
C ．不论m 为何值，方程都没有实数根
D ．当－1＜m ＜1时，方程有实数根
(8)设a 、b 、c 为三角形的三条边长，那么关于x 的方程b 2x 2＋（b 2＋c 2－a 2）x ＋c 2＝0
的根的情况是( )
A ．无实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．要根据a 、b 、c 的数值确定
(9)已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，且关于x 的方程（c －b ）x 2＋2（b －a ）x ＋（a
－b ）＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
(10)已知方程x 2－px ＋m ＝0（m ≠0）有两个相等的实数根，则方程x 2
＋px －m ＝0的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．有无实数根，不能确定
2．不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）y 2－2y ＋1＝0； （2）4x 2＋5＝10x ； （3）t 2＝7t －15；
（4）x 2＝－4（3x ＋4）； （5）x 2－25x ＝3； （6）0．1x 2－0．2x ＋1＝0；
（7）3x 2－（2－3）x ＋1＝0； （8）x 2－4x －k 2＋3＝0．
3．已知关于x 的方程
4
1x 2－（m －2）x ＋m 2＝0． (1)有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
(2)有两个相等的实数根，求m 的值，并求此时方程的根；
(3)没有实数根，求m 的最小整数值．
4．求证：关于x 的方程(a 2＋1)x 2－2ax ＋（a 2＋4）＝0没有实数根．
5．已知关于x 的方程x 2－2mx －3m 2＋8m －4＝0．
(1)当m ＞2时，试判断方程根的情况；
(2)若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围．
6．(1)k 是什么正整数时，方程2x 2－10x ＋5k ＝0有两个不相等的实数根？
(2)k是什么负整数时，方程x2－4x＋2－k＝0有两个不相等的实数根？
(3)k是什么正数时，方程（2＋k）x2＋6kx＋4k＋1＝0有两个相等的实数根？
7．已知△ABC的三边分别是a、b、c，其中a、b的长是方程x2－4(3＋1)x＋163＝
0的两个根，且a>b，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋c(1＋x2)＋2bx＝0有两个相等的实数根，求△ABC的三个内角的度数和三条边的长．。