符号函数及其微积分

符号函数及其微积分
一、符号函数计算 MA TLAB 中的符号函数计算主要有复数计算、复合函数计算和反函数计算。

这些有关的符号函数的计算命令及说明列于表2—1。

实例1、求12sin ,3
-==x u u u f 的复合函数
>> syms x y z u t %定义符号变量
>> f=u^3;g=sin(2*x-1); %定义符号表达式f,g >> compose(f,g) %求f,g 的复合函数 ans =
sin(2*x-1)^3
>> compose(f,g,t) %求f,g 的复合函数，再将自变量x 换为t ans =
sin(2*t-1)^3
实例2、求
x 2x 1
,22+--e x
的反函数。

>> finverse(exp(2*x)-2) %求22-e x
的反函数 ans =
1/2*log(2+x)
>> finverse((1-x)/(2+x)) %求x 2x
1+-的反函数
ans =
-(2*x-1)/(1+x)
二、绘制二维图形 1、图形窗口及其操作 MA TLAB 中不仅有用于输入各种命令和操作语句的命令窗口，而且有专门用于显示图形和对图形进行操作的图形窗口。

图形窗口的操作可以在命令窗口输入相应命令对其进行操作，也可以直接在图形窗口利用图形窗口的本身所带的工具按钮、相关的菜单对其进行操作。

下面将介绍一些对图形窗口进行基本操作的命令和函数。

（1） 图形窗口操作命令
对图形窗口的控制和操作的命令很多，这里主要介绍常用的figure 、shg 、clf 、clg 、home 、hold 、subplot 等常用命令。

它们的调用格式及有关说明了见表2—2。

（2）坐标轴、刻度和图形窗口缩放的操作命令
MA TLAB中对图形窗口中的坐标轴的操作命令是axis，坐标刻度的操作命令是xlim、ylim、zlim等，其使用方法见表2—3，表2—4。

不管是在二维绘图还是在三维绘图当中，在所有能产生线条的命令中一律用参数S来定义线条的线型、点型和颜色。

在绘图命令中参数S的输入采用字符串形式，两端加单引号。

有关线型、点型和颜色的定义见表2—5、表2—6、表2—7。

例如：
plot(x,y,'-*k)表示绘制的曲线用实线，数据点（x,y）用星号*绘出，曲线和数据点都用黑色。

fplot('fun',lim,'-.r')表示绘制参数fun决定的函数在参数lim给定范围内的曲线，曲线用红色的点划线绘出。

当参数S省略时，则使用系统默认的线型和颜色绘制图形。

2、二维图形的绘制 MA TLAB 具有强大的图形处理功能，不管是二维图形还是三维图形，作图方法都非常简便。

绘制二维图形有很多，现在把常用的四个绘图函数的函数名、功能列表如下（见表2—2）：
（1）向量作图
在利用向量作图时，首先要创建一个有值的向量，然后对这个向量的每一个元素求另一向量函数值，最后画出向量图形。

实例3、画出x y 2
=在[0，2]上的图象，操作如下：
>> X=[0:1/10:2]; %创建向量X ，确定X 的范围 >> Y=X.^2; %创建向量Y ，确定Y 的范围 >> plot(X,Y) %绘图 绘制出的图形见图2—1。

图2—1 y=x 2
在[0，2]上的图形
（2）函数作图 利用MA TLAB 自带的作图函数作二维或三维图形，既方便又快捷。

实例4、作
x y 1
sin
在[-2，2]上的图形，操作及结果如下：
>> fplot('sin(1/x)',[-2,2]) 绘制出的图形见图2—2。

图2—2 y=sin1/x 在[-2，2]上的图形
（3）极坐标绘图
实例5、绘制心形线r=2(1-cos θ)的极坐标图形。

在命令窗口输入以下命令：
>> theta=[0:0.01:2*pi]; %建立数据点向量theta
>> polar(theta,2*(1-cos(theta)),'-k') %绘制r=2(1-cos θ)的极坐标图形 绘制的心形线如图2—3所示。

图2—3 心形线r=2(1-cos θ)的极坐标图形
实例6、绘制e y x
2
-=在[－3，3]上以0.3为步长各数据点的条形图。

操作如下：
>> X=[-3:0.3:3]; %创建向量X ，并设置数据点 >> bar(X,exp(-X.^2)) %绘制函数在各数据点的条形图 绘制出的图形见图2—4。

图2—4 e y x
2
-=在[－3，3]上的条形图
实例7、在同一窗口用不同的线型绘制y=sinx,y =cosx 在[0,2π]上的图象，并加上标注。

在命令窗口输入如下命令：
>> [x,y]=fplot('sin',[0 2*pi]); %计算[0,2π]上sinx 的数据 >> [x1,y1]=fplot('cos',[0 2*pi]); %计算[0,2π]上cosx 的数据 >> plot(x,y,'-r',x1,y1,'-.k') %绘制不同线型的两根曲线 >> legend('y=sinx','y=cosx') %加图形标注 绘制出的图形见图2—5。

图2—5 在同一窗口不同线型绘制的y=sinx,y =cosx 在[0,2π]上的图象
三、符号函数的极限
函数的极限是微积分的基础，它的概念贯穿微积分的始终。

在MA TLAB7.0中，系统给出了多种求函数极限的运算函数，使得原本在高等数学中较为复杂的函数极限的求解变得简单容易。

现将符号函数的极限的运算函数列于表2—3。

实例8、求极限11lim
2
1--→x x x 的操作过程和结果如下：
>> syms x a ; %定义符号变量x 和a
>> limit((x^2-1)/(x-1),x,1) %求函数（x 2-1）/(x-1)当1→x 时的极限
ans = 2
实例9、求极限x x x sin lim
0→和x x
a x sin lim
→
>> limit(sin(x)/x,x,0) ans = 1
>> limit(sin(x)/x,x,a) ans = sin(a)/a
实例10、求arctanx 当+∞→x 和-∞→x 时的极限，求tanx 当2π
→
x 时的左、右极限。

>> syms x t y %定义符号变量 >> f=atan(x); %定义符号函数
>> limit(f,x,-inf) %计算-∞→x 时的极限，－inf 表示负无穷大
-1/2*pi
>> limit(f,x,inf) %计算+∞→x 时的极限，inf 表示正无穷大 ans = 1/2*pi
>> f=tan(x) %定义符号函数 f = tan(x)
>> limit(f,x,pi/2,'left') %求2π
→
x 时的左极限
ans = Inf
>> limit(f,x,pi/2,'right') %求2π
→
x 时的右极限
ans = -Inf
实例11、按系统默认自变量求函数y x t
x --22自变量趋近于0和3时的极限值。

>> f=(x^2-t^2)/(x-y); %定义符号函数
>> limit(f) %求自变量趋近于0时的极限值 ans = t^2/y
>> limit(f,3) %求自变量趋近于3时的极限值 ans =
(-9+t^2)/(-3+y)
实例12、求符号矩阵()()()⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++---x x x x x x e e e e x
x x
x 3ln 2ln 1ln 2sin cos sin 2当0→x 时的左极限。

>> A=[exp(x) exp(-x) (exp(x)-exp(-x))/2;sin(x) cos(x) sin(2*x);log(1+x) log(2+x) log(3+x)];
%定义符号矩阵A
>> limit(A,x,0,'left') %求符号矩阵每一个元素当0→x 时的左极限 ans =
[ 1, 1, 0] [ 0, 1, 0] [ 0, log(2), log(3)]
四、符号函数的导数 在MA TLAB 中求符号函数的导数是使用微分函数diff 实现的，该函数的调用格式如下表（见表2—4）。

实例13、求函数1cos 2-=x a y 和x a y 3
sin =的一阶导数的操作如下： >> diff(cos(a*x^2-1),'x')
-2*sin(a*x^2-1)*a*x >> diff(sin(a*x^3)) ans =
3*cos(a*x^3)*a*x^2
实例14、求函数(
)
2x
x
x e
+和x ln ln ln 的一阶和三阶导数。

>> syms x y t u v z a b %定义符号变量 >> S=exp(x)*(sqrt(x)+2^x); %定义符号函数
>> diff(S) %计算符号函数的一阶导数 ans =
exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2))
>> diff(S,3) %计算符号函数的三阶导数 ans =
exp(x)*(x^(1/2)+2^x)+3*exp(x)*(1/2/x^(1/2)+2^x*log(2))+3*exp(x)*(-1/4/x^(3/2)+2^x*log(2)^2)+exp(x)*(3/8/x^(5/2)+2^x*log(2)^3)
>> S=log(log(log(x))); %定义符号函数
>> diff(S) %计算符号函数的一阶导数 ans =
1/x/log(x)/log(log(x))
>> diff(S,3) %计算符号函数的三阶导数 ans =
2/x^3/log(x)/log(log(x))+3/x^3/log(x)^2/log(log(x))+3/x^3/log(x)^2/log(log(x))^2+2/x^3/log(x)^3/log(log(x))+3/x^3/log(x)^3/log(log(x))^2+2/x^3/log(x)^3/log(log(x))^3
实例15、求隐函数
xy y x 332=+的一阶导数。

>> S=x^2+y^3-3*x*y; %定义符号表达式
>> -diff(S,x)/diff(S,y) %由dy/dx=-F x /F y 计算表达式中y 对x 的导数 ans =
(-2*x+3*y)/(3*y^2-3*x) 五、符号一元函数的积分 MA TLAB 中对符号函数的积分是通过调用函数int 实现的。

调用格式如下表（见表2—11）。

表2—11 符号积分函数int 的调用格式
实例16、计算不定积分⎰⎰⎰+++-xdx
e x x dx dx x x x x
3cos ,1 ,25124722242
>> syms x y z a b %定义符号变量 >> S=(2*x-7)/(4*x^2+12*x+25); %定义符号表达式
>> int(S) %对符号表达式求不定积分 ans =
1/4*log(4*x^2+12*x+25)-5/4*atan(1/2*x+3/4)
>> S=1/(x^4*sqrt(1+x^2)); %定义符号表达式
>> int(S) %对符号表达式求不定积分 ans =
-1/3/x^3*(1+x^2)^(1/2)+2/3/x*(1+x^2)^(1/2)
>> S=exp(2*x)*cos(3*x) %定义符号表达式 S =
exp(2*x)*cos(3*x)
>> int(S) %对符号表达式求不定积分ans =
2/13*exp(2*x)*cos(3*x)+3/13*exp(2*x)*sin(3*x)
实例17、求定积分
⎰
⎰
⎰∞+
∞
-
+ -
dx
x
xdx
x
dx
x
x
2
2
2
2
1
2
2
4
1
1
,
sin
,
1
及广义积分
π
>> syms x y z a b %定义符号变量
>> S=x^2/sqrt(1-x^2); %定义符号表达式
>> int(S,0,1/2) %计算符号表达式在区间[0，1/2]上的定积分ans =
-1/8*3^(1/2)+1/12*pi
>> S=x*sin(x)^2; %定义符号表达式
>> int(S,0,pi/2) %计算符号表达式在区间[0，π/2]上的定积分ans =
1/16*pi^2+1/4
>> S=1/(1+4*x^2); %定义符号表达式
>> int(S,-inf,inf) %计算符号表达式在区间()
+∞
∞
-,上的广义积分
ans = 1/2*pi。