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分解质因数
⼀、分解质因数
1、下⾯的数,哪些能写成⼏个质数相乘的形式？
7, 9, 11, 12
2、在2、 7、 12、35、 4 、21、 1
3、 17这些数中, 质数有: 2 、7、13、17
合数有: 12、35 、4 、21
3、 28和60可以写成哪⼏个质数相乘的形式?
28 ＝ 2 X 2 X 7
60＝2X3X2X5
5
每个合数都可以写成⼏个( )数相乘的形式,其中每个质数都是
这个合数的( )数,叫做这个合数的质因数。

4、13X4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？
5、什么是分解质因数呢?
把⼀个合数⽤质因数相乘的形式表⽰出来，叫做分解质因数。

（1）⽤短除法把下⾯各数分解质因数.
3×5
（2）能⽤短除法把下⾯各数分解质因数.
80 12 16 72
练习：
⼀、选⼀选。

(1)把10分解质因数是( )
A.10=2×5
B.10=1×2×5
C.10=1×10
(2)把27分解质因数是( )
A.3×9=27
B.3×3×3=27
C.27=3×3×3
（2）看谁是⼩判官
①把35分解质因数是 35=1×5×7（）
②把49分解质因数是7×7=49 ( )
③把30分解质因数是30=2×3×5 ( )
④51不能分解质因数. ( )
⼆、⽤短除法找最⼤公因数
1．⽤排列因数的⽅法求18和24的最⼤公因数。

2．⽤排列因数的⽅法求两个数的最⼤公约数⽅便吗？有没有⽐它简便的⽅法求最⼤公约数呢？今天我们就来研究求两个数的最⼤公因数简便⽅法。

．把18和24分解质因数。

如下：
2 1 8 2 2 4
3 9 2 1 2
3 2 6
3
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
⑴18有哪⼏个质因数？24呢？
⑵18和24相同的质因数有哪些？
⑶它们相同的质因数叫做什么，给它们起⼀个名字：公有的质因数
⑷18和24公有的质因数有哪⼏个？其它的2、2和3是公有的质因数吗？
那这些质因数叫做什么质因数，给它们起⼀个名字：独有的质因数
⑸你能根据18和24公有的质因数2和3计算出18和24所有的公因数吗？
⑹怎么计算的？哪个最⼤？最⼤的是怎么计算出来的？
⑺如果在2×3的后⾯再乘以⼀个质因数3，还是公约数吗？是最⼤公约数
吗？多乘⼏个质因数呢？
⑻如果在2×3的后⾯少乘以⼀个质因数3，还是公约数吗？是最⼤的公约
数吗？
⑼从这⾥可以看出：两个数的最⼤公因数是什么质因数的乘积？
板书：所有的公有质因数的乘积＝最⼤公约数
⑽“所有的公有质因数”是什么意思？你是怎么理解的？
⑾从这⾥可以看出：⽤分解质因数的⽅法求两个数的最⼤公约数先⼲什么？然后⼲什么？最后⼲什么？
18和24的最⼤公约数是：2×3＝6。

3．先把36和54分解质因数，再求出它们的最⼤公约数。

4．每道题都这样写⿇烦吗？能不能简化⼀下呢？怎样简化？怎样把两个短除法算式合并成⼀个除法算式呢？
2 1 8 2 4 ⽤公有质因数2除，
3 9 1 2 ⽤公有质因数3除，
3 4 3和4互质不除了。

18和24最⼤公约数是：2×3＝6。

5．⽤合并短除法算式的⽅法求36和54的最⼤公约数。

6、分解质因数（6分）
108 210 78
三、⽤短除法求最⼩公倍数
现在我们求这两个数的最⼩公倍数，能不能也来尝试⼀下这种⽅法？
请同学把6和4分解质因数。

2 6 2 4
3 2
6＝2 × 3
4＝2 × 2
提问：6包含有哪些质因数？4呢？ 6和4的质因数有什么特点？
【公有的质因数独有的质因数】
那么我们刚才找出来的最⼩公倍数12，包含有哪些质因数？【12＝2×2×3】12的质因数和6、4的质因数之间有什么联系？
得出：12的质因数⾥⾯包含有6和4公有的质因数，还有各⾃独有的质因数。

提问： 6和4的最⼩公倍数它是由哪些质因数相乘得到的？
【最⼩公倍数＝全部公有的质因数的积×各⾃独有的质因数】
练习。

填空。

（1）已知A＝2×5×5，B ＝2×5×7。

A和B全部公有的质因数有（），各⾃独有的质因数有（），A和B的最⼩公倍数是（）。

（2）30＝（）×（）×（） 18＝（）×（）×（） 30和18的最⼩公倍数是（）×（）×（）×（）＝（）
⽤短除法求最⼩公倍数
1、列两个短除法算式算最⼩公倍数⿇烦吗？
2 6 4
2 3
6和4的最⼩公倍数是2×2×3＝12。

提问：2是什么？2、3是什么？最⼩公倍数是怎样得到的？
上⾯我们⽤了好⼏种⽅法求6和4的最⼩公倍数，你认哪种⽅法最简便？
2、试⼀试。

⽤短除法求下⾯每组数的最⼩公倍数。

12和30 36和54
巩固练习
1、求下⾯每组数的最⼩公倍数。

24和36 16和18
2、判断下⾯各题是否正确，错在什么地⽅。

（1）16＝2×2×2×2
20＝2×2×5
16和20的最⼩公倍数是2×2×2×2×2×5＝160
（2
30和45的最⼩公倍数是3×5＝15【变成求最⼤公约数】
（3）
24和32的最⼩公倍数是2×2×6×8＝192【没有除到互质数】
课堂练习：
1．找出下列数中的合数，并把它们分解质因数。

20 29 45 53 91 102 117
2．求下⾯各组数的最⼤公因数。

50和7578和26 6和11 36和54
3．求下⾯各组数的最⼩公倍数。

15和2035和42 8、24和36 45、60和75
4、解决问题
（1）商店⾥运来75个⽟⽶，如果每15个装⼀筐，能正好装完吗？还可以怎么装？装⼏筐？
（2）⼩红家卧室的开关最初在关闭状态，现在如果不断开关，开关13次后，灯处于哪种状态？为什么？如果开关200呢？（3）6个红球与24个黄球，⼤⼩⼀样，分别装在同⼀种盒⼦⾥,每种球正好装完，每盒最多能装⼏个?这时共需⼏个盒⼦？
（4）1路和5路公共汽车早上7时同时从起点站发车。

1路车每隔6分发⼀班，5路车每隔9分发⼀班。

列表找出这两路车同时发车的时间，你发现了什么？
（5）果园⾥要种56棵梨树，如果每⾏的棵数⼀样，可以种⼏⾏？你有⼏种⽅案？哪种⽅案⽐较合适？说出理由。

（7）“⼩星星”体操队共有96⼈，要排成⼀个表演⽅阵，你认为应该怎样编队才整齐？
（8）李⽼师买了⼀箱矿泉⽔，4瓶4瓶数或5瓶5瓶数，都刚好数完。

这箱矿泉⽔⾄少有⼏瓶？
（9）李⽼师每隔3天去1次图书馆，王芳每隔4天去1次图书馆，6⽉30⽇她们都去图书馆，7⽉份同时去图书馆的⽇⼦有哪⼏天？
（10）501班上体育课，有34⼈参加跳绳活动，要分成5⼈⼀组，⾄少还要再来⼏个⼈？可以分成⼏组？
（11）五·⼀班部分同学参加植树活动，已经来了37⼈，5个⼈分成⼀组，⾄少还要来⼏个⼈，才能正好分完？
（12）⼩洪买了以下⼏本书，故事书10元⼀本，科技书8元⼀本，作⽂书7元⼀本。

给售货员50元，找回22元，对不对？为什么？
（13）有36块糖，分给⼩朋友，2块2块的分能正好分完吗？3块3块的分呢？5块5块的分呢?
⼀、填空
1．最⼩的⾃然数是( )；最⼩的奇数是( )；最⼩的偶数是( )；最⼩的质数是( )；最⼩的合数是( )。

2．即有因数2，⼜有因数3的最⼩数是( )；既有约数2，⼜有因数5的最⼩数是( )；既有因数3，⼜有因数5的最⼩的数是( )。

3．既不是质数，⼜不是偶数的最⼩⾃然数是( )；既是质数；⼜是偶数的数是( )；既是奇数⼜是质数的最⼩数是( )；既是偶数，⼜是合数的最⼩数是( )；既不是质数，⼜不是合数的最⼩数是( )；既是奇数，⼜是合数的最⼩的数是( )。

4．能同时被2、3、5整除的两位数是( )。

5．把390分解质因数是（390= ）。

6．除以2、5、3余数都是1的数，其中，最⼩的⼀个是( )。

7．2、5、10的最⼤公因数是( )，最⼩公倍数是( )。

8．甲数除以⼄数的商是15，甲⼄两数的最⼤公因数是( )；最⼩公倍数是( )。

9．从0、2、3、5、7五个数中，选四个数组成⼀个同时能被2、3、5整除的最⼩的四位数( )。

⼆、选择填空
1．两个不同质数的最⼤公因数是( )。

① 1 ②⼩数③⼤数
2．1.5能( )。

①整除3 ②被3整除③被3除尽
3．⼤于2的两个质数的乘积⼀定是( )。

①质数②偶数③合数
4．任意两个⾃然数的积是
( )。

①质数②合数③质数或合数
5．甲数的质因数⾥有2个2，⼄数的质因数⾥有3个2，它们的最⼤公因数⾥应该有( )。

①2个2 ②3个2 ③5个2
6．在100以内，能同时被3和5整除的最⼤奇数( )。

①95 ②90 ③75
7．a和b是互质数，a和b的最⼤公因数是( )；最⼩公倍数是( )。

①a ②b ③1 ④ab
三、分解质因数
①180 ②507 ③108 ④56
四、求出下列各数的最⼤公因数和最⼩公倍数（每⼩题2分，共12分）
五、24、20和36的最⼩公倍数是它们最⼤公因数的多少倍？
六、应⽤题
某学校同学们做操，把学⽣分为10⼈⼀组，14⼈⼀组，18⼈⼀组，都恰好分完，这个学校⾄少有多少个学⽣？
第⼀部分：公因数与最⼤公因数
知识点归纳：
1：公因数和最⼤公因数的意义
⼏个数公有的因数，叫做这⼏个数的公因数，其中最⼤的⼀个，称为这⼏个数的最⼤公因数。

注意：⼏个数的公因数必须包含它们公有的素因数（⾄少⼀个），⽽⼏个数的最⼤公因数必须包含它们全部公有的素因数。

2：互素的意义
若两个数的公因数只有1 ，则称这两个数互素，它和素数、素因数是绝对不同的概念，素数是指⼀个数除了1和本⾝以外没有别的因数的数。

当素数是⼀个合数的因数时，则称这个素数为这个合数的素因数。

3：求公因数和最⼤公因数的⽅法
若两个数互素，则它们的公因数为1.
若两个数之间存在倍数关系，则它们的最⼤公因数是其中较⼩的那个数。

若两个数既不互素，也不存在倍数关系，则⼀般可⽤短除法或者分解素因数法找到它们全部公有的素因数，这些素因数的积就是这两个数的最⼤公因数。

典例练习
1、⽤边长为6厘⽶、4厘⽶的正⽅形纸⽚分别铺长为18厘⽶、宽为12厘⽶的矩形。

哪种纸⽚能将矩形铺
满？
2、两个数的和是60 ，且它们的最⼤公因数为12 ，求这两个数。

3、若甲数= a×b×c ，⼄数= a×c ×d (a、b 、c 、d 是不同的素数)，则甲、⼄两数的
最⼤公因数是什么？
4、有12⽶长的铁丝8根，18⽶长的铁丝7根，要把它们截成⼀样长的铁丝，不浪费，截
下的铁丝要最长，铁丝长⼏⽶？可以截多少根？
5、⼩华在制作船模时，将三根长分别为12厘⽶，18厘⽶，和30厘⽶的⽊条截成同样长的
若⼲段，且都没有剩余，请你算⼀算每段最长是⼏厘⽶，⼀共截了多少段？
6、把⼀张长42厘⽶，宽30厘⽶的长⽅形，剪成⼤⼩⼀样的正⽅形⽽⽆剩余，剪成的正⽅形⾄少有⼏个？
7、甲、⼄、丙三⼈是朋友，他们每隔不同的天数去图书馆⼀次，甲3天去⼀次，⼄4天去
⼀次，丙5天去⼀次，有⼀天，他们三⼈恰好在图书馆相会，问⾄少再经过多少天他们三⼈⼜在图书馆相会？
8、1路、2路和5路公交车都从东站发车，1路车每隔10分钟发⼀辆，2路车每隔15分钟
发⼀辆，⽽5路每隔20分钟发⼀辆，当这三种线路的车同时发车后，⾄少要过多少分钟⼜有这三种路线同时发车？
9、有⼀个长⽅体⽊块，长60厘⽶，宽40厘⽶，⾼24厘⽶，如果要切成同样⼤⼩的⼩⽴⽅
体，这些⼩⽴⽅体的棱长最长是多少厘⽶？
10、⼀个数除253余1，除299余2，这个数最⼤是多少？
11、⼀条成直⾓形状的街道，⼀条街道长840⽶，另⼀条街道长720⽶，要在这条街道的右
侧等距离的装上路灯，且要求两端和转弯处都必须装灯，那么这条街道最少要装多少盏灯？
12、有三个素数，它们的乘积是1001，求这三个素数分别是多少？
13、某校购进72台同型号的录⾳机，由于发票上的字迹太淡，⾸尾两个数看不清楚，只能
看出应付的钱数是 5928元，你能推算出这次学校购买的录⾳机的单价和总价吗？
第⼆部分：公倍数与最⼩公倍数
知识点归纳：
1：公倍数和最⼩公倍数的意义
⼏个数共有的倍数叫做这⼏个数的公倍数，其中最⼩的⼀个，叫做这⼏个数的最⼩公倍数。

注意：⼏个数的公倍数⼀定含有⼏个数的所有素因数，⽽最⼩公倍数只包含它们公有的素数和各⾃独有的素数。

2：求两个数的最⼩公倍数的⽅法
若两个数互素，则它们的最⼩公倍数就是这两个数的积。

若两个数存在倍数关系，则它们的最⼩公倍数就是其中较⼤的那个数。

若两个数既不互素，也不存在倍数关系，可以⽤分解素因数法或者短除法找到它们公有的素因数和各
⾃独有的素因数。

3：求三个数的最⼩公倍数的⽅法
⽤分解素因数的⽅法和短除法求三个数的最⼩公倍数，⽤短除法求三个数的最⼩公倍数和求两个数的最⼩公倍数有所不同，⼀般步骤如下：
（1）先⽤三个数的公因数去除，除到三个数的商互素为⽌；
（2）再⽤每两个数的公因数去除，除到三个数的商成为两两互素（任意两个商都互素）为⽌；
（3）把这些除数和商相乘，所得的积就是所求的最⼩公倍数。

典例练习
1、若m = 2×2×3×5 , n = 2×3×3×7 ，则m 、n 的最⼩公倍数是什么？
2、若A×B = 144 ，A 和 B的最⼤公因数是6 ，那么它们的最⼩公倍数是多少？
3、⼀个数除以5、6、7都余1，求这个数的最⼩为多少？
4、⼀群俏⽼太跳⼴场舞，⽆论是4⼈或5⼈排⼀排，都恰好成整数⾏⽽且⽆剩余，问：这
些⽼太太⾄少有多少⼈，如果⼈数介于150⾄190之间，那么最多有多少位⽼太太？
5、⼀次会餐，每两⼈⽤⼀只蛋糕碟，三⼈⽤⼀只菜碗，四⼈⽤⼀只汤碗，结果最后统计会
餐的⼈共⽤去碗碟65只，请问：参加会餐的⼈数是多少？
6、⼀个零件加⼯⼚，共有50⼈，⽣产⼀种零件需要两道⼯序，第⼀道⼯序每个⼯⼈每⼩时
完成48个，第⼆道⼯序每个⼯⼈每⼩时可完成32个，怎样分配全体⼯⼈⽣产这种零件，才能使每道⼯序不产⽣积压或停⼯待料（不考虑开始和结束的情况）？
7、1×2×3×4×5×…×99×100的积的末尾有⼏个连续的0呢？
8、两个数的最⼤公约数是9 ，最⼩公倍数是72 ，求这两个数？
9、在机床上有甲、⼄两个齿轮相互咬合，甲齿轮有28个齿，⼄齿轮有42个齿，当两个齿
轮第⼆次咬合时，⼄齿轮转了⼏圈？
10、有0，1 , 5 , 6 , 7五张卡⽚，从中选出四张组成⼀个四位数，使得这个数能被2整
除，⼜能被3整除，这个数最⼤是多少？
11、从学校到少年宫的路上，⼀共有37根电线杆，原来每2根电线杆之间相距50⽶，现在
要改成每2根之间相距60⽶，除两端2根不动外，中间还有多少根不必移动？
12、⼀筐苹果不超过250个，3个3个的数，5个5个的数，7个7个的数都恰好数完，你
知道这筐苹果有多少个吗？
13、商店⾥有6箱货物，质量分别是16、17、18、19、20、31千克，两个顾客买⾛了其中
的五箱，已知⼀个顾客买的货物的质量是另⼀个顾客的2倍，问：商店⾥剩下的1箱货物的质量是多少千克？
14、500位同学站成⼀排，从左到右数“1,2,3”报数，凡是报到1和2 的离队，报3的留
下，向左看齐再重复同样的报数过程，如此进⾏了若⼲次后，只剩下两位同学了，这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第⼏个？
15、⼤雪后的⼀天，⼩亮和爸爸共同测⼀个圆形花园的周长，他俩⾛的起点和⽅向完全相同，
⼩亮每步长54厘⽶，爸爸每步长72厘⽶，由于两⼈的脚印有重合，所以各⾛完⼀圈后雪地上只留下60个脚印，求花园的周长。