数学高考误点特别提醒

2022数学高考误点特别提醒
710100 陕西省西安航天中学 王鹏飞〔wpf_1999@163 〕
在高考备考的过程中,熟化这些解题小结论,预防解题易误点的产生,对提升高考数学成绩将会起到较大的作用．
1． 集合 A 、B,∅=⋂B A 时,你是否注意到“极端〞情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子
集时是否忘记∅. 例如：()()02222
<-+-x a x a 对一切R x ∈恒成立,求a 的取植范围,你讨论了a ＝2的情况了吗？
2． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
为，n 2，12-n ，12-n .22-n
3． B C A C B A C I I I ⋂=⋃)(, B C A C B A C I I I ⋃=⋂)(. “p 且q 〞的否认是“非p 或非
q 〞,“p 或q 〞的否认是“非p 且非q 〞.在反证法中的相关“反设〞你清楚吗？
4． “≥〞的涵义你清楚吗？不等式(0x -的解集是{}|3
x x ≥对吗？ 5． 假设A ⇔B,那么求B 成立的一个充分不必要条件C,只需C
A ；求
B 成立的一个必要不
充分条件C,只需A C. 6． 从集合A 到集合B 的映射,只要求A 中的每一个元素在B 中有唯一的象即可.在排列组合
中的映射计数问题,一定要找到每一个元素的象,分步完成构建第一个映射,按分步计数原理计数.
7． 函数的几个重要性质：
①如果函数()x f y =对于一切R x ∈,都有()()x a f x a f -=+,那么函数()x f y =的
图象关于直线a x =对称⇔()y f x a =+是偶函数.
②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；
函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；
函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.
③函数()x a f y +=与函数()x a f y -=的图象关于直线0=x 对称.
④假设奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数,那么()x f y =在区间()0,∞-上
也是递增函数．
⑤假设偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数,那么()x f y =在区间()0,∞-上
是递减函数．
⑥函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位
得到的；
⑦函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移
a 个单位得到的；
⑧函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;
⑨函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.
⑩函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的
a 1得到的；
⑾函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.
8． 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗？
9． 函数与其反函数之间的一个有用的结论：()().b f 1a b a f
=⇔=-原函数与反函数图象的交点不全在y=x 上；()1y f
x a -=+只能理解为()x f y 1-=在x+a 处的函数值. 10． 原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增,那么一定存在反函数,且反函数
()x f
y 1-=也单调递增；但一个函数存在反函数,此函数不一定单调． 11． 判断一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充
分条件了吗？假设f(x) 偶函数,那么f(x)=f(|x|),这一性质在预防相关分类讨论中有非常重要作用,你知道吗？
10．根据定义证实函数的单调性时,标准格式是什么？(取值, 作差, 判正负.);根据导数法研究
函数单调性时,一定要注意“()'f
x >0(或()'f x <0)是该函数在给定区间上单调递增〔减〕的必要条件.
11．你知道函数()0,0>>+=b a x b
ax y 的单调区间吗？〔该函数在(]
ab -∞-,或[)+∞,ab 上单调递增；在[)0,ab -或(]
ab ,0上单调递减〕这可是一个应用广泛的
函数！
12．切记f(0)=0是定义在R 上的y=f(x)为奇函数的必要条件.
13．抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义求解.同时,
要领会借助函数单调性利用不等关系证实等式的重要方法：f(a)≥b 且f(a)≤b ⇔f(a)=b.
14．对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗？〔真数大于零,底数大于零且不
等于1〕字母底数还需讨论呀.
15．数的换底公式及它的变形,你掌握了吗？〔b b a b b a n a c c a n log log ,log log log ==
〕 16．你还记得对数恒等式吗？〔b a
b a =log 〕 17．“实系数一元二次方程02=++
c bx ax 有实数解〞转化为“042≥-=∆ac b 〞,你是
否注意到必须0≠a ；当a=0时,“方程有解〞不能转化为042
≥-=∆ac b ．假设原题中没有指出是“二次〞方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
18．等差数列中的重要性质：()n m a a n m d =+-；假设q p n m +=+,那么q p n m a a a a +=+
等比数列中的重要性质：n m n m a a q -=；假设q p n m +=+,那么q p n m a a a a ⋅=⋅．
19．你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时,需要分类讨论．〔1=q 时,1na S n =；1
≠q 时,q
q a S n n --=1)1(1〕 20．无穷递缩等比数列所有项和1lim 11k n k x S a S S q q
→∞===--〔0<|q|<1〕 21．等比数列的一个求和公式：设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比为q , 那么
n m m n m S q S S +=+．
22．等差数列的一个性质：设n S 是数列{}n a 的前n 项和,{}n a 为等差数列的充要条件是
bn an S n +=2 〔a, b 为常数〕其公差是2a.
23．你知道怎样的数列求和时要用“错位相减〞法吗？〔假设n n n b a c =,其中{}n a 是等差数
列,{}n b 是等比数列,求{}n c 的前n 项的和〕
24．用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时,a n 一般是分段形式对吗？你注意到11S a =了
吗？
25．你还记得裂项求和吗？〔如1
11)1(1+-=+n n n n 〕；叠加法：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+；叠乘法：121211n
n n n a a a n a a a a a ---=. 26．你知道lim n n q →∞的结果吗？需要讨论吗？ n q 有极限时,那么1<q 或1=q ,在求数列
{}n q 的极限时,你注意到q ＝1时,1=n q 这种特例了吗？〔例如：数列的通项公式为()n n x a 13-=,假设{}n a 的极限存在,求x 的取植范围. 正确答案为3
20≤<x .〕 27．假设lim()n n n pa qb A →∞+=,lim()n n n ta sb B →∞+=,那么求lim()n n n ha kb →∞
+时能否用由lim lim n n n n p a q b A →∞→∞+=,lim lim n n n n t a s b B →∞→∞+=解方程组得lim n n a →∞、lim n n b →∞
而获解？ 28．数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题？〔数列是特殊函数,但其“定义域〞中的值不是连续的.〕
29．在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余
弦函数的有界性了吗？在△ABC 中,sinA>sinB ⇔A>B 对吗? 30．一般说来,周期函数加绝对值或平方,其周期减半．〔如x y x y sin ,sin 2
==的周期都是π, 但x x y cos sin +=及x y tan =的周期为2
π,〕 31．函数x y x y x y cos ,sin ,sin 2===是周期函数吗？〔都不是〕
32．正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称轴、对称中央你知道吗？
33．在三角中,你知道1等于什么吗？〔x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=
====⋅=0cos 2sin 4tan cot tan π
π
x x 这些统称为1的代换) 常数 “1〞的种种
代换有着广泛的应用．
34．在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换．〔如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222等〕 35．你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、
且能求出值的式子,一定要算出值来〕
36．你还记得三角化简的通性通法吗？〔从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的
技巧有：切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角,异名化同名,高次化低次〕
37．你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ 〔4
1518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒〕 38．你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 21,=
=扇形α) 39． 辅助角公式：()θ++=
+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定,θ角的值由a
b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 40．在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时,你是
否注意到它们各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是
],0[],2,0[,2,0πππ⎥⎦
⎤ ⎝⎛. ②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是)2,0[),,0[),,0[πππ．
③向量的夹角的取值范围是[0,π]
41．假设,a b R b a λλ⇔∃∈=对吗？〔0a ≠〕；,a b b c a c ⇒,a b =b c ⇒a c =, a b =0⇒a =0或b =0,()a b c =()a b c 呢？
42．假设11(,)a x y =,22(,)b x y =,那么a b ,a b ⊥的充要条件是什么？
43．共线向量模相等是否等价于向量相等？
44．22||a a =.在向量长度求两向量夹角时注意用此关系整体求得数量积a b .
45．假设a 与b 的夹角θ,且θ为钝角,那么cos θ<0对吗？
46．a 在b 方向上的投影为||a b b ；假设a 是与b 平行的向量,那么a =||||
b a b ⋅ 47．把y=f(x)图象向左移动|h|个单位,向上移动|k|个单位,那么平移向量是a =(-|h|,|k|).
48．不等式的解集的标准书写格式是什么？〔一般要写成集合的表达式〕
49．分式不等式()()
()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？〔移项通分〕 50．解无理不等式有哪几种常规题型？它们的等价不等式组是怎样的？
()()()()()()()[]
⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧<≥⇔>2000x g x f x g x g x f x g x f 或； ()()()()()()[]
;002⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<x g x f x g x f x g x f ()()()()()().00⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>x g x f x g x f x g x f
51．解指对不等式应该注意什么问题？〔指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于
零.〕
52．含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论) 53．利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab 等求函数的最值时,你是否注意到a,b +∈R 〔或a ,b 非负〕,且“等号成立〞时的条件,积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？
54．在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论？〔特别是指数和对数的底10<<a 或1>a 〕
讨论完之后,要写出：综上所述,原不等式的解是……．
55．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为根底,分类讨论是关键．〞
56．恒成立不等式问题通常解决的方法：借助相应函数的单调性求解,其主要技巧有数形结
合法,别离变量法,主元法.
57．直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局
限性.〔如点斜式不适用于斜率不存在的直线〕
58．设直线方程时,一般可设直线的斜率为k,你是否注意到直线垂直于x 轴时,斜率k 不存在
的情况？〔例如：一条直线经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--23,3,且被圆2522=+y x 截得的弦长为8,求此弦所在直线的方程.该题就要注意,不要漏掉x+3=0这一解.〕
59．简单线性规划问题的可行域求作时,要注意不等式表示的区域是相应直线的上方、下方,
是否包括边界上的点.
60．对不重合的两条直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有
⎩⎨⎧≠=⇔1
221122121//C A C A B A B A l l ； 0212121=+⇔⊥B B A A l l ． 61．直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. 62．直线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为1=+b
y a x ,但不要忘记当 a=0时,直线y=kx 在两条坐标轴上的截距都是0,也是截距相等．
63．处理直线与圆的位置关系有两种方法：〔1〕点到直线的距离；〔2〕直线方程与圆的方程
联立,判别式. 一般来说,前者更简捷．
64．处理圆与圆的位置关系,可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
65．在圆中,注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.
66．定比分点的坐标公式是什么？〔起点,中点,分点以及λ值可要搞清〕
67．在利用定比分点解题时,你注意到1-≠λ了吗？
68．曲线系方程你知道吗？直线系方程？圆系方程？共焦点的椭圆系,共渐近线的双曲线
系？
69．两圆相交所得公共弦方程是两圆方程相减消去二次项所得.x 0x+y 0y=r 2 表示过圆
x 2+y 2=r 2上一点〔x 0,y 0〕的切线,假设点〔x 0,y 0〕在圆外,x 0x+y 0y=r 2 表示什么？〔切点弦〕
70．椭圆方程中三参数a 、b 、c 的满足a 2+b 2=c 2对吗？双曲线方程中三参数应满足什么关系？
71．椭圆中,注意焦点、中央、短轴端点所组成的直角三角形．〔a,b,c 〕
72．假设|PF 1|+|PF 2|=2a,那么动点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆？假设||PF 1|-|PF 2||=2a,那
么动点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线,对吗？
73．在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一
般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
74．在利用圆锥曲线统一定义解题时,你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？
75．在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为
零？判别式0≥∆的限制．〔求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在0>∆下进行〕.
76．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
77．过抛物线y 2=2px(p>0)焦点的弦交抛物线于A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),那么y 1y 2=-p 2, x 1x 2=?|AB|=
x 1+x 2+p.
78．假设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)是二次曲线C ：F(x,y)=0的弦的两个端点,那么F(x 1,y 1)=0 且
F(x 2,y 2)=0.涉及弦的中点和斜率时,常用点差法作F(x 1,y 1)-F(x 2,y 2)=0求得弦AB 的中点坐标与弦AB 的斜率的关系.
79．作出二面角的平面角主要方法是什么？〔定义法、三垂线法、垂面法〕三垂线法：一定
平面,二作垂线,三作斜线,射影可见.
80．求点到面的距离的常规方法是什么？〔直接法、体积变换法、向量法〕
81．你知道三垂线定理的关键是什么吗？〔一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键〕
一面四直线,立柱是关键,垂直三处见.
82．立体几何中常用一些结论：正四面体的体积公式V=
312
a 记住了吗？面积射影定理、“立平斜关系式〞、最小角定理等你熟悉吗？
83．异面直线所成角利用“平移法〞求解时,一定要注意平移后所得角是所求角或其补角.
84．平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题,要注意翻折、展开前后有关几何元素的
“不变量〞与“不变性〞.
85．棱体的顶点在底面的射影何时为底面的内心、外心、垂心、重心？
86．解排列组合问题的依据是：分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合．
87．解排列组合问题的规律是：元素分析法、位置分析法——相邻问题捆绑法；不邻问题插
空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．
88．二项式定理中,“系数最大的项〞、“项的系数的最大值〞、“项的二项式系数的最大值〞
是同一个概念吗？
89．求二项展开式各项系数代数和的有关问题中的“赋值法〞、“转化法〞,求特定项的“通
项公式法〞、“结构分析法〞你会用吗？
90．“两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件.〞“如果两个事件是相互独立事
件,那么它们一定不是互斥事件.〞“假设A 是一随机事件,那么P 〔A A 〕= P 〔A 〕P 〔A 〕.〞“概率等于1的事件一定是必然事件,概率为零的事件一定是不可能事件.〞以上命题哪些是正确的呢？
91．公式P 〔A+B 〕= P 〔A 〕+P 〔B 〕,P 〔AB 〕= P 〔A 〕P 〔B 〕的适用条件是什么？
92．用样本估计总体时,假设两总体的期望相等,能否说两总体的“集中程度〞一样？
93．假设检验中,依据的是实际推断原理：“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.〞推断
的方法类似于通常使用的反证法.
94．在数学归纳法归纳递推过程中,一定要注意从n=k 到n=k+1时,相关的f(k)到f(k+1)时项
的变化.
95．函数y=f(x)在x=x 0处连续,对y=f(x)有什么要求？
96．函数y=f(x)在x=x 0处连续是函数y=f(x)在x=x 0处可导的什么条件？
97．()'0f x =0是可导函数y=f(x)在x=x 0处有极值的必要条件,对吗？
98．在复平面上,原点是不是虚轴上的点？虚轴上点的坐标特征是：〔0,bi 〕,是吗？
99．解直做题〔选择题和填空题〕的特殊方法是什么？(直接法,数形结合法,特殊化法,推理
分析法,排除法,验证法,估算法等等)
100．等价转化是探究充要条件的有效途径,但有时利用必要条件解题往往能起到简化求解之
功.
101．解容许用型问题时,最根本要求是什么？〔审题、找准题目中的关键词,设未知数、列出
函数关系式、代入初始条件、注明单位、答〕
102．解答开放型问题时,需要思维广阔全面,知识纵横联系．如探索性问题先假设存在相应结
果,再以此寻找问题成立的充分条件是否存在.对综合分析水平、逻辑思维水平运算水平等要求较高.
103．解答信息型问题时,透彻理解问题中的新信息,这是准确解题的前提．
104．解代数推理问题时,要有较高的逻辑分析水平和推理水平.
105．解答多参型问题时,关键在于恰当地引出参变量,想方设法摆脱参变量的困绕．这当中,参变量的别离、集中、消去、代换以及反客为主等策略,似乎是解答这类问题的通性通法．
二〇〇五年十二月二十七日星期二。