河南高三高中数学月考试卷带答案解析

河南高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4.在中，为边的中点，若，，则（）
A．B．C．D．
5.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（）A．B．C．0D．
6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）
A．B．C．D．
7.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（）
A．B．
C．D．
8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长
，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
9.设方程与的根分别为，则（）
A．B．
C．D．
10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当
取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A．B．
C．D．
11.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正
确的是（）
A．
B．
C．
D．
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，
则关于函数有以下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任意一个非零有理数，对任意恒成立；
④存在三个点，，，使得为等边三角形．
其中真命题的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
1.已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则．
2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种．
3.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是．
4.如图所示，由直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，，恒成立，则实数
．
三、解答题
1.在中，内角对应的三边长分别为，且满足．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
2.为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：
．
（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望．
3.如图，在四棱锥中，平面，为直角，，，，分别为
，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求二面角．
4.椭圆，原点到直线的距离为，其中：点，点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）经过椭圆右焦点的直线和该椭圆交于、两点，点在椭圆上，为原点，若，求直线的方程．
5.已知函数，函数在处的切线与直线垂直．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．
6.选修4-1：几何证明选讲
已知中，，为外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长交的延长线于．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
7.选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标
系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长．
8.选修4-5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
河南高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，则．
【考点】集合运算．
2.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】，故对应点在第四象限．
【考点】复数几何意义．
3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则直线与直线平行，充分性成立；若直线与直线平行，则或，必要性不成立．
【考点】充分必要性．
4.在中，为边的中点，若，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】．
【考点】平面向量运算．
5.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（）A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】当函数向左平移个单位，所得的函数为，由函数关于轴对称，可知，所以的一个可能取值为．
【考点】三角函数的性质．
6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为一四棱锥，底面是长为，宽为的正方形，四棱锥高为，故体积为．
【考点】三视图．
【方法点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．
7.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，．
【考点】程序框图、茎叶图．
【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于
且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个．
8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长
，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由圆的对称性可知，动点的轨迹关于原点对称，且在原点处，，；当点位于左半圆时，
随着弧的长递增，的值递增，且变化由快到慢，由给定图象可知选D．
【考点】函数的图象．
9.设方程与的根分别为，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，由，可得，当时，，，∴，则．
【考点】对数运算、函数的图象．
10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当
取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线定义可得，∵，
∴，则，设的倾斜角为，则，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，代入，可得，即，∴，∴，∴，∴双曲线的实轴长为，∴双曲线的离心率为
．
【考点】抛物线的简单性质、双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题主要考查抛物线的性质，双曲线、抛物线的定义，通过作准线的垂线，结合抛物线定义和已知条件，可得，设的倾斜角为，则当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，求出的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．解答此题的关键是明确当取得最大值时，最小．
11.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正
确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，设，，则
，化为，∵，
∴，∴，∴，又
，∴，故选D．
【考点】数列的函数特性．
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，
则关于函数有以下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任意一个非零有理数，对任意恒成立；
④存在三个点，，，使得为等边三角形．
其中真命题的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】①根据函数的对应法则，可得不管是有理数还是无理数，均有；②根据函数奇偶性的定义，
可得是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取，，，可得，，，三点恰好构成等边三角形．
【考点】分段函数的应用．
二、填空题
1.已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则．
【答案】
【解析】二项式展开式中的常数项为，可知，所以．
【考点】二项式定理、等比中项．
2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种．
【答案】
【解析】名水暖工去个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，分配方案为和，则共有方法数为种．
【考点】排列组合．
3.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】作出不等式组对应的可行域，若，则不等式等价于，此时不满足条件；若，直线
的斜率，若平面区域存在点使成立，即区域内存在点在直线
的下方，此时不满足条件；若，直线的斜率，若平面区域存在点使成立，即区域内存在点在直线的上方，即直线的斜率，解得
．
【考点】简单线性规划．
【方法点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式
转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
4.如图所示，由直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，，恒成立，则实数
．
【答案】
【解析】令，由题意，
，∴，同理，，
，，∴
．
【考点】定积分的简单应用．
【思路点睛】本题主要考查定积分的简单应用，根据定积分的定义得到的值是解题的关键，属中档题．令，由定积分的定义得到，同理可求的值，相加，
．
三、解答题
1.在中，内角对应的三边长分别为，且满足．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由已知得，由余弦定理可得；（Ⅱ）由正弦定理
，化简，由，得，故．
试题解析：（Ⅰ）∵，
∴，
∵，∴
∴
（Ⅱ）解法1：由正弦定理得，
∴．
∴
∵，∴，，
所以．
解法2：
∵，∴，
∵，
，即，∵，∴
【考点】解三角形．
2.为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取
100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：
．
（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志
愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】（Ⅰ），人；（Ⅱ）的分布列见解析，．
【解析】（Ⅰ）小矩形的面积等于频率，故，年龄在岁的人数为（人）；
（Ⅱ）的可能取值为，依题计算各变量对应概率，列出分布列，计算均值．
试题解析：（Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率，∴除外的频率和为，
∴
500名志愿者中，年龄在岁的人数为（人）
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故的可能取值为．
，，
，．
故的分布列为
所以．
【考点】频率分布直方图、概率分布列．
3.如图，在四棱锥中，平面，为直角，，，，分别为
，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求二面角．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）易得，又底面，∴平面平面，由面面垂直的性质，得平面，∴，又，∴，得证；（Ⅱ）以为原点，以，，为轴，轴，轴
正向建立空间直角坐标系，则，，分别求得平面的法向量为，平面的法向量为，故，∴二面角为
．
试题解析：证：由已知平行且等于且为直角，故是矩形，从而．
又底面，∴平面平面，
∵，故平面，∴，
在内，、分别是、的中点，，∴，
由此得平面．
（Ⅱ）以为原点，以，，为轴，轴，轴正向建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，，可取，
设二面角的大小为，则，
所以
【考点】空间几何证明、空间向量的应用．
4.椭圆，原点到直线的距离为，其中：点，点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）经过椭圆右焦点的直线和该椭圆交于、两点，点在椭圆上，为原点，若，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．
【解析】（Ⅰ）由，故离心率；（Ⅱ）设，且直线斜率不为，设直线方程为，联立方程，得，由已知，
，，所以，所以，由，化简得，得，直线为．
试题解析：（Ⅰ）设直线且，
所以离心率．
（Ⅱ）椭圆方程为，设，
①当直线斜率为0时，其方程为，
此时，，不满足，不符合题意，舍去
②当直线斜率不为0时设直线方程为，
由题意：消得，
所以．
因为，所以，，
因为点在椭圆上，
所以
所以
∵
化简得，得，直线为
综上，直线为
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系．
【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
5.已知函数，函数在处的切线与直线垂直．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）由导数几何意义可知，解得；（Ⅱ），由题知在上有解，所以只需，故的取值范围是；（Ⅲ）令，得，所以，则
，令，则
，所以，
，所以在单调递减，，故的最小值是．
试题解析：（Ⅰ）∵，∴，
∵与直线垂直，∴，∴，
（Ⅱ）∵，∴，
由题知在上有解，
∵设，则，所以只需，
故的取值范围是
（Ⅲ）∵，
令，得，
由题，
，则
∵，所以令，
又，所以，所以，
整理有，解得，
∴
，所以在单调递减，
，
故的最小值是．
【考点】导数的应用．
【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）
的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．
6.选修4-1：几何证明选讲
已知中，，为外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长交的延长线于．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．
【解析】（Ⅰ）易得，由得，且，由同弧所对圆周角相等可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，结合，与相似，则，又，可得，由割线定理易得．
试题解析：（Ⅰ）证明：∵、、、四点共圆，
∴，
∵，∴，且，
，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又∵，
所以与相似，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
根据割线定理得，
．
【考点】平面几何证明．
7.选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）将曲线化为普通方程，代入，得；（Ⅱ）的直角坐标方程为，由垂径定理及勾股定理可得弦长．
试题解析：⑴∵曲线的参数方程为（为参数）
∴曲线的普通方程为，
将代入并化简得：，
即曲线的极坐标方程为
（2）∵的直角坐标方程为，
∴圆心到直线的距离为，∴弦长为．
【考点】极坐标系与参数方程．
8.选修4-5：不等式选讲
已知函数，不等式的解集为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由已知，，得；（Ⅱ），所以
．
试题解析：⑴∵，∴，
∵的解集为，∴，∴．
⑵∵，
又恒成立，
∴．
【考点】绝对值不等式．。