最优股票投资组合本科生毕业设计

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摘要: 随着证券市场的发展，愈来愈多的风险资产可供人们选择，不同的风险资产有着不同的特点，让人们无从选择，证券市场上的风险与收益一直困扰着人们，本文从分散投资降低风险的角度，在马科维茨均值--方差理论的基础上，均衡风险与收益，找出最优的投资组合。

关键字：投资组合，风险，收益，最优。

绪论
随着我国经济经济的飞速发展，居民的收入大幅度增加，生活条件也进一步改善，在保证日常必要消费及其他消费之外，还有很可观的资金留存，人们习惯性的喜欢把这部份资金存入银行，来保证资金的安全和获取一点利息收入。

随着居民收入的飞速增加，人们也不经意的发现此刻的物价水平也在飞速的增加，以前能买很多东西的钱此刻买不了几件东西，最明显的例子就是去一趟菜市场，篮子里没看买几样东西，身上的钱已经花的差不多了，人们在感慨“此刻的菜已经吃不起了”的时候，也开始注意到随着经济的发展，生活条件的提高，消费支出也在成倍的增加，看着刚拿得手的辛辛苦苦赚来的工资，盘算着接下来的开销，不由又深感无奈：这个月有无存下多少钱。

节约节约是我国的传统美德，人们舍不得吃舍不得穿，辛辛苦苦，兢兢业业，把省下来的钱存入银行，，等着碰到重要的时候再掏出来用。

眼看着这些年节衣缩食存下来的钱一天天的缩水，看在眼里，苦在心里。

这样下去实在是不行！可是这些钱不存银行能怎么办呢？
高利贷，一种传统的牟取暴利的方式不由进入人们的脑海，人们把赚来的钱拿出去放高利贷，收入确实可观，尝到了甜头的人们加倍疯狂，把全数的积蓄，乃至向亲友老友借钱来放高利贷。

疯狂狂的结果往往是悲惨的下场，资金的断链，走投无路的债务人纷纷跑路，投入庞大的债主们损失惨重，乃至一贫如洗，走投无路，失望的债主选择了轻生来逃避。

惨重的事实，血的教训让人们警醒：高利贷真的不可取！
证券交易市场的开放标志着我国资本市场的成立，在成立初期，人们由于对证券知识的缺乏和我国证券市场的不完善，法律的空白，致使股票市场出现极不稳定的现象，大涨大跌的情行让追求稳定的人们实在吃不消，更重要的是盲目的投资使得人们损失惨重。

股市失利的人们浅尝辄止，门外的投资者望而却步。

加倍不利的是，股市风险被夸大，人们的认知被误导，股市给人们的印象变成：初入时赚钱，接着就是无止尽的赔钱，投的越多，赔得越惨重，最后血本无归。

从1990年上海证券交易所开业，1991年深圳证券交易所开业以来，我国从未停止过对证券市场的规范化的进程，《国九条》与国有资产股分制改革，使得股市得以壮大，与此同时相关法律法规的出台，使得投资者的相关权益取得更有效的保护。

《证券法》，《公司法》，的出台，股市也趋于平稳。

全国券商也在尽力培育专业化的理财团队，为投资者提供更专业更优质的服务。

2006年，新出台的《证券法》，《公司法》在原有基础上进一步的完善了上市公司的上市，分红，配股要求，和明确了股民，券商在股票投资进程中的权益与责任，更重要的是，给在出现经济纠纷时的两边提供法律依据，给在投资进程中的违法乱纪行为给与严厉冲击提供了法律保证。

严厉的惩罚使得有越雷池想法的人不敢越雷池一步。

证券交易所在冲击阻止扰乱证券市场行为中发挥了无可替代的作用。

律师事务所给在迷茫中的股民提供法律意见……证券市场的规范化，法律的完善，新业务理论研究的完成及行对应法律法规的出台，使得各项新业务很快为多数股民所接受。

与此同时，各类投资理论的诞生，对国内政策的深切关注与解读和政府的大力支持，对国外资本市场的关注与研究，并融入国际资本市场，这一切的一切都在预示着：中国的资本市场已经成熟。

已经适合广大投资者投资。

研究背景：
资产组合是研究在不肯定的情况下投资者按必然比例将持有的资金投资分派到不同资产上，以达到整体风险与收益达到一个最优均衡关系的方式。

20世纪50年代以前，该理论仅停留在文字叙述或借助俗语表达的阶段，在1952年，马歇维茨通过引入数学方式，第一次提出
了投资分散化原则，是投资决策走向了定量分析的科学研究阶段，成了近代资产组合理论研究的里程碑。

马歇维茨提出了资产组合的均值—方差模型，用收益的数学期望表示资产收益，用方差量化投资风险，由于投资效用是收益率和方差的函数，一些投资者老是追求特定风险下最大收益，特定收益下的风险最小投资组合，使得收益与风险达到平衡。

1963年夏普提出了单指数模型，引入了系统风险和非系统风险，系统风险是说明宏观经济转变致使证券市场波动而引发的风险，非系统风险是有公司本身的不肯定性造成。

夏普的单指数模型继承了马歇维茨的均值—方差模型。

我国学者对资产组合理论在我国证券市场上的应用做了很多查验，主如果从侧面研究马歇维茨的均值--方差理论和夏普的单指数模型理论。

研究方式：选取一组股票价钱，由于股票价钱的变更是不可预测的，可是有必然的变更趋势，咱们可以按照这个趋势研究股票价钱的变更趋势，而且投资股票要分散投资，于是咱们要用概率论的方差与期望，运筹学的计划来解决问题。

名词解释：
投资风险：在股票投资行为中，股价波动的风险一般用股价方差来揭露，一般风险小的股票，股价波动幅度小，及对应的股价方差小，风险大的股票价钱波动幅度大，对应的方差比较大。

投资收益：生意股票的收益一般可以分为两类：第一类，也是最大体最普遍的收益方式，即资本利得，也就是生意股票的差价。

第二类，股票的盈利，在持有某公司股票时，公司会从昔时的收益中拿出一部份来分发给股民，盈利一般分为股息盈利和现金盈利。

通货膨胀：指货币发行量超过流通中实际所需要的货币量而引发的货币贬值现象。

CPI(居民价钱消费指数)是一个反映城乡居民家庭一般所购买的消费商品和服务价钱水平变更情况的宏观经济指标，一般概念超过3％为通货膨胀，超过5％就是比较严重的通货膨胀。

通货膨胀率：为物价平均水平的上升幅度。

现值：是指对未来现金流量以适当的折现率进行折现后的价值。

指资产依照估计从其持续利用和最终处置中所产生的未来净现金流入量折现的金额，欠债依照估计期限内需要偿还的未来净现金流出量折现的金额。

保值与增值：资产保值是指维持保证原有的价值．资产增值是指在维持保证原有的价值的基础上又有新的价值增加．
相关概念：
人们在持有资金的进程中，由于外界经济发展的转变，不可避免的会出现通货膨胀现象，同数量的钱，今天可以买到的东西，一段时期以后就买不到了。

咱们可以看到由于通货膨胀的存在，货币贬值了。

现值，一个计息期单利现值=未来现金流/(1+（投资收益率）)，其中投资收益率=利率-通货膨胀率，为了让手中的资金保值与增值，最好的方式就是进行投资，而投资分为很多种，普遍受欢迎的一种投资方式就是储蓄，可是在现今通货膨胀条件下，储蓄收益比较低，股票便成了更受人们欢迎的投资方式。

投资股票一般都要求同时购买几只乃至更多只股票来分散投资，降低风险，投资越分散，风险越小。

也就是所有的寄到鸡蛋不能放在一个篮子里的道理。

模型的提前假设：
（1）假设证券市场是稳定有效的，在投资期内，证券市场不出现大的波动，不出台各项利弊政策，国内外经济平稳的发展，经济环境平稳。

证券市场信息公开，信息转达及时，各项竞争公平公正。

（2）各公司不出现除权除息影响股票价钱大幅变更的情况，投资期内不出现分红配股的情况，各上市公司管理层的重要职位不出现人员变更。

（3）市场存在卖空机制（投资者在某股票价钱较高时借如股票卖出，等该股票价钱下跌时再买进归还）
（4）假设投资者的资金可以无穷细分。

有效边界的推导：
通过对各类证券的组合投资，由于投资比例的不同，咱们可以得出很多的风险（标准差）与收益（收益期望）的可能组合，所有这些可能的投资组合组成的集合组成了一个可行集。

按照这个可行集，马科维茨提出了有效边界的概念，有效边界代表的有效资产组合同样风险条件下的预期收益率最高的资产组合和同样收益条件下风险最低的资产组合。

在二维期望与标准差的坐标系中，咱们会发现可行集是一个双曲线，可行集为双曲线内部的部份，投资者只能在此范围内挑选可能取得的资产组合，理性投资者一般有两种投资选择，一是同样收益下的风险最小组合，一是同样风险下的收益最大化组合。

所以中线以上的部份为有效边界（马科维茨有效集），每一点都代表一个可行有效的投资组合。

肯定有效边界是投资的一个重要的要点，有效边界代表有效资产组合。

针对每一预期收益率，给定预期收益，,最小化取得标准差，由此组成一个组合，类似可以取得很多这种组合，但要注意的是，如此取得的曲线不必然符合有效边界的概念，由于有效边界是一个双曲线，一个既定的风险可能对应两个不同的收益率，高的一组收益率必然比低的一组更有效，所以中线下方的收益率应当被排除有效边界之外。

如图所示：
投资模型
（1）由于股票价钱变更的不肯定性和不可预测性，对于后期的股票价钱变更问题，咱们按照有的股票价钱，引入方差与期望来预测下一步的股票价钱变更趋势。

假设某只股票买进时的价钱为x 0，假设在持有期内共有m 个交易日，第i 个交易日的收盘价为x i ，于是每一个交易日的收益为x i -x i-1，在整个投资期，该股票的收益期望为：
1()/m
i i E X X m
==∑ （1）
收益方差为：
(())E X E X σ=- （2）
假设买进的n 支股票为X 1X 2X 3X 4……X n ，收益为R 1R 2R 3R 4 …… R n ，在多只股票投资组合中，市场存在做空机制，就是说各只股票的投资比例可以为负，对市场n 种风险股票X 1X 2X 3X 4……X n ，收益为R=(R R 2 R 3 R 4 …… R n )T 为收益向量，设w=(w 1 w 2 w 3 w 4…… w n )T 为投资组合，其中w i 表示第i 种资产X i 上的投资比列，知足其和为1。

以E(R i )表示第i 种股票的资产收益期望值，E(R)=(E(R 1),E(R 2) ,E(R 3) …… E(R n ))T 为期望收
益向量投资组合的收益率
1
n
w i i
i R w R ==∑ （3）
也是随机变量，受投资比例的约束。

其期望值为：
1
()()()
n
T w i i i E R w E R w E R ===∑ （4）
因为投资中个只股票的投资比例不同，对于求解买进n 只股票的收益方差与期望，要按照投资比例来计算。

设ι=（1,1,1…1）T 是n 维向量，每一个分量都是1，记cov(,)
i j i j R R σ=,
i,j=1,2……n,称n 阶矩阵
*()ij n n
∑=σ为方差 – 协方差矩阵，若是∑为可逆矩阵，此时∑
为正定矩阵，投资组合w=（w 1,w 2……w n ）T 的收益率R w 的方差为 ：
2
2
1
1
11
(())n
n
n
n
w
i i i i j i j
i i i j V E w R w E R w w =====σ=-=σ∑∑∑∑ （5）
用矩阵表示：
T V w w =∑ （6）
其中
1111(,)(,)(,)
(,)n n n n COV R R COV R R COV R R COV R R ⎛⎫
⎪=
⎪
⎪⎝
⎭∑
其中协方差为：
cov(,)((())(()))
i j i i j j R R E R E R R E R =--
按照以上的推导，咱们可以取得在组合投资中，收益与风险是彼此而且紧密联系的，咱们可
以控制两种变量中的任何一种变量来求解另外一种变量，于是咱们可以取得两种模型：固定投资期望下的风险最小模型，固定风险下收益最大化模型，这两种模型也是人们在研究投资时普遍运用的模型。

以下给出两种模型： (1)固定投资期望下的风险最小模型
211min 22T
w w w
σ=∑
..1T
s t w ι=
()()T w E R w E R ==μ
其中μ是固定的投资收益期望。

模型求解：
此模型是具有约束的二次计划问题，用拉格朗日数乘法求解。

令：
1()2
T
T T L w w w w E R 12=∑+λ(1-ι)+λ(μ-) （9）
对L 别离求对 w ，λ1， λ2的微分，得
12(,)n
L L L L
w R w w w w 21∂∂∂∂=,⋯,=∑-λE()-λι=0∂∂∂∂
1
10L
w T ∂=-ι=∂λ
2
()()0T w L
E R w R ∂=μ-=μ-=∂λ
假设∑可逆，由方程（9）取得最优解:
1()
w R -μ12=∑λι+λE() (11)
此刻咱们只要消去式中的未知数1λ和2λ
即可取得所求最优解。

将式（11）代入式（），得
1())0T R -121-ι(∑λι+λE()= （12）
将式子展开整理得：
R T -1T -112λι∑ι+λι∑E()=1
(13)
令
R T -1T -1A =ι∑ι,B =ι∑E(),所以（13）又可以写成
B 12λ+λA =1 （14）
将式（11）代入式（）得
1())0R R T -12μ-E()(∑λι+λE()= （15）
将式子展开整理得：
R R R T -1T -112λE()∑ι+λE()∑E()=μ
(16)
令
C R R T -1=E()∑E()
得 (16)式
A C 12λ+λ=μ （17）
因为∑可逆，B>0，C>0，又
)R C R C C CB T -120<(AE()-ι)∑(AE(-ι)=(-A )
令D CB 2=-A ,所以0D CB 2
=-A >,由式（14）和式（17）得
11()C A D λ=
-μ , 21
()A D
λ=μB - 代入式（3.2.6）得最优解
111
(
()())w C A A R D D
-μ=∑-μι+μB -E() （18） 接下来咱们研究一下期望与方差的关系，上文咱们已经别离求出了期望与方差的表达式：
投资组合的收益期望表达式：
1
()()()
n
T w i i i E R w E R w E R ===∑
收益方差的表达式：
T V w w =∑
又由上面求得的
1()
w R -μ12=∑λι+λE()
此刻将w 带入到方差表达式中，于是V 可以转化成下面的形式：
21((R ))R T T T T
w w w w w w μ
-μμ121μ2μ12σ=∑=∑∑λι+λE()=λι+λE()=λ+λμ
（19）
将1λ和2λ
带入可以求得
211
()B A D D B B
C μ
2
2ω
σ=
(Bμ-2Aμ+)=μ-+ （20） 从上式中咱们可以看出μ是相应于最小方差的投资组合 w μ的期望收益，2
w μ
σ是相应的方差，而且2
w μ
σ是关于μ的二次函数，其极点为 1(
,)A
B B
，在投资组合的方差—均值空间中的图形为抛物线，将式（20）再整理化简为标准差与期望的形式
2
2
2
())11w A B D B B μμ-(σ-= (21) 有式（21）可以看出期望与标准差之间的关系是双曲线的关系，由于投资期望与标准差都是
正值，所以只要考虑第一象限内的部份，可是按照双曲线的性质，一个标准差对应两个收益期望，对于投资者而言，期望固然是越大越好，中线以上的部份就是有效边界。

（2）固定风险下收益最大化模型
max ()()
T w E R w E R =
..1T
s t w ι=
21122T
w w w k σ=∑=
其中k 为能接受的最大风险。

模型求解：
此模型可以参照模型一的求解方式，用拉格朗日数乘法求解。

令
1
()1)2
T T L w E R w w w k T 12=-+λ(ι-)+λ(∑- (22)
对L 别离求对 w ，λ1， λ2的微分，得
()0L
E R w w
12∂=-+λι+λ∑=∂ (23a) 1
10T L
w ∂=ι-=∂λ （23b ） 2102
T
L w w k ∂=∑-=∂λ （23c ） 假设∑可逆，由方程（22）取得最优解:
1
12
()E R w --λι
=∑
λ (24)
将（24）式带入到（23b ）整理得
112(())E R T -ι(∑-λι)=λ （25）
将（24）式带入到（23c ）得
1
12
()()2T E R w k --λι
∑∑=λ (26) 整理得
12(()2T E R w k T -λι)=λ (27)
将（24）式带入到（27）式得
1
1122
()(())2T E R E R k T --λι
-λι)(∑=λλ （28） 整理得
12112(()(())2()T E R E R k T --λι)(∑-λι)=λ （29）
将（25）式带入到（29）式得
1111111((())((())(()(())T k E R E R E R E R T -T -T -2ι(∑-λι)ι(∑-λι)=-λι)(∑-λι)（30）
化简得
111()()T
k E R E R k T -T T -T T
2ι∑ι-λ=2ι∑ιι-ι
（31） 由式（25）和式（31）求解2λ得
11
21()()(())T
k E R E R E R k T -T T
-T -T T
2ι∑ι-λ=ι(∑-ι)2ι∑ιι-ι（32）
将（31）式和（32）式带入到（24）式求得最优解
111111()()()()()
(())T
T
k E R E R E R k w k E R E R E R k T -T T -T T
-T -T T -T -T T
2ι∑ι--ι2ι∑ιι-ι=∑2ι∑ι-ι(∑-ι)2ι∑ιι-ι
（33） 实例求解
现阶段的银行存款利率央行规定一年按期存款的基准利率为%，几大商业银行的一年期存款利率为%，例如中国银行，建设银行，农业银行等；地域性的商业银行一年按期利率值%，例如江苏银行，北京银行，广州银行等。

从中国黄金网取得消息称中国已经将2013年通胀率目标设定在%水平周围，略低于2012年%这一目标水平。

瑞银首席中国经济学家汪涛也称2013年中国通胀率可能达到%。

美银美林大中华区经济研究部主管兼首席经济学家陆挺在FORBES 网站的文章《对中国2013年经济目标的初步解读：GDP 目标%意味着什么？》也说道消费者价钱指数（CPI ）同比涨幅目标设定为％。

从上面两则消息可以取得现阶段的通货膨胀率高于现阶段的现金存款利率至少个百分点，这就说明了你存入银行的钱不但分文利息都没有，反而还要亏损%。

若要实现对资金的保值，现阶段的资金收益率至少要达到%。

任何低于%的投资都是亏损的。

例如一个人持有50万的现金，若是不作任何投资，一年后他的购买力只有50*（）=万元，若是存入银行，一年以后所得万元，可是购买力相当于此刻的万元，存入银行钱时间越久，亏损的越多。

所以对该组股票投资的期望收益应该至少为%，咱们设定投资的期望收益率在%，求出个只股票的投资百分比。

从近期的股票市场上取得几只热点股票的每周收盘价钱，按照分散投资降低风险的原则，咱
从十一月二十三到四月十三共二十周的股票周收盘价钱，如下：
按照上述搜集到的数据，咱们别离求出个只股票对应的期望收益率和收益方差.
由上述求得的收益率期望与收益率方差可以看出，收益率越大的对应的方差也大，也就是说收益越高的股票风险越大。

w =
结果分析：有图像上的散点可以看出这些散点大致在一个弧线内，这就是有效边界，在这个弧线内所有的投资组合都是有效的，但并非是最优的。

最优的投资组合应该是弧线上的点。

按照这个模型求解取得的w的取值
从这些数据中很容易看出第四个还有第五个值的绝对值都大于1，这是不可能出现的，因为投资的资金不可能高于持有的资金，数据中的负值是代表做空的，外国很多成熟的资本市场都存在做空机制，虽然我国目前还不允许做空，可是随着我国逐渐融入国际资本市场，相信最终会允许股票做空。

负值的存在有必然的实际意义。

现代资产组合是通过成立数学模型来精准计算各类资产的持有量来分散投资风险，其合理的应用是一个漫长而复杂的进程，因为资本市场是转变着的，复杂难以琢磨的，每一个模型都存在它的局限性，所以在投资进程当选择适合的模型超级重要，他将直接影响到投资的成败。

投资模型是死的，市场是灵活转变的，即便选对了投资模型，也要充分考虑到各方面因素，理性投资，这样才是明智的，古板而机械的依照模型来投资，最终会取得惨重的教训。

参考文献：
[1]8c8f郭多祚.数理金融资产定价的原理与模型[M].清华大学出版社，.
[3]黄济生.资产组合分析与管理[M].立信会计出版社，,103
[4]Richard ，Stewart C .Myers. Capital Investment and Valuation.中国人民大学出版社,
[5] 陆挺.对中国2013年经济目标的初步解读：GDP目标%意味着什么？》.福布斯中文网，
[6] 附录
clc;
R1=xlsread('d:\','A2:O21')
R2=xlsread('d:\','A2:O21');
%u=input('u=');
u=;
[m,n]=size(R1);
R=ones(m,n);
A=ones(n,n);
p=0;
I=ones(1,n)';
r=ones(1,n)';
E=ones(1,n);
for j=1:n
for i=1:m
R(i,j)=(R2(i,j)-R1(i,j))/R1(i,j);
end
end
R
for i=1:n; %ÇóÆÚÍû
r=0;
for j=1:m;
r=r+R(j,i);
end
p=r/m;
E(i)=p;
end
E
for i=1:n
for j=1:n
s=0;
for m=1:n
s=s+(R(m,i)-E(i))*(R(m,j)-E(j));
end
A(j,i)=s/n;
end
end
A
for i=1:n
s=0;
for m=1:n
s=s+(R(m,i)-E(i))*(R(m,i)-E(i));
end
r(i)=s/n ;
end
r;
xlswrite('D:\',r);
%for i=1:n
% r(i)=E(i);
%M=[I';L];
%A=cov(M)
%Çó¾ØÕóµÄÄæ¾ØÕó
B=inv(A);
a=I'*B*E';
b=E*B*E';
c=I'*B*I;
d=b*c-a*a;
w=B*((1/d)*(b-u*a)*I+(1/d)*(u*c-a)*E'); w
w'*A*w;
x=r;
y=E;
plot(x,y,'*r');。