2020-2021学年八年级数学苏科版下册9.4矩形、菱形、正方形 《正方形》能力提优(含答案)

八下数学《正方形》能力提优
(一)
知识点：1.正方形的四条边都相等，两组对边分别平行；2.正方形四个角都相等，都为90︒；3.正方形对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角；4.正方形是轴对称图形，有四条对称轴.
1.如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一动点，F 是边CD 上一动点，AF DE ⊥于点G .若点E 是BC 的中点，则DF = CD ；若BC nBE =，则DF = CD .
2.如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5,12AC BC ==，BAC ∠，ABC ∠的平分线交于点D ，过点D 作DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，则四边形DECF 的面积为 .
3.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，F 为CD 上一点，E 是AD 的中点，2DF =，点G 在BC 上，且EG AF ⊥，则BG 的长是 .
4.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC >，分别以,,AB BC CA 为一边向ABC 外作正方形,,ABDE BCMN CAFG ，连接,,EF GM ND ，设AEF ，CGM ，BND 的面积分别为123,,S S S ，则123,,S S S 的大小关系是 .
5.将n 个边长都为1 cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点12,,,n A A A …分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为 .
6.如图，正方形ABCD 的边长为4，G 是边BC 上的一点，且3BG =，连AG ，过点D 作DE AG ⊥于点E ，//BF DE 交AG 于点F ，则EF 的长为 .
7.如图，菱形ABCD 的面积为20，点,E F 在对角线BD 上，正方形AECF 的面积为10，则菱形的边长是 .
8.如图，在正方形ABCD 中，对角线202BD =，点,E F 分别在边AB ，对角线BD 上，
3,82AE DF ==，点G 在边BC 上，FG FE =，则BG 的长为 .
9.如图，在正方形ABCD 中，2AB =，延长AB 至点E ，使得1BE =，EF AE ⊥，
EF AE =.分别连接,,AF CF M 为CF 的中点，则AM 的长为 .
10.如图，P 是四边形ABCD 内一点，且满足,PA PB PC PD ==，APB CPD ∠=∠，,,,E F G H 分别为边,,,AB BC CD DA 的中点.
(1)请探究四边形EFGH 的形状;
(2)直接写出当题目还满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形;
11.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90︒到EF 的位置，连接,,AF CF BD ，且CF 与BD 交于点G .请探究,,AF DG BC 之间的数量关系.
12.如图，,P Q 为正方形ABCD 内两点，AB BQ =，且30ABQ ∠=︒，BP 平分QBC ∠，
BP DP =，若31BC =+，求线段PQ 的长.
13.在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，且45EAF ∠=︒.
(1)如图1，求证:BE DF EF +=(或CEF 的周长是正方形ABCD 周长的一半); (2)如图2，连接BD ，分别交AE 于点G ，交AF 于点H ，求证: 2
2
2
BG DH GH += ;
(3)如图3，直线EF 与,AB AD 的延长线分别交于点,M N ，若45CEF ∠=︒，求
证:2
2
2
EF ME NF =+ ;
(4)如图4，将(3)中的正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出
线段,,EF BE DF 之间的数量关系.
变式一：如图，,E G 分别是正方形ABCD 的边,CD BC 上的点，连接,AE AG 分别交对角线BD 于点,P Q .若45EAG ∠=︒，4,3BQ PD ==，求正方形ABCD 的边长.
变式二：如图，点,,,E F G H 分别在正方形ABCD 的边,,,AB CD BC DA 上，EF 和GH 交于点O ，135HOE ∠=︒，45GH =，8DC =，求EF 的长.
变式三：如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在,BC CD 上，45EAF ∠=︒. (1)当F 是CD 中点时，求证:2CE BE =; (2)当2CE BE =时，求证:DF CF =.
变式四:如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(0,12)A ，四边形OABC 为正方形，
D 为x 轴上一点，且8OD =，Q 为y 轴正半轴上一点，且45DBQ ∠=︒，求点Q 的坐标.
变式五：如图，在四边形ABCD 中，,,AB AD E F =分别为边,CD BC 上的点，且2BAD EAF ∠=∠，试探究当B ∠与D ∠满足什么关系时，DE BF EF +=.
14.如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为AD 上一点，连接,BE BF ，且
25BE =2FBC ABE ∠=∠.求DF 的长.
15.如图，边长为4的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,E F 分别在,AB BC 上( AE BE <)，且90EOF ∠=︒，,OE DA 的延长线交于点,,M OF AB 的延长线交于点N ，连接,MN E 为OM 的中点，求MN 的长.
16.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 上一点，BF 平分CBE ∠. (1)若E 为AD 的中点，求CF 的长;
(2)请直接写出,AE CF 和BE 之间的数量关系.
(二)
1.以正方形ABCD 的边AD 为一边作等边三角形ADE ，则BEC ∠的度数是 .
2.如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点,E F 分别在,AD DC 上，2AE DF ==，BE 与AF 相交于点,G H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 .
3.如图，在正方形ABCD 中，10,AB P =是正方形边上一点。

若3PD AP =，则线段AP 的长是 .
4.如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为(2,3)，则点F 的坐标为 .
5.如图，E 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，过点E 作EF CD ⊥于点F ，EG AD ⊥于点G ，连接GF .求证:BE FG ⊥.
6.如图，在ABC 中，
,BD CE 分别是边,AC AB 上的中线，BD 与CE 相交于点,O M 和N 分别为,OB OC 的中点，连接,,,ED EM MN ND .
(l)当ABC 满足什么条件时，四边形DEMN 是矩形?给出你的结论并证明; (2)若四边形DEMN 是正方形，2BC =，求AB 的值.
7.如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点,E F 分别在,CD AD 上，,,CE DF BE CF =相交于点G .若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，求BCG 的周长.
8.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一动点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接AC 交EF 于点Q .请探究,,AQ CQ CF 之间的数量关系.
9.如图，G 为正方形ABCD 边CD 的中点，CF AG ⊥，CF 交AG 于点E ，交BD 于点F .在AG 的延长线上取点H ，使AB CH =，DCH ∠的角平分线交AH 于点K ，连接,,BE BK DH . (1)求证:ABE 是等腰三角形; (2)求证:2CK BK AK +=;
(3)求证://BK DH .
10.如图，点E 在正方形ABCD 的边DA 的延长线上，连接BE ，过点B 作BF BE ⊥交边CD 于点F ，连接EF ，作DFE ∠的角平分线交BD 于点G ，过点G 作GH EF ⊥于点H .求证:22EF BC GH =-.
11.如图，在正方形ABCD 中，M 为AB 上一点，DM 交AC 于点G ，DM 的垂直平分线
PQ 交AC 于点Q ，交正方形的边于点,E F ，连接MQ .
(1)求证:AQM ADM ∠=∠; (2)求证:2BM CQ =
;
(3)求证:2AB AM AQ +=
;
(4)求证: 2
2
2
AG QC GQ +=; (5)求证:PQ PE QF =+.
12.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点(不与点,A B 重合)，连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH . (1)求证:GF GC =;
(2)用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明.
13.已知在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点M 在线段BD 上，延长AM 交DC 于点E ，过点D 作DH AE ⊥于点H ，直线DH 交AC 于点N . (1)如图1，当点M 在线段BO 上时，求证:MO NO =;
(2)如图2，当点M 在线段OD 上时，连接NE ，当//EN BD 时，求证:BM AB =.。