2019届中考数学(遵义专用)专项训练课件：第13课时 二次函数的图象及性质

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考点三
二次函数图象与系数 a，b，c 的关系
【例 3】[2018· 滦南]如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶 点在第一象限，且过点(0，1)和(－1，0)，下列结论：①ab＜0；②b2＞4； ③0＜a＋b＋c＜2；④0＜b＜1；⑤当 x＞－1 时，y＞0.其中正确结论的个 数是
开口向下 ，因此，对于抛物线 若 a＜0，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的____________
b b 增大 ； 上的任意一点(x， y)， 当 x＜－2a， y 随 x 的增大而________ 当 x>－2a时，
4ac－b2 最大值 4a 减小 ；当 x＝－ b 时，y 有____________________ y 随 x 的增大而________ ． 2a
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【变式练习】 1．[2018· 安顺]已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，分析 下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2.其 中正确的结论有 B
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开口向上 ，因此，对于抛 (2)若 a＞0，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的____________
b 减小 ；当 物线上的任意一点(x，y)，当 x＜－2a时，y 随 x 的增大而__________
4ac－b2 b b 最小值 4a 增大 ； x＞－2a时， y 随 x 的增大而________ 当 x＝－2a， y 有_________________ ．
【解析】二次函数的图象(0≤x≤4)如题图，关于该函数在所给自变 量的取值范围内，x＝1 时，有最大值 2；x＝4 时，有最小值－2.5.故选 A．
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【变式练习】 1．[2018· 海州]关于二次函数 y＝－(x＋1)2＋2 的图象，下列判断正确 的是 D A．图象开口向上 C．图象有最低点 B．图象的对称轴是直线 x＝1 D．图象的顶点坐标为(－1，2)
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】①由开口向下，可得 a＜0，又由抛物线与 y 轴交于正半轴， 可得 c＞0，然后由对称轴在 y 轴左侧，得到 b 与 a 同号，则可得 b＜0， abc＞0，故①错误； ②由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b2－4ac＞0，故②正确； ③当 x＝－2 时，y＜0，即 4a－2b＋c＜0，(1) 当 x＝1 时，y＜0，即 a＋b＋c＜0，(2) 由(1)＋(2)×2，得 6a＋3c＜0，即 2a＋c＜0，
第13课时 二次函数的图象及性质
主要考查对二次函数有关概念的理解及对二次函数图象的认识． 具体要求 为： 1．理解二次函数的有关概念，知道给定不共线三点的坐标可以确定一个 二次函数． 2．会用描点法画出二次函数的图象，了解二次函数的性质．
3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，掌握二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图 象的对称轴，并能解决简单的实际问题． 4．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
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2．[2017· 澄海]已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(1，0)，B(－1， 0)，C(0，－2)．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．
解：把点 A(1，0)，B(－1，0)，C(0，－2)的坐标分别代入 y＝ax2＋ a＋b＋c＝0， a＝2， bx＋c，得a－b＋c＝0，解得b＝0， c＝－2， c＝－2， ∴抛物线的函数解析式为 y＝2x2－2，顶点坐标为(0，－2)．
2 2 2
＋bx(ab≠0)，y＝a(x－h) (a≠0) ____________________________________ ．
2
2．二次函数的图象 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的 图 象 是 对 称 轴 平 行 于 y 轴 的 一 条
抛物线 ． __________ y＝a(x－h) ＋k(a≠0) 由 y＝ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到的__________________________
B
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
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【解析】∵由抛物线开口向下，∴a＜0， ∵对称轴在 y 轴的右侧，∴b＞0， ∴ab＜0，故①正确； ∵点(0，1)和(－1，0)都在抛物线 y＝ax2＋bx＋c 上， ∴c＝1，a－b＋c＝0，∴b＝a＋c＝a＋1， 而 a＜0，∴0＜b＜1，故②错误，④正确； ∵a＋b＋c＝a＋a＋1＋1＝2a＋2，而 a＜0， ∴2a＋2＜2，即 a＋b＋c＜2，
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5．二次函数关系式的确定 (1)设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
y＝ax ＋ 三个点的坐标 ，则设一般式________
2
bx＋c(a≠0) ，将已知条件代入，求出 a，b，c 的值． ________________ y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ． (2)设交点式：___________________________
同 的 公 共 点 ， 它 们 的 坐 标 分 别 是
－b＋ b2－4ac b2－4ac ；当_______ Δ＝0 时，抛物线 y ，0，这两点的距离为 2a a b －b－ b2－4ac ，0 和 2a
顶点 －2a，0 ； ＝ax2＋bx＋c 与 x 轴只有一个公共点， 即为此抛物线的________________
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二次函数是中考的重点内容： 1．直接考查二次函数的概念、图象和性质等． 2．实际情境中构建二次函数模型，利用二次函数的性质来解释、解决实 际问题． 3．在动态的几何图形中构建二次函数模型，常与方程、不等式、几何知 识等结合在一起综合考查． 4．体现数形结合的思想、转化的思想、方程的思想.
【解析】∵－1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点．这个函数的 顶点是(－1，2)，对称轴是 x＝－1.故选 D．
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2．[2018· 潍坊]已知二次函数 y＝－(x－h)2(h 为常数)，当自变量 x 的 值满足 2≤x≤5 时， 与其对应的函数值 y 的最大值为－1， 则 h 的值为
2
图象．
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3．二次函数的性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质： (1)抛物线 y＝ax2＋bx＋c
b x＝－2a
2 b 4ac－b － ， 2 a 4 a ， 的顶点是________________ 对称轴是直线
对称轴 上． __________，顶点必在__________
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考点一
二次函数图象与性质
【例 1】[2018· 杭州]已知二次函数的图象(0≤x≤4)如图，关于该函数在所给 自变量的取值范围内，下列说法正确的是 A．有最大值 2，有最小值－2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5 C．有最大值 1.5，有最小值－2.5 D．有最大值 2，无最小值
A
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1 解：∵抛物线 y＝－3x2＋bx＋c 经过 A(3 3，0)，B(0，3)，
－9＋3 ∴ c＝3，
3b＋c＝0，
b＝2 3， 3 解得 c＝3，
1 2 3 ∴抛物线的解析式为 y＝－3x2＋ 3 x＋3.
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【变式练习】 1．[2017· 顺义]二次函数的部分图象如图所示，对称轴是 x＝－1，则 这个二次函数的表达式为 B A．y＝－x2＋2x＋3 B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝－x2＋2x－3 D．y＝－x2－2x＋3
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交点为(0，c) ． (3)抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 y 轴的________________
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(4)在二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，令 y＝0 可得到抛物线 y＝ax2＋bx＋
x轴交点 的情况： c 与____________
两个 不 当__________________ Δ＝b2－4ac＞0 ，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有________
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B
A．3 或 6 C．1 或 3
B．1 或 6 D．4 或 6
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【解析】如答图，当 h＜2 时，有－(2－h)2＝－1，解得 h1＝1，h2＝ 3(舍去)；当 2≤h≤5 时，y＝－(x－h)2 的最大值为 0，不符合题意；当 h ＞5 时，有－(5－h)2＝－1，解得 h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h 的值为 1 或 6.故选 B．
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∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，而抛物线的对称轴在 y 轴右侧，在直线 x＝1 的左侧， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点在(1，0)和(2，0)之间， ∴x＝1 时，y＞0，即 a＋b＋c＞0，∴0＜a＋b＋c＜2，故③正确； ∵x＞－1 时，抛物线有部分在 x 轴上方，有部分在 x 轴下方， ∴y＞0 或 y＝0 或 y＜0，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有 3 个．故选 B．
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x轴的两个交点 的坐标，则设交点式 若已知二次函数图象与 __________________
y＝a(x－x1) (x－x2)(a≠0) _____________________________ ，将第三点的坐标或其他已知条件代
入，求出待定系数 a，最后将关系式化为一般式．
y＝a(x－h) ＋k(a≠0) ． (3)设顶点式：_________________________
1.二次函数
y＝ax ＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) ，那么 y 叫做 x 的二 如果___________________________________________
2
次函数．
y＝ax (a≠0)，y＝ax ＋c(ac≠0)， y＝ax 几种特殊的二次函数：____________________________________________
答图
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(－2，4) ． 3． [2018· 哈尔滨]抛物线 y＝2(x＋2)2＋4 的顶点坐标为____________
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考点二
待定系数法求二次函数的解析式
1 【例 2 】 [2018· 宁夏改编]如图， 抛物线 y＝－3x2＋bx＋c 经过点 A(3 3， 0)和点 B(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线 l，顶点为 C.求抛物线的 解析式．
2
顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值 ， 若已知二次函数的 ____________________________________________ y＝a(x－h) ＋k(a≠0) ，将已知条件代入，求出待定系 则设顶点式 ________________________
2
数化为一般式.
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【解析】由图象知，抛物线的对称轴为直线 x＝－1，过点(－3，0)， (0，3)．设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)2＋k，将(－3，0)，(0，3)代入， 4a＋k＝0， a＝－1， 得 解得 则抛物线的解析式为 y＝－(x＋1)2＋4＝－ a＋k＝3， k＝4， x2－2x＋3.故选 D．


没有 公共点． 当_______ Δ＜0 时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴_______
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4．抛物线的平移 抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 形状相同，位置不同．把抛物线 y
向上(下)、向左(右) 平移，可以得到抛物线 y＝a(x－h)2＋k.平 ＝ax2______________________ h，k 的值来决定． 移的方向、距离要根据________