北京市西城北京师范大学第二附属中学高一数学上学期期中试题(含解析)

北京市西城北京师范大学第二附属中学2017-2018学年高一数学上学
期期中试题（含解析）
一、选择题（共8小题，共40分）
1．已知集合{24}A x x =<<，{3B x x =<或5}x >，则A B =I （）．
A ．{25}x x <<
B ．{4x x <或5}x >
C ．{23}x x <<
D ．{2x x <或5}x >
【答案】C
【解析】∵集合{24}A x x =<<，集合{3B x x =<或5}x >， ∴集合{23}A B x x =<<I ． 故选C ．
2．函数21
()lg 1
x f x x -=+的定义域是（）.
A ．{1x x <-或12x ⎫
>⎬⎭ B ．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭
C ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭
D ．{1}x x >-
【答案】A
【解析】要使函数有意义，则
2101x x ->+，即(21)(1)0x x ->+，解得1x <-或12
x >， ∴函数()f x 的定义域是{1x x <-或12x ⎫
>⎬⎭
．
故选A ．
3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）．
A ．12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B ．1y x
=
C ．3y x =-
D ．3log ()y x =-
【答案】C
【解析】A 项，12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是非奇非偶函数，故A 错误；
B 项，1
y x
=
是奇函数，在(,0)-∞和(0,)∞+是减函数，但在定义域内不是减函数，故B 错误； C 项，3y x =-是奇函数，且在定义域内是减函数，故C 正确；
D 项，3log ()y x =-是非奇非偶函数，故D 错误．
故选C ．
4．设集合{0,1,2,3,4,5}U =,{1,2}A =，2{540}B x x x =∈-<Z +，则()U A B =U ð（）．
A ．{0,1,2,3}
B ．{5}
C ．{1,2,4}
D ．{0,4,5}
【答案】D
【解析】∵集合2{540}{14}{2,3}B x x x x x =∈-<=∈<<=Z Z +， ∴{1,2,3}A B =U , ∴(){0,4,5}U A B =U ð． 故选D ．
5．函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y ，则0x 所在区间是（）．
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
【答案】C
【解析】设函数22()(log 1)2x f x x -=--，
则0(2)11210f =--=-<，222213
(3)(log 31)log 3log 3log 022
f =--
=-=-， ∴函数()f x 在区间(2,3)内有零点，即函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y 时， 0x 所在区间是(2,3)．
故选C ．
6．已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)∞+上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（）．
A ．(6)(7)f f >
B ．(6)(9)f f >
C ．(7)(9)f f >
D ．(7)(10)f f >
【答案】D
【解析】∵(8)y f x =+是偶函数，
∴(8)(8)f x f x =-++，即()y f x =关于直线8x =对称， ∴(6)(10)f f =，(7)(9)f f =． 又∵()f x 在(8,)∞+为减函数， ∴()f x 在(,8)-∞上为增函数， ∴(6)(7)f f <，即(10)(7)f f <． 故选D ．
7．已知函数23,0
()ln(1),0x x x f x x x ⎧-<=⎨⎩
≥++，若|()|f x ax ≥，则a 取值范围是（）．
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[3,0]-
D ．[ 3.1]-
【答案】C
【解析】当0x >时，根据ln(1)0x >+恒成立，则此时0a ≤， 当0x ≤时，根据23x x -+的取值为(,0]-∞，2|()|3f x x x ax =-≥， 当0x =时，不等式恒成立，
当0x <时，有3a x -≥，即3a -≥． 综上可得，a 的取值范围是[3,0]-． 故选C ．
8．若定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ=++对任意的实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ:特征函数”则下列结论中
正确的个数为（）．
①()0f x =是常数函数中唯一的“λ:特征函数”； ②()21f x x =+不是“λ:特征函数”；
③“1
3:特征函数”至少有一个零点；
④()e x f x =是一个“λ:特征函数”；．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】对于①设()f x C =是一个“λ:特征函数”，则(1)0C λ=+，当1λ=-时，可以取实数集，因此()0f x =不是唯一一个常数“λ:特征函数”，故①错误；
对于②，∵()21f x x =+，∴()()2()1(21)0f x f x x x λλλλ==++++++，即1(1)2x λλλ=--+， ∴当1λ=-时，()()20f x f x λλ=-≠++；1λ≠-时，()()0f x f x λλ=++有唯一解， ∴不存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ=++对任意实数x 都成立， ∴()21f x x =+不是“λ:特征函数”，故②正确； 对于③，令0x =得11
(0)033
f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭+，所以
11(0)33f f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
若(0)0f =，显然()0f x =有实数根；若()0f x ≠，211(0)[(0)]033f f f ⎛⎫
⋅=-< ⎪⎝⎭．
又∵()f x 的函数图象是连续不断的，∴()f x 在10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上必有实数根，
因此任意的“λ:特征函数”必有根，即任意“1
3
:特征函数”至少有一个零点，故③正确；
对于④，假设()e x f x =是一个“λ:特征函数”，则e e 0x x λλ=++对任意实数x 成立，则有e 0x λ=+，而此式有解，所以()e x f x =是“λ:特征函数”，故④正确． 综上所述，结论正确的是②③④，共3个． 故选C ．
二、填空题（共6小题，共30分）
9．已知集合{1}A x x =≤，{}B x x a =≥，且A B =R U ，则实数a 的取值范围__________． 【答案】(,1]-∞ 【解析】
用数轴表示集合A ，B ，若A B =R U ，则1a ≤，即实数a 的取值范围是(,1]-∞．
10．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出：
则当[()]2f g x =时，x =【答案】3
【解析】由表格可知：(1)2f =． ∵[()]2f g x =，∴()1g x =． 由表格知(3)1g =，故3x =．
11．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过点__________． 【答案】(2,1)
【解析】由11x -=得2x =，故函数()log (1)1a f x x =-+恒过定点(2,1)．
12．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(9)f =__________．
【答案】
【解析】设幂函数为()a f x x =
，由于图象过点
，得2a =3
2a =，
∴3
2
(9)9f ==
13．已知函数2()223f x ax x =-+在[1,1]x ∈-上恒小于零，则实数a 的取值范围为___________． 【答案】1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【解析】由题意，22230ax x -<+在[1,1]x ∈-上恒成立． 当0x =时，不等式为30-<恒成立． 当0x ≠时，2
3111
236
a x ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭．
∵1(,1][1,)x ∈-∞-∞U +，∴当1x =时，2
3111236x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭取得最小值1
2
，
∴1
2
a <．
综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭．
14．设集合{1,2,.}n P n =L ，*n ∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð． 则（1）(4)f =___________；
（2）()f n 的解析式（用n 表示）()f n =___________． 【答案】（1）4；（2）2122,()2,n
n n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩
为偶数
为奇数+【注意有文字】
【解析】（1）当4n =时，4{1,2,3,4}P =，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}， 故(4)4f =．
（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2L ，经过k 次后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中，m 为奇数，*k ∈N ．
由条件可知，若m A ∈，则x A ∈，k ⇔为偶数，若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数，于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确立，设n Q 是n P 中所有的奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个
数，当n 为偶数时（或奇数时），n P 中奇数的个数是12n （或12
n +）．
∴2122,()2,n
n n f n n ⎧⎪=⎨⎪⎩
为偶数
为奇数+【注意有文字】．
三、解答题（共6小题；共80分）
15．若集合{24}A x x =-<<，{0}B x x m =-<． （1）若3m =，全集U A B =U ，试求()U A B I ð． （2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围． 【答案】
【解析】（1）当3m =时，由0x m -<，得3x <， ∴{3}B x x =<， ∴{4}A B x x ==<U U ， 则{34}U B x x =<≤ð， ∴(){34}U A B x x =<I ≤ð．
（2）∵{24}A x x =-<<，{0}{}B x x m x x m =-<=<， 由A B A =I 得A B ⊆，
∴4m ≥，即实数m 的取值范围是[4,)∞+．
16．已知设函数()log (12)log (12)(0,1)a a f x x x a a =-->≠+． （1）求()f x 的定义域．
（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明． （3）求使()0f x >的x 的取值范围． 【答案】
【解析】（1）要使函数()log (12)log (12)a a f x x x =--+（0a >且1a ≠）有意义， 则120120
x x >⎧⎨->⎩+，解得1122x -<<．
故函数()f x 的定义域为1122x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭．
（2）由（1）可知()f x 的定义域为1122x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩
⎭，关于原点对称，
又()log (12)log (12)()a a f x x x f x -=--=-+， ∴()f x 为奇函数．
（3）()0f x >，即log (12)log (12)0log (12)log (12)a a a a x x x x -->⇒>-++， 当1a >时，原不等式等价为1212x x >-+，解得0x >． 当01a <<，原不等式等价为1212x x <-+，记得0x <． 又∵()f x 的定义域为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
∴当1a >时，使()0f x >的x 的取值范围是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭．
当01a <<时，使()0f x >的x 的取值范围是1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
17．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()()43x x
a
f x a =∈R +． （1）求()f x 在[0,4]上的解析式． （2）若[2,1]x ∈--时，不等式11
()23
x
x m f x --≤恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】
【解析】（1）∵()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数， ∴(0)10f a ==+，得1a =-． 又∵当[4,0]x ∈-时，111()4343x x x x
a f x =
=-+， ∴当[0,4]x ∈时，[4,0]x -∈-，11()4343
x x x x f x ---=-=-． 又()f x 是奇函数， ∴()()34x x f x f x =--=-．
综上，当[0,4]x ∈时，()34x x f x =-． （2）∵[2,1]x ∈--，11()23x x m f x --≤恒成立，即1
1114323x x x x m ---
≤在[2,1]x ∈--恒成立， ∴
12432x x x
m
≤
+在[2,1]x ∈--时恒成立． ∵20x >，
∴12223x
x
m ⎛⎫⎛⎫
⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≤+． ∵12()223x x
g x ⎛⎫⎛⎫
=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+在R 上单调递减，
∴[2,1]x ∈--时，12()223x
x
g x ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的最大值为2
2
1217(2)2232g --⎛⎫⎛⎫
-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+，
∴172
m ≥
． 即实数m 的取值范围是17,2⎡⎫
∞⎪⎢⎣⎭
+．
18．某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设()f t 表示学生注意力指标．
该小组发现()f t 随时间t （分钟）的变化规律（()f t 越大，表明学生的注意力越集中）如下：
10
10060(010)()340(1020)
15640(2040)t
a t f t t t t ⎧-⎪⎪
=<⎨⎪-<⎪⎩
≤≤≤≤+（0a >且1a ≠）． 若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： （1）求a 的值．
（2）上课后第5分钟和下课前5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由． （3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 【答案】
【解析】（1）由题意得，当5t =时，()140f t =，即105
10060140a ⋅-=， 解得4a =．
（2）∵(5)140f =，(35)1535640115f =-⨯=+， ∴(5)(35)f f >，
故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中．
（3）①当010t <≤时，由（1）知，4
10
()100460140f t =⋅-≥，解得510t ≤≤； ②当1020t <≤时，()340140f t =>恒成立；
③当20140t <≤时，()15640140f t t =-≥+，解得100
203
t <≤． 综上所述，100
53
t ≤≤
． 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持10085
533
-=分钟．
19．设a ∈R ，函数2()||f x x ax =+．
（1）若()f x 在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围．
（2）即()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值． 【答案】
【解析】（1）考虑函数()f x 的图象，可知
①当0a ≥时，在[0,1]上，2()f x x ax =+，显然()f x 在[0,1]上单调递增； ②当0a <时，在[0,)∞+上， 22(),[0,](),[,)x ax x a f x x ax x a ⎧-∈-⎪=⎨∈-∞⎪⎩
+++，
∴()f x 在[0,1]上单调递增的充要条件是12a
-≥，2a -≤．
综上所述，若()f x 在[0,1]上单调递增，则2a -≤或0a ≥． （2）若0a ≥时，2()f x x ax =+，对称轴为2
a
x =-，()f x 站在[0,1]上递增， ∴()1M a a =+；
若0a <，则()f x 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增，在,2a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
递减，在(,)a -∞+递增；
若12a
-≤，即2a -≤时，()f x 在[0,1]上递增，此时()1M a a =--；
若12a -<≤
，即22a -<-≤()f x 的最大值为2
()4a M a =；
若1>
，即2a >-()f x 的最大值()1M a a =+，
即有2
1,2()1,2,224
a a M a a a a a ⎧
⎪>-⎪⎪
=---⎨⎪⎪-<-⎪⎩≤≤+，
当2a >-
()3M a >- 当2a -≤时，()1M a ≥；
当22a -<-≤
21
()(234M a --=-≥．
综上可得()M a
的最小值为3-
20．已知：集合12{(,,,,),{0,1},1,2,,}n i n i X X x x x x x i n Ω==∈=L L L ，其中
3n ≥．12(,,,,,)i n n X x x x x ∀=∈ΩL L ，称i x 为X 的第i 个坐标分量．若n S ⊆Ω，且满足如下两
条性质：
①S 中元素个数不少于4个．
②X ∀，Y ，Z S ∈，存在{1,2,,}m n ∈L ，使得X ，Y ，Z 的第m 个坐标分量都是1．则称S 为n Ω的一个好子集．
（1）若{,,,}S X Y Z W =为3Ω的一个好子集，且(1,1,0)X =，(1,0,1)Y =，写出Z ，W ． （2）若S 为n Ω的一个好子集，求证：S 中元素个数不超过12n -．
（3）若S 为n Ω的一个好子集且S 中恰好有12n -个元素，求证：一定存在唯一一个{1,2,,}k n ∈L ，使得S 中所有元素的第k 个坐标分量都是1． 【答案】
【解析】（1）(1,0,0)Z =，(1,1,1)W =．
（2）对于n x ⊆Ω，考虑元素12{1,1,,1,1)i n X x x x x '=----L L ；
显然n X '∈Ω，X ∀，Y ，X '，对于任意的{1,2,,}i n ∈L ，i x ，i y ，1i x -不可能都为1， 可得X ，X '不可能都是好子集S 中．
又因为取定X ，则X '一定存在且唯一，而且X X '≠， 由x 的定义知道，X ∀，Y ∈Ω,X Y X Y ''=⇔=
这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半，而集合n Ω中元素的个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -．
（3）12{,,}i n X x x x x ∀=L L ，12{,,,}i n n Y y y y y ∀=∈ΩL L ，定义元素X ，Y 的乘积为 1122{,,,}i i n n XY x y x y x y x y =L L ，显然n XY ∈Ω．
我们证明“对任意的12{,,}i n X x x x x S =∈L L ，12{,}i n Y y y y y S =∈L L 都有XY S ∈．” 假设存在X ，Y S ∈使得XY S ∉，则由（2）知， 1122()(1,1,1,1)i i n n XY x y x y x y x y S '=----∈L L ．
此时，对于任意的{1,2,}k n ∈L ，k x ，k y ，1k k x y -不可能同时为1，矛盾，所以XY S ∈． 因为S 中只有12n -个元素，我们记12{,,}n Z z z z =L 为S 中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道12(,)n Z z z z S =∈L ，
显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k Z =，
根据Z 的定义X ，可以知道S 中所有元素的k 坐标分量都为1． 下面再证明k 的唯一性：
若还有1t Z =，即S 中所有元素的t 坐标分量都为1． 所以此时集合S 中元素个数至多为22n -个，矛盾． 所以结论成立．。