变质量问题的处理技巧 (2)(1)

v 变质量问题的处理技巧 湖北省恩施高中 陈恩谱
高中物理中，常常出现流体连续冲击固体表面或者飞船进入宇宙微尘区问题，这类问题的典型特征是 研究对象不明确，这让很多同学往往不知道如何下手，还有一些同学一知半解，随意选取一段较长时间进 行考察，从而在重力考虑与否问题上犹豫不决。

根据笔者多年的教学经验，特对这类变质量问题作如下总结，供大家参考。

一、基本入手点：研究对象的选取—— ∆t → ∆m
选取一段极短时间 ∆t （ ∆t → 0 ）内的冲击到固体的流体或附着到飞船上的微尘为研究对象，求出这部分对象的质量 ∆m ，然后再对这部分对象 ∆m 应用动力学规律进行分析处理。

注意，这段时间一般应该取极短，如果取得太长，则在这段较长的时间内，这些冲击到固体表面的流 体分子或者附着到飞船上的微尘，在作用前后的位置、速度就是一个取值差别较大的分布，使用微元法处 理时，研究对象的初末态就不具有确定的速度和位置，其动力学方程无法简洁书写。

很多同学之所以发现 重力不得不考虑，实际上就是时间取长了导致的。

二、动量定理与作用力的求解
这类问题除了研究对象选取的上述技巧外，还要注意两条：其一，动量定理矢量方程，要规定好正方 向后，各量带入正负号写进方程，一般规定初速度方向为正方向；其二，注意题目一般问的是流体对固体 的冲击力，但是我们选择的是流体微元为研究对象，需要用到牛顿第三定律。

【例 1】高压采煤水枪出水口的横截面积为 S ，水的射速为 v ，射到煤层上后，水的速度为零．若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力．
[解析] 设在一段极短时间Δt 时间内从高压采煤水枪出水口射出的水的质量为Δm ，则
Δm ＝ρSv ·Δt
以质量为Δm 的水为研究对象，F ′N 为煤层对水的反冲力，因为 F ′N ≫Δmg ，所以水受的重力可以忽略。

取水的初速度方向为正方向，则在Δt 时间内，由动量定理，有
－F ′N ·Δt ＝0－Δmv ＝－ρSv 2·Δt
由牛顿第三定律，水对煤层的冲力：F N ＝F ′N
联立解得 F N ＝ρSv 2．
【例 2】用豆粒模拟气体分子，可以模拟气体压强产生的原理．如图所示，从距秤盘 80 cm 高
度处把 1000 粒的豆粒连续均匀地倒在秤盘上，持续作用时间为 1 s ，豆粒弹起时竖直方向的速度变为碰前的一半．若每个豆粒只与秤盘碰撞一次，且碰撞时间极短(在豆粒与秤盘碰撞极短时间内， 碰撞力远大于豆粒受到的重力)，已知 1000 粒的豆粒的总质量为 100 g ，则在碰撞过程中秤盘受到的压力大小约为 ( )
A ．0．2 N
B ．0．6 N
C ．1．0 N
D ．1．6 N
[解析] 由题意，单位时间内倒出的豆粒是 N =1000 颗，每颗豆粒的质量为 m = m ，则一段极短时间
Δt 时间内到达秤盘的豆粒质量为 0 N
∆m = N ∆t ⋅ m 0 ， 设豆粒从 80 cm 高处落到秤盘上时速度为 v ， 有
v 2－02=2gh ，
以向下为正方向，对这部分豆粒，由动量定理，有 - F ∆t = (-∆m ⋅ 联立，解得 F=0．6 N ，选项 B 正确．
v ) - ∆mv ，
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[反思]本题有两个问题是很多同学不放心的，值得仔细辨析一下：其一，如果考虑重力，则动量定理 的表达式为 ∆mg ⋅ ∆t - F ∆t = (-∆m ⋅ ) - ∆mv ，解得 F = ∆mg + 2 ∆m ⋅ 3v ∆t 2 ∆m ，其中 ∆t
= Nm 0 ，∆t → 0 时，
∆m → 0 ， F ≈ ∆m ⋅ 3v 。

其二，如果将Δt 取作 1s ，上述动量定理方程将不成立——因为，这段时间内，
∆t 2
这 1000 颗豆粒分布在一段空间范围，且速度大小各不相同，这就必须考虑重力的作用，并将豆粒的速度取 1s 前后各自的对应值，显然，这很麻烦。

【例 3】如图所示，一工人沿着光滑水平轨道推动货车运
装沙子，沙子经一静止的竖直漏斗连续的落进货车．已知单位时
间内落进货车的沙子质量恒为 Q ，工人对货车水平推力恒为
F ．某时刻，货车（连同已落入其中的沙子）质量为 M ，速度
为 v ，试求此时货车的加速度．
[解析] 一段极短时间∆t 内落入货车的沙子质量为∆m = Q ⋅ ∆t ，沙子落入货车后，立即和货车共速， 则由动量定理，有
解得沙子受到货车的力为 F ' = Qv ，方向向前．
F ' ⋅ ∆t = ∆mv - 0，
由牛顿第三定律可知，货车受到沙子的反作用力向后，大小为 F ' = Qv ，
对货车（连同已落入其中的沙子），由牛顿第二定律，有
F - F ' = Ma ， F - Qv
解得 a = ．
M [拓展]本题还可以有如下两种解法，一者是整体法，一者是求导法，其中求导法另辟蹊径，直接简洁。

【解法二】一段极短时间 ∆t 内落入货车的沙子质量为 ∆m = Q ⋅ ∆t ，取系统为研究对象，则由动量定 理，有
F ⋅ ∆t = (M + ∆m )v ' - Mv ，
解得 F = M
v ' - v + ∆m v ' = Ma + Qv '，
∆t 由于时间极短，货车速度变化量极小，故有 ∆t Qv ' ≈ Qv ，解得 a = F - Qv ． M 【解法三】取货车为研究对象，由动量定理，有
F =
∆p = ∆(Mv ) = ∆M v + M ∆v = Qv + Ma ， ∆t ∆t ∆t ∆t F - Qv
解得 a = ．
M 三、能量守恒与连续作用的功率
【例 4】某风力发电机叶片的有效迎风面积为 S ，空气密度为ρ，风速为 v ，若风力发电机的效率为η， 求该发电机的发电功率．
【解析】取一段极短时间Δt 内吹到发电机叶片上的空气Δm 为研究对象，则这部分空气柱的长度为
∆l = v ∆t ，则 ∆m = ρ∆V = ρ∆l ⋅ S ，这部分空气的动能为 ∆E η⋅ 1 ρv ∆tS ⋅ v 2
= 1 ∆m ⋅ v 2 ，转化为电能为 ∆E =η⋅ ∆E ， k 2 k ∆E 则由 P = ∆t ，得 P = 2 ∆t = 1ηρv 3S 2 【例 5】如图 5-6 所示为某农庄灌溉工程的示意图，地面与水面的距离为 H ．用水泵从水池抽水(抽水过程中 H 保持不变)，龙头离地面高 h ，水管横截面积为 S ，水的密度为ρ，重力加
速度为 g ，不计空气阻力．水从管口以不变的速度源源不断地沿水平方向喷出，水
落地的位置到管口的水平距离为 10h ．设管口横截面上各处水的速度都相同．
(1)求每秒内从管口流出的水的质量 m 0；
(2)不计额外功的损失，求水泵输出的功率 P ．
[解析] (1)水从管口沿水平方向喷出后做平抛运动，设水喷出时速度为 v 0，落地
0 时间为 t ，
竖直方向，有 h ＝
1 2 gt 2
水平方向，有 10h ＝v 0t 一段极短时间Δt 内喷出的水的质量
∆m
Δm ＝ρV ＝ρv 0ΔtS ， 每秒喷出的水的质量 m 0＝ ∆t ，联立以上各式解得 m 0＝ρS 50gh ． (2) 极短时间Δt 内水泵输出功
∆W
ΔW ＝Δmg (H ＋h )＋1 2
mv 2， 输出功率 P ＝ ∆t
，解得 P ＝ρSg 50gh (H ＋26h )． [反思]本题中，如果选择研究对象时，时间取得过长，也将出现和前面例 2 的问题。

另外，本题实际上采用了等效法——水泵做功，本来是连续推动水柱运动，水泵出水口和龙头右侧管口之间的水柱虽然在 连续变换，但是这之间的水柱的动能、重力势能却保持不变，因此，可以等效的认为，水泵在时间Δt 内直接将质量为Δm 从水泵出水口搬运到了龙头右侧管口抛出，这就是上述功能关系方程的依据。

说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019 年 6 月第三次修订版。

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