高中数学必修二 第一章立体几何 课后训练 1.1.1

[规范解答] 设圆锥的底面半径为 R，高为 h，母线长为 l(如图)．则有 πR2 ＝9π，于是 R＝3，又 l＝5，所以圆锥的 高 h＝ l2－R2＝ 52－32＝4，因此其轴截 面的面积为 S△SAB＝12·AB·SO＝12×6×4＝ 12.
• [规律总结] 解决圆柱、圆锥、圆台中有关量 的计算问题时，关键是作出轴截面，通过轴 截面，在矩形、三角形、梯形中构造直角三 角形，利用勾股定理进行计算求解．
第一章 立体几何初步
第一章
§1 简单几何体 1．1 简单旋转体
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课后强化作业
课前自主预习
• 新华网西昌2010年1月17日电：1月17日0时 12分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三 号”运载火箭发射第三颗北斗导航卫星．这 是中国今年的首次卫星发射，也是长征系列 运载火箭的第122次飞行．众所周知，要发 射卫星必须要有大推力的运载火箭，那么运 载火箭什么模样？
• [答案] A
• [解析] 该简单组合体为一个圆台和一个圆锥， 因此平面图应由一个直角三角形和一个直角 梯形构成．B旋转后为两共底的圆锥；C旋转 后为一个圆柱与一个圆锥的组合体；D旋转 后为两圆锥与一圆柱．
• 4．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形 成的旋转体是________．
• [答案] 圆台
• [答案] B
• [规范解答] ①正确，②应以直角梯形的垂直 于底边的一腰所在直线为轴旋转方可得到圆 台， ③用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、 圆台，得到的截面才是圆面，④用平行于圆 锥底面的平面截圆锥可得圆锥和圆台，否则 得不到．故选B.
• [规律总结] 1.准确掌握旋转体的生成过程及 其结构特征是解决此类概念问题的关键．
• 2．解决概念辨析问题应紧扣定义，还要尝试 从不同角度入手，特别是从反面入手(举反 例)，从而更容易找出正确答案．
• 下列说法中正确的是( ) • A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段
是圆柱的母线
• B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还 是一个圆柱体
• C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 • D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 • [答案] C
将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)所示， 则从 A 到 C 的最短距离即为图(2)中 AC 的长．
由于 AB＝2l ＝52π(cm)，BC＝AD＝5(cm)， 所以 AC＝ 254π2＋25＝52 π2＋4(cm)．故选 B.
• 与球有关的计算问题
用一个平面截一个半径为 13cm 的球，得到一个 面积为 25πcm2 的圆，试求球心到该截面圆圆心的距离．
• [解析] 等腰梯形的对称轴将等腰梯形分成两 个全等的直角梯形，故旋转后形成圆台．
• 5．边长为4的等边三角形ABC绕∠BAC的平 分线所在的直线旋转所得圆锥的高h＝ ____________，底面半径r＝__________.
[答案] 2 3 2
课堂典例讲练
• 旋转体的有关概念
下列叙述正确的个数为( )
[解析] 如图，设 AK 为截面圆的半径，则 OK⊥AK.在 Rt △OAK 中，OA＝5cm，OK＝4cm，
∴AK＝ OA2－OK2＝ 52－42＝3(cm)， ∴截面圆的面积为 π·AK2＝9π(cm2)．
易错疑难辨析
过球面上两点，可作球的大圆的个数( ) A．有且只有一个 B．1 个或无数个 C．无数个 D．不存在这种大圆
半径r有R2－如d2下关系r＝________， • 如图．
• (3)球的大圆、小圆及球面距离
• ①球的大圆、小圆
• 球面被经过球__心______的平面截得的圆叫作球 的大球圆心；被不经过________的平面截得的圆
叫作球的小圆．
• 大把地球看作一个球时，大经线是球面上从北极 到小 南极的半个________圆，赤道是一个
• 用集合的观球点面 来描述，到定点的距离等于定 长的所有点的集合(轨迹)叫________．
• 特别提示：球和球面是两个不同的概念，球 面仅仅指球的表面；而球(球体)不仅包括球 的表面，同时还包括球面所包围的空间．因
此，用一个平面去截一个球，截面是圆面； 而用一个平面去截一个球面，截面是圆．
• (2)球的截面性质 • ①球心和截面圆心的连垂线直________于截面． • ②球心到截面的距离d与球半径R及截面圆的
[思路分析] 把圆柱侧面展开，由图分析求解．
• [规范解答] 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后 展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接 AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长， 且 AA′＝2π×1＝2π， ∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2， 即蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.
• [解析] A错，连接圆柱上、下底面圆周上两 点的线段不一定与轴平行．B错，当两个平 行平面与底面不平行时，截得的几何体不是 圆柱体．D错，通过圆台侧面上一点，只有 一条母线，C正确．
• 简单旋转体中有关量的计算
已知一个圆锥的底面面积是 9π，母线长为 5，求 其轴截面的面积．
[思路分析] 圆锥的轴截面是等腰三角形，其底就是底面 圆的直径，高就是圆锥的高，可通过构造直角三角形求得．
• 将一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面，求此 圆柱的轴截面的面积．
[解析] 设圆柱底面半径为 r，则 2πr＝a，r＝2aπ，故轴截 面的长为 a，宽为aπ，面积为aπ·a＝aπ2.
• 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图
如图，底面半径为 1，高为 2 的 圆柱，在 A 点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围 绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距 离是多少？
• [错解] A
• [辨析] 若两点连线恰为球的直径，则可作无 数个大圆；若两点连线不是直径，则可作一 个大圆．
• [正解] B
课后强化作业
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心且__垂__直__于__底 心且__垂__直__于__底
面
面
名 称
圆柱
平行、相
母
等且
线 垂直于底
全面等
轴 截 面
全等的矩 矩形形
平 行
圆锥
圆台
等腰三角形
相交于一点
延长线等交腰梯于形 一点
全等的 ___扇_形_____
_
全等的 ________
• 3.球
• (1)球和球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋 转一球周面所成的曲面叫______．球面所球围成的 几何体叫球体，简称_____．
• 如图，这是某种大推力运载火箭的发射图， 从图中我们可以看出，承载人类航空航天梦 想的高科技航天器并没有华丽的外表，整个 箭体是由圆锥、圆台、圆柱(这些几何体数学 上叫旋转体)堆叠而成，而就是这种“其貌不 扬”的组合体一次又一次地圆了人类的太空 梦，因此我们还真不能小瞧了这貌似简单的 旋转体！
• 1．旋转体 • 一条平面曲线绕着它所在的平面一内条的定直线
无论旋转到什么位置，这条边都叫侧面的 ________．
• 2．圆柱、圆锥、圆台的结构特征与性质：名称圆柱 Nhomakorabea圆锥
圆台
图形
表示
圆柱 OO′
圆锥 SO
圆台 OO′
底面 平行且_全__等__的__圆__面__ ___圆__面___ 相似的两个圆面
轴线
过底面圆心且 __垂__直____于底面
过顶点和底面圆 过上、下底面圆
________圆，其余的纬线都是________
圆．
• ②球面距离
球面距离
• 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过
• 1．与下图所示实物图相类似的立体图形按从 左到右的顺序依次是( )
• A．球，圆锥，圆柱 球
B．圆锥，圆柱，
• C．球，棱柱，棱锥 D．圆柱，球，圆台
• [答案] D
• [解析] 由几何体的结构特征易知选D.
• [规律总结] 1.解此类题的关键要清楚几何体 的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行 合理的空间想象．
• 2．运用侧面展开图将空间问题转化为平面问 题是求解最短距离的常用方法，即“化曲为 直”的思想方法的应用．
圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为 5 cm 的
正方形 ABCD，则圆柱侧面上从 A 到 C 的最短距离为( )
[规律总结] 解有关球的问题时，常用如下性质： (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆 圆心的连线与这个截面垂直． (2)如果分别用 R 和 r 表示球的半径和截面圆的半径，用 d 表示球心到截面的距离，则 R2＝r2＋d2.球的有关计算问题，常 归结为解这个直角三角形．
• 用一个平面截半径为5cm的球，球心到截面 距离为4cm，求截面圆的面积．
• [思路分析] 根据球的截面的性质，球心与截 面圆圆心的连线垂直于截面，据此构造直角 三角形，利用勾股定理求解．
[规范解答] 设球的半径为 R，截面圆的半径为 r，球心 O 到该截面圆圆心 O1 的距离为 d，则有 R2＝r2＋d2，于是|OO1|＝ d＝ R2－r2.又 πr2＝25π，
∴r＝5，于是 d＝ 132－52＝12. 即所求距离为 12cm.
• 2．下列说法中正确的是( ) • A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的 • B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的 • C．圆柱不是旋转体 • D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一
个圆锥而得到的
• [答案] D • [解析] 由圆台的定义及结构特征知D正确．
• 3．图甲是由图中哪个平面图旋转得到的 ()
________________旋封转闭所的旋形转成面的曲面叫作 旋转面，________________围成的几何体 叫作旋转体．
• 圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直 角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边
的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋圆转柱一 圆周锥而形成圆的台曲面所围成的几何体分别叫 ________、___高_____、________；旋转轴 叫作它们底的面 轴，在轴上这条边(或它的长度) 叫作侧它面 们的________；垂直于轴的边旋转而 母成线的圆面叫作它们的________；不垂直于轴 的边旋转而成的曲面叫作它们的________，
A．10 cm
B．52 π2＋4 cm
C．5 2 cm
D．5 π2＋1 cm
• [分析] 圆柱侧面是曲面，先把曲面展开成平 面，然后在平面上求最短距离．
• [答案] B
[解析] 如图(1)所示，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面，且 其边长为 5 cm.
设圆柱的底面圆半径为 r，则 r＝52 (cm)， 所以底面圆的周长为 l＝2πr＝5π(cm)．
①以直角三角形一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台
③用平面去截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面均为圆面
④用一平面截圆锥一定得到一个圆锥和一个圆台
A．0
B．1
C．2
D．3
• [思路分析] ①②是根据几何体的旋转轴去判 断旋转后的形状，③④是用平面截几何 体．结合条件可根据旋转体的结构特征尝试 作出判断．