双曲线及其标准方程 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
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轨迹是什么？
(2)在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下，让点 P 在线段 AB 外运动，这时动点 M 满足什么几
何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
信息交流 揭示规律
双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数
（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.
F2(0，c)的双曲线.
学生探究 尝试解决
练习：
下列方程表示的曲线是双曲线吗？若是，计算双曲线的 a,b,c，并指
出双曲线的焦点坐标；若不是，请说明理由:
2
2
2
2
2
x
y
y
x
y
2
2
2
1 ；(2) x 1 ；(3) x y 2 ；(4)
1
(1)
10 6
3
m n
运用规律 解决问题
例 1.已知双曲线的两个焦点分别为 F1 (5,0)，F2 (5,0), 双曲线上一点 P 与 F1 , F2 的
距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程.
运用规律 解决问题
例 2.已知 A,B 两地相距 800m，在 A 地听到爆炸声比在 B 地晚 2s,且
声速为 340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
学生探究 尝试解决
问题 2：如图，在直线 l 上取两个定点 A,B,P 是直线 l 上的动点.在平面内，取定点 F1，F2，
以点 F1 为圆心，线段 PA 为半径作圆，再以点 F2 为圆心，线段 PB 为半径作圆
(1)当点 P 在线段 AB 上运动时，如果||PA|-|PB||<|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点 M 的
标准方程，并能用于解决简单的问题，进一步体会建
立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
设计问题 创设情景
问题 1：我们知道，平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数（大于|F1F 2|）的点的轨
迹是椭圆.那么，平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
③ 列式
MF1 MF2 2a
即
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
④化简
F2 x
学生探究尝试解决
④化简
将上述方程化为：
x c2 y 2 x c2 y 2
移项两边平方后整理得：cx a a
2
x c
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
迪拜双曲线建筑
生活中的双曲线
北京中信大厦-----中国尊
生活中的双曲线
玉枕的形状
可口可乐的下半部
第三章、圆锥曲线的方程
3.2.1 双曲线的标准方程
学习目标
1.能从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲
线的定义，发展直观想象素养.
2.能类比椭圆标准方程的建立过程，推导出双曲线的
2.拓展反思
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之积等于常数的点的轨迹是什么？
(2)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之商等于常数的点的轨迹是什么？
D.双曲线的一支和一条射线
2.已知双曲线的焦点在 x 轴上，a=4,b=3，则双曲线的焦点坐标是_________，标
准方程是________.
x2
y2
1 表示双曲线，则实数 m 的取值范围是________.
3.已知方程
2 m 2m
课后作业 拓展反思
1. 课后作业：作业纸，分 A、B 层
么？
不存在
中垂线
F1
o
F2
信息交流 揭示规律
练习：
若动点 P(x,y)到点 A(-3，0)，B(3，0)的距离之差为 4，则点 P 的轨迹
是(
)
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条直线
D.一条射线
学生探究 尝试解决
问题 3：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标
系，得出双曲线的方程？
2
2a
y2
y
2
2
2
2 2
2
2
2
两边再平方后整理得： c a x a y a c a
2
2
x
y
两边同时除以 a c a 得： 2 2 2 1
a
c a
2
2
c
a
0
即：
c
a
由双曲线定义知：2c 2a
2
2
M
2
F1 (-c,0) O
设 c 2 a 2 b 2 b 0 代入上式整理得：
学生探究尝试解决
y
① 建系
以经过双曲线焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段F1F2
的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。
② 设点
F1
O
设 M（x，y）是双曲线上的任一点，
设双曲线的焦距F1F2的长为 2c，
点M与两焦点的距离之差的绝对值等于常数2a＜ 2c
双曲线的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)
2
2
x
y
2 1( a 0,1)
其中c2=a2+b2.
x
F2 (c,0)
学生探究 尝试解决
追问 1：类比焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程，焦点在 y 轴
y
上的双曲线的标准方程是什么？
y2
x2
2=a2+b2.
1(
a
0,
b
0)
其中
c
a 2 b2
M
F2
x
O
F1
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示焦点在y轴上，焦点分别是 F1(0，-c)，
变练演编 深化提高
1），
已知双曲线经过点（ 2，
（请在横线上加上条件，并解答该题）
，求双曲线的标准方程.
反思小结 观点提炼
1.本节课我们收获了哪些知识、技能？
2.我们是怎样获得的这些知识、技能的？
3.在收获这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？
4.还有哪些困惑？
动画
演示
归纳、概括
椭圆
的概念
直接法
标准方程
类 比
动画
演示
归纳、概括
直观想象
双曲线
的概念
直接法
标准方程
数学运算
当堂检测
1.已知两定点 F (-5,0),F (5,0),动点 P 满足|PF |-|PF |=2a,则当 a=3 和 5 时,P 点的
1
2
1
2
轨迹分别为
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
信息交流 揭示规律
1、平面内与两定点的距离的差等于非零常数2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？
双曲线的一支
2、 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于非零常数（等于|F1F2| ）的轨迹是
什么？
是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线
信息交流 揭示规律
3:平面内与两定点的距离的差的绝对值等于非零常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什
(2)在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下，让点 P 在线段 AB 外运动，这时动点 M 满足什么几
何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
信息交流 揭示规律
双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数
（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.
F2(0，c)的双曲线.
学生探究 尝试解决
练习：
下列方程表示的曲线是双曲线吗？若是，计算双曲线的 a,b,c，并指
出双曲线的焦点坐标；若不是，请说明理由:
2
2
2
2
2
x
y
y
x
y
2
2
2
1 ；(2) x 1 ；(3) x y 2 ；(4)
1
(1)
10 6
3
m n
运用规律 解决问题
例 1.已知双曲线的两个焦点分别为 F1 (5,0)，F2 (5,0), 双曲线上一点 P 与 F1 , F2 的
距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程.
运用规律 解决问题
例 2.已知 A,B 两地相距 800m，在 A 地听到爆炸声比在 B 地晚 2s,且
声速为 340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
学生探究 尝试解决
问题 2：如图，在直线 l 上取两个定点 A,B,P 是直线 l 上的动点.在平面内，取定点 F1，F2，
以点 F1 为圆心，线段 PA 为半径作圆，再以点 F2 为圆心，线段 PB 为半径作圆
(1)当点 P 在线段 AB 上运动时，如果||PA|-|PB||<|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点 M 的
标准方程，并能用于解决简单的问题，进一步体会建
立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
设计问题 创设情景
问题 1：我们知道，平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数（大于|F1F 2|）的点的轨
迹是椭圆.那么，平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
③ 列式
MF1 MF2 2a
即
( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
④化简
F2 x
学生探究尝试解决
④化简
将上述方程化为：
x c2 y 2 x c2 y 2
移项两边平方后整理得：cx a a
2
x c
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
迪拜双曲线建筑
生活中的双曲线
北京中信大厦-----中国尊
生活中的双曲线
玉枕的形状
可口可乐的下半部
第三章、圆锥曲线的方程
3.2.1 双曲线的标准方程
学习目标
1.能从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲
线的定义，发展直观想象素养.
2.能类比椭圆标准方程的建立过程，推导出双曲线的
2.拓展反思
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之积等于常数的点的轨迹是什么？
(2)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之商等于常数的点的轨迹是什么？
D.双曲线的一支和一条射线
2.已知双曲线的焦点在 x 轴上，a=4,b=3，则双曲线的焦点坐标是_________，标
准方程是________.
x2
y2
1 表示双曲线，则实数 m 的取值范围是________.
3.已知方程
2 m 2m
课后作业 拓展反思
1. 课后作业：作业纸，分 A、B 层
么？
不存在
中垂线
F1
o
F2
信息交流 揭示规律
练习：
若动点 P(x,y)到点 A(-3，0)，B(3，0)的距离之差为 4，则点 P 的轨迹
是(
)
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条直线
D.一条射线
学生探究 尝试解决
问题 3：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标
系，得出双曲线的方程？
2
2a
y2
y
2
2
2
2 2
2
2
2
两边再平方后整理得： c a x a y a c a
2
2
x
y
两边同时除以 a c a 得： 2 2 2 1
a
c a
2
2
c
a
0
即：
c
a
由双曲线定义知：2c 2a
2
2
M
2
F1 (-c,0) O
设 c 2 a 2 b 2 b 0 代入上式整理得：
学生探究尝试解决
y
① 建系
以经过双曲线焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段F1F2
的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。
② 设点
F1
O
设 M（x，y）是双曲线上的任一点，
设双曲线的焦距F1F2的长为 2c，
点M与两焦点的距离之差的绝对值等于常数2a＜ 2c
双曲线的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)
2
2
x
y
2 1( a 0,1)
其中c2=a2+b2.
x
F2 (c,0)
学生探究 尝试解决
追问 1：类比焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程，焦点在 y 轴
y
上的双曲线的标准方程是什么？
y2
x2
2=a2+b2.
1(
a
0,
b
0)
其中
c
a 2 b2
M
F2
x
O
F1
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示焦点在y轴上，焦点分别是 F1(0，-c)，
变练演编 深化提高
1），
已知双曲线经过点（ 2，
（请在横线上加上条件，并解答该题）
，求双曲线的标准方程.
反思小结 观点提炼
1.本节课我们收获了哪些知识、技能？
2.我们是怎样获得的这些知识、技能的？
3.在收获这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？
4.还有哪些困惑？
动画
演示
归纳、概括
椭圆
的概念
直接法
标准方程
类 比
动画
演示
归纳、概括
直观想象
双曲线
的概念
直接法
标准方程
数学运算
当堂检测
1.已知两定点 F (-5,0),F (5,0),动点 P 满足|PF |-|PF |=2a,则当 a=3 和 5 时,P 点的
1
2
1
2
轨迹分别为
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线
信息交流 揭示规律
1、平面内与两定点的距离的差等于非零常数2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？
双曲线的一支
2、 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于非零常数（等于|F1F2| ）的轨迹是
什么？
是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线
信息交流 揭示规律
3:平面内与两定点的距离的差的绝对值等于非零常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什