202X届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：7.1简单几何体的结构及三视图和直观图

3．棱台 (1)棱台的定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部 分叫作棱台，棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面，其他 各面叫作棱台的侧面．相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，上、下 底面之间的距离叫作棱台的高．如图所示．
注意：由棱台定义可知棱台的侧棱延长后一定交于一点．因此 在图中被截得的几何体不是棱台．
(2)棱台的记法 棱台 ABCD－A′B′C′D′. (3)棱台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、 四棱台、五棱台…… 由正棱锥截得的棱台叫作正棱台． (4)棱台的性质 正棱台有下面性质 ①正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形； ②正棱台的两底面及平行于底面的截面是相似正多边形； ③正棱台的两底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直 角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直 角梯形．
(2)棱柱的记法 记法：棱柱 ABCDEF－A′B′C′D′E′F′或棱柱 AC′(对 角线字母)如图所示．
(3)棱柱的分类 ①按底面多边形的边数分类： 三棱柱，四棱柱，…，n 棱． ②按侧棱与底面的位置关系分类：
斜棱柱侧棱与底面不垂直
棱柱
直棱柱侧棱垂 直于底面
正棱柱底面为正 多边形的直棱柱 其他直棱柱
(ⅱ)除性质中的两个直角三角形外，正棱锥的底面半径、边心距 和半边长也组成一个直角三角形，这三个直角三角形称为棱锥中的 特征三角形，它反映了棱锥的侧棱、斜高、高、底面边长、侧棱与 底面所成角、侧面与底面所成角的关系，因此很多棱锥的问题在此 三个特征三角形中解决．
②一般棱锥的性质 定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相 似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方 比． 注意：(ⅰ)此定理的结论在正棱锥中也成立． (ⅱ)其结论还可以引申：截面面积与底面面积的比等于截得的棱 锥与原来棱锥的侧棱长的平方比；截得的棱锥的侧面积与原来棱锥 的侧面积之比；等于从顶点到截面与顶点到底面距离的平方比；也 等于截得的棱锥的棱长与原来棱锥对应棱长的平方比；也等于截面 面积与底面积之比等等． (ⅲ)对棱锥的性质也可以对照棱柱性质用以下方法记忆： a．侧棱侧面； b.横截面； c.竖截面．
(2)棱锥的记法 棱锥 S－ABCDE，或者棱锥 S－AC.如图所示．
(3)棱锥的分类 ①按底面多边形边数分
三四棱棱锥锥：：底底面面为是三四角边形形四面体 五棱锥：底面是五边形
正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边 ②形 面， 的并 中且 心顶 ，点 这在 样底 的面 棱上 锥的 叫射 正影 棱是 锥底.
cos2γ＝2，sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1.
2．棱锥 (1)棱锥的定义 ①棱锥有两个本质特征：(ⅰ)有一个面是多边形；(ⅱ)其余的各 面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可 ②“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必 是棱锥，如图所示有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但它 不是棱锥，因此特别注意“有一个公共顶点的条件”．
(5)特殊的四棱柱 四棱柱 ―行底―四面―边―为―形平→ 平行六面体 ―侧―于棱―底―垂面―直→ 直平行六面体 ――底矩―面―形为―→ 长方体 ――底 正―面 方―为 形―→ 正四棱柱 侧―边棱―长与 ―相―底等→面 正方体
注意：用集合表示上述关系有： {正 方体 } {正四棱柱 } {长方体 } {直平行六面体} {平行六面 体} {四棱柱}
非正棱锥：除了正棱锥之外的棱锥叫非正棱锥.
③正棱锥满足两个条件：(ⅰ)底面是正多边形；(ⅱ)顶点在底面上 的射影必是底面正多边形的中心．
④正多边形⇔外心与内心重合的多边形． 正三角形⇔外心、内心、垂心、重心中有任意两个重合的三角形．
(4)棱锥的性质 ①正棱锥的性质：(ⅰ)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三 角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫作正棱锥的斜高；(ⅱ) 棱锥的高，斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥 的高，侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形． 注意：(ⅰ)“各侧面都是全等的等腰三角形”的棱锥不一定是 正棱锥．如图所示中 SA＝SB＝BC＝AC，SC＝AB，且 SB＞AB， 则此三棱锥的各侧面为全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥．
(5)棱锥顶点在底面内的射影 ①如果各侧棱相等或各侧棱与底面成等角或侧棱与体高所成角 相等，则顶点在底面内的射影是底面多边形的外心． ②如果棱锥的顶点到底面多边形各边的距离相等或各侧面与底 面成等角或各斜高与体高成等角，则顶点在底面内的射影在多边形 内部(在多边形外部)是底面多边形的内心(旁心)． ③如果两组对棱垂直，则第三组对棱必垂直，且顶点在底面内 的射影是底面三角形的垂心，如果三条侧棱两两垂直，那么顶点在 底面内的射影也是底面三角形的垂心．
(6)长方体的有关结论 定理：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长
的平方和． 设过一个顶点的三条棱为 a、b、c 则体对角线 AC21＝a2＋b2＋c2 重要结论：①若对角线与各棱所成的角分别为 α、β、γ 则 cos2α
＋cos2β＋cos2γ＝1，sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2； ②若对角线与各面所成的角分别为 α、β、γ 则 cos2α＋cos2β＋
(4)棱柱的性质 ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形． 注意：(ⅰ)棱柱性质的记忆方法： a.侧棱侧面； b.平行于底面的 截面；c.对角面．(ⅱ)按照棱柱性质的三点请归纳出直棱柱的性质和 正棱柱的性质，并比较它们的异同．
考点串串讲
1．棱柱 (1)棱柱的概念 ①棱柱概念的两个本质属性：(ⅰ)有两个面互相平行；(ⅱ)其余 各面每相邻两个面的公共边都互相平行． ②由定义可以判断“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边 形的几何体”不一定是棱柱，如图所示的几何体有两个面平行，但它 不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱．