三角形(学生版)--初升高数学专项训练

三角形--初升高数学专项训练
专题综述
三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础.
1.四心的地位
所谓三角形的“四心”，是指三角形的四种重要线段相交而成的四类特殊点.它们分别是三角形的内心、外心、垂心与重心，其中，外心与内心在初中课本中分别作出了叙述和介绍，而垂心与重心这两个概念是在高中加强的.在高中后续学习向量、立体几何、解析几何等内容时，垂心、重心、内心、外心都是不可缺少的知识点，在高考试卷中也屡屡出现，所以要清楚它们的基本概念，在三角形中用尺规作图的方法能够找到这四心，也就是要熟悉它们的几何特征，正三角形四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.
2.四心的概念与常用性质
内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等；
垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等；
重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍；
外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等.四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，以形助数，以数解形.
课程要求
《初中课程要求》1、三角形及其性质
2、全等三角形
3、相似三角形
4、直角三角形
《高中课程要求》1、三角变换与解三角形的综合问题
2、解三角形与平面向量结合
3、以平面图形为背景的解三角形问题
知识精讲
高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
如图3.2-1，在三角形ABC V 中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,A B C 行，
三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.
过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
高中必备知识点2：几种特殊的三角形
结论一：等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上.
结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.
典例剖析
高中必备知识点1：三角形的“四心”
【典型例题】
如图，在⊙O中，AB是的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC＝PA，
（1）求证PC是⊙O的切线；
（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝PA＝2，
①求图中阴影部分面积；
②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．
【变式训练】
已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。

（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断1D+1D是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

【能力提升】
定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心，例如：如图1，PD⊥AC，PE⊥AB，垂足分别为点D、E，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心
（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准内心P在高CD上，且PD＝12AB，求∠APB的度数．（2）探究：如图3，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准内心P在AC边上（不与点A、C
重合），求PA的长．
高中必备知识点2：几种特殊的三角形
【典型例题】
问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，则线段BD 与CE有何数量关系？
拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决：如果△ABC的边长等于3，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD 的长．
【变式训练】
如图，两条射线BA//CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，分别交AB，CD与点A，D．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若,60,2AD BA BCD BP ︒⊥∠==，求AB+CD 的值；
（3）若ABP S ∆为a ，CDP S ∆为b ，BPC S ∆为c ，求证：a+b=c ．
【能力提升】
如图，△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB=BC=1，连结BF ，分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R ．
(1)求证：△BFG ∽△FEG
(2)求sin ∠FBG 的值．
对点精练
1．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ；规定把ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为（）．
A
．(1)-B ．(2017,1)--C ．(1)-D ．(2019,1)
-2．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上的中点，连接CD ，将BCD △沿着CD 翻折，得到ECD ，CE 与AB 交于点F ，连接AE ．若6,42AB CD AE ===,，则点C 到AB 的距离为（）
A ．7
2B ．42C ．82
3D ．22
3．在Rt ABC 中，AC BC =，点D 为AB 中点，90GDH ∠=︒，GDH ∠绕点D 旋转，,DG DH 分别与边AC ，BC 交于E ，F 两点，下列结论：①22AE BF AB +=
；②222AE BF EF +=；③12
ABC CEDF S S =四边形△；④DEF 始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）
A ．①②④
B ．①②③
C ．③④
D ．①②③④
4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）
①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②④
D ．①③
5．已知a 、b 为两正数，且12a b +=2249a b +++）A ．12B ．13C ．14D ．15
6．已知a 、b 、4分别是等腰三角形三边的长，且a 、b 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两
个根，则k 的值等于（
）A ．6B ．7C ．-7或6D ．6或7
7
．如图，在锐角 ABC 中，AB ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是（）
A ．2
2B ．1C D 8．如图所示的网格是正方形网格，点,,,,A B C D E 是网格线交点，则BAC DAE ∠-∠的度数为（）
A ．45︒
B ．40︒
C ．30°
D ．25︒
9．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥于E ，则下列结论中，不正确的是（）
A ．DE 平分AD
B ∠B ．BD ED B
C +=C ．A
D 平分EDC ∠D ．ED AC AD
+>10．如图，一艘轮船在A 处测的灯塔C 在北偏西15°的方向上，该轮船又从A 处向正东方向行驶20海里到达B 处，测的灯塔C 在北偏西60°的方向上，则轮船在B 处时与灯塔C 之间的距离（即BC 的长）为（）
A ．403
B ．()20310+海里
C ．40海里
D ．()10310+海里
11．如图，在正方形ABCD 中，8AB =，点P 是线段DC 上的动点，将ADP ∆沿直线AP 翻折，得到AEP ∆，点H 是BC 上一点，且3BH =，连接AH ，HE ，当DP 的长为______时，AHE ∆是直角三角形．
12．如图，点()12,2A 在直线y x =上，过点作11//A B y 轴交直线12y x =
于点1B ，以点1A 为直角顶点，11A B 为直角边在11A B 的右侧作等腰直角111A B C △，再过1C 点作过点22//A B y 轴交直线y x =和直线12y x =于2A ，2B 两点，以点2A 为直角顶点，22A B 为直角边在22A B 的右侧作等腰直角222A B C △，…，按此规律进行下去，则等腰直角n n n A B C 的边长n n B C 为_____．（用含正整数n 的代数式表示）
13．如图，在平面直角坐标系中，点123,,,,n A A A A L 在x 轴上，点123,,,,n B B B B 在直线33y x =上．若1(1,0)A ，且1122231,,,n n n A B A A B A A B A + 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积
分别记为123,,,,n S S S S ，则2021S 可表示为____．
14．如图，四边形ABCD 中，AD //BC ，连接AC ，AC ⊥BC ，∠BAD ＝135°，E 为AC 上一点，连接BE ，∠BEC ＝2∠ACD ，AD ＝2，CE ＝3，则线段BE ＝__．
15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，将△ABC 绕点B 逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），直线A 1C 1分别交AB ，AC 于点G ，H ．当△AGH 为等腰三角形时，则CH 的长为_____．
16．如图，在ABC 中，1841B C ∠=︒∠=︒，，点D 是BC 的中点，点E 在AB 上，将BDE 沿DE 折叠，若点B 的落点B '在射线CA 上，则BA 与B D '所夹锐角的度数是________．
17．如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则△ABC 与△DBC 面积的大小关系为：S △ABC ______S △DBC （填“＞”，“＝”或“＜”）．
18．如图，CAD B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=____________．
19．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，则AD 的长是__________．
20．如图，将一个含30°角的三角尺ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ADE ，使点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，若AB =3CD 的长为_______．
21．如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，点E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ．
（1）若点F 是AC 中点，求证：ABE BAE ∠=∠；
（2）如图2，若DBE DEB ∠=∠．
①求证：AE CF =；
②猜想AF CF
的值并写出计算过程．22．如图，边长为1的正方形ABCD 中，点K 在AD 上，连接BK ，过点A ，C 作BK 的垂线，垂足分别为M ，N ，点O 是正方形ABCD 的中心，连接OM ，ON ．
（1）求证：AM BN =；
（2）请判断OMN 的形状，并说明理由；
（3）若点K 在线段AD 上运动（不包括端点），设AK x =，OMN 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（写出x 的范围）；若点K 在射线AD 上运动，且OMN 的面积为110
，请直接写出AK 长．
23．如图，在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边DC ，
CB 上移动（不与顶点重合），且满足DE CF =．连接AE 和DF ，交于点P ．
（1）请你写出AE 与DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动．
①请用文字描述并且在图中画出点P 的运动路径；
②若10AD =，请求出线段CP 的最小值．
24．在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 坐标为332⎛
⎝，7AB =，点C 在x 轴上（点C 在点A 的右侧），5AC =，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC 运动，动点Q 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AC 运动，两点同时出发，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒（0t >）．
（1）如图，当点Q 在线段AC 上时．
①求点C 的坐标：
②当CPQ 是等腰三角形时，求t 的值；
（2）是否存在时刻t ，使得PQ AB ⊥，若存在，直接写出t 的值；若不存在，说明理由．
25．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD CE =，点P 与点C 关于直线DE 成轴对称．
（1）求作点P ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接EP ，若1==2
BD EP CD AE ，判断点P 是否在直线AB 上，并说明理由．26．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，AD DE =．
（1）过A 作AF D E ⊥于点F ．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；
（2）求证：AF CD =．
27．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，2BC =，3AC =，点D 在Rt ABC 的边AC 上，DC m =，以BD 为直角边在AC 同侧作等腰直角三角形BDE ，使BD DE n ==，过E 作EF AC ⊥于点F ，连接AE ．
（1）求证：EDF DBC ≌；
（2）求AE 的最小值；
（3）若 52
AEBC S n =四边形，求 AEBC S 四边形的值．28．如图，AB AC =，直线l 过点A ，BM ⊥直线l ，CN ⊥直线l ，垂足分别为M 、N ，且BM AN =．
（1）求证AMB CNA ≌△△；
（2）求证90BAC ∠=︒．
29．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的中线，AE ∥BC ，CE ∥AD ．
（1）求证：四边形ADCE 是菱形；
（2）连接BE ，若∠ABC ＝30°，AC ＝2，求BE 的长．
30．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，2AC =，将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ''V ，此时点A '恰好落在AB 边上，则CAA ' 周长为__________．。