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第一章 实数集与函数
§1实数
4.当1±=x 时等号成立.
§2数集 确界原理
1.⑴⎥⎦
⎤ ⎝⎛∞-∈21,
x ;
⑵[3[33x x ∈-+∈---+ ;
⑶ ),()
,(∞+∈c b a x .
⑷3[2,2],0,1,2.44
x k k k π
π
ππ∈++
=±±⋅⋅⋅, 4.⑴2sup =
S ,2inf -=S ;
⑵+∞=S sup ,1inf =S ; ⑶1sup =S ,0inf =S ; ⑷1sup =S ,2
1inf =S .
§3数集 确界原理
3. 114, 0,2
()144, 1;
2x x f x x x ⎧
⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤ 1116, 0,411()816, ,4210, 1.2x x f x x x x ⎧
⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪<⎪⎩
≤≤≤≤
4.(1)(,);-∞+∞(2)(1,)+∞;(3)[1,100];(4)(0,10].
5.(1)-1,2,2;(2)22,.x
x ∆--∆
6.
211111,,,,.312122x x x x x x
++++++ 7.(1)20
,1;y u u x ==+ (2)2
2
,arcsin ,;y u u v v x ===
(3)2lg ,1,1;y u u v v x ω==+==+ (4)22,,sin .u y u v v x ===
§4具有某些特征的函数
4.(1)偶;(2)奇;(3)偶;(4)奇.
5.(1)π;(2)
3
π
;(3)π12.
总练习题
2.是初等函数.(提示:利用第1题的结果.)
3.
2
212111,,,,,,.121111x x x x x x x x x x x x +-+---+++-+
4.1x
+ 5.(1)2
[],30,31,32,50;5
x y x +==⋅⋅⋅ (2)[0.5],0.y x x =+>
第二章 数列极限 §1数列极限概念
3.(1)0,无穷小数列; (2)1; (3)0,无穷小数列;
(4)0,无穷小数列; (5)0,无穷小数列; (6)1; (7)1.
§2收敛数列的性质
1.111(1);(2)0;(3);(4);(5)10;(6)
2.432
. 4.(1)1;(2)2;(3)3;(4)1;(5)0;(6)1.
§3数列极限存在的条件
1.1(1);(2);(3)e e e
3.1
(1)2;(2)(12
总练习题
1. (1)3; (2)0; (3)0.
第三章 函数极限 §1函数极限概念
6.(1)(00)1,(00)1;(2)(00)1,(00)0;f f f f -=-+=-=-+= (3)(00)(00) 1.f f -=+=
§2 函数极限的性质
1.(1)2
2;2π-
(2)1;(3)23;(4)-3;(5);n m (6)43;(7)12a ;(8)7020
9038.5
⋅
2.(1)1;(2)0.
4.n m <时,0;n m =时,0
a b .
§4两个重要极限 1.(1)2;(2)0;(3)-1;(4)1;(5)1
2
;(6)1;(7)1;(8)sin 2a
2.222(1);(2);(3);(4);(5);(6).a e e e e e e αβ 4.(1)1;(2)e .
§5无穷小量与无穷大量
2.(1)0;(2)1.
4.(1)0,0;y x ==(2),;2
2
y y π
π
=
=-
(3)36,0, 2.y x x x =+== 5.(1)3; (2)2; (3)1; (4)25
6.51
(1);(2)2;(3)(1).22
n n +
总练习题
1.1(1)1;(2);(3);2
a b +
31
(4)1;(5)1;(6)(7)().22
m n --
2.11
(1)1,1;(2)1,;(3)1,.22
a b a b a b ==-=-===-
8.(1);(2)0.+∞ 10.(1);(2).+∞+∞
第四章 函数的连续性 §1 连续性概念
2.(1)0=x ,第二类间断点;(2)0=x ,跳跃间断点;
(3)πn x =),2,1,0( ±±=n ,可去间断点;(4)0=x ,可去间断点; (5)2
x k π
π=
±),2,1,0( ±±=k ,跳跃间断点;(6)除0x =外每一点都是第二类间
断点;
(7)7x =-为第二类间断点,1x =为跳跃间断点.
§2 连续函数的性质
1.(1)g f 处处连续,f g ,0=x 为可去间断点; (2)g f ,1,0,1x =-为跳跃间断点,f g 处处连续.
8.(1)3;4π
§3 初等函数的极限
1.(1)6;(2)
1
2
;(3)1;(4)1;(5)e .
第五章 导数与微分
§1导数概念
1.1,55;0.1,50.5;0.01,50.05;50.t t t v v v v ∆==∆==∆===
2.在时间t 时刻所对应的旋转角()t Φ,则角速度为()
().d t t dt
ωΦ=. 3.4
4.6,9.a b ==-
5.(1)(1,0);(2)(
1
,ln 22
-) 6.(1)切线方程:1,y x =-法线方程:3;y x =-+ (2)切线方程:1,y =法线方程:0.x =
7.(1)2
'
2
3, 0,()3, 0;
x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥ (2)'1, 0,(), 0,0, 0.x f x x x >⎧⎪==⎨⎪<⎩
不存在 8.(1)1m ≥;(2)2m ≥;(3)3m ≥. 9.(1)4
k π
π-; (2)1x =.
`
§2求导法则
1.(1)''
(0)0,(1)18.f f ==;
(2)'
'
'
'(0)1,()1;(3)(1)(4)f f f f π==-=
=
2.(1)'
6;y x =(2)2'
22
41;(1)
x x y x x ---=++(3)'1
(1);n y n x -=+ (4)'
21m y m x =-+(5)2'2
33log ;ln 3x y x x =+ (6)'(cos sin );x y e x x =-(7)'5432185121223;y x x x x x =-+-+-+
(8)2'
2sec tan ;x x x y x -=(9)2
1cos sin ;(1cos )x x x
x ---
(10)'
22;(1ln )y x x =
-x (12)2'
2
2(sin cos )(1)(cos sin )
.(sin cos )
x x x x x x y x x +-+-=+ 3.(1)2'
y =
(2)'226(1);y x x =-
(3)222'
4
(1)(12)3;(1)
x x x y x ++-=- (4)'
1;ln y x x = (5)'cot ;y x =(6) '
2211
;1ln10
x y x x +=++
(7)'
y =
(8)'y =
(9)'
3cos2(sin cos );y x x x =+(10)'
6cos4sin8;y x x =-
(11)'
y =
(12)'2226sin cos ;y x x x =
(13)'
y =(14)2
'
36
6arctan ;1x y x x =+ (15)'
21;1y x -=
+(16)'
y = (17)'
1
;x y e +=(18)'sin ln 22cos ;x y x =
(19)'
sin sin (cos ln );x
x y x
x x x =+
(20)'21
[ln ln ];x x x y x x x x x
=++
(21)'[2cos2sin 2];x y e x x -=-
(22)'y =
(23)'cos(sin(sin ))cos(sin )cos ;y x x x =
(24)2'2sin cos sin()cos()sin sin sin cos ;sin()sin ()sin sin x x x x x x x x x x y x x x x -⎛⎫
- ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭ (25)'
1
1
(
())();j
n
n a k
j j k k
a y x a x a ===--∑
∏ (26)'
cos .|||cos |
x
y a bsinx x =
+
4.(1)'
2
'
2
'
2
()3,(1)3(1),(1)3(1);f x x f x x f x x =+=+-=- (2)'
2
'
2
'
2
()3(1),(1)3,(1)3(2);f x x f x x f x x =-+=-=- (3)'
2
'
2
'
2
()3(1),(1)3(2),(1)3.f x x f x x f x x =++=+-=
§3 参变量函数的导数
1.(1)
02
0,;t t dy dy
dx dx π==
==-∞(2)
2.dy dx =- 2.(1)
2
1,0.t t dy dy
dx dx ππ
==== 3.(1)切线方程1
,2
y x =
法线方程2;y x =-
(2)2(22,y x -=
2(2 1.x y +-=
§4 高阶导数
1.(1)'''''(4)(1)26,(1)18,(1)0;y y y ===
(2)''''"(0)0,(1)(1)f f f ==-=
3.(1)''1
();f x x
=
(2)2'''2()4(32);x f x xe x -=-
(3)(5)5
24
();(1)
f x x =
+(4)(10)32()(30270720);x f x e x x x =+++ 4.(1)''''
'21[(ln )(ln )];y f x f x x
=
- (2)''2'12''(1)()()()];n n n n y n n x f x nx f x --=-+
(3)'''''2'''(())(())(())().y f f x f x f f x f x =+
5.(1)1()
(1)(1)!;
n n n
n y
x ---=(2)()ln ;n x n
y a a = (3)()
11
(1)1!();(1)
n n n n y
n x x ++-=+- (4)()
111(1)!(ln )
;n
n
n k n n n k y x =+--=∑(5)()1
!;(1)
n n n y x +=- (6)()
2
22
00()sin(),arctan .n n ax b
y
a b e bx n a
ϕϕ=++=
6.(1)''41.3sin cos y a t t =(2)''
3
2.(cos sin )
t y e t t =-
§5 微分
1.当0.1,0.2,x dy ∆==当0.01,0.0
2.x dy ∆==
2.(1)2
3
(144);dy x x x dx =+-+(2)ln ;dy xdx =
(3)2
(2cos22sin 2);dy x x x x dx =-(4)2
22
1;(1)x dy dx x +=-
(5)(sin cos );ax
dy e a bx b bx dx =+
(6)sgn dy =-
4.(1)1.007;(2)1.0434;(3)1.0058;(4)
5.1. 5.0.33%.
总练习题
6. ''()(),()()f a a f a a ϕϕ+-==-,当'
()0,()a f a ϕ=存在且等于零.
7.(1)'()''(()()());f x x x x y e f e e f e f x =+ (2)''''((()))(())().y f f f x f f x f x =
8.(1)'''
22()()0);y x x ϕφ=
+≠
(2)'''
22
()()()()
;()()
x x x x y x x ϕφϕφϕφ+=+ (3)'''
2()()ln ()()()ln ()
.()()ln ()
x x x x x x y x x x φϕϕϕφφϕφϕ-=
9.(1)'2()3(5);F x x =+(2)'2
()6.F x x =
第六章 微分中值理用其应用 §2柯西中值定理和不定式极限
5.(1)1;(2)
3
(3)1;(4)2; (5)1;(6)12;(7)1;(8) 1;e (9)1;(10)0;(11) 1
;3
-(12) 1
3;e
§3 泰勒公式
1.(1)3131(21)!!22()1(1)();22!!2n n n n n f x x x x o x n -=+++⋅⋅⋅+-+ (2)355
11()();35f x x x x o x =-++
(3)35
512()().315
f x x x x o x =++
+ 2.(1) 1;3(2) 1;2(3) 1
.3
3.(1)23
()1011(1)7(1)(1);f x x x x =+-+-+- (2)1
2
1
1
(1)()1(1),0 1.(1)
n n n n
n x f x x x x x θθ+-+-=-++⋅⋅⋅+-+<<+
§4 函数的极值与最大(小)值
1.(1)极大值227
();316
f =(2)极小值(1)1,f -=-极大值(1)1;f =
(3)极小值(1)0,f =极大值2
24();f e e
=
(4)极大值1
(1)ln 2.42
f π=-
4.(1)最小值(1)10,f -=-最大值(1)2;f = (2)最大值()1,4
f π
=无最小值;
(3)最小值2
2().f e e
-=- 6.边长为.2
l
7.半径与高之比为1:1.
8.取12.n
a a a x n
++⋅⋅⋅+=
9.取 1.a =
§5 函数的凸性与拐点 1.(1)凹区间1(,),2-∞凸区间1(,),2+∞拐点113
(,);22
(2)凹区间(,0),-∞凸区间(0,);+∞
(3)凹区间(1,0),-凸区间(,1),(0,)-∞-+∞拐点(1,0);-
(4)凹区间(,1),(1,)-∞-+∞凸区间(1,1),-拐点(+1,ln2) 3(5)(-),).
4∞∞凹区间凸区间拐点 2.39,.2
2
a b =-=
§6 函数图象的讨论
渐近线1,1;2
x y x =-=
- (3)
渐近线,;y x y x ππ=-=+
(4)
渐近线0;y =
渐近线0;y =
(8)设12
x x =
=+ §7 方程的近似解
1.-1.20.
2.1.538.
总练习题
7.(1)e;(2)3
2
;(3)0.
第七章 实数的完备性
§1 关于实数集完备性的基本定理
5.(1)能;(2)(i)不能,(ii)能.
§3 上极限和下极限
1.(1)2,0;(2) 11
,;22
-(3) ,;+∞+∞(4)2,-2;(5) ,;ππ(6)1,1.
第八章 不定积分
§1 不定积分概念与基本积分公式
2. 2 1.y x =+
5.(1)24;24x x x C -
+- (2)3ln ||;3x x C +
;C (4)
4926;ln 4ln 9ln 6x x x C +++ (5)
3arcsin ;2x C + (6)1
(arctan );3
x x C -+ (7)tan ;x x C -+ (8)1
(2sin 2);4
x x C -+
(9)sin cos ;x x C -+ (10)tan cot ;x x C --+
(11)
90;ln 90
t C + (12)15
88;15x C + (13)2arcsin ;x C + (14)1
cos 2;2
x x C -+ (15)11(sin sin 3);23x x C ++ (16)331133.33
x x x
x e e e e C ----++
§2 换元积分法与分部积分法 1.(1)1sin(34);3x C ++ (2)2
21;4
x e C +
(3)1ln |21|;2x C ++ (4)
1
(1);1
n x C n ++++
(5));
C + (6)222;ln 2x C ++
(7);C (8);C (9)2
1cos ;2x C + (10)1cot(2);24
x C π-++
(11)tan ;2
x
C + (12)tan sec ;x x C -+
(13)ln |csc cot |;x x C -++ (14);C
(15)2
1arctan
;42
x C + (16)ln |ln |;x C +
(17)52
1(1);10x C --+
;C + (19)ln
;1x
C x
++ (20)ln sin ;x C + (21)3521
sin sin sin ;35
x x x C -
++ (22)ln tan ;x C + (23)arctan ;x e C + (24)2
ln 38;x x C -++
(25)2
23ln 1;12(1)
x C x x ++
-+++
(26)ln ;x C +
;C (28)135
2222
22
21(1)(1)(1);35x x x C --+---+ (29)175116
666
216661263ln ;75
1
x x x x x C x --
----++
(30)4ln 1|.x C -+
2.(1)arcsin ;x x C (2)ln ;x x x C -+ (3)2
sin 2cos 2sin ;x x x x C +-+
(4)21(2ln 1);4x C x -
++ (5)2
(ln )2ln 2;x x x x x C -++ (6)21(1)arctan ;22
x
x x C +-+ (7)ln(ln );x x C +
(8)2(arcsin )2;x x x x C +-+
(9)
1
(sec tan ln |sec tan |);2x x x x C +++
(10)21(ln ||);2a x C +
3.(1)
11
(());1
a f x C a +++ (2)arctan(());f x C + (3)ln |()|;f x C +
§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
1.(1)32ln |1|;32x x x x C +++-+ (2) 2
(4)ln ;|3|
x C x -+-
(3)221(1)ln ;61x C x x +-+
2
22
2
(4)arctan ;8411111(5)ln |1|ln(1)arctan ;4824(1)
535
(6)arctan(21).2(221)212.(1)arctan(2tan );
22(2)arctan();
621(3)ln |cos sin |;227(4)8C x x x x x c x x x c x x x
c x c x x x c ++----+--+++--++++++++
+arcsin ;1(5)ln |;2
c x c +++
(6).C x
-+
总练习题
(1) 5133
41244244
;5133
x x x C -
-+
(2)
2111
arcsin arcsin ;244
x x x C -+
(3)2ln(1;C + (4)sin 2(sin 1);x
e x C -+
(5)21);C + (6) 1
arccos
;C x
+ (7)ln |cos sin |;x x C ++ (8)2
31ln |2|;2(2)
x C x x --
-+-- (9)31tan tan ;3x x C +
+ (10)311
sin 2sin 4;8432
x x x C -++ (11)
221ln ;312
x C x x -+++-
(12)arctan(1ln |2;x x C +++ (13)
4411ln(2);42x x C -++
(14);x C + (15)
999897111
(1)(1)(1);994997
x x x C ------+-+
(16)1arcsin ;x C x --+ (17)
211ln();21x x
x C x
-+++-
(18)51tan );5x C ++ (19)2
;1x e C x ++
(20)211211
2[()].(21)n n I v n a b a b I n b -=-+
第九章 定积分
§1 定积分概念
2.(1) 1;4(2) 1e -;(3) ;b a e e -(4) 11.a b
-
§2 牛顿－莱布尼茨公式
1.(1)4;(2) 1;2π
-(3) ln 2;(4)
1
1;2
e e -+-
;3π
(6)
44;3(7) 42ln3;-(8) 2
.3
2.(1) 1;4(2) 1;2(3) ;4
π(4) 2.π
§4 定积分的性质
6. .a
§5 微积分学基本定理⋅定积分计算(续)
3.(1)1;(2)0.
4.(1)2;7
(2) 3π(3)
4;16a π(4) 4;3 (5) arctan ;4e π
-(6) ;4π(7) 1;2π-(8) 21(1);2
e π
+
(9) 22;e
-
(10) 2;(11) 32();43a π-(12) .4π
总练习题
1.提示:f 凸, '
00000
1()()()(),(),(),a
f x f x f x x x x t dt x t a ϕϕ+-=
=⎰≥并积分之.
3.提示:
00111()()(),x x
f t dt f t dt f t dt x x x =+⎰并考察右边两项的极限.
4.提示:**,0,x np x x p =+≤≤利用周期函数的积分计算. 8.提示:与第1题类似,但需注意ln u 为凹函数. 9.提示:证明{}n a 递减,有下界.
第十章 定积分的应用
§1 平面图形的面积
1.8.321(99ln1081).10
- 3.(32)/(92).ππ+- 4.23.8a π 5.23.2a π 6. 21.4a π
§2 由平行截面面积求体积
1.
400
.3
2.(1) 2
;2
π(2) 235;a π(3) 38;3a π(4) 24
.3a b π
§3平面曲线的弧长与曲率
1.(1)
81);27(2) 11);2
+(3) 6;a
(4) 22;a π(5) 3
;2
a π(6) ln(22
a
a π+
2.(1)4(2)4(3)4a
(4)2.3a
§4 旋转曲面的面积
1.(1)2ln(1π(2) 2
64.3
a π
(3)a b =时2
4,S a a b π=<时2
2(S a a a b b π=>时
2
2(S a a π=+
(4)2
4.ar π
2. 2()sin .S r β
α
πθθ=⎰
3.(1)2
32;5
a π(2)22(2a π
§5 定积分在物理中的某些应用 1.14373.33(千牛). 2.1
(2sin ).2
vab h b a +
3.-1108.35(千牛).
4..()kmM a a l +
5.22
2()ln .(2)
kM c l l c c l ++
6.
2.k r
δ
7.76969.02(千焦). 8.3920(千焦). 9.
7
2
33
27.7
ka c 10.44.3r g π
§6 定积分的近似计算
1.0.6938,0.6931.
2.1.8569,1.8522,1.8519.
3.8.64(米2).
4.矩阵法平均:28.71或28.66;梯形法平均:28.68;抛物线法平均:28.67.
第十一章 反常积分 §1 反常积分概念
1.(1) 1;2(2)0;(3)2;(4) 1ln 2;-(5) ;4
π(6) 1
;2(7)发散;(8)发散.
2.(1) 1p <时收敛于1(),11p
b a p p
---≥时发散;
(2)发散; (3)4; (4)1; (5) -1; (6);2
π
(7);π (8)发散.
§2 无穷积分的性质与收敛
4.(1)收敛; (2)收敛; (3)发散;
(4)收敛; (5)1n >时收敛, 1n ≤时发散; (6)1n m ->时收敛.1n m -≤时发散.
5.(1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛; (4)条件收敛.
§3 瑕积分的性质与收敛判别
3.(1)发散; (2)收敛; (3)发散; (4)收敛; (5)发散;(6) 3m <时收敛, m ≥3时发散; (7) 01a <<时绝对收敛,12a <≤时条件收敛, a ≥2时发散.(8)收敛
总练习题
3.(1)
22;a a b + (2) 22
;b
a b
+ (3)0; (4)0. 4.01λ<≤时条件收敛, 12λ<<时绝对收敛; λ≤0或λ≥2时发散.
6.(2)提示:证明充分性时问题归为证明lim ()x xf x →+∞
存在,这可由'()f x 的定号性进而
估计
'()(u
xf x dx u +∞
⎰
足够大)而得.。