2021-2022学年浙江省杭州市余杭区联盟学校八年级(下)期中数学试题及答案解析

2021-2022学年浙江省杭州市余杭区联盟学校八年级（下）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. √4
B. √5
C. √8
D. √27
2. 下列运算正确的是( )
A. √(−3)2=−3
B. 2+√2=2√2
C. 2√3−√3=2
D. 3√2−2√2=√2
3. 已知关于x的方程(m+1)x2−3=0是一元二次方程，则m的取值范围是( )
A. m>−1
B. m≠0
C. m≤−1
D. m≠−1
4. 利用配方法解方程x2+2x=1时，方程可变形为( )
A. (x+1)2=2
B. (x−1)2=2
C. (x+1)2=0
D. (x−1)2=0
5. 在▱ABCD中，若∠B+∠D=280°，则∠A=( )
A. 10°
B. 40°
C. 60°
D. 100°
6. 八年级一班的学生平均年龄是a岁，方差是b，一年后该班学生到九年级时，下列说法正
确的是( )
A. 平均年龄不变
B. 年龄的中位数不变
C. 年龄的众数不变
D. 年龄的方差不变
7. 一组数据为1，3，5，12，x，其中整数x是这组数据的中位数，则该组数据的平均数可
能是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8. 在五边形ABCDE中，∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之比为3：5：3：4：3，则∠D的外角等于( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 120°
9. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC上一点，连结BO，DO，△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别是S1，S2，S4，下列关于S1，S2，S3，S4的等量关系式中错误的是( )
A. S1+S3=S2+S4
B. S1S
2=S4
S3
C. S3−S1=S2−S4
D. S2=2S1
10. 设|x2+ax|=4只有3个不相等的实数根，则a的值和方程的某一个根可能是( )
A. a=4，x=2+2√2
B. a=4，x=2
C. a=−4，x=2−2√2
D. a=−4，x=−2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围为．
12. 已知关于x的一元二次方程x2+5x−m=0的一个根是2，则另一个根是______．
13. 圆圆通过实践调查发现，某品牌的空调去年六月份的销售量为5万台，八月份的销售量为6.05万台，设销售量的月平均增长率为x，则可列方程为______．
14. 若a=1+√2，b=1−√2，则代数式a2−ab+b2的值为______．
15. 小明在一次考试中五科总分为541分，其中两科的平均分是98分，另外三科的平均分是______分．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，点E是DC的中点，作BF⊥AD，垂足F在线段AD上，连结EF，BE，则下列结论正确的是______.(将正确的结论的序号填在横线上)
①EF=BE；
②∠CBE=1
2
∠ABC；
③△ABF的面积等于△BEF的面积的2倍；
④∠CEF=3∠DFE．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)√24−√2×√3；
(2)5√1
5−5√4
5
+√45．
18. (本小题8.0分)
解方程：
(1)(x+1)2=4．
(2)3x(x−1)=1−x．
19. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．
(1)求证：AE=CF．
(2)若AE=1，EF=2，BE=3，求BC的长．
20. (本小题10.0分)
市体校射击队要从甲、乙两名射击队员中挑选一人参加省级比赛，因此，让他们在相同条件
下各射击10次，成绩如图所示．
为分析成绩，教练根据统计图算出了甲队员成绩的平均数为8.5环、方差为1.05，请观察统计图，解答下列问题：
(1)先写出乙队员10次射击的成绩，再求10次射击成绩的平均数和方差；
(2)根据两人成绩分析的结果，若要选出总成绩高且发挥稳定的队员参加省级比赛，你认为选出的应是______，理由是：______．
21. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．
(1)求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
22. (本小题12.0分)
如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=20√2cm.要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5√2cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边(纸条不重叠).图1和图2是两种不同裁法的示意图．
(1)求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
(2)分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；
(3)这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？
23. (本小题12.0分)
如图，平行四边形ABCD中∠A=60°，AB=6cm，AD=3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t(s)．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t=2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的1
时，求t的值．
3
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A．√4=2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.√5是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.√8=2√2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.√27=3√3，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2.【答案】D
【解析】解：A．√(−3)2=3，故此选项不合题意；
B.2+√2无法计算，故此选项不合题意；
C.2√3−√3=√3，故此选项不合题意；
D.3√2−2√2=√2，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠−1，
故选：D．
根据一元二次方程定义可得m+1≠0，再解可得答案．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方
程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
4.【答案】A
【解析】解：方程x2+2x=1，
配方得：x2+2x+1=2，即(x+1)2=2．
故选：A．
方程两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠B=∠D，
∵∠B+∠D=280°，
∴∠B=∠D=140°，
∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=40°，
故选：B．
根据平行四边形的性质得出AD//BC，∠B=∠D，求出∠B的度数，根据平行线的性质求出∠A+
∠B=180°，代入求出即可．
本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质的应用，能根据平行四边形的性质得出∠B=∠D是解此题的关键，注意：平行四边形的对角相等，平行四边形的对边互相平行．
6.【答案】D
【解析】解：过一年后该班学生到九年级时，平均年龄是a+1岁，方差是b，
故选：D．
根据题意求出一年后该班学生的平均年龄和方差，结合选项得到答案．
本题考查的是平均数、众数、中位数以及方差的知识，掌握当数据都加上一个数(或减去一个数)时，
方差不变，即数据的波动情况不变是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵数据1，3，5，12，x的中位数是整数x，
∴x=3或x=4或x=5，
=4.8，
当x=3时，这组数据的平均数为1+3+3+5+12
5
=5，
当x=4时，这组数据的平均数为1+3+4+5+12
5
=5.2．
当x=5时，这组数据的平均数为1+3+5+5+12
5
故选：B．
根据1，3，5，12，x这组数据中，x是数据的中位数知x=3或x=4或x=5，再根据平均数的定义分别计算可得．
本题主要考查中位数、平均数，解题的关键是根据中位数的定义得出x的值．
8.【答案】A
【解析】解：设∠A=3x°，则∠B=5x°，∠C=3x°，∠D=4x°，∠E=3x°，
∴(3x°+5x°+3x°+4x°+3x°)=540°，
解得：x=30．
∴∠D=4×30°=120°．
∵180°−120°=60°，
∴∠D的外角等于60°．
故选：A．
设∠A=3x°，根据四边形内角和为360°即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出x的值，将其代入∠D中，再结合内外角之和为180°即可得出结论．
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是通过解方程找出∠D=60°．
9.【答案】D
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴S2：S1=OA：OC，S3：S4=OA：OC，S1+S3=S2+S4，S3−S1=S2−S4，
即S1
S2
=S4
S3
，
但不能得出S2=2S1，
故选：D．
根据平行四边形的性质和三角形的面积公式解答即可．
此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质和三角形的面积公式解答是关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵|x2+ax|=4，
∴x2+ax−4=0①或x2+ax+4=0②，
方程①②不可能有相同的根，
而原方程有3个不相等的实数根，
∴方程①②中有一个有等根，
而Δ1=a2+16>0，
∴△2=a2−16=0，
∴a=±4，
当a=4时，原方程为x2+4x−4=0或x2+4x+4=0，
原方程的解为：x=−2或−2±2√2；
当a=−4时，原方程为x2−4x−4=0或x2−4x+4=0，
原方程的解为：x=2或2±2√2；
故选C．
首先去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．由此即可确定a的值，同时也可以确定相应的3个根．此题主要考查了一元二次方程的解、公式法解一元二次方程、一元二次方程的判别式与根的关系及绝对值的定义，综合性比较强，对于学生分析问题、解决问题的能力要求比较高，解题时首先确定绝对值符号，然后利用判别式确定a的值，然后解方程即可解决问题．
11.【答案】x≥2
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求解即可．
【解答】
解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12.【答案】−7
【解析】解：设另一个根为x，则
x+2=−5，
解得x=−7．
故答案为−7．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
13.【答案】5(1+x)2=6.05
【解析】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：5(1+x)2=6.05．
故答案为：5(1+x)2=6.05．
设月平均增长率为x，根据六月及八月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量．
14.【答案】1
【解析】解：∵a=1+√2，b=1−√2，
∴a2−ab+b2=(a+b)2−3ab
=(1+√2+1−√2)2−3×(1+√2)×(1−√2)
=22+3×(−1)
=4−3
=1，
故答案为：1．
根据完全平方公式把所求的式子变形为(a+b)2−3ab，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15.【答案】115
【解析】解：(541−98×2)÷3
=(541−196)÷3
=345÷3
=115(分)，
∴另外三科的平均分是115分．
故答案为：115．
先根据题意，用其中两科的平均分乘以2，求出它们的总分是多少，进而求出另外三科的总分是多少；然后根据平均数的求法，用另外三科的总分除以3，求出另外三科的平均分是多少即可．
此题主要考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出另外五科的总分是多少．
16.【答案】①②④
【解析】解：延长FE交BC的延长线与M，
∵AD//BM，
∴∠DFE=∠M，
在△DFE与△CME中，
{∠DFE=∠M
∠DEF=∠CEM
DE=CE
，
∴△DFE≌△CME(AAS)，
∴EF=EM=1
2
FM，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=90°，
∵∠FBM=90°，
∴BE=1
FM，
2
∴EF=BE，故①正确；
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在▱ABCD中，AB=2AD，
∴DE=CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵AB//CD，
∴∠CEB=∠EBA，
∴∠CBE=∠ABE，
∠ABC，故②正确；
∴∠CBE=1
2
∵EF=EM，
∴S△BEF=S△BME，
∵BM>AF，
∴S△ABF<2S△BEF，
故③错误；
设∠EFB=x，则∠FBE=x，
∴∠CBE=∠CEB=90°−x，
∴∠FEB=180°−2x，
∴∠CEF=90°−x+180°−2x=270°−3x，
∵∠DFE=90°−x，
∴∠CEF=3∠DFE，
故④正确，
故答案为：①②④．
由垂直的定义得到∠AFB=90°，根据平行线的性质即可得到∠AFB=∠CBF=90°，延长FE交BC
FM，根据直角三角形的性质得到BE=的延长线与M，根据全等三角形的性质得到EF=EM=1
2
1
FM，等量代换的EF=BE，故①正确；由题意得到EC=BC，从而得到∠CEB=∠CBE，然后根2
据平行四边形的对边平行得到∠CEB=∠EBA，从而得到∠CBE=∠ABE，故②正确；由于S△BEF= S△BME，BM>AF，所以S△ABF<2S△BEF，故③错误；设∠EFB=x，则∠FBE=x，根据角的和差得到∠CEF=90°−x+180°−2x=270°−3x，∠DFE=90°−x，则∠CEF=3∠DFE，故④正确．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△DEF≌△CME是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=2√6−√2×3
=2√6−√6
=√6；
(2)原式=√5−2√5+3√5
=2√5．
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则运算，然后把√24化简后合并即可；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)开方得：x+1=2或x+1=−2，
解得：x1=1，x2=−3；
(2)方程移项得：3x(x−1)+(x−1)=0，
分解因式得：(x−1)(3x+1)=0，
所以x−1=0或3x+1=0，
．
解得：x1=1，x2=−1
3
【解析】(1)方程开方即可求出解；
(2)方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及直接开平方法，熟练掌握各自的解法是解本题的
关键．
19.【答案】(1)证明：∵ABCD 是平行四边形，
∴∠BAC =∠ACD ，AB =CD ，
∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，
∴∠BEA =∠DFC =90°，
∴△BAE≌△DCF(AAS)，
∴AE =CF ．
(2)解：
如图：连接BF ，AE =CF =1，
∵AE =1，EF =2，BE =3，
∴EC =EF +CF =2+1=3，
在直角三角形BCE 中，BC =√BE 2+EC 2=√32+32=3√2．
【解析】(1)通过证AE 、CF 所在三角形全等即可求解；
(2)利用条件(1)找出等量关系，用勾股定理即可求解．
本题考查平行四边形的性质，通过证AE 、CF 所在三角形全等即可求解，利用等量关系利用勾股定理即可求解．
20.【答案】甲 平均数高，且成绩稳定
【解析】解；(1)乙队员10次射击的成绩分别为6，7，7，8，8，8，9，9，10，10；
乙10次射击成绩的平均数=(6+2×7+3×8+2×9+2×10)÷10=8.2，
方差=110[(6−8.2)2+2×(7−8.2)2+3×(8−8.2)3+2×(9−8.2)2+2×(10−8.2)2]=1.56；
(2)∵8.5>8.2，S 甲2=1.05，S 乙2=1.56，
∴S 甲2<S 乙2，
∴甲的平均数高，且成绩稳定，
∴选择甲同学参加射击比赛；
故答案为：甲；平均数高，且成绩稳定．
(1)根据平均数的公式：平均数=所有数之和再除以数的个数；方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可；
(2)根据甲和乙的平均数和方差，选择平均数和方差较小的同学即可．
本题考查平均数、方差的定义和公式；熟练掌握平均数和方差的计算是解决问题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵△=[−(m+3)]2−4(m+2)=(m+1)2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
(2)解：∵方程有一个根的平方等于4，
∴x=±2是原方程的根，
当x=2时，4−2(m+3)+m+2=0．
解得m=0；
当x=−2时，4+2(m+3)+m+2=0，
解得m=−4．
综上所述，m的值为0或−4．
【解析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；(2)根据题意得到x=±2是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答(2)时要分类讨论，这是此题的易错点．
22.【答案】解：(1)如图3，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC=BC=20√2，∠ACB=90°，
∴AB=√2AC=√2×20√2=40cm，
∴CD=1
AB=20cm，
2
20 5√2=20√2
10
=2√2，且2<2√2<3，
∴如图1裁法最多能得到2条长方形纸条；
20√2÷5√2=4，
∴如图2裁法最多能得到3条长方形纸条；
(2)如图1，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AF=5√2cm，
∴EQ=40−5√2−5√2=(40−10√2)cm，
同理得：DP=40−10√2−10√2=(40−20√2)cm，
∴如图1裁法得到长方形纸条的总长度=EQ+DP=40−10√2+40−20√2=(80−30√2)cm；如图2，
同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE=5√2cm，
∴PD=20√2−5√2=15√2cm，QG=15√2−5√2=10√2cm，⋅⋅⋅，
∴如图2裁法得到长方形纸条的总长度=15√2+10√2+5√2=30√2(cm)；
(3)如图4，
如图1裁法：PG=80−30√2
4=(20−15√2
2
)cm，
FG=PG−PF=20−15√2
2−5√2=(20−25√2
2
)cm，
如图2裁法：PG=30√2
4=15√2
2
cm，
FG=PG−PF=15√2
2−5√2=5√2
2
cm，
∵20−25√2
2<5√2
2
，
∴这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为(5√2
2
)2=12.5(cm2).
【解析】(1)如图3，过点C作CD⊥AB于D，利用CD的长÷5√2可得如图1裁法最多能得到的长方形纸条的条数，利用AC的长÷5√2可得如图2裁法最多能得到的长方形纸条的条数；
(2)根据等腰直角三角形的性质分别计算如图1和如图2中长方形纸条的总长度；
(3)因为四边形EFGH是正方形，所以它的面积为边长的平方，所以比较两种裁法的边长即可，根据两种裁法的总长可得如图4中的PG的长，最后计算FG的长即可解答．
此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，要仔细观察图形，掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)平行四边形ABCD中，
∵∠A=60°，AB=6cm，AD=3cm，
∴CD=AB=6cm，BC=AD=3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠A =∠C =60°，
∴∠CBG =30°，
∴CG =12BC =32cm ，
∴BG =√BC 2−CG 2=32√3(cm)，
∴平行四边形ABCD 的面积为：CD ×BG =6×32
√3=9√3(cm 2). 答：平行四边形ABCD 的面积为9√3cm 2； (2)当t =2s 时，
AE =2×1=2cm ，AF =2×1=2cm ，
∵∠A =60°，
∴△AEF 是等边三角形，
如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，
∴FH =√32AF =√3(cm)，
∴△AEF 的面积为：12×AE ×FH =12×2×√3=√3(cm 2)， 答：当t =2s 时，△AEF 的面积为√3cm 2；
(3)∵由(1)知平行四边形ABCD 的面积为9√3cm 2．
∴当△AEF 的面积是平行四边形ABCD 面积的13时，△AEF 的面积为：9√3×13
=3√3(cm 2)， 当点E 在线段AB 上运动t 秒时，点F 在AD 上运动t 秒，AE =t cm ，AF =tcm ，高为√32AF =√32
t(cm)， ∴1
2×t ×√32t =3√3，
∴t =−2√3(舍)或t =2√3，
∴t =2√3时符合题意；
当点E′运动到线段BC 上时，且运动时间为t 秒时，点F′也运动到线段CD 上，
如图，过点E′作MN 垂直CD 于点H ，垂直于AB 延长线于点G ，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=∠C=60°，CD=AB=6cm，BC=AD=3cm，∴AB//CD，
∴∠E′BG=∠C=60°，
∴E′G=√3
2BE′=√3
2
(t−6)(cm)，E′H=1.5√3−√3
2
(t−6)=√3
2
(9−t)(cm)，
∴S△AEF=9√3−1
2×6×√3
2
(t−6)−1
2
×[6−(t−3)]×[√3
2
(9−t)]−1
2
(t−3)×1.5√3=3√3，
化简得：t2−21t+84=0，
∴(t−12)(t−7)=0，
∴t=12(不符合题意，舍)或t=7，
当t=7时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为2√3或7．
【解析】(1)过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
(2)过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t=2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
(3)分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键．。