高考新课标数学(理)一轮考点突破练习：第九章 平面解析几何 Word版含答案

第九章平面解析几何
1.平面解析几何初步
(1)直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．
⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
(2)圆与方程
①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
2．圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
(4)了解曲线与方程的对应关系．
(5)理解数形结合的思想．
(6)了解圆锥曲线的简单应用．
9．1 直线与方程
1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．
(2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为
d (A ，B )＝|AB |＝_____________________．
②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝. 2．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．
(2)斜率：一条直线的倾斜角α
的
____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．
(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝
．
3．直线方程的几种形式
(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线
l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l
在y 轴上的截距．
注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．
(2)直线方程的五种形式：
________的特例．
(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；
②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；
③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；
④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．
自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12
②
x 1＋x 22
y 1＋y 2
2
2．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°
(2)正切值 tan α 90° ＝ >< 90° (3)
y 2－y 1
x 2－x 1
3．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③
y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1 ④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b
＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)点斜式 两点式
(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0
直线x tan π
3
＋y ＋2＝0的倾斜角α是
( )
A.
π3B.π6C.2π3D ．－π3
解：由已知可得tan α＝－tan
π
3
＝－3，因为α∈；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．
解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝
3
3
，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－ 3.故填
3
3
；－ 3. 点拨：
①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
转化，其中倾斜角α∈时，直线l 不经过第四象限，所以
k ≥0.
③由l 的方程，得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－1＋2k k
，0，B (0，1
＋2k )．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，
1＋2k>0，解得k>0. 因为S ＝1
2
·|OA |·|OB |
＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2
k
＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k ＝1k 且k>0，即k ＝1
2
时等号成立，
所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋
4＝0.
1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈2
＋(y －
3)2
＝25上，
从而圆(x －6)2
＋(y －7)2
＝25与圆2
＋(y －3)2
＝25有公共点，
所以5－5≤[（t ＋4）－6]2
＋（3－7）2
≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.
因此，实数t 的取值范围是． 点拨：
直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．
(2015·广东)已知过原点的动直
线l 与圆C 1：x 2
＋y 2
－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .
(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2
＝4，圆心C 1(3，0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1
为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋y 2
＝94.
故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －322
＋y 2＝94
在圆C 1：(x －3)2＋y 2
＝4内部的部分，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋y 2
＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫53<x ≤3.
(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53
，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋y 2
＝94，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝5
3
，
y ＝±25
3.
不妨设其交点为
P 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53，
253，
P 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53，－
253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4，0)， 则1PP k ＝－257，2PP k ＝257
.
当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1
＝3
2
，解
得k ＝±3
4
.
故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝
⎛⎭⎪⎫－257，2
57∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫
34时，直
线L 与曲线C 只有一个交点．
1．注意应用圆的几何性质解题
圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．
2．圆的方程的确定
由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出
方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．
3．求圆的方程的方法
(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；
④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．
(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．
1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x －y＝1的距离为( )
A．2 B.
2
2
C．1 D. 2
解：已知圆的圆心是(1，－2)，则圆心到直
线x－y＝1的距离是|1＋2－1|
12＋（－1）2
＝
2
2
＝ 2.
故选D.
2．(2016·山西模拟)若圆x2＋y2－2ax＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为⎝
⎛
⎭⎪
⎫
a，－
3
2
b，则a<0，b>0.直线y＝－
1
a
x－
b
a
，则k ＝－
1
a
>0，－
b
a
>0，所以直线不经过第四象限．故选D.
3．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(－3，3)
C．(－2，2) D.
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
2
2
，
2
2
解：因为(0，0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m< 2.故选C.
4．(2016·安徽模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y ＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a －b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
解：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.故选A.
5．(2016·南阳模拟)已知圆C与直线y＝x 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解：由题意知直线x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为
|4|
2
＝22，所以圆C的半径r＝2，又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，
0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，则圆C 的标准方程为(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.故选D.
6．(2015·沈阳联考)已知点A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2
＋y 2
＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2
＋y 2
＋kx ＝0上的动点，若
M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的
最大值是( )
A ．3－2
B ．4
C ．3＋2
D ．6
解：依题意得圆x 2
＋y 2
＋kx ＝0的圆心
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，
于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y
2
＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线
AB 的距离为
|1－0＋2|2
＝32
2，点P 到直线AB 的
距离的最大值是32
2＋1，所以△PAB 面积的最大
值为12×22×32＋22
＝3＋ 2.故选C.
7．(2016·柳州模拟)若方程x 2
＋y 2
－2x ＋2my ＋2m 2
－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．
解：原方程可化为(x －1)2
＋(y ＋m )2
＝－m 2
＋6m －8，
则r 2
＝－m 2
＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，所以2<m <4.
当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋3)2
＝1.故填(2，4)；(x －1)2
＋(y ＋3)2
＝1.
8．(2015·全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x
2
16＋y
2
4＝
1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．
解：依题意，可知该圆过椭圆的三个顶点(0，－2)，(0，2)，(4，0)．设圆心为(a ，0)，其中
a>0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝3
2
，所以该圆的
方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.故填⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋y 2
＝254.
9．已知圆经过A (2，－3)和B (－2，－5)两点，若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．
解法一：线段AB 中垂线的方程为2x ＋y ＋4＝0，它与直线x －2y －3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间的距离公式得r 2
＝10，所以圆的方程为(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝10.
解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．
10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．
解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，
所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－1
16＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －132上，即5x
＋7y －50＝0上，
所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，
y ＝5，即圆
心为(3，5)，
从而半径为（9－3）2
＋（6－5）2
＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2
＋(y －5)2
＝37. 11．已知定点A (4，0)，P 点是圆x 2
＋y 2
＝4
上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．
解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x P ，
y P )，则x ＝
4＋x P 2且y ＝0＋y P
2
，即x P ＝2x －4，
y P ＝2y ，又点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2P ＋y 2
P ＝4，将x P ＝2x －4，y P ＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )
2
＝4，即(x －2)2
＋y 2
＝1.故所求轨迹方程为(x －2)2
＋y 2
＝
1.
在平面直角坐标系xOy 中，二次函
数f (x )＝x 2
＋2x ＋b (x ∈R )与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C .
(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；
(3)圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)？证明你的结论．
解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )．
令f (x )＝0，得x 2
＋2x ＋b ＝0，由题知b ≠0，且Δ>0，解得b <1且b ≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
令y ＝0，得x 2
＋Dx ＋F ＝0，这与x 2
＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .
令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1.
所以圆C 的轨迹方程是
x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.
(3)圆C 过定点，证明如下：
假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为
x 20＋y 2
0＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)
为使(*)式对所有满足b <1且b ≠0的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 2
0＋2x 0＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上．因此，圆C 过定点．
9．4 直线、圆的位置关系
2.圆与圆的位置关系
1．0 d>r 1 两组相同实数解 d <r 两组
不同实数解
2．d>R ＋rd ＝R ＋rR －r <d <R ＋r
d ＝R －rd <R －r
(2015·安徽联考)在平面直角坐标系
xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y
2
＝－2y ＋3，直线l
的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．相切或相交
解：圆C 的标准方程为x 2
＋(y ＋1)2
＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.
圆(x ＋2)2
＋y 2
＝4与圆(x －2)2
＋(y －1)
2
＝9的位置关系为( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
解：两圆圆心分别为O 1(－2，0)，O 2(2，1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3.因为||O 1O 2＝[2－（－2）]2
＋（1－0）2
＝17，3－2<17<3＋2，所以两圆相交．故选B.
(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)
射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
解：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为
A ′(2，－3)，
因此可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，化为kx －y －2k －3＝0.
因为反射光线与圆(x ＋3)2
＋(y －
2)2
＝1相
切，所以圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|
k 2
＋1
＝1，即12k 2
＋25k ＋12＝0，
解得k ＝－43或－3
4
.故选D.
(2016·郑州模拟)已知点P 是圆C ：x 2
＋
y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5
＝0.若点
P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有____________个．
解：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2
＋(y －3)2
＝42
，可知圆心为(－2，3)，半径为4，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝23
5>4，
故直线与圆相离，又d <4＋2，则满足题意的点P 有2个．故填2.
(2016·山东模拟)过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝25交于A ，B 两点，
C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是
____________．
解：点M 在圆C 内，依题意，当∠ACB 最小时，圆心C (3，4)到直线l 的距离最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率k ＝4－2
3－1＝
1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.故填x ＋y －3＝0.
类型一 直线与圆的位置关系
(1)已知点M (x 0，y 0)为圆x 2
＋y 2
＝
a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝a 2与该圆的位置关系是( )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．相切或相离
解：因为M (x 0，y 0)为圆x 2
＋y 2
＝a 2
(a ＞0)内异于圆心的一点，所以x 2
0＋y 2
0<a 2.又圆心到直线
x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝
|a 2|
x 20＋y
20
＞|a 2
||a |＝a ，所以直线与圆相离．故选C.
(2)直线y ＝－
3
3
x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )
A ．(3，2)
B ．(3，3) C.⎝
⎛⎭⎪⎫33
，233 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，233
解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋m ，x 2＋y 2＝1，
得43x 2－23
3mx ＋m 2
－1＝0，
设直线与圆在第一象限内交于A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)两点，
则有
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－233m 2－4×43×（m 2
－1）>0，
x 1
＋x 2＝－－23
3m 43
>0，x 1x 2
＝m 2
－143
>0，
得1<m <23
3.故选D.
点拨：
在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)
，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．另外，近几年高考中考查直线与圆的位置关系的题目有所增多，应予以重视．
(1)在同一坐标系下，直线ax ＋by
＝ab 和圆(x －a )2
＋(y －b
)2
＝r 2
(ab ≠0，r>0)的图象可能是( )
解：直线方程可化为x b ＋y
a
＝1，且由A ，B ，C ，D 选项知a>0，b <0，满足圆心()a ，b (a>0，b <0)的只有选项D.故选D.
(2)(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，则直线l 的倾斜
角的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解：由题意可知直线l 的斜率存在，设其为
k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)－1，要使直
线l 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，只需圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝
|3k －1|
k 2＋1
≤1，解得
0≤k ≤ 3.所以直线l 的倾斜角的取值范围是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π3.故选D.
类型二 圆的切线
已知圆C ：(x －1)2
＋(y －2)2
＝2，点
P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B
为切点．
(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)
求切线PA 的长．
解：(1)如图，易知切线PA ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .
由于切线过点P (2，－1)，所以可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，
即kx －y －2k －1＝0.
又因为圆心C (1，2)，半径r ＝2， 所以由点到直线的距离公式，得 2＝
||
k －2－2k －1k 2＋（－1）2
，解得k ＝7或k ＝－1.
故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝
0和7x －y －15＝0.
(2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，
||AC ＝
2，
||PC ＝
（2－1）2
＋（－1－2）2
＝10，
所以||PA ＝|PC |2
－|AC |2
＝
10－2＝
2 2.
点拨：
求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定
点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．
(2016·绥化模拟)已知圆C 1：x 2
＋
y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1
＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1
a 2
＋1
b
2的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．9
解：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2
＋y 2
＝4，其圆心为(－2a ，0)，半径为2.圆C 2的标准方程为
x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因
为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆
C 2内切，所以（－2a －0）2＋（0－b ）2
＝2－1，
得4a 2＋b 2
＝1，所以1a 2＋1b
2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5
＋b 2a 2＋4a 2
b
2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2
a
2＝4a
2b 2
，且4a 2＋b 2＝1，即a 2
＝16，b 2＝13
时等号成立．所以1a 2＋1
b
2的最小值为9.故选D.
类型三 圆的弦长
(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，
B (4，2)，
C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则
|MN |＝( )
A ．26
B ．8
C ．46
D ．10
解：因为k AB ＝－1
3，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，
即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝10
2＝5，圆的标准方程为(x
－1)2
＋(y ＋2)2
＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝4 6.故选C .
(2)过点(3，1)作圆(x －2)2
＋(y －2)2
＝4的弦，其中最短弦的长为____________．
解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2
＋（1－2）2
＝2，所以最短弦长为l ＝2r 2
－d 2
＝222
－（2）2
＝2 2.故填2 2.
点拨：
(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k 2·||x 1－x
2，运用这一公式也可解此题，
但运算量较大．
(1)(2014·江苏)在平面直角坐标
系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为____________．
解：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22
＝3
5
，所以直线被圆截得的弦长为l ＝222
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫352＝2555.
故填255
5
.
(2)已知圆的方程为x 2＋y 2
－6x －8y ＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．106
B ．20 6
C ．306
D ．40 6
解：易知过点(3，5)的最长弦AC 为圆的直径，过点(3，5)的最短弦BD 为垂直于直径AC 的弦，所以点(3，5)为AC 与BD 的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x －3)2
＋(y －4)2
＝25，得圆心(3，4)，半径r ＝5，圆心到直线BD 的距离d ＝1，
||BD ＝2r 2－d 2＝252
－12
＝46，||AC ＝2r ＝
10，所以四边形ABCD 的面积S ＝1
2||AC ·
||BD ＝
20 6.故选B.
类型四 圆与圆的位置关系 已知圆C 1：x 2
＋y 2
－2mx ＋4y ＋m 2
－5
＝0，圆C 2：x 2
＋y 2
＋2x －2my ＋m 2
－3＝0，问：m 为何值时，
(1)圆C 1和圆C 2相外切？ (2)圆C 1和圆C 2内含？
解：易知圆C 1，C 2的标准方程分别为C 1：(x －m )2
＋(y ＋2)2
＝9，C 2：(x ＋1)2
＋(y －m )2
＝4，
(1)如果圆C 1与圆C 2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m ＋1）2
＋（m ＋2）2
＝3＋2，解得m ＝－5或2.
故当m ＝－5或2时，圆C 1和圆C 2相外切． (2)如果圆C 1与圆C 2内含，则只可能是较大圆C 1含较小圆C 2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即
（m ＋1）2＋（m ＋2）2
<3－2，解得－2<m <－1.
当－2<m <－1时，圆C 1和圆C 2内含． 点拨：
与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与R ＋r ，d 与R －r 的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．
(2014·湖南)若圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与
圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )
A ．21
B ．19
C ．9
D ．－11
解：圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，因为圆C 1与圆C 2外切，所以32
＋42
＝r 1＋r 2＝1＋25－m ，解得m ＝9.故选C.
类型五 两圆的公共弦及圆系方程
求以相交两圆C 1：x 2
＋y 2
＋4x ＋y ＋1
＝0及C 2：x 2
＋y 2
＋2x ＋2y ＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程．
解：两个圆的方程相减，得2x －y ＝0，即为公共弦所在的直线方程，显然圆C 2的圆心(－1，－1)不在此直线上，故可设所求圆的方程为x 2
＋
y 2＋4x ＋y ＋1＋λ(x 2＋y 2
＋2x ＋2y ＋1)＝
0(λ∈R ， λ≠－1)，即(1＋λ)x 2
＋(1＋λ)y 2
＋2(2＋λ)x ＋(1＋2λ)y ＋(1＋λ)＝0，
其
圆
心
O 的坐标
为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2＋λ1＋λ
，－1＋2λ2（1＋λ）.
因为点O 在直线2x －y ＝0上，所以－2（2＋λ）1＋λ＋1＋2λ2（1＋λ）＝0，解得λ＝－72
.
故所求方程为－52x 2－52y 2－3x －6y －5
2＝0，
即5x 2
＋5y 2
＋6x ＋12y ＋5＝0. 点拨：
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：
①同心圆系方程：(x －a )2
＋(y －b )2
＝
r 2(r>0)．其中的a ，b 是定值，r 是参数．
②半径相等的圆系方程：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r>0)．其中r 是定值，a ，b 是参数．
③过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )．
④过圆C 1：x 2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：
x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，因此应用时注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l ：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1
－F 2)＝0.若两圆相交，则l 为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l 为公切线．
在以k 为参数的圆系：x 2
＋y 2
＋2kx
＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0中，试证两个不同的圆相内切或相外切．
证明：将原方程转化为(x ＋k )2
＋(y ＋2k ＋5)2
＝5(k ＋1)2
.
设两个圆的圆心分别为
O 1(－k 1，－2k 1－5)，O 2(－k 2，－2k 2－5)，
半径分别为5|k 1＋1|，5|k 2＋1|，由于圆心距|O 1O 2|＝（k 2－k 1）2
＋4（k 2－k 1）2
＝5|k 2－k 1|.
当k 1＞－1且k 2＞－1或k 1＜－1且k 2＜－1
时，两圆半径之差的绝对值等于5|k 2－k 1|，即两圆相内切．
当k 1＞－1且k 2＜－1或k 1＜－1且k 2＞－1时，两圆半径之和的绝对值等于5|k 2－k 1|，即两圆相外切．
类型六 圆的综合应用
(2016·黑龙江双鸭山模拟) 已知
圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB (O 为坐标原点)．是否存在这样的直线l ，使得直线
OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；
如果不存在，请说明理由．
解：(1)设圆C ：(x －a )2
＋y 2
＝R 2
(a>0)，R 为
半径，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|
32＋42＝R ，
a 2＋3＝R ，
解得a ＝1或a ＝
138
，又S ＝πR 2
<13，所以a ＝1，R ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2
＋y 2
＝4.
(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．
当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，
又l 与圆C 相交于不同的两点，
联立得⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，
（x －1）2＋y 2
＝4， 消去y 得(1＋k 2)x 2
＋(6k －2)x ＋6＝0， 所以Δ＝(6k －2)2
－24(1＋k 2
)＝12k 2
－24k －20>0，
解得k <1－263或k>1＋26
3，且x 1＋x 2＝－
6k －21＋k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋6
1＋k
2. OD →
＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →
＝(1，－
3)，假设OD →∥MC →
，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，即
3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，
解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋263，＋∞，故假设不成立，所以不存在这
样的直线l .
点拨：
处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围
)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．
(2016·河南六市一联)如图所示，
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2
＋(y
－1)2
＝4和圆C 2：(x －4)2
＋(y －5)2
＝4.
(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；
(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．
解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝22
－（3）2
＝1.由点到直线的距离公式得d ＝
|－3k －1－4k |1＋k 2，即|7k ＋1|
1＋k 2
＝1，化简得k (24k ＋7)＝0，所以k ＝0或k ＝－
7
24
，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.
(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1
的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1
k
(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相
等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆
C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的
距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即
|1－b ＋k （3＋a ）|
1＋k
2
＝|5－b ＋1
k （4－a ）|
1＋1k
2
， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无
穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，
a ＋
b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52
，
b ＝－12或⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－32
，
b ＝13
2，
这样的点P 的坐标为
⎝
⎛⎭⎪⎫52，－
12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132. 经检验，上述坐标均满足题中条件．
1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，
d>r ，分别确定相交、相切、相离．
2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉
d ＞R －r .
3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．
4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点
M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为
||MT ＝x 20＋y 2
0＋Dx 0＋Ey 0＋F .
5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝1＋k
2
|x 1－x 2|＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2](A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视．
6．已知
⊙O 1：x 2
＋y 2
＝r 2
；
⊙O 2：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
； ⊙O 3：x 2
＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分
别为
x 0x ＋y 0y ＝r 2；
(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2
；
x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2
＋E ·y 0＋y
2
＋F ＝0.
若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为
x 0x ＋y 0y ＝r 2；
(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2
；
x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2
＋E ·y 0＋y 2
＋F ＝0.
圆x 2
＋y 2
＝r 2
的斜率为k 的两条切线方程分别为
y ＝kx ±r 1＋k 2.
掌握这些结论，对解题很有帮助．
7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．
1．(2015·安徽)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
解：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离d
＝|3＋4－b|
32＋42
＝1，即|b－7|＝5，解得b＝12或b
＝2.故选D.
2．(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．42C．6 D．210
解：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为C(2，1)，半径r＝2，由直线l是圆C的对称轴，可知直线l过点C，所以2＋a×1－1＝0，即a＝－1，所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝|AC|2－22＝40－4＝6.故选C.
3．(2016·南昌模拟)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
解：因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝
1
a2＋b2
<1，即直线与圆相交．故选B.
4．(2016·武汉模拟)过点P(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解：如图，令圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．
又k AB·k PC＝－1，且k PC＝
1－0
3－1
＝
1
2
，
则k AB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，
即2x＋y－3＝0.故选A.
5．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
解：由已知圆的圆心C(－1，1)向直线x－y －4＝0作垂线，垂足为H，当所求圆的圆心位于CH上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH的方程为x＋y＝0，分别求出垂线x＋y＝0与直线x－y－4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r＝ 2.所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选C.
6．(2016·浙江丽水模拟)若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)
解：圆的方程可化为(x －a )2
＋y 2
＝3－2a ，则3－2a>0，①，因为过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即(a －a )2
＋a 2
>3－2a ，②，由①②解得a <－3或1<a <3
2
，即a 的取值范
围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32.故选C. 7．(2016·浙江六校联考)已知点M (2，1)及圆x 2
＋y 2
＝4，则过M 点的圆的切线方程为____________；若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝__________．
解：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝
－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由
4
a 2＋1
＝4－（3）2
得a
＝±15.故填x ＝2或3x ＋4y －10＝0；±15.
8．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2
＋y
2
＝1，直线x －2y ＋5＝0上有一动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为____________．
解：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，再过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式得|OP |＝|1×0－2×0＋5|
12＋（－2）
2
＝5，又|OA |＝1，所以 |PA |＝|OP |2－|OA |2
＝2.故填2.
9．过点P (－3，－4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝4有公共点．
解：由题意可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x
＋3)，
即kx －y ＋3k －4＝0.
要使直线l 与圆C 有公共点，只须d ≤r ，即圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝|k ＋2＋3k －4|
1＋k 2
≤2，整理得3k 2
－4k ≤0，解得0≤k ≤43
.
10．已知圆C ：x 2
＋y 2
－8y ＋12＝0，直线l ：
ax ＋y ＋2a ＝0.
(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．
解：将圆C 的方程x 2
＋y 2
－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2
＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.
(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1
＝2，解得a ＝－3
4.
(2)设圆心C (0，4)到直线l 的距离为d ，
则有⎝ ⎛⎭
⎪
⎫|AB |22
＋d 2＝r 2，
即(2)2
＋d 2
＝4，得d ＝ 2. 又d ＝|2a ＋4|a 2＋1
，
所以|2a ＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝－1或a ＝－7.
所以直线l
的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.
(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，
圆C ：x 2
＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原。