苏教版数学高二-16-17苏教版数学必修4检测 第3章三角恒等变换 章末知识整合

章末知识整合
专题一 三角函数的求值问题
三角函数的求值主要有两类题型，给角求值与给值求值． 给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值．
给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．
[例1] 已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4，34π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫54π＋β＝－12
13
，求cos(α＋β)．
分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋
β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－α，可应用两角差的余弦公式求得．
解：由已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π得－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，－π4，
所以π
4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0.
又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，
所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝－45.
由β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得π
4＋β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2，
又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝－1213，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝5
13. 由⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－α＝α＋β，得 cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋β· cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35＋1213×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＝－33
65.
规律方法
给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
[变式训练] 已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝1
5，求tan α·tan β
的值．
解：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1
3，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1
5
，②
①＋②得cos αcos β＝415，②－①得sin αsin β＝－1
15，所以tan
αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－115415
＝－1
4
.
[典例2] 求sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°的值． 解：法一：原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 160°)＋3
2·(sin 100°
－sin 60°)＝1＋12(cos 160°－cos 40°)＋32sin 100°－34＝1
4－sin 100°sin
60°＋
32sin 100°＝1
4
. 法二：原式＝sin 220°＋cos 2(60°＋20°)＋3sin 20°·cos(60°＋20°)
＝sin 2
20°＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos 20°－3
2sin 20°2＋
3sin 20°·⎝ ⎛12cos 20°
⎭⎪⎫－3
2sin 20°＝14
sin 220°＋14cos 220°＝14.
规律方法
“给角求值”问题，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要认真观察，综合三角公式转化为特殊角并且清除非特殊角的三角函数而得解．
[变式训练]求
3tan 12°－3
sin 12°·（4cos212°－2）
的值．
解：原式＝3tan 12°－3
2sin 12°cos 24°
＝（3tan 12°－3）·2cos 12°2sin 12°·cos 12°·2cos 24°
＝23sin 12°－6cos 12°
sin 48°
＝43（sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°）
sin 48°
＝－43sin 48°
sin 48°
＝－4 3.
专题二三角函数的化简
三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果要求：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．
[典例3]化简：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)．
分析：先化切为弦，再利用特殊角的特殊值进行转换．
解：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)＝sin 70°
cos 70°
·
cos 10°·⎝
⎛⎭
⎪⎫
3·sin 20°cos 20°－1＝3cos 10°－cos 10°·sin 70°
cos 70°
＝3cos 10°－
cos 10°cos 20°2sin 10°cos 10°
＝
3sin 20°－cos 20°
2sin 10°
＝
sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°
sin 10°
＝sin （20°－30°）sin 10°
＝－1.
规律方法
在三角变换中，有时根据需要，可以将一特殊值还原成某一三角函数值，如：12＝sin π6＝cos π3；1＝tan π4＝sin π2＝2cos π
4＝sin 2α
＋cos 2α等，如果我们在解题时巧妙地加以运用，往往会出奇制胜．
[变式训练] 化简（1－sin α－cos α）⎝ ⎛⎭
⎪
⎫sin α
2＋cos α22－2cos α
(0<α<π)．
解：原式＝
⎝
⎛
⎭⎪⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪
⎫sin α2＋cos α22（1－cos α）
＝
2sin α2⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 2α2－cos 2α22⎪⎪⎪⎪⎪
⎪sin α2＝sin α2（－cos α）
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪sin α2，
又0<α<π，知0<α2<π
2，
所以sin α
2
>0.
因此原式＝sin α
2
（－cos α）sin α2＝－cos α.
专题三 三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式． 证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同．
条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径，常用代入法、消去法、两头凑法等．
[典例3] tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x .
证明：左边＝sin 32x cos 3
2x －sin x 2
cos x 2
＝sin 32x ·cos x 2－cos 32x ·sin x 2
cos 32x ·cos
x 2
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x －x 212⎣⎢⎡⎦⎥
⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32x ＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
x －x 2
＝
2sin x cos 2x ＋cos x
＝右边． 即等式成立． 规律方法
证明三角恒等式，一般是从左证右或从右证左，或是两边分头化简得同一结果．同时要注意“切割化弦”“化异为同”基本原则的应用．
[变式训练] 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2
sin θ .
证明：左边＝2sin 2
θ2＋2sin θ2cos
θ2
2cos 2 θ2＋2sin θ2cos
θ2
＋
2cos 2 θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2 θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2cos θ2＋cos
θ
2
sin
θ2＝
1cos θ2sin
θ2＝2
sin θ＝右边． 因此，原等式成立．
专题四 三角恒等变换的综合应用
[典例4] 已知函数f (x ) ＝4cos ωx ·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2上的单调性． 分析：先利用两角和的正弦公式，再利用倍角公式“降次”，进而利用辅助角公式，化为一个角的一种三角函数的形式求解．
解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ωx ＋π4＝ 22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2
ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2ωx ＋π4＋ 2.
因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π
2ω
＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π
4
.
当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8时，f (x )单调递增； 当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π
2
时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝
⎛⎦
⎥⎤
π8，π2上单调递
减．
规律方法
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式．
[变式训练] (2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin 2
x －sin
2⎝
⎛
⎭⎪⎫x －
π6，x
∈R.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－π3，π4上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x
2
－
1－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3 2
＝
1
2
⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋3
2sin 2x －12
cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π.
(2)因为f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，π4上是
增函数，
且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，
所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，
最小值为－1
2.。