高考数学一轮复习 第五章 平面向量5.1平面向量的概念及其线性运算教学案 理 新人教A版

高考数学一轮复习 第五章 平面向量5．1平面向量的
概念及其线性运算教学案 理 新人教A 版
5．1 平面向量的概念及其线性运算
考纲要求
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念和向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．
4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有______又有______的量，
向量的大小叫做向量的______(或______) 平面向量是自由向量
零向量 长度为______的向量，其方向
是任意的
记作______
向量a 的单位向量 与非零向量a 同方向且长度
______的向量
非零向量a 的单位向量为a |a |
共线向量(平行向量) ______向量叫做共线向量(平
行向量)
0与任一向量______(共线)
相等向量 长度______且方向______的
向量
记作a ＝b
相反向量 长度______且方向______的
向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：a ＋b
＝____.
(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝______.
减法
求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差
三角形法则 a －b ＝a ＋(－b ) 数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
(1)|λa |＝______. (2)当λ＞0时，λa 与a 的方向____；当λ＜0时，λa 与a 的方向____；当λ＝0时，λa ＝____.
λ(μa )＝____；(λ＋μ)a ＝
______； λ(a ＋b )＝______.
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：__________.
1．给出下列命题：
①向量AB →与向量BA →
的长度相等，方向相反； ②AB →＋BA →
＝0；
③a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ④两个相等向量的起点相同，则其终点必相同； ⑤AB →与CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线，其中不正确的个数是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →
等于( )．
A ．2OA →－O
B → B ．－OA →＋2OB →
C ．23OA →－13OB →
D ．－13OA →＋23OB → 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )． A ．a ，b 方向相同
B ．a 与b 中至少有一个为零向量
C ． λ∈R ，使b ＝λa
D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0
4．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，共线的三点是__________．
5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →
＝__________(用a ，b 表示)．
一、向量的概念
【例1】 判断下列各命题是否正确． (1)零向量没有方向；
(2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；
(5)如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
(7)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →
； (8)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 方法提炼
1．平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
2．几个重要结论
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)平行向量与起点无关． 请做演练巩固提升1 二、向量的线性运算
【例2－1】 在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB ＝3，且AD →＝13AC →＋λAB →
(λ∈R )，则AD 的长为( )．
A ．1
B. 3
C ．2 3
D ．3
【例2－2】 如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →
＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：
(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →. 方法提炼
1．平面向量的线性运算法则的应用
三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量的和用平行四边形法则，差用三角形法则．
2．两个重要结论
(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 的中点，则OP →＝12
(OA →＋OB →
)．
(2)向量加法的多边形法则 A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.
提醒：当两个向量共线(平行)时，三角形法则同样适用．向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适用了．
请做演练巩固提升2,3 三、向量的共线问题
【例3－1】 设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1
－e 2.
(1)求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)若BF →
＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值． 【例3－2】 设两个非零向量a 与b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 方法提炼
1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
提醒：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．
请做演练巩固提升5
以向量为背景的新定义问题
【典例】 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→
(λ∈
R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )，且1λ＋1μ
＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2.已知平面上的点C ，
D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
解析：由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．
因为C ，D 调和分割点A ，B ，
所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →
，则1c ＋1d
＝2，选项A 中c ＝
1
2，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0＜c ＜1,0＜d ＜1，1c ＋1
d
＞2，也不正确，故选D.
答案：D 答题指导：
1．可通过特例、验证等方法理解新定义问题．
2．化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决． 3．“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办．
1．给出下列命题：
(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．
(4)λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )．
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
3．已知△ABC 和点M 满足M A →＋M B →＋M C →＝0，若存在实数m 使得A B →＋A C →＝mAM →
成立，则m ＝( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 4．(2012四川高考)设a ，b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |
成立的充分
条件是( )．
A ．|a |＝|b |且a ∥b
B ．a ＝－b
C ．a ∥b
D ．a ＝2b
5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，1
3
(a
＋b )三向量的终点在同一条直线上？
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．大小 方向 模 长度 0 0 为1个单位 方向相同或相反的非零 平行 相等 相同 相等 相反
2．b ＋a a ＋(b ＋c ) |λ|·|a | 相同 相反 0 (λμ)a λa ＋μa λa ＋λb 3．存在唯一的实数λ，使b ＝λa 基础自测
1．B 解析：②中AB ＋BA ＝0，而不等于0；③中a 或b 为零向量满足a 与b 平行，但不能说a 与b 方向相同或相反，因为零向量方向是任意的；⑤中AB 与CD 所在直线还可能平行，故②③⑤错．
2．A 解析：依题意得2(OC －OA )＋(OB －OC )＝0，所以OC ＝2OA －OB . 3．D 解析：A 中，a ，b 同向，则a ，b 共线，但a ，b 共线，a ，b 不一定同向． B 中，若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线，但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量．
C 中，当b ＝λa 时，a 与b 一定共线，但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立．
排除A ，B ，C ，故选D.
4．A ，B ，D 解析：AB ＋BC ＋CD ＝AD ＝3a ＋6b ，
∵AD ＝3AB ，∴A ，B ，D 三点共线．
5．b －12a 解析：BE ＝BC ＋CE ＝AD ＋12BA ＝b －12
a .
考点探究突破
【例1】 解：(1)不正确，零向量方向是任意的； (2)不正确；两向量模相等．方向不一定相同； (3)不正确；要看向量方向是否相同； (4)不正确；
(5)不正确；(6)正确；(7)不正确；(8)不正确，a ∥b ，两向量方向不一定相同． 【例2－1】 C 解析：如图所示，因为B ，D ，C 三点共线，
所以λ＋13＝1，即λ＝2
3
.
在AB 上取一点E 使AE ＝23AB ，在AC 上取一点F 使AF ＝1
3
AC ，
由AD ＝13AC ＋2
3
AB ＝AF ＋AE ，
可知四边形AEDF 为平行四边形， 又∠BAD ＝∠CAD ＝30°， 所以AEDF 为菱形．
因为AE ＝2
3
AB ，AB ＝3，
所以菱形的边长为2.
在△ADF 中，AD sin 120°＝DF
sin 30°，
所以AD ＝sin 120°·DF
sin 30°
＝2 3.
故选C.
【例2－2】 解：(1)AD －AB ＝BD ＝OD －OB ＝d －b . (2)AB ＋CF ＝OB －OA ＋CO ＋OF ＝b －a －c ＋f . 【例3－1】 解：(1)证明：由已知得
BD ＝CD －CB ＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，
∵AB ＝2e 1－8e 2，∴AB ＝2BD ， 又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．
(2)由(1)可知BD ＝e 1－4e 2，且BF ＝3e 1－k e 2，
由B ，D ，F 三点共线，所以存在实数λ，使得BF ＝λBD ， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， 得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12. 【例3－2】 (1)证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB 与BD 共线． ∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．
(2)解：∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .
∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .
∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝(λk －1)＝0. ∴k ＝±1. 演练巩固提升
1．C 解析：(1)错，两向量共线要看其方向而不是起点与终点；(2)对，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；(3)错，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；(4)错．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．
2．D 解析：∵a ＋b 与c 共线， ∴存在实数λ1，使得a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，
∴存在实数λ2，使得b ＋c ＝λ2a .② 由①得，b ＝λ1c －a .
∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0，λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝－1，λ2＝－1. ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.
3．B 解析：由已知条件可得M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，则AB ＋AC ＝2AD ，
又AM ＝2
3
AD ，故m ＝3.
4．D 解析：若a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b
|b |
是方向相同的单位向量，所以a 与b 应共线
同向，故选D.
5．解：设OA ＝a ，OB ＝t b ，OC ＝1
3
(a ＋b )，
∴AC ＝OC －OA ＝－23a ＋1
3
b ，
AB ＝OB －OA ＝t b －a .
要使A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使AC ＝λAD ，
即－23a ＋1
3b ＝λt b －λa ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2
3＝－λ，13＝λt .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2
3，t ＝1
2.
∴当t ＝1
2
时，三向量终点在同一直线上．。