高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线

课时1 直线与圆锥曲线
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)过双曲线C ：x 24－y 2
9＝1的左焦点作倾斜角为π
6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交
点情况是________(填序号). ①没有交点； ②只有一个交点；
③有两个交点且都在左支上； ④有两个交点分别在左、右两支上.
(2)(2014·湖北改编)设a ，b 是关于t 的方程t 2
cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过
A (a ，a 2)，
B (b ，b 2
)两点的直线与双曲线
x 2cos 2θ－y 2
sin 2
θ
＝1的公共点的个数为________. 答案 (1)④ (2)0
解析 (1)直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 2
9＝1，整理得23x 2
－813x －160
＝0，Δ＝(－813)2
＋4×23×160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上.
(2)关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根为0，－tan θ(tan θ≠0)，则过
A ，
B 两点的直线方程为y ＝－x tan θ，双曲线
x 2cos 2θ－y 2
sin 2
θ
＝1的渐近线方程为y ＝±x tan θ，所以直线y ＝－x tan θ与双曲线没有公共点.
(3)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点
P (0,1)在C 1上.
①求椭圆C 1的方程；
②设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2
＝4x 相切，求直线l 的方程.
解 ①根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2
－b 2
＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 2
2＋y 2
＝1.
②因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切， 所以其斜率存在且不为0，
设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)， 代入椭圆方程得x 2
2
＋(kx ＋m )2
＝1，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2
－1＝0，
由题意可知此方程有唯一解，
此时Δ＝4k 2m 2
－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，
即m 2
＝2k 2
＋1.
①
把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k
4y 2
－y ＋m ＝0，由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝
1－mk ＝0， 即mk ＝1.
②
联立①②得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m 2
＝2k 2
＋1，
mk ＝1，解得k 2
＝12
，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝22，
m ＝2，
或⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝－22，
m ＝－2，
所以直线l 的方程为y ＝
22x ＋2或y ＝－2
2
x － 2. 思维升华 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解.
已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 2
2
＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.
解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，
得方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y
2
2
＝1， ②
将①代入②，整理得9x 2
＋8mx ＋2m 2
－4＝0.
③
方程③根的判别式Δ＝(8m )2
－4×9×(2m 2
－4)＝－8m 2
＋144.
(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.
(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点. 题型二 弦长问题
例2
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2
2
.直线y ＝k (x －1)与椭圆C
交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为
10
3
时，求k 的值. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，c a ＝2
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －1，x 24＋y
2
2
＝1，得(1＋2k 2
)x 2－4k 2x ＋2k 2
－4＝0.
设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－4
1＋2k 2，
所以MN ＝x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
＝1＋k
2[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝2
1＋k 2
4＋6k
2
1＋2k
2
又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝
|k |1＋k
2
，
所以△AMN 的面积为S ＝12MN ·d ＝|k |4＋6k
2
1＋2k 2
， 由|k |4＋6k 2
1＋2k 2
＝10
3
，解得k ＝±1. 思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：
涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.
(2015·湖南)已知抛物线C 1 ：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)
的一个焦点.C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →
同向. (1)求C 2的方程；
(2)若AC ＝BD ，求直线l 的斜率.
解 (1)由C 1：x 2
＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1). 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2
－b 2
＝1.①
又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2
＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①②，得a 2
＝9，b 2
＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 2
8
＝1.
(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4).
因AC →与BD →同向，且AC ＝BD ，所以AC →＝BD →
，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2
＝4y 得x 2
－4kx －4＝0.
而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 28＋y
29
＝1得(9＋8k 2)x 2
＋16kx －64＝0.
而x 3，x 4是这个方程的两根，
所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－64
9＋8k 2，⑤
将④⑤代入③，得16(k 2
＋1)＝162k
2
9＋8k
2
2
＋
4×64
9＋8k
2， 即16(k 2
＋1)＝162×9k 2
＋1
9＋8k
22
， 所以(9＋8k 2)2
＝16×9，解得k ＝±64
， 即直线l 的斜率为±
64
. 题型三 中点弦问题
例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点.
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为____________.
(2)已知双曲线x 2
－y 2
3＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y
2
＝18x 上，则实数m 的值为________. 答案 (1)x 218＋y 2
9
＝1 (2)0或－8
解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝1
2
(x －3)，代入
椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为
32
a 2
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2
4＋b 2
＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2
，所以b ＝c ＝3，a ＝3 2.
所以E 的方程为x 218＋y 2
9
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 21－y 21
3＝1， ①x 22
－y
22
3＝1， ②
x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1
＋y 2
＝2y 0
， ④
由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2.∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·
y 0
x 0
＝3，
∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1， ∴y 0＝－3x 0.
又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 4，3m 4， 代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合.
思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋
x 2，y 1＋y 2，
y 1－y 2
x 1－x 2
三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.
设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线.
(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；
(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－1
2平分，设弦MN 的垂
直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y ). 再根据抛物线的定义得AF ＝2，即(2x )2
＋y 2
＝4， 所以轨迹C 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
(2)设弦MN 的中点为P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2
M ＋y 2
M ＝4，
4x 2N ＋y 2
N ＝4.
两式相减，得
4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，
将x M ＋x N ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0，
y M －y N x M －x N ＝－1k 代入上式得k ＝－y 0
2
.
又点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－1
2k ＋m .
所以m ＝y 0＋12k ＝3
4
y 0.
由点P (－12，y 0)在线段BB ′上(B ′，B 为直线x ＝－1
2与椭圆的交点，如图所示)，
所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <33
4
，且m ≠0.
[方法与技巧] 1.有关弦的三个问题
涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.
2.求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. [失误与防范]
判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点.
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝1的
交点个数是________. 答案 2 解析 由题意知：
4
m 2＋n
2
>2，即m 2＋n 2
<2，
∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2
4
＝1的内部，故所求交点个数是2.
2.直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的交点个数是________.
答案 1
解析 因为直线y ＝b
a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝
b a
x 平行，所以它与双曲线只有1个交点.
3.已知椭圆C 的方程为x 2
16＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝2
2
x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的
射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为________. 答案 2 2
解析 根据已知条件得c ＝16－m 2
，则点(16－m 2
，2216－m 2
)在椭圆x 2
16＋y 2
m
2＝1(m >0)上，
∴16－m 216＋16－m
2
2m
2＝1，可得m ＝2 2.
4.斜率为1的直线l 与椭圆x 2
4＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则AB 的最大值为________.
答案
410
5
解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋4y 2
＝4，y ＝x ＋t 消去y ，
得5x 2＋8tx ＋4(t 2
－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝
4
t 2－1
5
.
∴AB ＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－85t 2－4×4t 2
－15 ＝
425
·5－t 2
， 当t ＝0时，AB max ＝410
5
.
5.过抛物线y 2
＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线有________条. 答案 0
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B 的坐标分别为(x 1，
y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2.
设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2
＝4x ， 则y 2
＝4(my ＋1)，即y 2
－4my －4＝0， ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2
＋2. ∴x 1＋x 2＋2＝4m 2
＋4≥4.
∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和x 1＋x 2＋2＋2≥6>5. ∴满足题意的直线不存在.
6.过双曲线x 2
－y 2
2＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得AB ＝λ的直线l 恰
有3条，则λ＝________. 答案 4
解析 ∵使得AB ＝λ的直线l 恰有3条. ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直.
此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故AB ＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知，AB ＝4时，有3条直线满足题意. ∴λ＝4.
7.在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为______________. 答案 (－2,4)，(1,1)
解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2
中，
整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14
.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，
y 1＋y 2
2
＝－
x 1＋x 2
2＋b ＝1
2
＋b ，
由⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－1
2
＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－x ＋2，y ＝x 2
，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－2，y 1＝4，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝1，
y 2＝1.
8.过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________.
答案 3x ＋4y －13＝0
解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 由于A 、B 两点均在椭圆上， 故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22
4＝1， 两式相减得
x 1＋x 2
x 1－x 2
16
＋
y 1＋y 2
y 1－y 2
4
＝0.
又∵P 是A 、B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝
y 1－y 2x 1－x 2＝－3
4
. ∴直线AB 的方程为y －1＝－3
4(x －3).
即3x ＋4y －13＝0. 9.如图，
点F 1(－c ，0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1作x 轴的垂
线，交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2
c
于点Q ，连结PQ .
(1)如果点Q 的坐标为(4,4)，求椭圆C 的方程；
(2)试判断直线PQ 与椭圆C 的公共点个数，并证明你的结论.
解 (1)方法一 由条件知，P ⎝
⎛⎭⎪⎫－c ，b 2
a ，故直线PF 2的斜率为kPF 2＝
b 2
a －0－c －c ＝－
b 22a
c .
因为PF 2⊥F 2Q ，
所以直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2
b
2，故Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
c ，2a .
由题设知，a 2
c
＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1.
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
方法二 设直线x ＝a 2
c 与x 轴交于点M .
由条件知，P ⎝
⎛⎭⎪⎫－c ，b 2
a . 因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ，所以
PF 1F 2M ＝F 1F 2
MQ
， 即
b 2a
a 2
c
－c ＝2c
MQ ，解得MQ ＝2a .
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
c
＝4，2a ＝4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
c ＝1.
故椭圆方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)∵点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，2a ，点P 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－c ，b 2
a ，
∴k PQ ＝
2a －
b 2
a a 2
c
－－c ＝c 2a 2－b 2a a 2＋c 2
＝c a
， ∴PQ 的方程为y －2a ＝c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2c ，即y ＝c
a
x ＋a .
将PQ 的方程代入椭圆C 的方程，
得b 2x 2＋a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫c
a
x ＋a 2＝a 2b 2，
∴(b 2
＋c 2
)x 2
＋2a 2
cx ＋a 4
－a 2b 2
＝0，
而a 2
＝b 2
＋c 2
，上式可化为a 2x 2
＋2a 2
cx ＋a 2c 2
＝0， 解得x ＝－c ，∴直线PQ 与椭圆C 只有一个公共点.
10.(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；
(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围. 解 (1)设点M (x ，y )，依题意得MF ＝|x |＋1， 即
x －1
2
＋y 2
＝|x |＋1，
化简整理得y 2
＝2(|x |＋x ). 故点M 的轨迹C 的方程为y
2
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x ，x >0，0，x ≤0.
(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2
＝4x (x >0)，
C 2：y ＝0(x <0).
依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2).
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y －1＝k
x ＋2，
y 2
＝4x ，
可得ky 2
－4y ＋4(2k ＋1)＝0.(*1) ①当k ＝0时，此时y ＝1.
把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝1
4
.
故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点(1
4，1).
②当k ≠0时，方程(*1)根的判别式为Δ＝－16(2k 2
＋k －1).(*2) 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则
由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1
k
.(*3)
(ⅰ)若⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ<0，x 0<0，由(*2)(*3)解得k <－1或k >1
2
.
即当k ∈(－∞，－1)∪(1
2，＋∞)时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时
直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.
(ⅱ)若⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ＝0，x 0<0，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ>0，
x 0≥0，由(*2)(*3)解得k ∈{－1，12}，或－1
2
≤k <0.
即当x ∈{－1，1
2}时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点.
当k ∈[－1
2，0)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点.
故当k ∈[－12，0)∪{－1，1
2
}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.
(ⅲ)若⎩
⎪⎨
⎪⎧
Δ>0，
x 0<0，由(*2)(*3)解得－1<k <－12或0<k <1
2
.
即当k ∈(－1，－12)∪(0，1
2)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直
线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.
综合①②可知，当k ∈(－∞，－1)∪(1
2，＋∞)∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；
当k ∈[－12，0)∪{－1，12}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈(－1，－1
2)∪(0，
1
2
)时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)
11.设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足.如果直线
AF 的斜率为－3，那么PF ＝________.
答案 8
解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨
⎧
y ＝－3x ＋23，x ＝－2，
得y ＝43，所以
P (6,43).
由抛物线的性质可知PF ＝6＋2＝8.
12.已知双曲线C ：y 2a 2－x 2
b
2＝1 (a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)
与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________. 答案
52
解析 由双曲线的方程可知：渐近线方程为y ＝±a
b
x .
∵经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，∴此直线与渐近线y ＝a b
x 平行，∴a b
＝2. ∴e ＝c a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2＝
52
. 13.过抛物线y 2
＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点
A ，且AF ＝6，AF →＝2F
B →
，则BC ＝________.
答案 92
解析 不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π
2，点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则点B 在x 轴
的上方，过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有BF ＝BB 1＝3，AF AB ＝
p
BB 1
，由此得
p ＝2，抛物线方程是y 2
＝4x ，焦点F (1,0)，cos θ＝p AF ＝p 6＝26＝13，sin θ＝1－cos 2θ＝223
，
tan θ＝sin θ
cos θ＝22，直线l ：y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧
y ＝22x －1，
y 2
＝4x
消去y ，得2x 2
－
5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，BC ＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝9
2
.
14.已知F 是抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝________. 答案 0
解析 由y 2
＝4x ，得抛物线焦点F (1,0)， 联立⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝k x ＋1，
y 2
＝4x ，
得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2
＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4－2k
2
k
2，x 1x 2＝1.
k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2
x 2－1
＝k x 1＋1
x 2－1＋k x 2＋1x 1－1
x 1－1x 2－1
＝
2k x 1x 2－1
x 1－1x 2－1＝
2k 1－1
x 1－1x 2－1
＝0.
15.已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2
＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值.
解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝1，2·b 2
a
＝1.从而⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
因此，所求的椭圆C 1的方程为y 2
4＋x 2
＝1.
(2)如图，
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2
＋h )，
则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为
y ＝2tx －t 2＋h .
将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2
＋(2tx －t 2
＋h )2
－4＝0， 即4(1＋t 2
)x 2
－4t (t 2
－h )x ＋(t 2
－h )2－4＝0. ①
因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点， 所以①式中的
Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.
②
设线段MN 的中点的横坐标是x 3，
则x 3＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t
2
. 设线段PA 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝
t ＋1
2
.
由题意，得x3＝x4，
即t2＋(1＋h)t＋1＝0. ③由③式中的
Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1，或h≤－3.
当h≤－3时，h＋2<0,4－h2<0，
则不等式②不成立，所以h≥1.
当h＝1时，代入方程③得t＝－1，
将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立.
所以，h的最小值为1.。