2021学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题习题新人教A版选修2_2

第一章 1.1 变化率问题
A 级 根底稳固
一、选择题
1．函数f (x )＝x 2
＋4上两点A 、B ，x A ＝1，x B ＝1．3，那么直线AB 的斜率为( B ) A ．2 B ．2．3 C ．2．09
D ．2．1
[解析] f (1)＝5，f (1．3)＝5．69． ∴k AB ＝
f 1.3－f 1
1.3－1
＝5.69－50.3
＝2．3，故应选B ．
2．函数f (x )＝－x 2
＋x ，那么f (x )从－1到－0．9的平均变化率为( D ) A ．3 B ．0．29 C ．2．09
D ．2．9
[解析] f (－1)＝－(－1)2
＋(－1)＝－2．
f (－0．9)＝－(－0．9)2＋(－0．9)＝－1．71．
∴平均变化率为
f －0.9－f －1
－0.9－－1＝－1.71－－20.1
＝2．9，故应选D ．
3．一运动物体的运动路程S (x )与时间x 的函数关系为S (x )＝－x 2
＋2x ，那么S (x )从2到2＋Δx 的平均速度为( B )
A ．2－Δx
B ．－2－Δx
C ．2＋Δx
D ．(Δx )2
－2·Δx
[解析] ∵S (2)＝－22
＋2×2＝0， ∴S (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2
＋2(2＋Δx ) ＝－2Δx －(Δx )2
， ∴
S 2＋Δx －S 2
2＋Δx －2
＝－2－Δx ，故应选B ．
4．函数f (x )＝2x 2
－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，那么Δy
Δx
＝( B )
A ．4
B ．4＋2Δx
C ．4＋2(Δx )2
D ．4x
[解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2
＋4·Δx ，所以
Δy Δx ＝2Δx ＋4．
二、填空题
5．函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝(Δx )2
＋6Δx ＋12．
[解析] Δy
Δx ＝
2＋Δx
3
－2－23
－2
Δx
＝
Δx
3
＋6Δx
2
＋12Δx
Δx
＝(Δx )2
＋6Δx ＋12．
6．(2021·阿拉善左旗校级期末)假设函数y ＝x 2
－1的图象上的点A (1,0)，那么当Δx ＝0．1时的平均变化率是2．1．A 点处的导数是2．
[解析] Δy ＝(1＋Δx )2
－1＋1＝2Δx ＋Δx 2
， ∴
Δy
Δx
＝2＋Δx ， 当Δx ＝0．1时，平均变化率为2．1， ∵y ′＝2x ， ∴y ′|x ＝1＝2， 故答案为2．1,2． 三、解答题
7．某质点的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)存在函数关系s ＝2t 2
＋2t ，求： (1)该质点在前3s 内的平均速度； (2)该质点在2s 到3s 内的平均速度．
[解析] (1)∵Δs ＝s (3)－s (0)＝24，Δt ＝3， ∴
Δs Δt ＝24
3
＝8(m/s)． (2)∵Δs ＝s (3)－s (2)＝12，Δt ＝1， ∴
Δs Δt ＝12
1
＝12(m/s)． B 级 素养提升
一、选择题
1．在x ＝1附近，取Δx ＝0．3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3
、④y ＝1x
中，
平均变化率最大的是( B )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
[解析] Δx ＝0．3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2
在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2．3；③y ＝x 3
在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )
2
＝3．99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－10
13．∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应
选B ．
2．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，
t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，那么三者的大小关系为( C )
A ．v 2＝v 3<v 1
B ．v 1<v 2＝v 3
C ．v 1<v 2<v 3
D ．v 2<v 3<v 1
[解析] ∵v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象易知k OA <k AB <k BC ， ∴v 1<v 2<v 3，应选C ． 二、填空题
3．(2021·汉台区期末)函数f (x )＝x 2
＋2x ＋3在自变量x 从1变化到3的过程中的平均变化率是6．
[解析] Δx ＝3－1＝2，
Δy ＝32＋6＋3－(12＋2＋3)＝12．
所以函数的平均变化率为12
2＝6．
故答案为6．
4．过曲线f (x )＝2
x
2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，当Δx
＝14时割线的斜率为－7225
． [解析] 割线AB 的斜率k ＝
2＋Δy －21＋Δx －1＝Δy
Δx
＝
2
1＋Δx
2
－2
Δx
＝－2Δx ＋21＋Δx 2＝－
7225
． 三、解答题
5．比拟y ＝x 3
与y ＝x 2
在x ＝2附近平均变化率的大小．
[解析] 当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3
的平均变化率k 1＝2＋Δx 3
－23
Δx
＝(Δx )2
＋6Δx ＋12，
y ＝x 2
的平均变化率k 2＝
2＋Δx
2
－2
2
Δx
＝Δx ＋4，
∵k 1－k 2＝(Δx )2
＋5Δx ＋8＝(Δx ＋52)2＋74>0，
∴k 1>k 2．
∴在x ＝2附近y ＝x 3
的平均变化率较大．
6．假设函数y ＝f (x )＝－x 2
＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围．
[解析] ∵函数y ＝f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均率为Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2
Δx
＝－2＋Δx
2
＋2＋Δx －－4＋2
Δx
＝
－4Δx ＋Δx －Δx
2
Δx
＝－3－Δx ，
∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2．又∵Δx >0，∴Δx >0，即Δx 的取值范围是(0，＋∞)．。