2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 5.1等差数列与等比数列

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：
5.1等差数列与等比数列
一、数列的概念与简单表示法
（一）由数列的前几项求数列的通项公式 ※相关链接※ 数列的通项公式
（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；
④各项符特征等，并对此进行归纳、联想。

（2）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。

（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符变化，可用(1)n
-或1
(1)
n +-来调整。

※例题解析※
〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：
1371531(1)4,6,8,10,
(2),,,,,2481632
210172637(3),1,,,,,3791113(4)3,33,333,3333,---
思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。

解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以22n a n =+；
（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21
，22
，23
，24
，25
，……，故所求数列的一个通项公式可
定为212
n n n
a -=； （3）带有正负，故每项中必须含有一个1
(1)
n +-这个因式，而后去掉负，观察可得。

将第二项-1写成55
-。

分母可化为3，5，7，9，11，13，……为正奇数，而分子可化为12+1，22
+1，
32+1，42+1，52+1，62
+1，……故其一个通项公式可写为：21
1
(1)
21
n n n a n ++=-+； （4）将数列各项写为9999999999
,,,,3333
分母都是3，而分子分别是10-1，102
-1，103
-1，104
-1，……，
所以1(101)3
n
n a =
- （二）由递推公式求数列通项公式 ※相关链接※
1、由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。

（1）构造等比数列，已知首项1a ，递推关系为1()n n a qa b n N *+=+∈，求数列{}n a 的通项公式的关键是将1n n a qa b +=+转化为1()n n a a q a a ++=+的形式，其中a 的值可由待定系数法确定，即
1(1)(1).1
n n n b
qa b a qa q a a q q ++==+-⇒=
≠- （2）已知1a 且1()(2),n n a a f n n --=≥可以用累加法，即1(),n n a a f n --=，
12(1)n n a a f n ---=-，……，32(3)a a f -=，21(2)a a f -=。

所有等式左右两边分别相加，得
1123221()()()()()(1)(3)(2),
n n n n a a a a a a a a f n f n f f ----+-++-+-=+-+
++即：
1(2)(3)(1)().
n a a f f f n f n =+++
+-+ （3）已知1a 且
1()(2),n n a f n n a -=≥可以用累乘法，即1()n n a f n a -=，12
(1)n n a
f n a --=-，……，32(3)a f a =，21
(2)a
f a =，所有等式左右两边分别相乘，得 1
32
1221
1(2)(3)(1)(),
(2)(3)
(1)().
n n n n n a a a a f f f n f n a a a a a a f f f n f n ---=-=-即
注：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。

2、由n a 与n S 的关系求n a
由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为1
1(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩。

※例题解析※
〖例〗(1)在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=(1+
1n )a n ++n n 1
2，设=n n a b n
，求数列{b n }的通项公式; (2)已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=(n+1)a n ，求数列{a n }的通项 公式．
思路分析:(1)首先由递推公式得到
++n 1n a a n 1n 与的关系式：+-=+n 1n n a a 1
n 1n 2
，
再借助于累加的方法求出数列{b n }的通项公式；(2)由题设可得
,+n 1
n
a n 1a ＝＋利用累乘的方法求解. 解析:(1)由已知可得
b 1=a 1=1，且+-=+n 1n n a a 1
n 1n 2
，
即+=+
n 1n n 1
b b 2
，从而有 b n =b 1+(b 2-b 1)+…+(b n -b n-1)= 12--++++=-
2
n 1
n 1
11112222 (n ≥2)，又因为b 1=a 1=1，故所求
的通项公式为1.n -=-
n 1
b 22
(2)∵a n+1＝(n ＋1)a n ，
.+---∴
∴
n 1
n
n n 1n 1n 2
a n 1a a a
n n 1a a ＝＋＝，＝－，
3
2
2
1
a 3a a 2a ＝，＝，
a 1＝1. 累乘可得，
a n ＝n ×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1＝n ！. 故a n ＝n ！.
（三）数列的单调性及其应用
〖例〗(12分)已知数列的前n 项和为n S ,并且满足112,(1).n n a na S n n +==++ （1）求{n a }的通项公式；
（2）令4
()5
n n n T S =，问是否存在正整数m,对一切正整数n ，总有n m T T ≤，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由。

思路解析：（1）
1(1)n n na S n +=++→1(1)(1)n n n a S n n --=+-→12n n a a +-=→{}n a 得的通项公式
(2)由已知得n S →n T 的表达式→求n T 最大项→得结论. 解答:(1)令n=1,
11221111212(1)4,2
2(1)(1)(1)2.2(2).
12,{}222(1)22n n n n n n n n n n n a na S n n a a a n n a S n n na n a a n a a n n a a a a n n
+-++==++=-=≥-=+----=+-=≥=-==+-⨯=由及①
得故当时，有②
①②得：
整理得，当时，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故
(2)
2112
11212
212124
(1)(1),()().
5
4()[(1)(1)],,
544()()()[(1)(1)]5544()()()[(1)(1)]5
54(2)5,
4(1)15
89.
n n n n n n n n n n n n n S n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++-+-=+=+≥⎧=+++⎨≥⎩⎧+≥+++⎪⎪⎨
⎪+≥-+-⎪⎩⎧≥+⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩≤≤<<<由得所以T T T 故T 令T T 即即解得故T T ?…891011,89.
n m m m m =>>>≤==T T T T ?…故存在正整数对一切正整数n ，总有T T 此时或
注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法。

（2）求最大项n a ，则n a 满足11n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩；若求最小项n a ，则n a 满足1
1
n n n n a a a a +-≤⎧⎨≤⎩。

二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的基本运算
※相关链接※
1.等差数列运算问题的通法
等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程（组）求解.
2.等差数列前n 项和公式的应用方法
等差数列前n 项和公式有两个，如果已知项数n 、首项a 1和第n 项a n ，则利用()
,+=1n n n a a S 2
该公
式经常和等差数列的性质结合应用.如果已知项数n 、首项a 1和公差d ，则利用().-=+n 1n n 1d
S na 2
在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用.
注：1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

3、因为
11(1)222n S d d d
n a a n n =+-=+-，故数列{n S n
}是等差数列。

※例题解析※
〖例〗已知数列{n x }的首项1x =3，通项2(,,)n n x p nq n N p q *=+∈为常数，且1x ，4x ，5x 成等差数列。

求：
（1）,p q 的值；
（2）数列{n x }的前n 项和n S 的公式。

思路解析：（1）由1x =3与1x ，4x ，5x 成等差数列列出方程组即可求出,p q ；（2）通过n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：（1）由1x =3得23p q +=……………………………………①
又454515424,25,2x p q x p q x x x =+=++=且，得5
5
32528p q p q ++=+…………………② 由①②联立得1,1p q ==。

（2）由（1）得2n n n x +=，
12231222+2(12)(1)
22.2
n n
n n S x x x n n n +∴=+++=++++++++=-+
……………… （二）等差数列的判定 ※相关链接※
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。

（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =n+B,则{n a }是等差数列；
（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（，B 是常数），则{n a }是等差数列。

注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

※例题解析※
〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2
n n n n S S S S n a ---+=≥= （1）求证：{
1
n
S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。

思路解析：（1）1120n n n n S S S S ---+=→
1n S 与1
1n S -的关系→结论； （2）由
1
n
S 的关系式→n S 的关系式→n a 解答：（1）等式两边同除以1n n S S -得11n S --1n S +2=0，即1n S -11n S -=2（n ≥2）.∴{1n S }是以11S =1
1a =2
为首项，以2为公差的等差数列。

（2）由（1）知
1n S =11
S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =12n ,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S -=12(1)
n n -。

又∵112a =，不适合上式，故1
(1)
2
1(2)
2(1)
n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨
⎪≥-⎪⎩。

（三）等差数列的性质 ※相关链接※
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

2、等差数列的简单性质：
已知数列{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和。

（1）若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+,特别：若m+n=2p ，则2m n p a a a +=。

（2）23,,,,
m m k m k m k a a a a +++仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列232,,,m m m m m S S S S S L --也是等差数列； （4）1(21)n n S n a -=-； （5）若n 为偶数，则2
n
S S d -=
偶 奇；若n 为奇数，则S S a -=偶 奇中
（中间项）； （6）数列{}{}{},,n n n n c a c a pa qb ++g 也是等差数列，其中c p q 、、均为常数，是{}n b 等差数列。

3、等差数列的最值：
若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时，
（1）若a 1>0,d>0,且满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，前n 项和n S 最大；
（2）若a 1<0,d>0，且满足1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩，前n 项和n S 最小；
（3）除上面方法外，还可将{}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n N *∈。

※例题解析※
〖例1〗(2011·如皋模拟)已知在等差数列{a n }中，a 1=31，S n 是它的前n 项和，S 10=S 22， (1)求S n ；
(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值.
思路解析：利用等差数列的性质求解第(1)题、第(2)题，解题关键是写出前n 项和公式，利用函数思想解决.
(1)∵S 10=a 1+a 2+…+a 10， S 22=a 1+a 2+…+a 22，又S 10=S 22 ∴a 11+a 12+…+a 22=0，
()
+=112212a a 02
，
即a 11+a 22=2a 1+31d=0, 又a 1=31，∴d=-2，
∴S n =na 1+
()
-n n 1d 2
=31n-n(n-1)=32n-n 2.
(2)方法一：由(1)知S n =32n-n 2，
∴当n=16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256.
方法二：由S n =32n-n 2=n(32-n)，欲使S n 有最大值，应有1<n<32， 从而(
)+-≤=2
n n 32n S 2562
，
当且仅当n=32-n ，即n=16时，S n 有最大值256.
〖例2〗已知数列{}n a 是等差数列。

（1）若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 （2）若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求
思路解析：（1）由通项公式或前n 项和公式得1a 和d 的关系，通过解方程组求得1a 和d ，进而求得m n
a +和m n S +。

（2）利用等差数列数列的性质可使问题简化。

解答：设首项为1a ，公差为d ，
（1）方法一：由,m n a n a m ==，得11
(1),(1)a m d n
a n d m +-=⎧⎨
+-=⎩解得11, 1.a m n d =+-=- 1(1)1(1)0.m n a a m n d m n m n +∴=++-=+--+-=
方法二：由,m n a n a m ==，1n m
d m n
-=
=-- ∴()(1)0.m n m a a m n m d n n +=++-=+⨯-=
（2）方法一：由已知可得11
(1)2,(1)2n n m na d m m n ma d -⎧
=+⎪⎪⎨
-⎪=+⎪⎩解得221.2()
n m mn m n a mn m n d mn ⎧++--=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩
1()(1)
()()2
m n m n m n S m n a d m n +++-∴=++
=-+
方法二：∵{}n a 是等差数列，∴可设2
.n S An Bn =+则2
2
Am Bn n
An Bm m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
①②
①-②得
222()(),,()1,()()().
m n A m n B m n n m m n A m n B S A m n B m n m n +-+-=-≠∴++=-∴=+++=-+方法三：
12111()
().
2
2,().
m n n n m n m n m n m m n m n S S n m a a a a a a a a a S m n ++++++--=-=+++=++=+=-=-+…… 注：（1）灵活运用性质，求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；（2）在应用性质：若
则
时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求
解，解决此类问题要有整体代换的意识。

（四）等差数列的综合应用
〖例〗已知{}n a 是正数组成的数列，11a =
，且点1)n a +（n N *∈）在函数y=x 2
+1的图象上。

（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2）
（3） 若数列{}n b 满足b 1=1,b n +1=b n +2n a
,求证：221n n n b b b ++<。

思路解析：（1）利用点在函数图象上代入即可得n a 与1n a +的关系，易求得n a ；（2）可先求n b ，利用累加法或迭代法求得，而后作差比较即可，也可不用求n b 而直接利用已知关系式迭代求证即可。

解答：方法一：（1）由已知得11n n a a +=+，即11n n a a +-=，又11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列。

故n a =1+（n-1）×1=n.
（4） 由（1）知：n a = n ，从而12n n n b b +-=，
1
2
11221112()()()2
2
212112
n
n n n n n n n n b b b b b b b b ------=-+-+-+=++
++==--。

221222222121221(21)(21)(21)(2221)(2221)20,.
n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b ++++++++++-=----=--+--+=-<<因为所以方法二：（1）同方法一； （2）因为11,
b =2121121111111
1
11(2)(2)22222(2)2(22)2(2)2(2)20
n n n n n n n n n n n n n n n
n n
n
n n
n
n n
n n n b b b b b b b b b b b b +++++++++++++-=-+-=--=-=+-=-=
=-=-<，所以
221n n n b b b ++<
注：数列与函数、不等式、解析几何结合命题是高考考查的热点，以函数为载体，求解数列问题时要看清它们之间的关系，灵活应用它们是关键，在证明数列中不等问题时，要弄清题意，灵活采用证明不等
式的常用方法，本例采用了求差比较法，也是高考常考方法之一，可适当变形以解决它们。

方法提示:
1.解决等差数列问题，熟练掌握等差数列的有关性质，寻找项与前n 项和之间的关系是解题关键.
2.在等差数列{a n }中，有关S n 的最值问题:
(1)a 1>0,d<0时，满足+≥⎧⎨≤⎩m m 1
a 0
a 0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；
(2)当a 1<0,d>0时，满足+≤⎧⎨
≥⎩m m 1a 0
a 0
的项数m 使得S n 取得最小值为S m .
(3)关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n 项和
()(),-=+
=+-2n 11n n 1d d
S na d n a n 222
S n 可看成关于n 的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题.
三、等比数列及其前n 项和 （一）等比数列的的运算 ※相关链接※
1.等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量1a ，n ，q ，n a ，n S ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。

2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。

3.在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式。

※例题解析※
〖例〗设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n b =2-2n S ；数列{}n a 为等差数列，且6714,20a a ==。

（1） 求数列{}n b 的通项公式；
（2） 若()n n n c a b n N *=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：7
2
n T <。

思路解析：
（1
）
→
→得结论；（
2
）
→
→
→放缩得结论。

解答：（1）由n b =2-2n S ，得1122b S =-，又1S =1b ，所以1b =2
3
，由n b =2-2n S ……………………①
得1122n n b S ++=-……………………………………………………② ②-①得112n n n b b b ++-=-，∴13,n n b b +=即113
n n b b +=，∴{}n b 是以23为首项，以1
3为公比的等比数
列，所以n b =
23·1
()3
n 。

（2）∵
{}n a 为等差数列，∴75
375
a a d -=
=-，∴6(5)31,n a a n d n =+-=-从而1
2(31)(),3
n n n n c a b n ==-
∴231111
2[25()8()(31)()]3333
n n T n =++++-…………………………………………………………③
∴2341111111
2[2()5()8()(34)()(31)()]333333
n n n T n n +=++++-+-………………………………④ ③-④得
231231112111112[23()3()3()(31)()]333333
1111112[33()3()3()(31)()]
333333
11[1()]
2213
362(31)(),133313
77117()()22332
n n n n n n n n n n n T n n T n T n +++-=++++--=++++---⨯-∴=----=--<
（二）等比数列的判定 ※相关链接※
等比数列的判定方法有： （1）定义法：若
11
()()n n n n a a
q q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2，则{}n a 是等比数列； （2）中项公式法：若数列{}n a 中，2120()n n n n a a a a n N *++≠=∈且，则数列{}n a 是等比数列； （3）通项公式法：若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N *=∈均为不为的常数，，则数列{}n a 是等比数列；
（4）前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,0,1)n n S k q k k k q =-≠≠为常数且，则数列{}
n a
是等比数列；
注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。

※例题解析※
〖例〗在数列{}n a 中，112,431,n n a a a n n N +==-+∈*。

（1） 证明数列{}n a n -是等比数列； （2） 求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3） 证明不等式14n n S S +≤对任意n N *∈皆成立。

思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即
1
n n
a q a +=，对于本例（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明。

解答：（1）由题设1431,n n a a n +=-+得1(1)4(),n n a n a n n N *+-+=-∈。

又111,a -=所以数列
{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列。

（2）由（1）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+。

所以数列{}n a 的前n 项
和141(1)
32
n n n n S +-+=+。

（3）对任意的n N *∈，
12141(1)(2)41(1)144[](34)032322
n n n n n n n n S S n n ++-++-+-=+-+=-+-≤，所以不等式
14n n S S +≤对任意n N *∈皆成立。

（三）等比数列性质的应用 ※相关链接※
1.等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n 项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2.等比数列的常用性质
(1)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列；
(2)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ,a n+k ,a n+2k ,a n+3k ,…为等比数列，公比为q k .[
(3)a n =a m ·q n-m (n,m ∈N +)
(4)若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N +)，则a m ·a n =a p ·a q ； (5)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S k 、S 2k -S k 、 S 3k -S 2k 、S 4k -S 3k 是等比数列. （6）等比数列的单调性
3. 由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，可以借鉴函数的有关思想和方法，本例在求解过程中，就是先求导数，利用数列这一特殊函数的性质解决的，所以在解决数列问题时，应善于运用函数的思想方法解决问题.
注：等比数列中所有奇数项的符相同，所有偶数项的符也相同。

※例题解析※
〖例1〗已知等比数列前n 项的和为2，其后2n 的和为12，求再往后3n 项的和。

思路解析：由已知条件，根据前n 项和公式列出关于首项1a 和公比q 及n 的两个方程，应能解出1a 和
q 关于n 的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思想，问题就会变得简单，也
可采用等比数列的性质问题简化。

解答：方法一：利用等比数列的性质。

由已知122n a a a ++
+=，
1222122312n n n n n n a a a a a a ++++++++++=.注意到
12122212233132334(),(),(),(),
n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++++
+++
+++
+++
+也成
等比数列,其公比为n q ,于是,问题转化为已知:
234522111111111345111323312,12,2,12,60231122714.3783
n n n n n n n n n n n n n n
n
n
n n n
n
n
A A q A q A q A q A q A A q A q q q q q A q A q A q q A q q q q q q =+=+=+=+-===-+⎧=⎪=+==⎨-=-⎪⎩要求+的值,由得，则或，由+（1+）=2
方法二:利用求和公式. 如果公比q=1,则由于122n a a a ++
+=,可知122212234n n n n n n a a a a a a ++++++++++=,与
条件不符,∴q ≠1,由求和公式,得
1(1)
21n a q q
-=-…………………………………………① 又
21(1)
121n n a q q q
-=-……………………………………………………………………② ②式除以①式得2(1)6,6,23n
n
n
n n n q q q
q q q +=∴+===-解得或，又再往后3n 项的和为
331(1)1n n a q q S q
-=-………………………………………………………………………………③
③式除以①式得3231122(1),1423783
n n n n n
n
q S q q q S q q ⎧=⎪=++∴==⎨-=-⎪⎩。

〖例2〗(2011·青岛模拟)已知函数f(x)=ax 2+bx(a ≠0)的导函数f ′(x)=-2x+7,数列{a n }的前n 项和为S n ,点P n (n,S n )(n ∈N +)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值; (2)
令=
n b 其中n ∈N +,求{nb n }的前n 项和T n .
思路解析：对函数f(x)的字母系数通常用待定系数法确定，再把函数问题转化为数列问题求解.对{nb n }求和，若b n 为等比数列可考虑用错位相减法求和.
解析:(1)由题意可知：
∵f(x)=ax 2+bx(a ≠0),∴f ′(x)=2ax+b ，由f ′(x)=-2x+7对应相等可得:a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x 2+7x ，又因为点P n (n,S n )(n ∈N +)均在函数y=f(x)的图象上,所以有S n =-n 2+7n
当n=1时,a 1=S 1=6；
当n ≥2时,a n =S n -S n-1=-2n+8，a 1=6适合上式，
∴a n =-2n+8(n ∈N +)
令a n =-2n+8≥0得n ≤4,当n=3或n=4时,S n 取得最大值12. 综上,a n =-2n+8(n ∈N +),当n=3或n=4时,S n 取得最大值12. (2)
由题意得1
,,2
-++=
====n 4n 11n n b b 8b 2b ，所以
即数列{b n }是首项为8,公比为1
2
的等比数列， 故{nb n }的前n 项和
T n =1×23+2×22+…+n ×2-n+4①
T n =1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n ×2-n+3② 所以①-②得： T n =23+22+…+2-n+4-n ×2-n+3
116()2()12
--⎡
⎤-⎢⎥
⎣⎦∴=-=-+-n 4n 4n n 1T n 2322n 21。