苏科版八年级上册数学第二次月考易错试题汇总(含答案)

苏科版八年级上册数学第二次月考易错试题汇总（含答案）
一、选择题
1．下列实数中，无理数是（ ）
A ．227
B ．3π
C ．4-
D ．327
2．如图，点P 在长方形OABC 的边OA 上，连接BP ，过点P 作BP 的垂线，交射线OC 于点Q ，在点P 从点A 出发沿AO 方向运动到点O 的过程中，设AP=x ，OQ=y ，则下列说法正确的是（ ）
A ．y 随x 的增大而增大
B ．y 随x 的增大而减小
C ．随x 的增大，y 先增大后减小
D ．随x 的增大，y 先减小后增大
3．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和()n m n <，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ）
A ．22320m mn n -++=
B ．2220m mn n +-=
C ．22220m mn n -+=
D ．2230m mn n --= 4．某种鲸鱼的体重约为1.36×105kg ，关于这个近似数，下列说法正确的是（ ） A ．它精确到百位 B ．它精确到0.01 C ．它精确到千分位
D ．它精确到千位 5．点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A ．（-2，3）
B ．（2，3）
C ．（-3，-2）
D ．（2，-3） 6．如图， Rt ABC 中，90,B ED ∠=︒垂直平分,AC ED 交AC 于点D ，交BC 于点
E .已知ABC 的周长为24,ABE 的周长为14，则AC 的长（ ）
A ．10
B ．14
C ．24
D ．15 7．若3n +3n +3n ＝
19，则n ＝（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．0
8．在平面直角坐标系中，点M （﹣3，2）关于y 轴对称的点的坐标为（ ）
A ．（﹣3，﹣2）
B ．（﹣2，﹣3）
C ．（3，2）
D ．（3，﹣2）
9．下列各数：4，﹣3.14，
227，2π，3无理数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．如图，点B 、F 、C 、
E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DE
F 的是（ ）
A ．A
B =DE B ．A
C =DF C ．∠A =∠
D D ．BF =EC
二、填空题
11．将一次函数y =2x 的图象向上平移1个单位，所得图象对应的函数表达式为
__________．
12．若函数y ＝2x +3﹣m 是正比例函数，则m 的值为_____．
13．如果2x -有意义，那么x 可以取的最小整数为______．
14．公元前3世纪，我国数学家赵爽曾用“弦图”证明了勾股定理.如图，“弦图”是由四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a 、b 且a <b ）拼成的边长为c 的大正方形，如果每个直角三角形的面积都是3，大正方形的边长是13，那么b -a =____.
15．如图，等边△OAB 的边长为2，以它的顶点O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.若直线y =x +b 与△OAB 的边界总有两个公共点，则实数b 的范围是____.
16．因式分解：24ax ay -=__________．
17．若171a +=，则352020a a -+=__________． 18．如图，在△ABC 中，∠B=40°，BC 边的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，若CE 平分
∠ACB，则∠A=______°．
19．下图所示的网格是正方形网格，BAC ∠________DAE ∠．（填“>”，“=”或“<”）
20．函数y ＝－3x ＋2的图像上存在一点P ，点P 到x 轴的距离等于3，则点P 的坐标为________．
三、解答题
21．如图，过点A （2，0）的两条直线1l ，2l 分别交y 轴于B ，C ，其中点B 在原点上方，点C 在原点下方，已知AB=13.
（1）求点B 的坐标；
（2）若△ABC 的面积为4，求2l 的解析式．
22．（模型建立）
（1）如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .求证：BEC CDA ∆≅∆； （模型应用）
（2）已知直线1l ：443
y x =+与坐标轴交于点A 、B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；
（3）如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为()8,6-，点A 、C 分别在坐标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线26y x =-+上的动点且在第四象限.若
APD
是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接
．．写出点D的坐标.
23．一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？
24．如图，已知直线l1：y1＝x+b经过点A（﹣5，0），交y轴于点B，直线l2：y2＝﹣2x﹣4与直线l1：y1＝x+b交于点C，交y轴于点D．
（1）求b的值；
（2）求△BCD的面积；
（3）当0≤y2＜y1时，则x的取值范围是．（直接写出结果）
25．已知甲，乙两名自行车骑手均从P地出发，骑车前往距P地60千米的Q地，当乙骑手出发了1.5小时，此时甲，乙两名骑手相距6千米，因甲骑手接到紧急任务，故甲到达Q地后立即又原路返回P地甲，乙两名骑手距P地的路程y（千米）与时间x（时）的函数图象如图所示．（其中折线O﹣A﹣B﹣C﹣D（实线）表示甲，折线O﹣E﹣F﹣G（虚线）表示乙）
（1）甲骑手在路上停留 小时，甲从Q 地返回P 地时的骑车速度为 千米/时； （2）求乙从P 地到Q 地骑车过程中（即线段EF ）距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（3）在乙骑手出发后，且在甲，乙两人相遇前，求时间x （时）的值为多少时，甲，乙两骑手相距8千米．
四、压轴题
26．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．
（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？
27．如图，在平面直角坐标系中，直线334
y x =-+分别交,x y 轴于A B ，两点，C 为线段AB 的中点，(,0)D t 是线段OA 上一动点（不与A 点重合），射线//BF x 轴，延长DC 交BF 于点E ．
（1）求证：AD BE =；
（2）连接BD ，记BDE 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；
（3）是否存在t 的值，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
28．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，
DAE BAC ∠=∠．
（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则
DB __________EC ．（填＞、＜或=）
（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．
（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．
（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．
（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，
90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．
29．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自已的想法：
小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”
小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”
小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”
......
老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”
（1）求∠DFC 的度数；
（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；
（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．
30．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)．
（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；
（2）若点,P Q的运动速度相等，经过1秒后，BPD
△与CQP是否全等，请说明理由；（3）若点,P Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD
△与
CQP全等？
（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点v以原来的运动速度从点B同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
A.22
7
是有理数，不符合题意；
B.3π是无理数，符合题意；
C.4
-=-2，4
-是有理数，不符合题意；
327327是有理数，不符合题意.
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接BQ ，由矩形的性质，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，利用勾股定理得到
222PQ PB BQ +=，然后得到y 与x 的关系式，判断关系式，即可得到答案.
【详解】
解，如图，连接BQ ，
由题意可知，△OPQ ，△QPB ，△ABP 是直角三角形，
在矩形ABCO 中，设BC=AO=a ，AB=OC=b ，则
OP=a x -，CQ b y =-，
由勾股定理，得：
222()PQ y a x =+-，222PB x b =+，222()BQ a b y =+-，
∵222
PQ PB BQ +=，
∴222222()()y a x x b a b y +-++=+-，
整理得：2by x ax =-+， ∴2
21()24a a y x b b
=--+， ∵10b
-<， ∴当2a x =时，y 有最大值24a b
； ∴随x 的增大，y 先增大后减小；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理找到y 与x 的关系式，从而得到答案.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
作图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得22
m mn n
+-=，整理即可求解
20
【详解】
解：如图，
2
22
m m n m，
222
m n mn m，
22
22
+-=．
m mn n
20
故选：B．
【点睛】
考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度求解．
【详解】
解：1.36×105精确到千位．
故选：D．
【点睛】
本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位的说法．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的两点横坐标和纵坐标均满足互为相反数，∴点（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．
故选A．
【点睛】
本题考查了关于原点对称点的坐标，熟练掌握坐标特征是解题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先依据线段垂直平分线的性质得到AE=CE ；接下来，依据AE=CE 可将△ABE 的周长为:14转化为AB+BC=14，求解即可.
【详解】
∵DE 是AC 的垂直平分线，
∴AE=CE ，
∴△ABE 的周长为:AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC
∵ABC 的周长为24,ABE 的周长为14
∴AB+BC=14
∴AC=24-14=10
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 7．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用负整数指数幂的性质结合同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【详解】 解：13339
n n n ++=， 1233n +-∴=，
则12n +=-，
解得：3n =-．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用关于y 轴对称则纵坐标相等横坐标互为相反数进而得出答案．
【详解】
解：点M （﹣3，2）关于y 轴对称的点的坐标为：（3，2）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是关于x轴、y轴对称的点的坐标，属于基础题目，易于掌握．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】
无理数有2π2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
10．C
解析：C
【解析】
试题分析：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
考点：全等三角形的判定．
二、填空题
11．y=2x+1．
【解析】
由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为y=2x+1，
故答案为y=2x+1．
解析：y=2x+1．
【解析】
由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x的图象向上平移1个单位所得函数的解析式为y=2x+1，
故答案为y=2x+1．
12．【解析】
【分析】
直接利用正比例函数的定义得出答案．
【详解】
∵函数y=2x+3﹣m是正比例函数，
∴3﹣m=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是正比例函数的定义，一般
解析：【解析】
【分析】
直接利用正比例函数的定义得出答案．
【详解】
∵函数y=2x+3﹣m是正比例函数，
∴3﹣m=0，
解得：m=3．
故答案为：3．
【点睛】
（k是常数，k≠0）的函数叫做正比本题考查的是正比例函数的定义，一般地形如y kx
例函数．
13．2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据
解析：2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于列式求解即可，比较简单． 14．1
【解析】
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，则大正方形的面积为13，每个直角三角形的面积都是3，可以得出小正方形的面积，进而求出答案．
【详解
解析：1
【解析】
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知
c =，则大正方形的面积为13，每个直角三角形的面积都是3，可以得出小正方形的面积，进而求出答案．
【详解】
解：根据题意，可知，
∵c =，
132ab =， ∴221()42b a ab c -+⨯
=，213c =， ∴2()13431b a -=-⨯=，
∴1b a -=±；
∵a b <，即0b a ->，
∴1b a -=；
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了勾股定理、完全平方公式、四边形和三角形面积的计算，利用数形结合的思想是解题的关键．
15．【解析】
【分析】
由题意，可知点A 坐标为（1，），点B 坐标为（2，0），由直线与△OAB 的边界总有两个公共点，有截距b 在线段CD 之间，然后分别求出点C 坐标和点D 坐标，即可得到答案.
【详解】
解
解析：231b -<<-
【解析】
【分析】
由题意，可知点A 坐标为（1，3），点B 坐标为（2，0），由直线y x b =+与△OAB 的边界总有两个公共点，有截距b 在线段CD 之间，然后分别求出点C 坐标和点D 坐标，即可得到答案.
【详解】
解：如图，过点A 作AE ⊥x 轴，
.∵△ABC 是等边三角形，且边长为2，
∴OB=OA=2，OE=1， ∴22213AE -=
∴点A 为（13B 为（2，0）；
当直线y x b =+经过点A （13ABC 边界只有一个交点，
则13b +=31b =，
∴点D 的坐标为（31）；
当直线y x b =+经过点B （2，0）时，与△ABC 边界只有一个交点，
则20b +=，解得：2b =-，
∴点C 的坐标为（0，2-）；
∴直线y x b =+与△OAB 的边界总有两个公共点时，截距b 在线段CD 之间，
∴实数b 的范围是：231b -<<
； 故答案为：231b -<<
.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，掌握直线与等边三角形有一个交点是临界点，注意分类讨论. 16．【解析】
【分析】
运用提公因式法求解，公因式是2a.
【详解】
故答案为：
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握提公因式法是关键.
解析：()22a x y -
【解析】
【分析】
运用提公因式法求解，公因式是2a.
【详解】
()2422ax ay a x y -=-
故答案为：()22a x y -
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握提公因式法是关键.
17．2024
【解析】
【分析】
，代入a 值，根据乘法法则进行计算即可.
【详解】
=
=
=4+2020
=2024
故答案为：2024
【点睛】
考核知识点：二次根式运算.掌握运算法则，运用乘法公
解析：2024
【解析】
【分析】
352020a a -+=()252020a a -+，代入a 值，根据乘法法则进行计算即可.
【详解】
352020a a -+=()225202052020a a ⎡⎤⎢⎥-+=-+⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=1185202024⎡⎤+⨯-+⎢⎥⎣⎦
=2020
=4+2020
=2024
故答案为：2024
【点睛】
考核知识点：二次根式运算.掌握运算法则，运用乘法公式是关键.
18．60
【解析】
∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ECB=80°，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=18
解析：60
【解析】
∵E在线段BC的垂直平分线上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠B=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACD=2∠ECB=80°，
又∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠A=180°−∠B−∠ACB=60°，
故答案为：60.
19．>
【解析】
【分析】
构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小. 【详解】
解：如下图所示，
是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为
另：此题也可直接测量得到结果．
【点 解析：>
【解析】
【分析】
构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.
【详解】
解：如下图所示，
AFG 是等腰直角三角形，
∴45FAG BAC ∠=∠=︒，
∴BAC DAE ∠>∠．
故答案为.>
另：此题也可直接测量得到结果．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.
20．或
【解析】
【分析】
根据点到x 轴的距离等于纵坐标的长度求出点P 的纵坐标，然后代入函数解析式求出x 的值，即可得解．
【详解】
解：∵点P 到x 轴的距离等于3，
∴点P 的纵坐标的绝对值为3，
解析：1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或533⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
【解析】
【分析】
根据点到x 轴的距离等于纵坐标的长度求出点P 的纵坐标，然后代入函数解析式求出x 的值，即可得解．
【详解】
解：∵点P 到x 轴的距离等于3，
∴点P 的纵坐标的绝对值为3，
∴点P 的纵坐标为3或﹣3，
当y=3时，﹣3x+2=3，解得，x=﹣13
； 当y=﹣3时，﹣3x+2=﹣3，解得x=
53； ∴点P 的坐标为（﹣
13，3）或（53，﹣3）． 故答案为（﹣
13，3）或（53
，﹣3）． 【点睛】 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是本题的关键，注意分类讨论．
三、解答题
21．（1）（0，3）；（2）112y x =
-． 【解析】
【分析】
（1）在Rt △AOB 中，由勾股定理得到OB=3，即可得出点B 的坐标；
（2）由ABC S ∆=12
BC•OA ，得到BC=4，进而得到C （0，-1）．设2l 的解析式为y kx b =+， 把A （2，0），C （0，-1）代入即可得到2l 的解析式．
【详解】
（1）在Rt △AOB 中，
∵222OA OB AB +=，
∴2222OB +=，
∴OB=3，
∴点B 的坐标是（0，3） ．
（2）∵ABC S ∆=
12BC•OA ， ∴12
BC×2=4， ∴BC=4，
∴C （0，-1）．
设2l 的解析式为y kx b =+，
把A （2，0），C （0，-1）代入得：20{1
k b b +==-，
∴
1{21
k b ==-，
∴2l 的解析式为是112
y x =
-． 考点：一次函数的性质． 22．（1）见解析；（2）y ＝−7x−21；（3）D （4，−2）或（
203，223
-）. 【解析】
【分析】
（1）根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定BEC CDA ∆≅∆； （2）①过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，根据△CBD ≌△BAO ，得出BD ＝AO ＝3，CD ＝OB ＝4，求得C （−4，7），最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式； （3）根据△APD 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，当点D 是直线y ＝−2x ＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D 在矩形AOCB 的内部时，当点D 在矩形AOCB 的外部时，设D （x ，−2x ＋6），分别根据△ADE ≌△DPF ，得出AE ＝DF ，据此列出方程进行求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴CB ＝CA ，∠ACD ＋∠BCE ＝90°，
又∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，
∴∠D ＝∠E ＝90°，∠EBC ＋∠BCE ＝90°，
∴∠ACD ＝∠EBC ， 在△ACD 与△CBE 中，D E ACD EBC CA CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴BEC CDA ∆≅∆（AAS ）；
（2）①如图2，过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，
∵∠BAC ＝45°，
∴△ABC 为等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD ≌△BAO ，
∴BD ＝AO ，CD ＝OB ，
∵直线l1：y＝4
3
x＋4中，若y＝0，则x＝−3；若x＝0，则y＝4，
∴A（−3，0），B（0，4），∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4＋3＝7，
∴C（−4，7），
设l2的解析式为y＝kx＋b，则
74
03
k b
k b
=-+
⎧
⎨
=-+
⎩
，
解得：
7
21 k
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴l2的解析式为：y＝−7x−21；
（3）D（4，−2）或（20
3
，
22
3
-）．
理由：当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交BC于F，
设D（x，−2x＋6），则OE＝2x−6，AE＝6−（2x−6）＝12−2x，DF＝EF−DE＝8−x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：12−2x＝8−x，
解得x＝4，
∴−2x＋6＝−2，
∴D（4，−2），
此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；
当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，−2x＋6），则OE＝2x−6，AE＝OE−OA＝2x−6−6＝2x−12，DF＝EF−DE＝8−x，同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，即：2x−12＝8−x，
解得x＝20
3
，
∴−2x＋6＝
22
3 -，
∴D（20
3
，
22
3
-），
此时，ED＝PF＝20
3
，AE＝BF＝
4
3
，BP＝PF−BF＝
16
3
＜6，符合题意，
综上所述，D点坐标为：（4，−2）或（20
3
，
22
3
-）
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
23．（1）24米；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
【解析】
【分析】
（1）应用勾股定理求出AC的高度，即可求解；
（2）应用勾股定理求出B′C的距离即可解答．
【详解】
（1）如图，在Rt△ABC中AB2=AC2+BC2，得
AC=2222
257
AB BC
-=-=24(米)
答：这个梯子的顶端距地面有24米．
（2）由A'B'2=A'C2+CB'2，得
B'C=2222
'''25(244)
A B A C
-=--=15(米)，
∴BB'=B'C﹣BC=15﹣7=8(米)．
答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米．
【点睛】
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
24．（1）b=5；（2）27
2
；（3）﹣3＜x≤﹣2
【解析】
【分析】
（1）把点A的坐标代入直线l1：y1=x+b，列出方程并解答；
（2）利用两直线相交求得点C的坐标，由直线l2、l1求得点B、D的坐标，根据三角形的面积公式解答；
（3）结合图形直接得到答案．
【详解】
（1）把A（﹣5，0）代入y1=x+b，得﹣5+b=0
解得b=5；
（2）由（1）知，直线l1：y1=x+5，且B（0，5）．
根题意知，
5
24 y x
y x
=+
⎧
⎨
=--
⎩
．
解得
3
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
，即C（﹣3，2）．
又由y2=﹣2x﹣4知，D（0，﹣4）．所以BD=9．
所以S△BCD=1
2
BD•|x C|=
1
93
2
⨯⨯=
27
2
；
（3）由（2）知，C（﹣3，2）．
当y=0时，﹣2x﹣4=0，此时x=﹣2．
所以由图象知，当0≤y2＜y1时，则x的取值范围是﹣3＜x≤﹣2．故答案是：﹣3＜x≤﹣2．
【点睛】
此题主要考查一次函数性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.
25．（1）1小时，30千米/时；（2）y=24x﹣24（1≤x≤3.5）；（3）x=
17 3 27
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合图象解答即可；
（2）求出乙的速度，再利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论列方程解答即可．
【详解】
（1）由图象可知，甲骑手在路上停留1小时，甲从Q地返回P地时的骑车速度为：60÷（6﹣4）=30（千米/时），
故答案为：1；30．
（2）甲从P地到Q地的速度为20（千米/时），所以乙的速度为：（6+1.5×20）÷1.5=24（千米/时），
60÷24=2.5（小时），
设乙从P地到Q地骑车过程中（即线段EF）距P地的路程y（千米）与时间x（时）的函数关系式为y=24x+b，则
24+b=0，解得b=﹣24．
∴乙从P地到Q地骑车过程中（即线段EF）距P地的路程y（千米）与时间x（时）的函数关系式为y=24x﹣24（1≤x≤3.5）．
（3）根据题意得，
30（x﹣4）+（24x﹣24）=60﹣8，
解得x=
17
3
27
．
答：乙两人相遇前，当时间x=
17
3
27
时，甲，乙两骑手相距8千米．
【点睛】
此题考查了一次函数与一元一次方程的综合运用，熟练掌握，即可解题.
四、压轴题
26．（1）①△BPD与△CQP全等，理由见解析；②当点Q的运动速度为12
5
cm/s时，能够
使△BPD与△CQP全等；（2）经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．【解析】
【分析】
（1）①由“SAS”可证△BPD≌△CQP；
②由全等三角形的性质可得BP=PC=1
2
BC=5cm，BD=CQ=6cm，可求解；
（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，列出方程可求解．【详解】
解：（1）①△BPD与△CQP全等，
理由如下：∵AB=AC=18cm，AD=2BD，
∴AD=12cm，BD=6cm，∠B=∠C，
∵经过2s后，BP=4cm，CQ=4cm，
∴BP=CQ，CP=6cm=BD，
在△BPD和△CQP中，
BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BPD ≌△CQP （SAS ），
②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP ≠CQ ，
∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，
∴BP =PC =
12BC =5cm ，BD =CQ =6cm ， ∴t =52
， ∴点Q 的运动速度=612552
=cm /s ，
∴当点Q 的运动速度为
125
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：
125
x ﹣2x =36， 解得：x =90，
点P 沿△ABC 跑一圈需要181810232++=（s ） ∴90﹣23×3=21（s ），
∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
27．（1）详见解析；（2）36(04)2BDE t t S -+≤<=；（3）存在，当78t =或43时，使得BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）先判断出EBC DAC ∠=∠，CEB CDA ∠=∠，再判断出BC AC =，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；
（2）先确定出点A ，B 坐标，再表示出AD ，即可得出结论；
（3）分两种情况：当BD BE =时，利用勾股定理建立方程2223(4)t t +=-，即可得出结论；当BD DE =时，先判断出Rt △OBD ≌Rt △MED ，得出DM OD t ==，再用OM BE =建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1
）证明：
射线//BF x 轴， EBC DAC ∴∠=∠，CEB CDA ∠=∠， 又C 为线段AB 的中点，
BC AC ∴=，
在△BCE 和△ACD 中，
CEB CDA EBC DAC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△ACD （AAS ），
BE AD ∴=；
（2）解：在直线334
y x =-+中， 令0x =，则3y =，
令0y =，则4x =，
A ∴点坐标为(4,0)，
B 点坐标为(0,3)，
D 点坐标为(,0)t ，
4AD t BE ∴=-=，
113(4)36(04)222
BDE ABD B S S AD y t t t ∴==⋅=-⨯=-+<；
（3）当BD BE =时，
在Rt OBD ∆中，90BOD ∠=︒，
由勾股定理得：222OB OD DB +=，
即2223(4)t t +=-
解得：78
t =； 当BD DE =时，
过点E 作EM x ⊥轴于M ，
90BOD EMD ∴∠=∠=︒，
//BF OA ，
OB ME ∴=
在Rt △OBD 和Rt △MED 中，
=OB ME ⎨⎩
， ∴Rt △OBD ≌Rt △MED （HL ），
OD DM t ∴==，
由OM BE =得：24t t =- 解得：43t =
， 综上所述，当78t =或43
时，使得△BDE 是以BD 为腰的等腰三角形．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
28．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE ；（4）90°，AM+BD=CM ；（5）7
【解析】
【分析】 （1）由DE ∥BC ，得到
DB EC AB AC
=，结合AB=AC ，得到DB=EC ； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ； （3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质求出结论；
（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（5）根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC 的AC 始终保持不变，即可．
【详解】
[初步感知]（1）∵DE ∥BC ，
∴
DB EC AB AC
=， ∵AB=AC ，
∴DB=EC ，
故答案为：=，
（2）成立． 理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，
在△DAB 和△EAC 中
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎨＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB=CE；
[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
AD AE
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BDC=∠BAC=60°；
（4）∵△DAE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∴∠AEC=135°，
在△DAB和△EAC中
AD AE
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，
∵∠ADE=45°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，
∵△ADE都是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，∴AM=EM=MD，
∴AM+BD=CM；
故答案为：90°，AM+BD=CM；
【拓展提升】
（5）如图，
由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，
∴△ADC面积最大，
∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，
∴要△ADC面积最大，
∴点D到AC的距离最大，
∴DA⊥AC，
∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+1
2
×AC×AD=5+2=7，
故答案为7．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．
29．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；
（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；
（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，
又△ABE为等边三角形，
∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，
在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，
∴α＋β＝60°，
∴∠DFC=α＋β＝60°；
（2）EF=AF+FC，证明如下：
∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，
∴CF＝2DF，
在EC上截取EG＝CF，连接AG，
又AE=AC，
∴∠AEG=∠ACF，
∴△AEG≌△ACF（SAS）,
∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，
又∠CAF=∠BAD，
∴∠EAG=∠BAD，
∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，
即EF=AF+FC；
（3）补全图形如图所示，
结论：AF=EF+2DF．证明如下：
同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，
∴∠CAE＝180°－2β，
∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，
∴∠AFC=β－α＝60°，
又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，
∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，
在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，
又AB=BE ，
∴△ABG ≌△EBF （SAS ），
∴BG ＝BF ，
又AF 垂直平分BC ，
∴BF=CF ，
∴∠BFA=∠AFC=60°，
∴△BFG 为等边三角形，
∴BG=BF ，又BC ⊥FG ，∴FG=BF=2DF ，
∴AF ＝AG ＋GF ＝BF ＋EF ＝2DF ＋EF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
30．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83
；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；
（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；
（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；
（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．
【详解】
（1）由题意知，BP=2t ，则
PC=BC-BP=6-2t ，
故答案为：6-2t ；
（2）全等，理由如下：
∵p Q V V =，t=1，
∴BP=2=CQ ，
∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=4（cm ），
又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），
在BPD △和CQP 中 BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BPD △≌CQP （SAS ）。