2019-2020年高考总复习数学课件：第三章 第4讲 函数 y=Asin的图象

ω
ω
3π π ____2__ 2π
0
－A
0
3.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的步骤
A
1.(2017 年福建四地六校联考)函数 y＝－3sin12x＋π4的周期、 振幅、初相分别是( )
A.π4，3，π4
B.4π，3，π4
C.4π，3，54π
y＝sin2x＋π3的图象重合，∴φ－π＝π3－π2＋2kπ(k∈Z).∴φ＝π3＋
π－π2＋2kπ(k∈Z)，即 φ＝56π＋2kπ(k∈Z).又∵－π≤φ＜π，∴φ
＝56π.
答案：56π
(4)将函数 y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所 得图象对应的函数( )
解析：y＝sin2x＋23π＝cosπ2－2x＋23π＝cos－2x－π6＝ cos2x＋π6，把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变， 得到曲线 y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长度， 得到曲线 y＝cos2x＋1π2＝cos2x＋π6.故选 D.
考情风向标
从近几年的高考试 题来看，函数y＝ Asin(ωx＋φ)的图象 的平移和伸缩变换 以及根据图象确定A， ω，φ的值等问题是 高考的热点，复习 时，应抓住“五点 法”作图和图象的 变换以及性质的应 用，通过适量的训 练，掌握解决问题 的通性
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0)， x∈[0，＋∞)
函数 y＝－32x2＋12x＋1 的图象交于 A(x1,0)和
B(x2,1)，则 f(x)的解析式为( A.f(x)＝sin16x＋π3 C.f(x)＝sinπ2x＋π3
)
图 3-4-2
B.f(x)＝sin12x＋π3 D.f(x)＝sinπ2x＋π6
A.向左平移1π2个单位长度 B.向右平移1π2个单位长度 C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π6个单位长度
解析：y＝2sin 2x＝2cos2x－π2＝2cos2x－π6－π6，所以向 左平移π6个单位长度.故选 C.
答案：C
【规律方法】图象变换的两种方法的区别：由 y＝sin x 的 图象，利用图象变换作函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)(x∈ R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不 同时，原图象沿 x 轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸 缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平
解：(1)数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π π 7π 5π 13
12 3 12
6 12π
Asin(ωx＋φ) 0
5
0 －5 0
根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－π6.故函数解 析式为 f(x)＝5sin2x－π6.
(2)由(1)知 f(x)＝5sin2x－π6，得 g(x)＝5sin2x＋2θ－π6. 因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
第4讲 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
考纲要求
考点分布
1A理 ＝ 图 ω变 2是 现 模 函 单.．s，了象A意 化 描 象 型 数 的in了sφ解(，义 的 述 的 ， 解 实iω对n解函(x了； 影 周 重 会 决 际ω函＋三数x能 响 期 要 用 一 问解数φ＋角y)画 ． 变 函 三 些 题参的＝图φ函)出化数角简数的物象数yA，2单2的2图2的2数2图2图0000000调图象周的象象11111111234567年性象期图的的年年(年年年年知新与与性象变变新新新新新新式课对性；与换换课课课课课课求标称质单；标标标标标标图第性；调第ⅠⅠⅠⅠⅠ)及1；性9第第第第第1题函题；97869考题题题题题数考查考考考考考的查正 查 查 查 查 查奇三弦 三 三 余 三 三偶角型 角 角 弦 角 角性函函 函 函 型 函 函等数数 数 数 函 数 数；的
振幅 周期 A T＝2ωπ
频率 相位 初相 f＝T1＝2ωπ ωx＋φ φ
2.五点法画 y＝Asin(ωx＋φ) 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五 个特征点，如下表：
x
0－φ
ω
ωx＋φ
0
y＝Asin(ωx＋φ) 0
π2－φ ω
π ___2___
A
π－φ ω
32π－φ 2π－φ
D.2π，3，54π
解析：函数 y＝－3sin12x＋π4＝3sin12x＋54π的振幅是 A＝3， 周期是 T＝21π＝4π，初相是 φ＝54π.故选 C.
2
答案：C
2.(2016 年四川)为了得到函数 y＝sinx＋π3的图象，只需把 函数 y＝sin x 的图象上所有的点( A )
答案：D
(2)(2016 年新课标Ⅰ)若将函数 y＝2sin2x＋π6的图象向右
平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )
A.y＝2sin2x＋π4
B.y＝2sin2x＋π3
C.y＝2sin2x－π4
D.y＝2sin2x－π3
解析：函数 y＝2sin2x＋π6的周期为 π，将函数 y＝2sin2x＋π6 的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为 y ＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3.
于 2π，则( )
A.ω＝23，φ＝1π2
B.ω＝23，φ＝－1112π
C.ω＝13，φ＝－1214π
D.ω＝13，φ＝72π4
解析：由题意，得58πω＋φ＝2k1π＋π2k1∈Z， 118πω＋φ＝k2πk2∈Z，
ω＝43(k2－2k1)－23，T＝2ωπ>2π，∴0<ω<1. ∴ω＝23，φ＝2k1π＋1π2(k∈Z)，由|φ|<π，得 φ＝1π2.故选 A.
A.在区间1π2，71π2上单调递减 B.在区间1π2，71π2上单调递增 C.在区间－π6，π3上单调递减 D.在区间－π6，π3上单调递增
解析：将函数 y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度，
得到
y ＝ 3sin 2x－π2＋π3 ＝ 3sin 2x－23π . 令
A.2，－π3
图 3-4-1
B.2，－π6
C.4，－π6
D.4，π3
考点 1 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 考向 1 “五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例 1：(2017 年广东华附执信深外联考)某同学用“五点法”
画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表：
答案：C
考向 2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换
例 2：(1)(2017 年新课标Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：
y＝sin2x＋23π，则下面结论正确的是(
)
A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2
令 2x＋2θ－π6＝kπ(k∈Z)，解得 x＝k2π＋1π2－θ，k∈Z. 由于函数 y＝g(x)的图象关于点51π2，0成中心对称，令k2π＋ 1π2－θ＝51π2(k∈Z)， 解得 θ＝k2π－π3，k∈Z. 由 θ>0 可知，当 k＝1 时，θ 取得最小值π6.
【规律方法】(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象 的两种作法是五点作图法和图象变换法.
ωx＋φ
x Asin(ωx＋φ)
0 ______ ______
π 2 π 3
______
π ______ ______
3π 2
2π
5π 6
______
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得
到 y＝g(x)的图象.若 y＝g(x)图象的一个对称中心为51π2，0，求 的最小值.
移变换，平移的量是 ωφ个单位.
考点 2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用 考向 1 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 3：(1)(2017 年天津)设函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，
其中 ω>0，|φ|<π.若 f58π＝2，f118π＝0，且 f(x)的最小正周期大
A.向左平行移动π3个单位长度 B.向右平行移动π3个单位长度 C.向上平行移动π3个单位长度 D.向下平行移动π3个单位长度
3.(2015 年山东)要得到函数 y＝sin4x－π3的图象，只需要将 函数 y＝sin 4x 的图象( )
A.向左平移1π2个单位长度 B.向右平移1π2个单位长度 C.向左平移π3个单位长度 D.向右平移π3个单位长度
B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线 C2
C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再 把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2
D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再 把得到的曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线 C2
答案：D
(3)(2013 年新课标Ⅱ)函数 y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图 象向右平移π2个单位后，与函数 y＝sin2x＋π3的图象重合，则 φ＝________.
解析
：y
＝ cos(2x ＋
φ) 的
图象
向右
平移
π 2
个单
位得
到
y＝
cos2x－π2＋φ的图象，整理，得 y＝cos(2x－π＋φ).∵其图象与
答案：A
(2)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为 4，
最小值为 0，最小正周期为π2，直线 x＝π3是其图象的一条对称轴，
则下面各式中符合条件的解析式为( )
A.y＝4sin4x＋π6
2kπ
－
π 2
≤2x
－
2π 3
≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得 kπ＋1π2≤x≤kπ＋71π2(k∈Z).故单调递增区
间为kπ＋1π2，kπ＋71π2(k∈Z)，当 k＝0 时，得单调递增区间为
1π2，71π2.故选 B.
答案：B
(5)(2017 年广东佛山二模)为了得到函数 y＝2cos2x－π6 的图象，只需将函数 y＝2sin 2x 图象上所有的点( )
解析：在 y＝－32x2＋12x＋1 中， 令 y＝0，得 x1＝1(舍去)或 x1＝－23. 则由五点法知，－23ω＋φ＝kπ(k∈Z). ① 又在 y＝－32x2＋12x＋1 中， 令 y＝1，得 x2＝0(舍去)或 x2＝13.
则由五点法知，13ω＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z). ② 联立①②，解得 ω＝π2，φ＝π3. 所以 f(x)＝sinπ2x＋π3.故选 C.
(2)用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图
象，关键是点的选取，通常令 ωx＋φ 分别等于 0，π2，π，32π，2π， 求出对应的 x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标.
【互动探究】
1.(2017 年广东调研)如图 3-4-2，函数
f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<π2的图象与二次
解析：因为 y＝sin4x－π3＝sin4x－1π2，所以要得到函数 y＝sin4x－π3的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象向右平移1π2 个单位长度.故选 B.
答案：B
4.已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2<φ<π2的部分图象 如图 3-4-1，则ω，φ的值分别是( A )